第二章第二節(jié)函數(shù)的定義域和值域題組一函數(shù)的定義域問題1.(文)(2009·江西高考)函數(shù)y＝eq\f(\r(－x2－3x＋4),x)的定義域?yàn)?)A.[－4,1]B.[－4,0)C.(0,1]D.[－4,0)∪(0,1]解析：求y＝eq\f(\r(－x2－3x＋4),x)的定義域，即?[－4,0)∪(0,1].答案：D(理)(2009·江西高考)函數(shù)y＝eq\f(ln(x＋1),\r(－x2－3x＋4))的定義域?yàn)?)A.(－4，－1)B.(－4,1)C.(－1,1)D.(－1,1]解析：定義域?－1＜x＜1.答案：Cy＝eq\f(mx－1,mx2＋4mx＋3)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.(0，eq\f(3,4))B.(－∞，0)∪(0，＋∞)C.(－∞，0]∪[eq\f(3,4)，＋∞)D.[0，eq\f(3,4))解析：依題意，函數(shù)的定義域?yàn)镽，即mx2＋4mx＋3≠0恒成立.①當(dāng)m＝0時(shí)，得3≠0，故m＝0適合，可排除A、B.②當(dāng)m≠0時(shí)，16m2－得0<m<eq\f(3,4)，綜上可知0≤m<eq\f(3,4)，排除C.答案：Df(x)的定義域是[0,1]，則f(x＋a)·f(x－a)(0＜a＜eq\f(1,2))的定義域是.解析：∵f(x)的定義域?yàn)閇0,1]，∴要使f(x＋a)·f(x－a)有意義，須且0<a<eq\f(1,2)，a<1－a，∴a≤x≤1－a.答案：[a,1－a]題組二函數(shù)的值域問題f(x)＝(a2－2a－3)x2＋(a－3)x＋1的定義域和值域都為R，則aA.a＝－1或3B.a＝－1C.a>3或a<－1D.－1<a<3解析：若a2－2a－3≠0，則函數(shù)為二次函數(shù)，不可能定義域和值域都為R，當(dāng)a2－2a－3＝0時(shí)，得a＝－1或3，但當(dāng)a＝3時(shí)，函數(shù)為常數(shù)函數(shù)，也不可能定義域和值域都為R，故答案：By＝f(x)的值域是[eq\f(1,2)，3]，則函數(shù)F(x)＝f(x)＋eq\f(1,f(x))的值域是A.[eq\f(1,2)，3]B.[2，eq\f(10,3)]C.[eq\f(5,2)，eq\f(10,3)]D.[3，eq\f(10,3)]解析：令t＝f(x)，則eq\f(1,2)≤t≤3，由函數(shù)g(t)＝t＋eq\f(1,t)在區(qū)間[eq\f(1,2)，1]上是減函數(shù)，在[1,3]上是增函數(shù)，則g(eq\f(1,2))＝eq\f(5,2)，g(1)＝2，g(3)＝eq\f(10,3)，故值域?yàn)閇2，eq\f(10,3)].答案：Ba，b∈R，記max{a，b}＝.函數(shù)f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是()A.0B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,2)解析：函數(shù)f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的圖象如圖所示，由圖象可得，其最小值為eq\f(3,2).答案：C7.(2010·珠海模擬)若函數(shù)y＝f(x)的值域是[1,3]，則函數(shù)F(x)＝1－2f(x＋3)的值域是解析：∵1≤f(x)≤3，∴－6≤－2f(x∴－5≤1－2f(x即F(x)的值域?yàn)閇－5,1].答案：[－5,1]8.分別求下列函數(shù)的值域：(1)y＝eq\f(2x＋1,x－3)；(2)y＝－x2＋2x(x∈[0,3])；(3)y＝x＋eq\r(1－x2)；(4)y＝eq\f(1－2x,1＋2x).解：(1)分離變量法將原函數(shù)變形為y＝eq\f(2x－6＋7,x－3)＝2＋eq\f(7,x－3).∵x≠3，∴eq\f(7,x－3)≠0.∴y≠2，即函數(shù)值域?yàn)閧y|y∈R且y≠2}.(2)配方法∵y＝－(x－1)2＋1，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得原函數(shù)的值域是[－3,1].(3)換元法先考慮函數(shù)定義域，由1－x2≥0，得－1≤x≤1，設(shè)x＝cosθ(θ∈[0，π])，則y＝sinθ＋cosθ＝eq\r(2)sin(θ＋eq\f(π,4))，易知當(dāng)θ＝eq\f(π,4)時(shí)，y取最大值為eq\r(2)，當(dāng)θ＝π時(shí)，y取最小值為－1，∴原函數(shù)的值域是[－1，eq\r(2)].(4)分離常數(shù)法y＝∵1＋2x＞1，∴0＜＜2，∴－1＜－1＋＜1，∴所求值域?yàn)?－1,1).題組三函數(shù)定義域和值域的綜合問題9.(2010·福建“四地六?！甭?lián)考)設(shè)集合A＝[0，eq\f(1,2))，B＝[eq\f(1,2)，1]，函數(shù)f(x)＝若x0∈A，且f[f(x0)]∈A，則x0的取值范圍是()A.(0，eq\f(1,4)]B.[eq\f(1,4)，eq\f(1,2)]C.(eq\f(1,4)，eq\f(1,2))D.[0，eq\f(3,8)]解析：∵0≤x0＜eq\f(1,2)，∴f(x0)＝x0＋eq\f(1,2)∈[eq\f(1,2)，1)B，∴f[f(x0)]＝2(1－f(x0))＝2[1－(x0＋eq\f(1,2))]＝2(eq\f(1,2)－x0).∵f[f(x0)]∈A，∴0≤2(eq\f(1,2)－x0)＜eq\f(1,2).∴eq\f(1,4)＜x0≤eq\f(1,2)，又∵0≤x0＜eq\f(1,2)，∴eq\f(1,4)＜x0＜eq\f(1,2).答案：Cf(x)＝若f(g(x))的值域是[0，＋∞)，則函數(shù)y＝g(x)的值域是()A.(－∞，－1]∪[1，＋∞)B.(－∞，－1]∪[0，＋∞)C.[0，＋∞)D.[1，＋∞)解析：如圖為f(x)的圖象，由圖象知f(x)的值域?yàn)?－1，＋∞)，若f(g(x))的值域是[0，＋∞)，只需g(x)∈(－∞，－1]∪[0，＋∞).答案：B11.規(guī)定記號“*”表示一種運(yùn)算，即a*b＝eq\r(ab)＋a＋b，a，b是正實(shí)數(shù)，已知1]；(2)函數(shù)f(x)＝k*x的值域是.解析：(1)1]k)＋1＋k＝3，解得k＝1.(2)f(x)＝k*x＝1]x)＋1＋x≥1.答案：(1)1(2)[1，＋∞)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R).(1)若函數(shù)f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(xiàn)(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在區(qū)間(0,1]恒成立，試求b的取值范圍.解：(1)由已知c＝1，f(－1)＝a－b＋c＝0，且－eq\f(b,2a)＝－1，解得a＝1，b＝2.∴f(x)＝(x＋1)2.∴F(x)＝∴F(2)＋F(－2)＝(