第六章平面向量初步知識(shí)歸納與題型突破（題型清單）

面思維導(dǎo)圖

思維?導(dǎo)圖

--------------Mindmap----------------

I-向量的基本概念

-向量的表示方法

[-向量的基本概念及加減運(yùn)算一一利用向量相等或共線進(jìn)行證明

-向量加法運(yùn)算律的應(yīng)用

1-向量減法法則的應(yīng)用

平面向量及其線性運(yùn)算[-向量的線性運(yùn)算

-用已知向量表示其他向量

-三點(diǎn)共線的常用結(jié)論

1-平面向量數(shù)乘及線性運(yùn)算一

-求兩向量的數(shù)量積

-向量的模和夾角的計(jì)算問(wèn)題

u平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用

平面向量基本定理的理解

r-向量基本定理一一用基底表示向量

L向量共線的判定

第六章平面向量初步

[-平面向量的坐標(biāo)表示

-平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示

-平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示

向量基本定理與向量的坐標(biāo)

-利用向量共線的坐標(biāo)表示求參數(shù)

1-向量的坐標(biāo)一一定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式及應(yīng)用

-數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算

-平面向量的模

-平面向量的夾角、垂直問(wèn)題

L平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用

用向量證明線段垂直

用向量解決夾角問(wèn)題

平面向量線性運(yùn)算的應(yīng)用用向量解決線段的長(zhǎng)度問(wèn)題

向量與幾何的定值問(wèn)題

向量與幾何的最值問(wèn)題

由知識(shí)速記

知識(shí)?速記

-----Knowledgeshorthand---------

。。。?。?。。

知識(shí)1.向量的有關(guān)概念

（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度（或模）.

（2）向量的模：向量方的大小，也就是向量方的長(zhǎng)度，記作|布

（3）特殊向量：

①零向量：長(zhǎng)度為0的向量，其方向是任意的.

②單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量.

③平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共線向量.規(guī)定：0與任一向

量平行.

④相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.

⑤相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.

知識(shí)2.向量的線性運(yùn)算和向量共線定理

(1)向量的線性運(yùn)算

運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律

①交換律

求兩個(gè)向量a+b=b+a

加法二二

和的運(yùn)算aa②結(jié)合律

三角形法則平行四邊形法則(a+b)+c=a+(b+c)

求2與3的

相反向量-B的

減法a-b-a+(-b)

和的運(yùn)算叫做3a

與B的差三角形法則

(1)\Aa\=\A\\a\

求實(shí)數(shù)4與

(2)當(dāng)4>0時(shí)，XI與。的方向相同；(A+ju)a=23+jua

數(shù)乘向量3的積的運(yùn)

當(dāng)2<0時(shí)，九)與)的方向相同；

算4(萬(wàn)+b)=Aa+Ab

當(dāng)2=0時(shí)，25=0

知識(shí)3.應(yīng)用平面向量基本定理的關(guān)鍵點(diǎn)

(1)平面向量基本定理中的基底必須是兩個(gè)不共線的向量.

(2)選定基底后，通過(guò)向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件，把相關(guān)向量

用這一組基底表示出來(lái).

(3)強(qiáng)調(diào)幾何性質(zhì)在向量運(yùn)算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的幾何

性質(zhì)，如平行、相似等.

知識(shí)4.向量共線(平行)的坐標(biāo)表示

1.利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo).一般地，在求與一個(gè)已知向量。共線的向量時(shí),

可設(shè)所求向量為須（4eR）,然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于九的方程，求出2的值后代入而

即可得到所求的向量.

2.利用兩向量共線求參數(shù).如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，則利用“若

3=（無(wú)］，%），b=（x2,y2）,則〃〃B的充要條件是X1%=/為”解題比較方便.

3.三點(diǎn)共線問(wèn)題.A,B,C三點(diǎn)共線等價(jià)于焉與就共線.

4.利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求三角函數(shù)值：利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為三角方程,

再利用三角恒等變換求解.

知識(shí)5.平面向量基本定理和性質(zhì)

（1）共線向量基本定理

如果》=篇（彳€氏），則》/區(qū)；反之，如果&/區(qū)且Bw。，則一定存在唯一的實(shí)數(shù)X,

使&=痛.（口訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘）.

（2）平面向量基本定理

如果6和e?是同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于該平面內(nèi)的任一向量方，都

存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)4,4,使得）=46+402，我們把不共線向量q,e?叫做表示這一平

面內(nèi)所有向量的一組基底，記為｛烏勺｝,4弓+4?2叫做向量4關(guān)于基底｛00｝的分解式.

注意：由平面向量基本定理可知：只要向量q與不共線，平面內(nèi)的任一向量，都可

以分解成形如&=的形式，并且這樣的分解是唯一的.入qf/lje?叫做q,e2的一

個(gè)線性組合.平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據(jù),

也是向量的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ).

推論1：若》=4芻+%e2=40+,則4=4,4=4.

推論2：若/=46+4e,=0,則4=4=0.

知識(shí)6.線段定比分點(diǎn)的向量表達(dá)式

如圖所示，在△48C中，若點(diǎn)。是邊2c上的點(diǎn)，S.BD=ADC則向量

+

ADABAAC在向量線性表示（運(yùn)算）有關(guān)的問(wèn)題中，若能熟練利用此結(jié)論，往往能

=1+2.

有“化腐朽為神奇”之功效，建議熟練掌握.

C

BD

知識(shí)7.三點(diǎn)共線定理

平面內(nèi)三點(diǎn)B,C共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)4〃，使雙+〃無(wú)，其中

彳+〃=1,。為平面內(nèi)一點(diǎn).此定理在向量問(wèn)題中經(jīng)常用到，應(yīng)熟練掌握.

/、B、C三點(diǎn)共線

=存在唯一的實(shí)數(shù)X,使得就=彳刀；

o存在唯一的實(shí)數(shù)彳，使得反=35+4方；

=存在唯一的實(shí)數(shù)力,使得反=(1-㈤刀+幾礪；

o存在2+〃=1,使得反=而+〃礪.

知識(shí)8.平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算

(1)平面向量的坐標(biāo)表示.

在平面直角坐標(biāo)中，分別取與x軸，y軸正半軸方向相同的兩個(gè)單位向量7,］作為基底,

那么由平面向量基本定理可知，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x,y使

a=xi+yj,我們把有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)叫做向量)的坐標(biāo)，記作)=(xj).

(2)向量的坐標(biāo)表示和以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對(duì)應(yīng)的，即有

向量(x/)、一對(duì)應(yīng)、向量夕、一對(duì)應(yīng)、點(diǎn)A(x,y).

(3)設(shè)■=&,%),b=(x2,y2),則a+加=(再+X2,必+%),a-b={xA-x2,yx-y2),

即兩個(gè)向量的和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.

若3=(x,y),2為實(shí)數(shù)，則=,即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用該實(shí)數(shù)乘

原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo).

(4)設(shè)4項(xiàng),必),B(x2,y2),則48=02-0/=(再-無(wú)2,%，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等

于該向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo).

知識(shí)9.平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算

①已知點(diǎn)4（不，必），B（X2,y2）,貝!JAB=（X2,y2-yj,

1確=J（X2-X]）2+（%一乂）2

②已知a=（%,必），b=（工2,歹2），貝U5±3=（占±工2，必土歹2），4G=（AXp/t^j）,

a?b=x1x2+yxy2,|a|="x；+y；.

a//b<=>xxy2-x2y1=0,a-Lbxxx2+yxy2=0

知識(shí)10.平面向量數(shù)量積的應(yīng)用

1.平面向量數(shù)量積的類(lèi)型及求法：

（1）平面向量數(shù)量積有兩種計(jì)算公式：一是夾角公式〃.〃=|〃|S|cos6;二是坐標(biāo)公

式X]%+必％?

（2）求較復(fù)雜的平面向量數(shù)量積的運(yùn)算時(shí)，可先利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)

公式進(jìn)行化簡(jiǎn).

2.平面向量數(shù)量積主要有兩個(gè)應(yīng)用：

（1）求夾角的大小：若“，b為非零向量，則由平面向量的數(shù)量積公式得cosd=±”

l?ll6l

（夾角公式），所以平面向量的數(shù)量積可以用來(lái)解決有關(guān)角度的問(wèn)題.

（2）確定夾角的范圍：數(shù)量積大于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0

說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時(shí)兩向量的夾角為鈍角.

3.向量與平面幾何綜合問(wèn)題的解法與步驟：

（1）向量與平面幾何綜合問(wèn)題的解法

①坐標(biāo)法

把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相

應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問(wèn)題得到解決.

②基向量法

適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程來(lái)

進(jìn)行求解.

知識(shí)11.常見(jiàn)的向量表示形式：

（1）重心.若點(diǎn)G是△ABC的重心，貝1|鉛+而+品=0或所=；（用+麗+定）

(其中P為平面內(nèi)任意一點(diǎn)).反之，^GA+GB+GC=O,則點(diǎn)G是△48C的重心.

(2)垂心.若X是△48C的垂心，則必?麻=麗?阮=沅?無(wú).反之，若

HAHB=HBHC=

HC-HA,則點(diǎn)〃是△48C的垂心.

(3)內(nèi)心.若點(diǎn)/是△48C的內(nèi)心，貝!]|就卜而+|弓玉?萬(wàn)+|方卜7?=0.反之，若

\liC\lA+\CA\-

1B+\'AB\JC=Q,則點(diǎn)/是△N3C的內(nèi)心.

(4)外心.若點(diǎn)。是△NBC的外心，貝U

(04+05)A4=(OB+OC)-CB=(OC+ft4)-^C=0^|ft41=|OS|=|0C|.反之，若

|041=|OB|=|0C|,則點(diǎn)。是△NBC的外心.

知識(shí)12.平面向量常用結(jié)論

1?設(shè)非零向量a=(再,必),6=(x?,%),。是。與5的夾角.

(1)數(shù)量積：ab=|a||61cos0=xtx2+yty2.

(2)模：|a|=Ja.

(3)夾角：cos0=亂b

(4)垂直與平行：aJ_oa?/>=0=X]%+必%=°；a〃6=crb=±|a||b|.

知識(shí)13.平面向量的數(shù)量積a

(1)平面向量數(shù)量積的定義

已知兩個(gè)非零向量與6,我們把數(shù)量|。cos。叫做。與分的數(shù)量積(或內(nèi)積),

記作。小,即a-分=|a"A|cos。，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

(2)平面向量數(shù)量積的幾何意義

①向量的投影：|a|cos。叫做向量。在6方向上的投影數(shù)量，當(dāng)。為銳角時(shí)，它是正數(shù);

當(dāng)。為鈍角時(shí)，它是負(fù)數(shù)；當(dāng)0為直角時(shí)，它是0.

②〃?〃的幾何意義：數(shù)量積〃?方等于〃的長(zhǎng)度|4|與〃在〃方向上射影傳|COS。的乘積.

知識(shí)14.數(shù)量積的運(yùn)算律

已知向量〃、b、c和實(shí)數(shù)幾，則：

①ab=b，a；

②(20)?b=2(ab)=a-(Ab)；

③(4+〃)C=〃C+〃C.

知識(shí)15,數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè)〃都是非零向量，c是與〃方向相同的單位向量，。是〃與e的夾角，則

@e-a=a-e=\a\cos0.?a-Lb<=>a-b=0.

③當(dāng)Q與/同向時(shí),a-b=\a\\b\；當(dāng)〃與〃反向時(shí)，a-b=-\a\\b\.

特別地，〃?a二|a/或|〃|二yjaa.

@cos0=a(|a"A|w0).⑤|a?白岡a"A|.

I?ll6l

知識(shí)16.數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算

已知非零向量〃=(芯，必)，b=(x2,y2),。為向量〃、〃的夾角.

結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示

模a|=JR?〃|?1=舊+y2

a-A=|a||61cos。

數(shù)量積ab=xAx2+必為

abcos-,"+產(chǎn)

夾角caose=--------

\a\\b\.正+為

的充要

ab=Qxrx2+y1y2=0

條件

a〃/?的充要

a=AbC〃w0)西工2+其力=0

條件

|。力|與\a-b\<\a\\b\(當(dāng)1W迎+%了21乏

\a\\b\且僅當(dāng)。〃b時(shí)等號(hào)成G+yf小;+￡

的關(guān)系立）

畫(huà)?型歸納

題型?歸納

—Summaryofquestiontypes—

oooooeoo

題型一：向量的表示方法

例題1.下列結(jié)論中，正確的是（）

A.零向量的大小為0,沒(méi)有方向

B.|通|=|函|

C.起點(diǎn)相同的單位向量，終點(diǎn)必相同

D.若兩個(gè)單位向量平行，則這兩個(gè)單位向量相等

例題2.下列說(shuō)法正確的是（）

A.若兩個(gè)非零向量方，函共線，則48,C,。必在同一直線上

B.若在與B共線，B與共線，貝！與1也共線

C.若同=網(wǎng)則3=*

D.若非零向量而與而是共線向量，則它們的夾角是0。或180。

鞏固訓(xùn)練

3.下列敘述中正確的是（）

A.已知向量Z,b,且G/區(qū)，貝Ui與3的方向相同或相反

B.若向=|司,則￡=3

c.若出區(qū),bile,則以定

D.對(duì)任一非零向量萬(wàn)，百是一個(gè)單位向量

4.下列說(shuō)法中，正確的是（）

A.若卜1=1,則〃=±1B.若a=3,貝!|a〃b

C.若W=W且a〃[,則a=5D.若°〃6，則慟=。

題型二：向量加法運(yùn)算律的應(yīng)用

例題1.已知正方形4BCD的邊長(zhǎng)為2,貝!||方+就+工|=（）

A.V2B.2V2c.3V2D.4V2

例題2.設(shè)同=2,G為單位向量，貝！JB+目的最大值為（）

A.1B.2C.3D.4

鞏固訓(xùn)練

3.若點(diǎn)。是△N2C的外心，^.OA+OB+cd=Q，則△4BC的內(nèi)角C等于（）

C.60°D.45°

4.向量N8+（。河+8。）+〃8=（）

A.BCB.AB

C.ACD.AM

題型三：向量減法法則的應(yīng)用

例題1.在ZUBC中,設(shè)刀E,AC=b>若麗=灰,~AE=2ED，則屜=（）

1-12-172-1

A.——a——b7B.--a+-bC.——a——bD.——a+-b7

33333333

例題2.在ZUBC中,\AB\^^AC-^B\=\'BC+AB\,貝！j△4BC是()

A.等邊三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

鞏固訓(xùn)練

3.如圖，在△/5C中，AB=3AD^E是8的中點(diǎn).設(shè)e3=2,CB=b?則正確的是

—?12—

A.~AB=a-bB.CD=-a+-b

33

—?11-

C.CE=-a+-bD.AD=-b--a

3333

4.下列等式錯(cuò)誤的是（）

A.。+0=0+。=2B.AB+1C+^C=Q

c.AB+RA^QD.CA+AC=MN+NP+PM

題型四：用已知向量表示其他向量

例題1.在△NBC中，。為邊的中點(diǎn)，貝!!（）

A.AD-BD=OB.AD+DB=OC.CB-CD=BDD.CA+CB=2CD

例題2.如圖，向量方=萬(wàn)，AC=b,而=,，則向量而可以表示為（）

B.a-b+c

C.b-a+cD?b-a-c

鞏固訓(xùn)練

3.點(diǎn)。是平行四邊形/BCD的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，AB=a,DA^b,OC^c,則刃+1-￡=

（）

A.OAB.OBC.6D.BC

4.已知網(wǎng)=可西=3,則國(guó)的取值范圍是（）

A.[3,6]B.（3,6）C.[3,9]D.（3,9）

題型五：三點(diǎn)共線的常用結(jié)論

A1J

例題1.在中，M,N分別是邊3C,NC的中點(diǎn)，線段㈤f,3N交于點(diǎn)O,則r

AM

的值為（）

1223

A.—B.—C.-D.一

2534

C

N/\M

n

AB

例題2.如圖所示,在△4C中‘款三覺(jué),尸是即上的一點(diǎn)'若人初+族,

則實(shí)數(shù)m的值為（）.

鞏固訓(xùn)練

3.在△N8C中，點(diǎn)尸為的中點(diǎn)，=2前,BE與CF交于點(diǎn)、P,且滿足麗=彳麗，則

彳的值為（）

34-32

A.—B.-C.-D.一

5743

4.已知/,B,C是圓。上的三點(diǎn)，C。的延長(zhǎng)線與線段氏4的延長(zhǎng)線交于圓。外的點(diǎn)。,

若灰、后應(yīng)+”^，則加+〃的取值范圍是（）

A.（0,1）B.。,+⑹

C.D.（-1,0）

題型六：求兩向量的數(shù)量積

例題1.已知向量I,B不共線，S.c=Aa+b,d=a+（2A+1]b,若1與J同向共線，則實(shí)

數(shù)力的值為（）

1

A.1B.-

2

?1?1

C.1或一；D.-1或；

22

例題2.P是△4BC所在平面上一點(diǎn)，滿足強(qiáng)+而+無(wú)=方，若以次=12,貝!的

面積為（）

A.6B.4C.3D.2

鞏固訓(xùn)練

---,,J.I---?

3.在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，A,B,C三點(diǎn)滿足。+則

44

（）

4.已知正方形/BCD的邊長(zhǎng)為1,貝仙德+南-田卜（）

B.V2D.272

題型七：向量的模和夾角的計(jì)算問(wèn)題

例題1.已知AABC的外接圓圓心為。，且2而=次+就，網(wǎng)=|阿，則向量聲在向量.

上的投影向量為（）

A.產(chǎn)C.-產(chǎn)D.產(chǎn)

AC

例題2.已知平面內(nèi)四個(gè)不同的點(diǎn)4民。,。滿足詼=2麗-2皮，則==（）

BC

鞏固訓(xùn)練

3.已知平面向量b，|^|=2,當(dāng)日-闿最小時(shí)叫=1,則B的夾角為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

4.若向量3=（-2,-。/=（九1）,［與B的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)2的取值范圍是（）

B.（2,+00）

—,+co

2

題型八：與垂直有關(guān)的問(wèn)題

例題1.在平行四邊形48。中，M.N分別在5C、CDAL,且滿足3C=3MC,OC=

4NC,若N5=4,AD=3,則ZUMN的形狀是（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形

C.直角三角形D.等腰三角形

例題2.若在ZUBC中，4B=/C=1,|益+%?=血，則ZVlgC的形狀是（）

A.正三角形B.銳角三角形C.斜三角形D.等腰直角三角形

鞏固訓(xùn)練

3.若平面四邊形滿足方+無(wú)=0,（冠-茄）在衣方向上的數(shù)量投影是0,則該四

邊形一定是（）

A.直角梯形B.矩形C.菱形D.正方形

4.在A48C中，若|善+就|=|善-就則ZU5C的形狀是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

題型九：用基底表示向量

例題1.如圖，在△N2C中，點(diǎn)。是5c邊的中點(diǎn)，AD=3GD，則用向量刀，就表示前

為（）

—>2—>1—>

A.BG=一一AB+-ACB.BG=--AB+-AC

3333

C.BG=-AB--ACD.BG=-AB+-AC

3333

例題2.如圖，在△4BC中，48=340,點(diǎn)E是的中點(diǎn).設(shè)京=落就=3,則荔=

()

B.-a+-b

32

D.-a--b

62

鞏固訓(xùn)練

3.如圖，在―臺(tái)。中，點(diǎn)、D,D,￡分別為8c和8/的三等分點(diǎn)，點(diǎn)。靠近點(diǎn)8,AD交

CE于點(diǎn)尸，設(shè)BC—a，BA=b，則BP=（）

4.如圖所示的平行四邊形A8CD中，滿足區(qū)=2而，3=麗,G為所的中點(diǎn)，若

題型十：平面向量加、減運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示

例題L已知點(diǎn)M（4,0）,向量加=（0,4）,標(biāo)=（一2,2）,則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（）

A.（_6,6）B.（2,-2）C.（—2,—6）D.（2,6）

例題2.已知平行四邊形N5CZ）,5（-1,2）,C（2,4）,則就+而=（）

A.（-2,2）B.（3,3）C.（4,6）D.（6,4）

鞏固訓(xùn)練

3.已知向量3=（4,3）,則與向量&方向相反的單位向量是（）

4.已知向量次與3=（6,-8）的夾角為兀，且|萬(wàn)|=同，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（T2）,則點(diǎn)8的

坐標(biāo)為（）

A.（-7,10）B.（7,10）C.（5,-6）D.（-5,6）

題型十一：利用向量解決平面幾何求值問(wèn)題

例題1.已知點(diǎn)M為RtZ\48C外接圓。上的任意一點(diǎn)，AABC=90°,AB=\,BC=4i,則

（力-礪）?就的最大值為（）

3LL

A.1B.-C.y/3D.y[5

例題2.勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑,

在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.在如圖所示的勒

JT_

洛三角形中，已知43=2,尸為弧NC上的一點(diǎn)，且/PBC=]則而的值為（）

O

C.4-273D.4+273

鞏固訓(xùn)繚

3.如圖所示，在矩形/8CC中，AB=2BC=4,動(dòng)點(diǎn)河在以點(diǎn)C為圓心且與8。相切的圓

4.如圖，半圓的直徑48=8,。為圓心，C為半圓上不同于45的任意一點(diǎn)，若尸為半徑OC

上的動(dòng)點(diǎn)，貝IJ（可+而）?定的最小值等于（）

A.-16B.-8C.-4D.-2

題型十二：利用向量共線的坐標(biāo)表示求參數(shù)

例題1.已知向量值=(一1,1),b=(-2,3),c則()

A.\a+b\=45B.當(dāng)(d+B)//W時(shí),4m+3n=3

C.當(dāng)時(shí)，m+n=\D.萬(wàn)在B上的投影向量的坐標(biāo)為1一值,百

例題2.已知向量￡=(兀1),3=(4,2),則下列結(jié)論正確的是()

A.若Z//B，則x=2

B.若。_1刃，則*=5

C.若x=3,則向量￡與向量g的夾角的余弦值為速

10

D.若x=-l,則向量3在向量￡上的投影向量為(亞，亞)

鞏固訓(xùn)練

3.已知方=(3,-1),b=(-1,2),c=(1,2),貝1!()

A.同=10B.若3//己，則2=-；

C.^blc，則幾=-2D.5在4上的投影向量的坐標(biāo)為

4.已知平面向量萬(wàn)=(1,2),i=(-2,x),則()

A.當(dāng)無(wú)=2時(shí)，5+^=(-1,4)B.若方〃不，則x=-l

C.^alb，則x=lD.若萬(wàn)與B的夾角為鈍角，則

xe(-a?,-4)u(-4,1)

題型十三：定比分點(diǎn)坐