高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《導(dǎo)數(shù)解答題》專項測試卷(含答案)

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?知識梳理

【知識點1切線方程的求法】

1.求曲線“在”某點的切線方程的解題策略：

①求出函數(shù)產(chǎn)/(X)在x=xo處的導(dǎo)數(shù)，即曲線產(chǎn)/(X)在點(無0次尤0))處切線的斜率；

②在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程為y=y0+f(x0)(x-x0).

2.求曲線“過”某點的切線方程的解題通法：

①設(shè)出切點坐標T(xo以猶))(不出現(xiàn)州)；

②利用切點坐標寫出切線方程：y次(xo)Q-xo)；

③將已知條件代入②中的切線方程求解.

【知識點2導(dǎo)數(shù)中函數(shù)單調(diào)性問題的解題策略】

L含參函數(shù)的單調(diào)性的解題策略：

(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進行分類討論.

(2)若導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)式，首先看能否因式分解，再討論二次項系數(shù)的正負及兩根的大小；若不能因

式分解，則需討論判別式△的正負，二次項系數(shù)的正負，兩根的大小及根是否在定義域內(nèi).

2.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般思路：

(1)利用集合間的包含關(guān)系處理：產(chǎn)/⑴在3,6)上單調(diào)，則區(qū)間Q6)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集.

(2加＞)為增(減)函數(shù)的充要條件是對任意的尤e(a,6)都有/(x)KX/(x)豈)),且在(a,6)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上,

/(x)不恒為零，應(yīng)注意此時式子中的等號不能省略，否則會漏解.

(3)函數(shù)在某個區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問題.

【知識點3函數(shù)的極值與最值問題的解題思路】

1.運用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)八x)極值的一般步驟：

(1)確定函數(shù)兀0的定義域；

(2)求導(dǎo)數(shù)/(x)；

(3)解方程/(x)=0,求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；

(4)列表檢驗/(x)在/(尤)=0的根xo左右兩側(cè)值的符號；

(5)求出極值.

2.根據(jù)函數(shù)極值求參數(shù)的一般思路：

已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時，要注意：根據(jù)極值點的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方

程組，利用待定系數(shù)法求解.

3.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的解題策略：

(1)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)/(x)在值句上的最值的一般步驟：

①求函數(shù)在(a,b)內(nèi)的極值；

②求函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值八。)，他);

③將函數(shù)兀0的各極值與式0,式6)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.

(2)求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值的一般步驟：

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求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調(diào)性，并通過單調(diào)性和

極值情況，畫出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值.

【知識點4導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用】

1.導(dǎo)數(shù)中的函數(shù)零點(方程根)問題

利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的零點(方程的根)主要有兩種方法：

(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)兀0的最值，轉(zhuǎn)化為八x)圖象與x軸的交點問題，主要是應(yīng)用分類討論思想解決.

(2)分離參變量，即由y(x)=O分離參變量，得a=g(尤)，研究y=a與y=g(x)圖象的交點問題.

2.導(dǎo)數(shù)中的不等式證明

(1)一般地，要證y(x)>g(x)在區(qū)間(。，6)上成立，需構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=A尤)一g(x),通過分析F(x)在端點

處的函數(shù)值來證明不等式.若F(a)=O,只需證明尸(功在(a,6)上單調(diào)遞增即可；若/(b)=0,只需證明F(x)

在(a,b)上單調(diào)遞減即可.

(2)在證明不等式中，若無法轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)的最值問題，可考慮轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值問題.

3.導(dǎo)數(shù)中的恒成立、存在性問題

解決不等式恒(能)成立問題有兩種思路：

(1)分離參數(shù)法解決恒(能)成立問題，根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另

一端是變量表達式的不等式，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，即可解決問題.

(2)分類討論法解決恒(能)成立問題，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，此類問題關(guān)鍵是對參數(shù)進行分

類討論，在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最值，并判斷是否滿足題意，據(jù)此進行求解即可.

4.導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題

破解雙參數(shù)不等式的方法：

一是轉(zhuǎn)化，即由己知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的

不等式；

二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；

三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果.

5.極值點偏移的相關(guān)概念

所謂極值點偏移，是指對于單極值函數(shù)，由于函數(shù)極值點左右的增減速度不同，使得函數(shù)圖像沒有對

稱性.

極值點偏移的定義：對于函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(。力)內(nèi)只有一個極值點方程/(%)的解分別為

再、x2,且a<X]</<b.

(1)若生產(chǎn)wX。,則稱函數(shù)y=/(X)在區(qū)間(玉,々)上極值點X。偏移；

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(2)若與迤>X°,則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(芯,々)上極值點X。左偏，簡稱極值點X。左偏;

(3)若與<x0,則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(%,兀2)上極值點與右偏，簡稱極值點與右偏.

?舉一反三

【題型1函數(shù)的切線問題】

【例1】(2023?河南?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(%)=a(ex-1)-In%.

(1)當Q=1時，求/(%)的圖象在點(1,f(1))處的切線方程；

(2)當a>1時，證明：/(%)>sin%.

【變式1-1](2023?四川雅安?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(%)=aex+bx+c在%=ln2時有極小值.曲線y=/(%)在

點(0/(0))處的切線方程為％+y=0.

(1)求a,b,c的值；

(2)若對任意實數(shù)%,/(%)>(e-2)%+m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

【變式1-2](2023?廣東?東莞市校聯(lián)考一模)函數(shù)/(久)=|+Inx在x=4處的切線方程為y=

⑴求h(%);

(2)已知:<a<1,過(a,b)可作/(%)的三條切線，證明：/i(a)<b</(a).

【變式1-3](2023?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=alnx—一1)/一2%++1.

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(1)當a=4時，求f(x)的極值及曲線y=f(x)在點(1)(1))處的切線方程;

(2)若函數(shù)/(X)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍.

【題型2(含參)函數(shù)的單調(diào)性問題】

[例2](2023?海南?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=xlnx-ax2.

(1)當a=l時，討論函數(shù)/Xx)的單調(diào)性；

(2)若不等式/'(%)>aex+(1-a)x2-x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【變式2-1](2023?黑龍江?校聯(lián)考模擬預(yù)測)己知函數(shù)/Q)=xeX,xeR.

⑴求函數(shù)/。)=單調(diào)區(qū)間；

(2)若過點P(l,t)(teR)可以作曲線y=f(x)的3條切線，求實數(shù)t的取值范圍.

【變式2-2](2023?四川成都?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/⑺=2eX—ax,aeR.

⑴討論函數(shù)/(久)的單調(diào)性；

(2)當a=e時，求證：/(x)>e(l—cosx).

【變式2-3](2023?河北邢臺?寧晉中學(xué)校考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/O)=a(a+eT)-1(a是非零常數(shù)，e

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為自然對數(shù)的底數(shù))

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)當a>0時，若/■(久)-1N/在R上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【題型3函數(shù)的極值、最值問題】

[例3](2023?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/'(%)=xlnx+(t—1)(%—t)(tGR).

(1)當t=。時，討論函數(shù)/(x)的極值；

(2)若F(x)=/(久)一捺有兩個不同的極值點，求f的取值范圍.

【變式3-1](2023?陜西西安?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知奇函數(shù)/(￡)=ax3+bx2+ex在x=1處取得極大值2.

(1)求/(%)的解析式；

(2)求/(%)在[-4,3]上的最值.

【變式3-2](2023?寧夏固原,寧夏回族自治區(qū)西吉中學(xué)校考模擬預(yù)測)已知實數(shù)。>0,函數(shù)/(%)=%lna-

alnx+(x-e)2,e是自然對數(shù)的底數(shù).

(1)當a=e時，求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求證：/(%)存在極值點%(),并求出的最小值.

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【變式3-3](2023?吉林長春?東北師大附中校考二模)已知函數(shù)/(%)=mxe~x+%—lnx(mER).

⑴討論函數(shù)f(%)的極值點個數(shù)；

(2)若>0,/(%)的最小值是1+Inm,求實數(shù)m的取值范圍.

【題型4函數(shù)零點(方程根)問題】

【例4】(2023?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)=2x+警+a.

(1)當a=1時，求曲線f(x)在點(1,/(1))處的切線方程.

(2)若f(x)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍.

【變式4-1](2023?廣東廣州?廣東廣雅中學(xué)校考二模)已知函數(shù)/(x)=lnx+(—l.

⑴求函數(shù)/(%)的最小值；

(2)若g(%)=x2[/(x)+1-a]-%4-a,求函數(shù)g(%)的零點個數(shù).

【變式4-2](2023?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=x+1—alnx.

⑴判斷函數(shù)/(%)的單調(diào)性.

(2)若/(%)=1有兩個不相等的實根%1，%2，且%1<%2，求證：%i+%2>a?

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【變式4-3](2023?廣西?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=21n(%+1)+—2%+nt有三個零點，mER.

(1)求的取值范圍；

(2)記三個零點為且％1V型<%3，證明：x3-xr<2.

【題型5不等式的證明】

【例5】(2023?四川成都?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(%)=2e%—e%.

⑴求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求證：/(%)>e(lnx+cosx).

【變式5-1](2023?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=%—?nln%(7neR).

(1)討論/(%)的單調(diào)性；

(2)若存在不相等的實數(shù)久1，%2，使得f(%1)=/(%2)，證明：0V租<+%2?

【變式5-2](2023?四川成都?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)/(%)=e%-asin%(a>0),曲線y=/(%)在(0,/(0))處的

切線也與曲線y=2x--相切.

⑴求實數(shù)。的值；

(2)若%1是/(%)的最大的極小值點，汽2是/(%)的最大的極大值點，求證：2V/(%1)+/(%2)〈杵M

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【變式5-3](2023?河南新鄉(xiāng)?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(%)=xlnx-mx2-1.

⑴當m>|時，討論/⑺在(0,+8)上的單調(diào)性；

(2)已知刀1，尤2是/'(X)的兩個零點，證明：%1%2>V6e2.

【題型6利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題】

【例6】(2023?四川內(nèi)江?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(%)=，/—inx.

(1)當a=l時，求/(%)的極值;

(2)若不等式f(x)2x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【變式6-1](2023?全國?模擬預(yù)測)已知/(久)=ae》+ln(x+1),a為任意實數(shù).

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)令a=2,對V久>0,均有/(x)>kx+2恒成立，求k的取值范圍.

【變式6-2](2023?云南紅河?統(tǒng)考一模)己知函數(shù)/(*)=mx-Inx-l(m6R).

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若關(guān)于x的不等式e^T+alnx一(a+l)x+a>。恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

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【變式6-3](2023?安徽?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)八乃=ae，—e-L(aGR).

(1)若f(x)為偶函數(shù)，求此時f(x)在點(0,/(0))處的切線方程；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)-(a+l)x,且存在久2分別為的極大值點和極小值點.

(i)求實數(shù)a的取值范圍；

(ii)若a6(0,1),且gOi)+kg(>2)>0，求實數(shù)k的取值范圍.

【題型7利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題】

【例7】(2023?寧夏銀川?校考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(*)=fcx-ln(l+x)(k>0).

(1)當k=1時，求曲線y=〃久)在點(0)(0))處的切線方程；

(2)如果存在X。e(0,+8),使得當xe(O,%o)時，恒有/(久)</成立，求k的取值范圍.

【變式7-1](2023?河北?模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(%)=(e—a)e*+x(aeR).

⑴討論函數(shù)/(久)的單調(diào)性；

(2)若存在實數(shù)a,使得關(guān)于x的不等式/(“)<2a恒成立，求實數(shù)4的取值范圍.

【變式7-2](2023?河南鄭州?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知/(x)=(x-a—l)ex-|ax2+a2x—1.(a6R)

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

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(2)若a=-l,且存在xe(0,+8),使得/(x)WInx+"2+伯+1)%，求b的取值范圍.

【變式7-3](2023?北京海淀?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(久)=eax-x.

(1)當a=1時，求曲線y=/(久)在點(0,f(0))處的切線方程；

(2)求/'(X)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若存在的,久2e[-1,1],使得f(Xi)?f(%2)29,求。的取值范圍.

【題型8雙變量問題】

[例8](2023?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(久)=(x+t)ln(x+t)+(t—l)x(teR).

(1)當t=0時，討論函數(shù)f(x)的極值；

(2)已知尸(x)=f(x)-e*,函數(shù)F(x)存在兩個極值點比1，x2>證明：+x2<0.

【變式8-1](2023?四川自貢?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)7"(x)=aeX-%2有兩個極值點修、型.

(1)求a的取值范圍；

(2)若g>3久1時，不等式K1+AX2>2占%2恒成立，求義的最小值.

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【變式8-2](2023?河南?校聯(lián)考二模)已知函數(shù)/(%)=|mx2+(m—l)x—lnx(mER),g(%)=%2—+1.

⑴討論/(%)的單調(diào)性；

(2)當>0時，若對于任意的%ie(0,+8),總存在%2e[1,+8),使得f(%i)>g(%2)，求血的取值范圍.

【變式8-3](2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=高+ln%-其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)當a=1時，求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)g(%)=/(%)-嗅有兩個零點第1，%2(%1<%2)，證明：與?&>e2.

【題型9導(dǎo)數(shù)中的極值點偏移問題】

[例9](2023?貴州畢節(jié)?校考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=(2%+a)\nx-3(%-d),a>0.

(1)當％>1時，/(%)>0,求a的取值范圍.

1

(2)若函數(shù)/(X)有兩個極值點X1,久2，證明：%1+%2>2e~.

【變式9-1](2023?四川綿陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/O)=xlnx--x+a(aGR)在其定義域內(nèi)有兩

個不同的極值點.

(1)求a的取值范圍；

1+A

(2)記兩個極值點為與,K2，且與<x2.若4N1,證明：e<久1?%2.

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【變式9-2](2023?江西景德鎮(zhèn)?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=>+i)，inx)

(1)若函數(shù)/(x)在定義域上單調(diào)遞增，求a的最大值；

(2)若函數(shù)/(%)在定義域上有兩個極值點%1和%2，若%2>%i，A=e(e-2),求尢r1+外的最小值?

【變式9-3](2023?浙江紹興?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)=/0nx-ga),a為實數(shù).

(1)求函數(shù)八%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)/(%)在第=e處取得極值，/'(%)是函數(shù)/(%)的導(dǎo)函數(shù)，且f'Oi)=/(%2)，第1V%2,證明：2V勺+

%2Ve

【題型10導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合問題】

【例10】(2023?四川雅安?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)f(%)=ax3+2sinx—xcosx.

(1)若a=0,判斷/0)在(—^9上的單調(diào)性，并說明理由；

(2)當a>0,探究f(x)在(0,兀)上的極值點個數(shù).

【變式10-1](2023?四川成都?成都七中校考一模)設(shè)函數(shù)F(x)=(1—Qcosx+2cosa—膽厘絲，其中ae

X—CL

嗚

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⑴若2=1,討論尸⑺在(a,以上的單調(diào)性；

(2)當久e(a,9時，不等式F0)<0恒成立，求實數(shù)4的取值范圍.

【變式10-2】(2023?四川雅安?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)f(x)=a*3+2sin比—xcosx(其中a為實數(shù)).

(1)若a=-之,久€(0,；),證明：f(x)>0；

⑵探究/(久)在上的極值點個數(shù).

【變式10-3](2023?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)=ex(cosx+V2)-(%+l)sinx,其中e是自然對數(shù)的底

數(shù).

(1)求函數(shù)的圖象在點(0,/(0))處的切線方程；

(2)若x>—1,求證：/(%)>0.

【題型11導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式的綜合問題】

【例11](2023.山東濟南.校考模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù)〃>)=*(%>—1),己知/(?>1恒成立.

(1)求實數(shù)爪的值；

⑵若數(shù)列｛時｝滿足與+1=111/(廝)，且的=1—ln2,證明：|ea"-1|<(1)n.

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【變式11-1】(2023?海南?海口校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)與=In尤—電

x+lX+1

(1)若函數(shù)/(%)在[1,+8)上只有一個零點，求a的取值范圍；

'-,n=1

2

(2)若%l=\I，記數(shù)列｛。九｝的前幾項和為立,證明：2Sn<ln(n+3n+2).

5+I

【變式11-2】(2023?重慶沙坪壩?重慶八中校考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=『.

(1)證明:當％<0時，/(%)<1；當％>0時，/(%)>1.

Xn+1

(2)正項數(shù)列｛&｝滿足:e=/(xn),x±=1,證明：

(i)數(shù)列｛%｝遞減；

(ii)￡憶1陽之2

23n

【變式11-3】(2023?上海浦東新?華師大二附中校考模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù)加(x)=—1+工+會+段+…+嘉

(1)求函數(shù)月(久)在點(1房(1))處的切線方程；

(2)證明:對每個neN*,存在唯一的久幾e[|,1],滿足/(xn)=0；

(3)證明:對于任意PeN*,由(2)中外構(gòu)成的數(shù)列｛久n｝滿足0<-久n+p<；.

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?直擊真題

1.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)f(x)=G+a)ln(l+x).

(1)當a=-1時，求曲線y=/(%)在點處的切線方程.

(2)若函數(shù)/(%)在(0,+8)單調(diào)遞增，求a的取值范圍.

2.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)懸,%￡(0.

(1)當a=1時，討論/(%)的單調(diào)性;

(2)若f(%)+sinx<0,求a的取值范圍.

3.(2023?北京?統(tǒng)考高考真題)設(shè)函數(shù)/(%)=%-％303+匕，曲線y=/(%)在點(1/(1))處的切線方程為丫=

—X+1.

(1)求Q,b的值；

(2)設(shè)函數(shù)g(%)=廣(%),求g(%)的單調(diào)區(qū)間;

(3)求/(%)的極值點個數(shù).

4.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)〃久)=G+a)ln(l+x).

(1)當a=-1時，求曲線y=f(久)在點處的切線方程；

(2)是否存在a,b,使得曲線丫=/G)關(guān)于直線x=b對稱，若存在，求a,b的值，若不存在，說明理由.

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(3)若外久)在(0,+8)存在極值，求。的取值范圍.

5.(2023?天津?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)f(x)=g+j)ln(x+l).

(1)求曲線y=/(%)在％=2處切線的斜率；

(2)當％〉0時，證明：/(%)>1；

(3)證明：|<ln(n!)_+|)ln(n)+n<1.

6.(2023?全國統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(%)=a(e%+a)—%.

(1)討論f(%)的單調(diào)性;

(2)證明：當a>0時，/(%)>21na+1.

7.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)(1)證明：當0<%<1時，x—x2<sinx<x；

(2)已知函數(shù)/(%)=cosa%-ln(l-若％=0是/(%)的極大值點，求。的取值范圍.

8.(2022?天津?統(tǒng)考高考真題)已知a,bER,函數(shù)/(%)=靖—asin%,g(%)=力日

⑴求函數(shù)y=/(%)在(0/(0))處的切線方程；

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(2)若y=/(%)和y=g(%)有公共點,

(i)當。=0時，求b的取值范圍；

(ii)求證：M+廬〉e.

9.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)f(x)=ax-1―(a+l)lnx.

(1)當a=0時，求/(%)的最大值；

⑵若/(%)恰有一個零點，求a的取值范圍.

10.(2022.北京?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)"%)=e%ln(l+%).

(1)求曲線y=/(%)在點(0,/(0))處的切線方程；

(2)設(shè)g(%)=尸(%),討論函數(shù)g(%)在［0,+8)上的單調(diào)性；

(3)證明:對任意的s3E(0,+8),有/(s+t)>/(s)+/Q

11.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(%)=：-In%+%-a.

(1)若f(%)N0,求。的取值范圍；

(2)證明:若f(%)有兩個零點%則久1%2VL

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12.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/'(久)=ex—ax和g(x)=ax-Inx有相同的最小值.

⑴求a；

(2)證明：存在直線y=6,其與兩條曲線y=/(久)和y=g(x)共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交

點的橫坐標成等差數(shù)列.

參考答案

?舉一反三

【題型1函數(shù)的切線問題】

【例1】(2023?河南?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(%)=a(ex-1)-In%.

(1)當。=1時，求/(%)的圖象在點(1廳(1))處的切線方程；

(2)當a>1時，證明：/(%)>sin%.

【解題思路】(1)分別求出再利用直線的點斜式方程即可求解；

(2)利用作差法并構(gòu)造函數(shù)g(%)=e%-1一In%-sin%,并利用二次導(dǎo)數(shù)求出g(%)min>。恒成立，即可求

解.

【解答過程】(1)當。=1時，/(x)=ex-1-Inx,則尸(%)=/-q

所以尸(l)=e—l,又因為/(l)=e—l,

故所求切線方程為y-(e-1)=(e-1)(%-1),即y=(e-l)x.

(2)因為f(%)的定義域是(0,+8),

所以當a>1時，/(x)—sinx=a(ex—1)—In%—sinx>ex-1—Inx—sinx

設(shè)9(%)=ex—1—Inx—sinx,則g'(%)=ex——cos%,

設(shè)九(%)=g'(%)=ex——cos%,則//(%)=e%+妥+sinx>0在(0,+8)上恒成立，

所以九(%)在(0,+8)上是增函數(shù)，則九?=es—3—cos|<0,

又因為h0=M—￡—sin：,因為e71>2.73>16=23所以e2>2,

又因為士+sin^v士+絲4L984V2,所以h償)>0,

TT43.142\47

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所以h(x)在G，g上存在唯一零點Xo，也是％(X)在(0,+8)上的唯一零點,

所以/i(%o)=ex°———cos%=0,BPex°=—+cosx,

x0xo00

當0<%<而時，grM<0,g(%)在(0,g)上單調(diào)遞減,

當%>%o時，“(%)>0,g(%)在(久°,+8)上單調(diào)遞增，

x

所以g(%)min=9(%o)—e°—lnx0—1—sinx0=—+cosx0—lnx0—1—sinx0

由于0<&V工，所以三>1,lnx0<0,cosx0>sinx0,

4XQ

所以g(%)min=g(、o)>o，所以g(%)>o,

所以當a>1時,/(x)—sin%>0,即/(%)>sin%成立.

【變式1-1](2023?四川雅安?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(%)=aex+bx+c在%=ln2時有極小值.曲線y=/(%)在

點(0，/(。))處的切線方程為汽+y=0.

(1)求見仇c的值；

(2)若對任意實數(shù)%,/(%)>(e-2)%+6恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

【解題思路】(1)對函數(shù)求導(dǎo)，利用在久=比2時有極小值和在點(0,/(0))處的切線方程，即可求出a,仇c的

值；

(2)將函數(shù)代入不等式并分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化成e%-ex-1>僧對任意實數(shù)久恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)g(%)=留-

ex-l(%E/?),通過討論新函數(shù)的單調(diào)性，求出新函數(shù)的取值范圍，進而得出實數(shù)m的取值范圍.

【解答過程】(1)由題意，XER,

在/(%)=ae*+b%+c中，((%)=aex+b,

在％=ln2時有極小值.曲線y=/(久)在點(0,/(0))處的切線方程為％+y=0.

(/(0)=。a+c=0a=1

"'(0)=—1即a+》=—1,b=-2

tf(ln2)=0(2a+b=0、c=-1

:./(%)=ex—2%—1,/'(%)=ex—2,

當%>ln2時，/'(%)>0,/(%)在(ln2,+8)上單調(diào)遞增.

當x<ln2時,/'(%)<0)(<在(一8,ln2)上單調(diào)遞減.

當％=ln2時，/'(%)=0)(%)在%=ln2時有極小值.

故a=l,b=—2,c=-1符合題意，即為所求.

(2)由題意及(1)得，xER,

在/(%)=ae，+b%+c中，/(%)>(e—2)x+m,即e*—ex—1>ni對任意實數(shù)%恒成立,

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設(shè)g(%)=ex-ex—1(%GR),則“(%)=ex-e.

當久>1時，ex-e>0,貝！]“(%)>0,故g(%)在(1,+8)上單調(diào)遞增；

當久<1時，ex-e<0,貝！Jg'O)<0,故g(x)在(一8,1)上單調(diào)遞減；

當％=1時，ex—e=0,則"(%)=0,

故第=1時g(x)有極小值，也就是g(%)的最小值g(l)=-1,

故m<-1即為所求.

【變式1-2](2023?廣東?東莞市校聯(lián)考一模)函數(shù)f(x)=|+Inx在x=4處的切線方程為y=h(x).

⑴求八(久)；

(2)已知過(a,6)可作/(久)的三條切線，證明：h(a)<b</(a).

【解題思路】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；

(2)先求出過(a,b)的切線方程，根據(jù)過(a,b)可作三條切線，得到所證不等式.

【解答過程】⑴f(x)的定義域(0,+8),尸(%)=_/+"號,

所以r(4)=工，且f(4)=2+In4=^+21n2,

則/(%)在久=4處的切線方程為y-i-21n2=久久一4),

即h(%)=，％+21n2.

(2)設(shè)切點QG，|+lnt),又/?)=詈

則切線方程為y-(|+1nt)=(%—t),

又過點(a,b),

所以b-+Int)=詈(a—t),

即b=(|+In。+詈(a-t),

即b=；+Int+a-1，

令g(t)=(+Int+~ra-LtW(0,+8),

則"(t)=/+"*，

4ty一t+4產(chǎn)一(4+ct)t+4a

=T+F-l-------o-CL=----------------

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_(I)仕一a)

一t3，

因為te(0,+8),且：<a<l,所以g(t)在區(qū)間(0,a)單調(diào)遞增，在區(qū)間(a,4)單調(diào)遞減，在區(qū)間(4,+8)單

調(diào)遞增，

且g(e-5)=4e5—5+~—^a—1=e5(4+a—2ae5)—6<0<g(4)=：+ln4+-1=g+21n2,

力趨向+8時g(t)趨向于+8.

又因為過(a,b)可作/(%)的三條切線，所以b與g(t)有三個公共點,

所以g(4)<b<g(a),

又g(4)=2+ln4+=a—1=2+21n2>0,

4168

根據(jù)(1)/i(x)=-x+21n2,所以(4)=-+21n2=/i(a),

88

又g(a)=—+InaH—a—1=~+Inn:=f(n),

所以h(a)<b</(a).

【變式1-3](2023?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=alnx-([a—1)/一2x++1.

(1)當a=4時，求/(x)的極值及曲線y=/O)在點(1)(1))處的切線方程；

(2)若函數(shù)/(%)有兩個零點，求實數(shù)。的取值范圍.

【解題思路】(1)求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，計算極值，再計算切線方程得到答案.

(2)求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，確定/''(1)=0,考慮a22,1<a<2,a=1,0<a<1,aW0幾種情況，根據(jù)

函數(shù)的極值結(jié)合零點存在定理計算得到答案.

【解答過程】(1)當a=4時，/(x)=41nx—x2—2x+3,xG(0,+oo),

則尸(x)=i-2x-2=-2(X-：)(X+2),

令尸(%)>0,得0<x<1；令尸(x)<0,得x>l,

/(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

故f(x)在x=1處取得極大值f(l)=0,無極小值，

/(1)=0,r(1)=0,故曲線y=/(x)在點(1,/(1))處的切線方程為y=0.

(2)尸(%)=^-(a-2)x-2=G(0,+oo),-1)-2+|a+1=0,/'(l)=

0.

①當a>2時，（2—a）x—a<0,

第21頁共91頁

當0<%<1時，/'(%)>0,/(%)單調(diào)遞增；

當%>1.時,廣(%)<0,/(%)單調(diào)遞減，

所以/(%)</(1)=0,則/(第)只有一個零點，不符合題意，舍去.

②當1<a<2時，上>1,r(X)=-a)(T)=),

2—ax

令/(%)>0,得X6(0,1)U(三^,+8);令廣(%)<0,得XE

所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,七)上單調(diào)遞減，在(士,+8)上單調(diào)遞增.

因為f(1)=0,所以f(士)<0,取久1>1且%>匕，

貝(If(X】)—alnX]一(act一])一2x1+&a+l—|(1——a)一21x1+alnx1+鼻a+1>[(1——a)—---

%1i+dlnx+-a+11=dlnx+-a+1>0,

111

所以「(E)"(/)<o.因為/(%)在(￡,+8)上單調(diào)遞增，

所以由零點存在定理，得存在唯一與e(士,+8),使得f(%o)=o,

又f(i)=o,此時，函數(shù)久支)有兩個零點，符合題意.

③當a=1時，/(x)=巨F>0,/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

則f(x)只有一個零點，不符合題意，舍去.

④當0<a<l時，0<，-<1,f鼠x)=Qa)、F)(xT),

2-a)x

令尸(x)>0,得xe(0,士)u(l,+8)；令/(x)<0,得

所以f(x)在(0,士)上單調(diào)遞增，在(士,1)上單調(diào)遞減，在(L+8)上單調(diào)遞增.

因為f(l)=0,所以/((J>o,且當％>1時，f(x)>0,無零點，

--

取0<x2<eF且久2<f(ef=alnea-(2a-1)(ef—2e?+|a+l<—2+1—|a—2e~a+

—a+1

2

_2

=—2e-a<0,

則/(犯)<0,所以/3)"(￡)<0.因為/0)在(o，E)上單調(diào)遞增，

所以由零點存在定理，可得存在唯一叼e(0,￡)，使得f(%3)=。，

第22頁共91頁

又/(1)=0,此時，函數(shù)f(x)有兩個零點，符合題意.

⑤當a<0時，(2—a)(%—7^)>0，

當0<%Vl時，型(%)V0,/(%)單調(diào)遞減;

當％>1時,//(%)>0,/(%)單調(diào)遞增，

所以/(%)之/(1)=0,則/(%)只有一個零點，不符合題意，舍去.

綜上所述：實數(shù)a的取值范圍為(0,1)U(l,2).

【題型2(含參)函數(shù)的單調(diào)性問題】

【例2】(2023?海南?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=x\nx-ax2.

(1)當a=1時，討論函數(shù)f(%)的單調(diào)性；

(2)若不等式/(%)>aex+(1-a)x2一%恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【解題思路】(1)當a=1時，對/(%)求導(dǎo)，令m(%)=/'(%)=Inx+1—2x,x>0,討論W(%)與0的大小可

得即尸(%)V0,即可得出函數(shù)/*(%)的單調(diào)性;

(2)由題意可得。<"nq+'在(0,+8)上恒成立,設(shè)九(%)=汨+",%e(0,4-00),只需Q</l(x)min,求

解即可得出答案.

【解答過程】(1)當a=l時，/(%)=xlnx—x2,x>0,所以((%)=In%+1—2%,

令m(%)=/'(%)=Inx+1—2x,x>0,

可得nfQ)=(-2=詈，

當工€(0，)時，m'(%)>0,TH(%)單調(diào)遞增；

當汽G(日,+8)時，m'^x)<O,rn(x)單調(diào)遞減，

所以當％=決寸，m(%)取得極大值，也為最大值，且=嗚+1-1=ln|<0,

所以/(%)<0,所以/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

(2)由/(%)>aex+(1—a)x2—x,得ae*<xlnx—%2+%,

即。<小舍在8)上恒成立.

ex

令&q*,xe(o,+8),可得"(x)="盧也，

ee

令夕(%)=x—2—Inx,可得"(%)=1—^=

令(p'(x)>0,可得久>1；

第23頁共91頁

令"(%)<0,可得0<%<1,

所以9(%)在(0,1)單調(diào)遞減，在(1,+8)單調(diào)遞增,

又@(e-3)=e-3—2—Ine-3=e-3+1>0,

(Z?(l)=l-2-lnl=-l<0/

0(4)=4—2—ln4=2-21n2>0,

所以在(ei3,1)中存在唯一的%1使得0(%i)=0,

在(L4)中存在唯一的犯使得0(%2)=0,

即有％1—2—lnx1=0,x2—2—lnx2=。.

因為9(%)在(0,1)單調(diào)遞減，在(1,+8)單調(diào)遞增,

所以當0<%V%i時，@(%)>0；當％1<%<1時，(/?(%)<0；

當1V%<%2時，0(%)<0；當%>%2時，0(%)>0.

(x-l)(x-2-lnx)

又八'(X)=空照2x〉o,

一ex

所以當0<x<%］時，九'(工)<0；當<x<1時，九'(%)>0；

當1<%<x2時，h'(x)<0;當x>%2時，h'(x)>0,

所以h(x)在(O,X1)單調(diào)遞減，在(均,1)單調(diào)遞增,

在(1,叼)單調(diào)遞減，在(電,+8)單調(diào)遞增,

所以xe(0,1)時，h(x)的極小值為

x1lnx1一好+

九區(qū))=e%i

xE(1,+8)時，九(久)的極小值為

xlnx一據(jù)+%2

心2)=22

eX2

因為％1—2—In%!=0,x2—2—lnx2=。，

可得％1—In%1=2,%2一1n%2=2,所以e%ITn%i=e2fex2-lnx2=已2,

即也e%2_e2,所以言=^=e-2

X1X2

代入In/=/-2和ln%2=x2-2,

xx-2-x

則有h(%i)=i(i)i+xi_xi

同理可得h(%2)=-e-2

所以九(%1)=九(%2)，

第24頁共91頁

所以％COmin=-e-2=-9，

所以a<—己，即實數(shù)a的取值范圍為(—8,—

【變式2-1](2023?黑龍江?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(久)=xe，,x6R.

(1)求函數(shù)/(久)=久於單調(diào)區(qū)間；

(2)若過點P(l,t)(teR)可以作曲線y=f(x)的3條切線，求實數(shù)t的取值范圍.

【解題思路】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解不等式，即可求得函數(shù)單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)切點坐標為(Xo，M))，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，推出方程t=e&(-/+x°+1)有三個不

等實數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)，將方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)、=。,=眇。(-就+殉+1)圖像的交點問題，利用導(dǎo)數(shù)

判斷函數(shù)的性質(zhì)，作出函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合，即可求解.

【解答過程】(1)函數(shù)/'(x)的定義域為R,f'(x)=ex+xex=ez(x+1),

令尸(久)>0,解得x>-l,所以函數(shù)人支)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一1,+8)；

令/(x)<0,解得％<-1,所以函數(shù)/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間是(—8,-1)

(2)由題意可得葉(x)=G+l)e%

設(shè)切點坐標為(久o,%)，則切線斜率k=(x0+1)?眇。，

Xo

所以切線方程為y-久06&=(x0+1)-e(x-x0),

x

將P(l,t)代入得t=e°(-%o+x0+1)-

因為存在三條切線，即方程t=留。(-就+%0+1)有三個不等實數(shù)根，

xx

方程t=e°(-%o+x0+1)有三個不等實數(shù)根等價于函數(shù)y=t,y=e°(-%Q+x0+1)的圖像有三個交點，

設(shè)g(x)=(-x2+x+l)ez,則g'(x)=-(x-1)(%+2)ex,

當x￡(一2,1)時，g'M>0,g(x)在(―2,1)上單調(diào)遞增；

在(一8,-2)和(1,+8)上，g，(久)<0,gO)在(-8,-2)和(1,+8)上單調(diào)遞減，

9(-2)=-5，g⑴=e；

當X<三更或刀>苫^時，g(x)<0,與畫<久<時，g{x~)>0,

當-8時，g(x)70；當x—+8時，g(%)--8,

畫出g(x)=(-x2+x+l)e*的圖象如圖，

第25頁共91頁

要使函數(shù)y=t,y=ex°(-%o+%o+1)的圖像有三個交點，需g(2)<t<0,

即—即實數(shù)t的取值范圍(—go).

ez\ez/

【變式2-2](2023?四川成都?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)f(x)=2eX—a；c,aeR

⑴討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)當a=e時，求證：/(%)>e(l—cosx).

【解題思路】(1)求導(dǎo)，然后分aW0和a>0討論分別求單調(diào)性；

(2)當久<0時，通過證明x+1—cosx<0可得結(jié)論；當x>0時，轉(zhuǎn)化為證明2e*T—2x>1—cosx—x,

不等式兩邊分別構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)最值即可得結(jié)論.

【解答過程】(1)由已知尸0)=2e，—a,

當aW0時，/(x)>0恒成立，函數(shù)/'(%)在R上單調(diào)遞增；

當a>0時，若尸(x)>0,得x>嗚，函數(shù)/(%)單調(diào)遞增，

若尸(久)<0,得x<ln|,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；

綜上所述：當aWO,函數(shù)/O)在R上單調(diào)遞增，

當a>0時，函數(shù)f(x)在。吟+8)單調(diào)遞增，在(-8,嗚)單調(diào)遞減；

(2)由。=e,f(x)>e(l—cosx)得2e“—ex>e(l—cosx),

即證2e%T>%+1—cosx,

①當》<0時，設(shè)函數(shù)k(久)=%+1—cosx,

則/(%)=1+sinx>0,/c(%)在(―8,0]上單調(diào)遞增,

所以k(%)<fc(0)=0

所以2e%—i>0>%+1—cos%成立；

②當?shù)?gt;0時，要證2e*T>x4-1—cos%成立，

即證2e*T—2%>1—cosx—x

設(shè)函數(shù)九(%)=2ex~1—2x,x>0,

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則(%)=2ex-1—2,

當血(久)VO時,0<%<1,函數(shù)八(%)單調(diào)遞減,

當"(%)>0時，%>1,函數(shù)h(%)單調(diào)遞增，

所以M%)>h(l)=2e0-2=0,即2e%T-2x>0,

設(shè)g(x)=1—cosx—x,%>0

則g'(%)=sin%-1<0,g(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

所以g(%)