專題6.5平面向量的應(yīng)用【七大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1用向量證明平面幾何中的平行問題】 1【題型2用向量證明平面幾何中的垂直問題】 3【題型3用向量解決夾角問題】 5【題型4用向量解決線段的長度問題】 6【題型5向量與幾何最值】 8【題型6向量在幾何中的其他應(yīng)用】 9【題型7向量在物理中的應(yīng)用】 10【知識點1平面幾何中的向量方法】1．平面幾何中的向量方法(1)用向量研究平面幾何問題的思想向量集數(shù)與形于一身，既有代數(shù)的抽象性又有幾何的直觀性.因此，用向量解決平面幾何問題，就是將幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為向量的運算問題，將“證”轉(zhuǎn)化為“算”，思路清晰，便于操作.(2)向量在平面幾何中常見的應(yīng)用①證明線段平行或點共線問題，以及相似問題，常用向量共線定理：∥=-=0(≠0).

②證明線段垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形，判斷兩直線(或線段)是否垂直等，常用向量垂直的條件：=0+=0.

③求夾角問題，利用夾角公式：==.

④求線段的長度或說明線段相等，可以用向量的模：||=或|AB|=||=.(3)向量法解決平面幾何問題的“三步曲”第一步，轉(zhuǎn)化：建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；第二步，運算：通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；第三步，翻譯：把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.【題型1用向量證明平面幾何中的平行問題】【例1】（24-25高一·上海·課堂例題）如圖，已知M,N是平行四邊形ABCD的對角線AC上的兩點，且AM=CN，求證：四邊形BMDN是平行四邊形．【變式1-1】（23-24高一·上海·課堂例題）如圖，已知△ABC，D、E分別是AB、AC的中點，求證；DE∥【變式1-2】（23-24高一下·河北保定·期中）已知m>0,n>0，如圖，在△ABC中，點M,N滿足AM=mAB，AN=nAC,D是線段BC上一點，BD=1

(1)求3m+6n的最小值．(2)若點O滿足2AO=OB【變式1-3】（23-24高一下·河北邯鄲·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F依次是對角線AC上的兩個三等分點，設(shè)AB=(1)請用a與b表示DF;(2)用向量方法證明：四邊形DFBE是平行四邊形.【題型2用向量證明平面幾何中的垂直問題】【例2】（23-24高一下·河南信陽·期中）已知在△ABC中，點M是BC邊上靠近點B的四等分點，點N在AB邊上，且AN=NB，設(shè)AM與CN相交于點P．記AB=

(1)請用m，n表示向量AM；(2)若n=2m，設(shè)m，n的夾角為θ，若cosθ=【變式2-1】（23-24高一下·海南省直轄縣級單位·期中）如圖所示，已知在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點，AF與DE交于點M.

(1)設(shè)AB=a，AD=b，用a，b表示(2)猜想AF與DE的位置關(guān)系，寫出你的猜想并用向量法證明你的猜想.【變式2-2】（24-25高一下·山東濟南·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A0,b，B?a,0，Ca,0(且ab≠0)，D為AB的中點，E為△ACD的重心，F(xiàn)(1)求重心E的坐標(biāo)；(2)用向量法證明：EF⊥CD．【變式2-3】（24-25高一下·湖南常德·階段練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長為6,E是AB的中點，F(xiàn)是BC邊上靠近點B的三等分點，AF與DE交于點M．

(1)求∠EMF的余弦值．(2)若點P自A點逆時針沿正方形的邊運動到C點，在這個過程中，是否存在這樣的點P，使得EF⊥MP？若存在，求出MP的長度，若不存在，請說明理由．【題型3用向量解決夾角問題】【例3】（23-24高一下·山東菏澤·期末）如圖，在△ABC中，已知AC=1，AB=3，∠BAC=60°，且PA+PB+【變式3-1】（23-24高一下·廣西河池·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，已知AB=2,AC=5,∠BAC=60°,BC,AC邊上的兩條中線AM，BN

(1)求AM的長度；(2)求∠MPB的正弦值.【變式3-2】（23-24高一下·福建廈門·期末）在四邊形ABCD中，AB=2m?2n，AD=?m+3(1)判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明；(2)若m=2，n=1，m與n的夾角為60°，F(xiàn)為BC【變式3-3】（24-25高一·全國·課后作業(yè)）已知△ABC是等腰直角三角形，∠B=90°，D是BC邊的中點，BE⊥AD，垂足為E，延長BE交AC于點F，連接DF，求證：【題型4用向量解決線段的長度問題】【例4】（24-25高一下·河北滄州·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=4,AC=6,BD(1)求BC的長；(2)求AD的長.【變式4-1】（23-24高二上·浙江·期末）如圖，在△ABC中，已知AB=2，AC=4，∠BAC=60°，M，N分別為AC，BC上的兩點AN=12AC，BM=13

(1)求AM的值；(2)求證：AM⊥PN．【變式4-2】（22-23高一下·廣東廣州·期中）如圖，在△ABC中，AB=3,AC=2,∠BAC=π3,D是BC邊的中點，CE⊥AB,AD與CE(1)求CE和AD的長度；(2)求cos∠CFD【變式4-3】（23-24高一下·浙江臺州·期中）在直角梯形ABCD中，已知AB∥DC，AD⊥AB，CD=1，AD=2，AB=3，動點E、F分別在線段BC和DC上，AE和BD交于點M，且BE=λBC，DF=(1)當(dāng)AE?BC=0(2)當(dāng)λ=23時，求(3)求AF+【題型5向量與幾何最值】【例5】（23-24高一下·浙江寧波·期末）如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1．若點E為邊CD上的動點（不與C、

A．1312 B．2116 C．3【變式5-1】（23-24高一下·廣東東莞·開學(xué)考試）如圖，A、B、C三點在半徑為1的圓O上運動，且AC⊥BC，M是圓O外一點，OM=2，則MA+MB+2A．5 B．8 C．10 D．12【變式5-2】（23-24高一下·浙江寧波·期中）已知矩形ABCD中，AB=2,AD=1,E為AB中點，P(1)求PA?(2)設(shè)線段AP與DE的交點為G，求AG?【變式5-3】（24-25高一下·四川成都·階段練習(xí)）在△ABC中，已知AB=2，AC=1，AB?AC=?1，CP=λCB0≤λ≤1，(1)當(dāng)t=?1且λ=12，設(shè)PQ與AB交于點M，求線段(2)若PA?PQ+3=【題型6向量在幾何中的其他應(yīng)用】【例6】（23-24高一下·湖南常德·期中）在△ABC中，BA?AC+AC2=0，A．等腰直角三角形 B．三邊均不相等的三角形C．等邊三角形 D．等腰（非直角）三角形【變式6-1】（23-24高二上·河南省直轄縣級單位·開學(xué)考試）如圖所示，O點在△ABC內(nèi)部，D,E分別是AC,BC邊的中點，且有OA+2OB+3OC=0，則A．32 B．23 C．43【變式6-2】（24-25高一下·四川涼山·階段練習(xí)）用向量的方法證明如圖，在?ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AD和DC邊的中點，BE，BF分別交AC于點R，T．你能發(fā)現(xiàn)AR，RT，TC之間的關(guān)系嗎？

【變式6-3】（24-25高一下·遼寧·階段練習(xí)）已知點A2,0，B8,3，C6,?1，D為線段BC的中點，E為線段AB(1)求D，E的坐標(biāo).(2)在①△ADE，②△BDE問題：按角分類，判斷______的形狀，并說明理由.（注：若選擇兩個條件分別解答，則按第一個解答計分）【知識點2向量在物理中的應(yīng)用】1．力學(xué)問題的向量處理方法向量是既有大小又有方向的量，它們可以有共同的作用點，也可以沒有共同的作用點，但力卻是既有大小，又有方向且作用于同一作用點的量.用向量知識解決力的問題，往往是把向量平移到同一作用點上.2．速度、位移問題的向量處理方法速度、加速度與位移的合成和分解，實質(zhì)就是向量的加減法運算，而運動的疊加也用到向量的合成.3．向量與功、動量

物理上力做功的實質(zhì)是力在物體前進(jìn)方向上的分力與物體位移的乘積，它的實質(zhì)是向量的數(shù)量積.

(1)力的做功涉及兩個向量及這兩個向量的夾角，即W=||||.功是一個實數(shù)，它可正，可負(fù)，也可為零.

(2)動量涉及物體的質(zhì)量m，物體運動的速度，因此動量的計算是向量的數(shù)乘運算.【題型7向量在物理中的應(yīng)用】【例7】（23-24高一下·河南南陽·期中）小娟，小明兩個人共提一桶水勻速前進(jìn)，已知水和水桶總重力為G，兩人手臂上的拉力分別為F1，F(xiàn)2，且F1=F2，F(xiàn)1A．θ越小越費力，θ越大越省力 B．始終有FC．當(dāng)θ=2π3時，F(xiàn)1=【變式7-1】（23-24高一下·廣東廣州·階段練習(xí)）有一條東西向的小河，一艘小船從河南岸的渡口出發(fā)渡河．小船航行速度的大小為15km/h，方向為北偏西30°，河水的速度為向東7.5km/h，求小船實際航行速度的大小與方向(

)．A．1523km/h正北 B．C．1527k