重難點專題12導數解答題之指對函數五大題型匯總

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題型1指數找基友....................................................................1

題型2對數單身狗....................................................................2

題型3指對互化......................................................................4

題型4指對分離與不分離.............................................................5

題型5凹凸翻轉......................................................................7

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指數找基友：在處理不等式和零點問題時，如果指數部分+X整式有可能連續求導，甚至要

用到隱零點，比較復雜，此時，我們只需把所有X的式子和ex變換到一起，一般可以同除

整式，或者同除ex部分，構造一個新函數，例如ex-ax>0我們可以化成ex>ax,進一步化成

a=ex/x,構造函數f(x)=ex/x;再例如當x>0時求證：(2-x)ex<x+2,我們可以化作ex

(2-x)/(x+2”1,然后構造函數f(x)=ex(2-x)/(2+x),證明其W1即可，通過觀察，不難發現，

ex和所有含有x的式子變換到一起了，我們形象地稱之為，指數找基友

【例題1】(2022秋?山東濱州?高三校聯考期中)已知/Q)=asin久(a€R),g(x)=ex.

(1)求g(x)在％=。處的切線方程;

(2)若a=1,證明G(x)=f(x)+Inx在(0,1)上單調遞增;

(3)設FQ)=世普(a豐0)對任意xe[o,4，F(x)>以成立求實數k的取值范圍.

【變式1-1]1.(2023春?安徽?高三合肥市第八中學校聯考開學考試)已知函婁好(久)=a%2

—ex~r.

(1)當a=T時，證明：f(x)在R上為減函數.

(2)當xe[0,合時，f(x)Wacosx,求實數a的取值范圍.

【變式1-1]2.(2021?黑龍江哈爾濱?哈九中校考三模)已知函婁好㈤=1%3-sinx.

(1)證明：函數人切有三個零點；

(2)若對Vxe[o,引，不等式研+acosx>儲恒成立，求實數a的取值范圍.

【變式1-1】3.(2022?全國?高三專題練習)已知函數y=/(久)是定義在R上的奇函數，當x>0

時，/Q)=喑，曲線y=/O)在點(1)(1))的切線與%軸平行，尸(乂)是外切的導函數.

(1)求k的值及當》<。時，函數”久)的單調區間；

(2)設。(久)=(x2+久)?廣(久)對于任意%>0,證明g(x)<1+e-2.

【變式1-114.(2021秋?吉林四平?高三四平市第一高級中學?？茧A段練習)已知函數;'(X)

=aex+bcosx+|x2+l(其中a,6為實數)的圖象在點(0)(0))處的切線方程為y=久+1.

(1)求實數a,b的值;

(2)求函數。(久)=廣(%)—3%的最小值；

(3)若對任意的xeR,不等式獷(X)2|X3+2&2+%恒成立，求實；I數的取值范圍、

題型2對數單身狗

析即可，例如y=(2+x)ln(x+1)-2x,如果要證明x>0時y>0,我們便可把2+x提出來，使之

變成y=(2+x)(ln(x+1)-芻分別分析2+x和ln(x+1)-系就可以了，這個過程使ln(x+1)系

數不含x整式，我們形象地稱之為對數單身狗，再求導就容易多了;

【例題2】(2022秋?寧夏銀川?高三?？奸_學考試)已知函數;'(X)=2ex~2+ax.

(1)討論/(x)的單調性；

(2)對任意x>0,求證：/(x)>x(lnx+a)

【變式2-1]1.(2022秋?黑龍江哈爾濱?高三哈師大附中校考期末)已知函數/0)=(%+1)

Inx—a(x—1).

(1)當a=2時,求函數/(x)的單調區間；

(2)當乂〉1時，/(乃>。恒成立，求實數a的取值范圍.

【變式2-1】2.(2022?全國?高三專題練習)已知函數/(*)="1.

(1)當』=1時,求丁為的最大值;

(2)討論關于x的方程f(%)=m-Inx的實根的個數.

【變式2-1]3.(2022?四J11瀘州?四川省敘永第一中學校?？寄M預測)已知函數/(*)=In

x—ax2+(2—a)x,a>0.

(1)討論/(x)的單調性;

(2)設aCN*,若關于X的不等式/(x)W—1在(0,+8)上恒成立，求a的最小值.

【變式2-1]4.(2021秋?浙江杭州?高三校聯考期中)已知/(久)=號，直線]為曲線y=f(x)

在處的切線，直線，與曲線y=/(均相交于點(s/(s))且s<t.

(1)求珀勺取值范圍；

(2)(i)證明：lnx<1+，(x-e)—點?(久一eA+5?(久一e)3；

(ii)證明：s>-yt—3tlnt.

題型3指對互化

批尊重點

指對互化與同構：

1.所謂指對互化，如下：X=elnx=lnex,x2ex=e2lnxex—e2lnx+x>2lnx+x+1

指對互化是指對同構的基礎，

2.常見類型：

①乘積，如ae。<構造方法如下

構造方法構造的函數

與左側一致：aea<Inb-einb/(X)=xe"

與右側一致:ealnea<blnb/(x)=xlnx

對數化：a+Ina<Inb+In(Inb)/(x)=x+Inx

②商，如?<白，構造方法如下

構造方法構造的函數

x

與左側一致：￡卷e

X

與右側一致：鼻<白,用)=而

對數化：?！餫<Inb—In(Inb)f(x)=x—Inx

③和差，如e?！繿<b±Inb

構造方法構造的函數

與左側一致：ea±a<elnb±Inb/(x)=ex±x

與右側一致：ea±lneaVb±inb,/(x)=x±Inx

【例題3](2022秋?黑龍江?高三開學考試)已知函數/⑴=ln(l+%)-第(a>0).

(1)若x=l是函數久久)的一個極值點，求。的值；

(2)若/(久)2。在(°，+8)上恒成立，求a的取值范圍；

ZX2020

(3)證明：(器?<；1(C為自然對數的底數).

【變式3-1】1.(2021秋?廣東深圳?高三深圳市龍崗區龍城高級中學?？茧A段練習)已知

函數f(x)="(1+久)一^^,其中a6(0,1］.

(1)討論函數了(久)在區間［0,1］上的單調性；

S、卡、p,2021、2°20.420212020.5

(2)求證：(,)<e<(旃)-

【變式3-1】2.(2022?全國?高三專題練習)已知函數f(x)=ln(l+K)—署(a>0).

(1)若函數在％=1處的切線與%軸平行，求a的值；

(2)若/'CO》。在［0,+8)上恒成立,求a的取值范圍；

(3)證明：(翳)2°"</e是自然對數的底數).

【變式3-1】3.(2022?全國?高三專題練習)已知函數f(久)=ln(l+x)—署(a>0).(注

:［叭1+切，=占

(1)若久=1是函數f(%)的一個極值點，求a的值；

(2)若/'(X)>0在［0,+8)上恒成立，求a的取值范圍；

(3)證明：(黑)<;.

【變式3-1】4.(2022?全國?高三專題練習)已知函婁好(%)=M,g(x)=籌(e是自然對

數的底)，

(1)若函數9(久)是(1,+8)上的增函數，求k的取值范圍.

(2)若對任意的x>0,都有f(久)<%+1,求滿足條件的最大整數k的值.

題型4指對分離與不分離

既含有指數函數同時又含有對數函數題目，也就是所謂的"指對混合型"。我們一般通過適

當變形，一分為二，指對分離，以其轉化為兩個可掌控的特殊函數進處理。適當變形，化歸

轉化，可以掌控，是解決問題的關鍵。

【例題4](2022春四J11遂寧?高三射洪中學?？茧A段練習)已知函數/(%)=e，.

(1)討論函數gO)=—x—a的單調性;

Q4

(2)證明：/(%)+Inx+->^.

【變式4-1]1.(2021秋?浙江杭州?高三浙江省杭州第二中學?？茧A段練習)已知/⑺=a

-旭+1.

a

(1)a=l時,求/(久)的單調區間和最值;

(2)①若對于任意的xe(0,+8),不等式,(幻2旦產恒成立，求a的取值范圍；②求證:

ex-1—2y/x—Inx+->0

【變式4-1】2.(2022年高三壓軸解)已知函數人嗎=喈(k為常數，e=2.71828…是自

然對數的底數)，曲線y=/。)在點(1/(1))處的切線與%軸平行.

⑴求如勺值;

(2)求/■(%)的單調區間;

⑶設g(x)=Q2+x)[(x),其中廣。)為/(%)的導函數.證明:對任意久>0,g(x)<1+

e~2

【變式4-1】3.(2022?全國?高三專題練習)已知函數/(%)=f%2—ln%+%+l,g(%)=a/

+^+ax—2a—1,其中aeR

(1)若a=l,其函數。(刀)在[1,3]的值域;

(2)若對任意的久e(0,+8),5(%)>廣(x)恒成立，求正實數a的取值范圍.

【變式4-1]4.(2022?全國?高三專題練習)已知函婁好(久)=/—久2

(1)令。(久)=/(%)-ax+|(x2-a2),若xN0時，g(x)>0恒成立，求實數a的取值范圍；

(2)當x>0時.證明:/(x)—ex>x\nx—x2—x+l

題型5凹凸翻轉

歲型重點

證明不等式問題中有一類不等式形式復雜，由即首先知道兩個函數(其中一個常常是對數函

數與多項式函數的組合，另一個則是指數函數與多項式函數的組合)組合而成，我們往往指

對分離，然后研究函數的圖像，兩個函數圖像凹凸性剛好相反，稱凹凸反轉，這個名詞非常

形象的闡述了這類題目的解題思想。

問題1：若F(x)>0對XGD恒成立(其中F(x)=f(x)-g(x))

情況①：轉化為f(x)>g(x),通過分別求出兩個函數的最值，若f(x)min>g(x)max,則問

情況②：轉化為f(x)>g(x),通過分別求出兩個函數的最值，若f(x)min=

f(x1)>g(x)max=g(x2),則問題得證。

問題2:若F(x)20對xwD恒成立(其中F(x)=f(x)-g(x))轉化為f(x)>g(x),

通過分別求出兩個函數的最值，若f(x)min>g(x)max,且f(x)min=f(x0)=g(x)max=

g(x0)則問題得證。

凹凸反轉的局限性：解法局限性一:不涉及"單調構造”

通過下文介紹的方法步驟，一定可以排除整體單調的函數組合。但是單調函數的組合有時也

可以通過"最大值小于最小值”的方式說明問題，而且單調函數的組合，如果真構造成功了C

下圖)，嚴格來說也屬于“凹凸反轉"，

(1)若/(X)<g(x)恒成立，求實數m的取值范圍；

(2)求證：當x>0時，e*+(2：)x-i21nx+1.

【變式5-1]1.(2019?天津紅橋?統考一模)已知函數f(X)=ln(e'+fc)(k為常數)是實

數集R上的奇函數，其中e為自然對數的底數.

(1)求k的值；

(2)討論關于x的方程如鑒=%2-2e%+爪的根的個數.

【變式5-1】2.(2022?全國?高三專題練習)已知函數/(x)=xe、Tnx,ln2?0.693,粕

，1.648均為不足近似值.

(1)當久時，判斷函婁好(X)的單調性；

(2)證明：當x>0時，不等式f(x)>以恒成立.

【變式5-1】3.(2022?河北衡水?河北衡水中學?？家荒?設函數f(x)=lnx-e」3g(久)

=a(%123—1)—1.

(1)判斷函數y=/(%)零點的個數，并說明理由；

(2)記h(x)=g(x)-/(%)+之宇，討論%(%)的單調性；

入e

(3)若/'(x)<。(久)在(1,+8)恒成立，求實數a的取值范圍.

【變式5-1]4.(2022春?高三課時練習)已知函數了(久)=ex-a-ln(x+a).

⑴當a=小寸，求f。)的單調區間與極值；

(2)當也1時,證明：/(%)>0.

1.(2022?四川?四川師范大學附屬中學?？级?已知函數/"(x)=e-a