專題13導數(shù)的概念及運算（九大題型+模擬精練）

01題型歸納

目錄：

?題型01變化率問題

?題型02導數(shù)定義中簡單的極限運算

?題型03求某點的導數(shù)（切線斜率）

?題型04求切線方程

?題型05已知切線求參數(shù)（范圍）

?題型06兩條切線平行、垂直、重合（公切線）問題

?題型07切點、切線有關的其他問題

?題型08導數(shù)的運算

?題型09抽象函數(shù)的導數(shù)綜合

?題型01變化率問題

1.（2024高三?全國?專題練習）如果質(zhì)點A運動的位移S（單位：m）與時間，（單位：s）之間的函數(shù)關系

2

是S（/）=-7,那么該質(zhì)點在"3s時的瞬時速度為（）

2222

A.——B.-C.——D.-

3399

【答案】D

【分析】根據(jù)瞬時變化率的定義求解即可.

22

【解析】AS=S（3+"S⑶3+加+「_2,

△tAr△t3（3+A?）

2

所以lim——=lim

Ar->0A/ATO3(3+A。9

故選：D.

2.（23-24高二下?河南洛陽?階段練習）函數(shù)丁=正在區(qū)間［1,4］上的平均變化率為（）

135

A.—B.—C.—D.3

353

【答案】A

【分析】

直接利用平均變化率的定義求解.

【解析】

設=?,則函數(shù)y=?在區(qū)間［1,4］上的平均變化率為了（?一:⑴=?=T=g.

故選：A.

3.（23-24高二下?重慶?期中）某物體的運動方程為S?）=4/+2（位移單位：m,時間單位：s）,若

丫=1加&3二蟲l=24m/s,則下列說法中正確的是（）

加-＞。AZ

A.24m/s是物體從開始到3s這段時間內(nèi)的平均速度

B.24m/s是物體從3s到（3+加）s這段時間內(nèi)的速度

C.24m/s是物體在3s這一時刻的瞬時速度

D.24m/s是物體從3s到（3+Af）s這段時間內(nèi)的平均速度

【答案】C

【分析】根據(jù)瞬時速度的定義即可得解.

_,s（3+A/）—s（3）

［斛析］由v=lim-----------=24mzs,

可知，24m/s是物體在3s這一時刻的瞬時速度.

故選：C

?題型02導數(shù)定義中簡單的極限運算

4.（2024高二下?全國?專題練習）已知（（無。）=。，則lim〃2+加4-3以）的值為（）

A.12aB.2a

a

C.aD.

2

【答案】B

【分析】由導數(shù)的定義變形即可求解.

lim仆―?)二之同仆-=2/，(％)=2。.

【解析】3Ax)

AxfO9AvAx->04AY''

故選：B

5.(22-23高二上?陜西咸陽,階段練習)已知函數(shù)/(x)在x=x0處的導數(shù)為6,則1面小U上3

AxfO2Ax

()

A.-3B.3C.-6D.6

【答案】A

【分析】根據(jù)已知條件及函數(shù)在x=尤。導數(shù)/'(%)=6的定義即可求解.

【解析】由題意得函數(shù)在》=無。處的導數(shù)/'(%)=6

1加心)-〃x。)1/(xo-M-/(xo)

—uni----------------

以―。2Ax2--Ax

故A項正確.

故選：A.

6.(22-23高二下,陜西渭南?期中)若函數(shù)y=/(x)在x=2處的瞬時變化率為lim孚，且

—Ax

Ay=/(2+Ax)~/(2)=4+Ay；則八2)=()

AxAx

A.2B.4C.2+AxD.4+Ax

【答案】B

【分析】

根據(jù)導數(shù)的定義，直接代入求值.

【解析】根據(jù)導數(shù)的定義可知，

廣⑵=lim/(2+.)-〃2)=1汕(4+Ax)=4.

故選：B

7.(23-24高二上?河北石家莊?期末)設〃尤)是可導函數(shù)，且lim如卜/⑴=2,則/'⑴=()

—f0Ax

2

A.2B.-C.-1D.-2

【答案】B

【分析】由導數(shù)的定義計算即可得出結果.

【解析】...lim/(i+3M-/(^3xlim/(i+3M-/(^2,

—Ax-3Ax

/(1+3M-/(1),2

,,11111—,

心—。3Ax3

.?.r(l)=Hm/(l+AxW(l).iim/(l+3M-/(l)=2

■foAx―—。3Ax3

故選：B

?題型03求某點的導數(shù)(切線斜率)

8.(21-22高二下?北京通州,期中)已知函數(shù)工(x),力(x),力(x),f4(x),它們在平面直角坐標系中的圖

象如圖所示，則如(%),f2'M，方如),6(%)的大小關系是()

A.工'(％)>為'(%)>為'(％)>。(%)

B.工'(尤0)>為'(%)>"(/)>//(%)

C-//(/)>/也)>分卜0)>力心0)

，

D.flM>f3'(x0)>f4'(x0)>f2'(x0)

【答案】A

【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義，畫出各個函數(shù)圖象在尤=無。處的切線，根據(jù)切線的斜率來判斷即可.

【解析】依次作出/(x),力(x),力⑺,力(x)在x=x。的切線，如圖所示：

根據(jù)圖形中切線的斜率可知工'(%)>/'(/)〉為'@)>4(%).

故選：A.

9.(22-23高三上?上海浦東新?期中)若〃x)為可導函數(shù)，且則過曲線y=/(x)

x->o4x

上點(1,7(I))處的切線斜率為.

【答案】2

【分析】直接根據(jù)導數(shù)的定義計算得到答案.

【解析】一〃故心

xfo4xa。-2x

故答案為：2

10.(2024高三?全國?專題練習)已知函數(shù)〃x)=x(x-l)-(x-2)??…(x-100),貝。/'(0)=.

【答案】1X2X3X---X99X100.

【分析】根據(jù)函數(shù)/(X)在x=x0處的導數(shù)的定義即可求解.

［解析］*。)=Hm"0+⑸-”°)-。■(一f(?-4…3-1。。)一。

以f0Ax故一。Ax

=lim(Ax-l).(Ax-2)..…(Ax-100)=(-1)(-2)..…(-100)=lx2x3x---x99xl00.

故答案為：1X2X3X---X99X100.

?題型04求切線方程

11.(2024?全國?模擬預測)函數(shù)/(x)=x-cosx的圖象在x=0處的切線方程為.

【答案】x-y-l=O

【分析】先求解出導函數(shù)，然后計算出x=0時的導數(shù)值和函數(shù)值，可得切線的點斜式方程，再化為一般式

方程即可.

【解析】由題意，得/'（x）=l+situ,所以八0）=1,

又〃0）=T，所以切線方程為了-（T）=L（x-O）,即為x-y-l=O,

故答案為：x-y-l=O.

12.（23-24高三上?北京?階段練習）曲線>=在點［I，；1處的切線方程是

【答案】4x+4y-5=0

【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義，結合直線點斜式方程進行求解即可.

【解析】7=y=-2^—,

__^一i

3￡

所以曲線V=Jl—x在點處的切線的斜率為。「下

49224H-----

V4

x-|

所以方程為=4x+4y—5=0,

故答案為：4x+4y-5=0

/、IInx.x>2,

13.（2023?全國?模擬預測）過原點與曲線/（x）=x2+；x<；相切的一條切線的方程為■

【答案】N=2x或y=-2x或>=1x（寫出其中一條即可）

e

【分析】根據(jù)曲線y=/+l,x<2表示拋物線的一部分，設其切線方程為》=依，利用判別式法求解；設

/（x）=lnx,x>2的切線的切點為尸（x0,y0）,利用導數(shù)法求解.

【解析】解：設曲線尸/+1J<2表示拋物線的一部分,

設其切線方程為》=依，代入）=/+1,

得一日+1=0.由A=F—4=0,得左=±2.

當左=2時，x=l,符合題意，

當上=-2時，x=-\,均符合題意，

所以切線方程>=±2x.

設〃x）=lnx,xN2的切線的切點為尸（x。,%）.

由/'（x）=L得/（x（））=—,y0=lnx0,x0>2,

1

得切線方程為>=—x.

X。

將尸（x°,匕）的坐標代入切線方程，得%=1,

所以x°=e,所以切線方程為了=1x.

e

故答案為：y=2x或y=-2x或>=，x(寫出其中一條即可)

e

?題型05已知切線求參數(shù)(范圍)

14.(22-23高三上?山東臨沂?期中)若直線》=2無+“+1是函數(shù)/(x)=x+lru的圖象在某點處的切線，則實

數(shù)".

【答案】-2

【分析】利用，'(x)=2求得切點坐標，代入切線方程，從而求得。.

【解析】令/'(x)=l+：=2,解得x=l,所以切點為(1,1),

將(1』)代入切線V=2x+a+l得1=2+。+1,。=一2.

故答案為：-2

15.(23-24高二上?廣東深圳?期末)若曲線y=(x-a)e、有兩條過點(1,0)的切線，貝段的取值范圍是.

【答案】(f,l)U(5,+o5)

【分析】先利用導數(shù)求曲線N=(x-a)e、過坐標(1,0)的切線方程，再列出關于。的不等式，進而求得。的取

值范圍.

【解析】由y=(x-a)e*得j/=(x-a+l)e*,設切點坐標為(/，口。-a)e'"),

則切線斜率左=(尤0-a+l)e'。，

rJ

切線方程為y-(x0-a)e°=(x0-a+l)e°(x-x0),

又因為切線過(1,0),所以=(x0-a+l)e'o(l-xo),整理得焉+1)龍。+2。-1=0,

又曲線有兩條過坐標原點的切線，所以該方程有兩個實數(shù)解，

所以A=(a+l『-4(2(?-1)>0,解得a<1或a>5,

所以。的取值范圍是(F,1)U(5,M),

故答案為：(T?,1)U(5,+OO).

16.(23-24高三下?全國?階段練習)若存在過原點的直線與函數(shù)/(x)=(x2-2ax)e，的圖象切于了軸右側，

則。的取值范圍是()

A.[co,；

B.(-<?,1)

C.（l,+℃）

【答案】D

【分析】

先求得/'（x）=，+（2-2a）x-2a]e"設切點為。,/（。）《>0）,根據(jù)/（/）=/?,列出方程，得到

Z2+（l-2a）/=0,結合方程的根t=2"l>0,即可求解.

【解析】

由函數(shù)/（x）=（一—2ax）e”,可得/r（x）=^x2+（2-2?）x-2?^ex,

設切點為0）,可得/'（/）=*,即〃+（2-2a）f-2a=/-2°,

整理得〃+（1—2。）/=0,解得t=20—1或t=0（舍去），

因為存在過原點的直線與函數(shù)/（x）=（/-2雄卜的圖象切于歹軸右側，

所以/=2°-1>0,解得即實數(shù)f的取值范圍為+s]

故選：D.

17.（22-23高二下?陜西西安?期末）若曲線〃x）=j有三條過點（0,。）的切線，則實數(shù)。的取值范圍為

【答案】（0,《）

2

【分析】構造新函數(shù)％x）=±r,利用導數(shù)求得其單調(diào)性和極值，進而求得實數(shù)。的取值范圍.

e

【解析】設點尸（七,%）為曲線〃x）弓上一點，則〃x°）=當

又r（x）=：#=7，則/'（*=三含，

則曲線=J在點處的切線方程為

=又切線過點（0，。），

e0e0

則"自=皆（"即

x2x

r22xe-xex（2-x）

令h（x）=匚,則〃（x）=/"=益,

則xv0時h\x)<0,h(x)單調(diào)遞減；

0<x<2時h\x)>0,h(x)單調(diào)遞增；

x>2時力'(%)<0,〃(對單調(diào)遞減，

4

則x=0時A(x)取得極小值%(0)=0,%=2時A(x)取得極大值h(2)=—,

e

4

又〃(-l)=e>w=〃(；2),

e

T2,

當x>0時，/z(x)=一>0恒成立，％一+°0時，h(x)—>0,

ex

又由題意得方程a=3■有3個根，

ev°

則尸。與昨A(x)圖像有3個交點，貝ijae(0?).

則曲線/(x)=j有三條過點(0,。)的切線時實數(shù)。的取值范圍為(0,，).

?題型06兩條切線平行、垂直、重合(公切線)問題

18.(22-23高二上?陜西西安?期末)若曲線y=lnx+x2+l在點(1,2)處的切線與直線x+0-1=0垂直，則實

數(shù)a的值為()

A.-4B.-3C.4D.3

【答案】D

【分析】根據(jù)導數(shù)的運算公式以及切線的幾何意義求解.

【解析】因為y=lnx+x2+l,所以:/=l+2x,

當x=1時，_/=3,

所以曲線y=lnx+/+i在點(1,2)處的切線的斜率等于3,

所以直線x+今-1=0的斜率等于-；，

即--=——,解得a=3,

a3

故選:D.

19.(2023?山西,模擬預測)已知函數(shù)〃x)=(a-3)x3+(a-2)x2+(a-l)x+a若對任意％eR,曲線y=/(x)

在點&，/伍))和(fJ(f))處的切線互相平行或重合，則實數(shù)”()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】求得/''(x)=3(叱3)x2+2(a_2)x+a-l,根據(jù)題意轉化為了=/'(x)為偶函數(shù)，即可求解.

【解析】由函數(shù)小)=(。-3)工3+(。-2)/+(。-1)》+。,

可得f'（x）=3（a-3）x2+2（a-2）x+a-l,

因為曲線昨/(X)在點和處的切線互相平行或重合,

可得了=/'(x)為偶函數(shù)，所以0-2=0,解得。=2.

故選：C.

20.(21-22高三?江西?階段練習)若函數(shù)/(x)=3x+』-3(x>0)的圖象與函數(shù)g(x)=Zxe、的圖象有公切線/,

且直線/與直線y=+2互相垂直，則實數(shù)=()

A.—B.e2C.—或D.一或4八

eee

【答案】D

【分析】根據(jù)垂直性質(zhì)可得&=2,再求導根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得切線/的方程為y=2x-l,再設函數(shù)

g(x)=/xe，與直線/切于點(%,%),列式求解即可

【解析】由題知，左=2,令/'(x)=3=2,又x>0,解得x=l,因為/⑴=1,所以切線/的方程為

x

y=2x-\.g\x}=t{x+V)e,

設函數(shù)g(x)=W與直線/切于點(X。,%),

也二）?二fe'°

x

2x0-1=fxoe°

所以故2°

2=￡（/+l）ex°

Jo+1

即在二1二三，2x^-xo-l=O,解得。［或/一_5.

故選：D

?題型07切點、切線有關的其他問題

21.（23-24高三上?山西?階段練習）過點（2,0）作曲線〃x）=xe，的兩條切線，切點分別為（占,〃%））,

卜2，/（%）），則！+（=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【分析】求出導函數(shù)，設出切點坐標，利用導數(shù)幾何意義建立斜率方程，利用韋達定理化簡計算即可.

【解析】由題意得/'（x）=（x+l）e，，過點（2,0）作曲線〃x）=xe，的兩條切線，

設切點坐標為（%,且戶），則（尤o+l）e'。=三展，即（龍；-2無（）-2）e'。=0,

由于葭>0,故-2%0-2=0,A=12>0,

由題意可知X],入2為X；-2X（）-2=0的兩個解，則無i+x?=2,XjX2=-2,

,11X,1

故一+—=」-1=-l.

x{x2XxX2

故選：B

22.（2024?云南楚雄,模擬預測）曲線〃x）=x3-lnx在點（I,〃D）處的切線與坐標軸圍成的圖形的面積為一

【答案】y/0.25

4

【分析】先求出切線方程，后求圍成的三角形面積即可.

【解析】易知析X）的定義域為xe（0,+8）,而=故切點為易I）,

設切線斜率為左，且廣（幻=3/一工，故左=八1）=3-1=2,

X

切線方程為歹-1=2（%-1）,化簡得歹=2%-1,

當y=o時，x=[,當x=0時，y=-1,

易知圍成的圖形是三角形，設面積為S,故S=!X!XH=：

22114

故答案為：—

4

?題型08導數(shù)的運算

23.（23-24高二下?廣東?階段練習）求下列函數(shù)的導數(shù)

(1)y=exsinx-cosx

(2)y=tanx+ln(-x)

(3)7=x-sin^cos^

⑷,、廣一ln(l-x)

【答案】(l)y'=e"(sin%+cosx)+sinx；

11

(2)/=3+1

,1

(3)y=1——cosx；

1+(1-x)ln(l-x)

(4)y=-

(l-x)ex

【分析】(1)(2)(3)(4)利用求導公式、導數(shù)的運算法則求解即得.

【解析】(1)yr=(e%sinx)z-(cos，)'=exsinx+ex(sinx)'+sinx=ex(sinx+cosx)+sinx.

sinx.cos2x-sinx(-sinx)1,11

(2)y=----+ln(-x),則了f=-----------------+一.(—x)v=-^+一?

cos%cosX-xCOSXX

(3)y=x-^sinx,貝！J/=1一;cosx.

(4)“占rr)'-占-1+(1)ln(1).

7Clex(l-x)ex

24.(23-24高二下?重慶?階段練習)下列求導運算正確的是()

A.fx3+->1=3工2+二

VX)x

C.^22%y=22X+1D.x2cos^y=-2xsinx

【答案】B

【分析】對于A：根據(jù)導數(shù)的加法法則運算求解；對于B：根據(jù)導數(shù)的除法法則運算求解；對于C：根據(jù)復

合函數(shù)的鏈式法則運算求解；對于D：根據(jù)導數(shù)的乘法法則運算求解.

【解析】對于選項A：心+工］=3尤2_二，故A錯誤;

VX)X

對于選項叫『'=』型=皆’故B正確;

對于選項c：(22x)'=2X22xXIn2=In2X22x+1，故C錯誤;

對于選項D：(一cosx)=(x2)COSJC+X2(cosx)=2xcosx-x2sinx,故D錯誤;

故選：B.

25.(23-24高二下?北京?期中)下列導數(shù)運算錯誤的是()

A.f(x)=XQX,則/'(x)=(x+l)e*B./(x)=sinJ,則/'(x)=cos/

C./(x)=Vx,則/'(x)=￡^D./(x)=F，則—(x)=1

【答案】B

【分析】根據(jù)求導法則，求導公式逐個選項計算即可.

【解析】A選項，/(x)=xe",則/(x)=(x)e*+x(e*)=e*+xe*=(x+l)e*,A正確;

B選項，/(x)=sin-|,/,(x)=[sinyj=0,B錯誤;

jJ-1J

C選項,/(x)=?=(x)“r(x)=-x2=^-y=,C正確;

/(x)=—(inx)-x-lnx-(x)

D選項,1-lnxD正確.

故選：B

?題型09抽象函數(shù)的導數(shù)綜合

26.(23-24高二下?重慶?期中)已知函數(shù)及其導函數(shù)g(x)的定義域均為R,/(x+1)與g(x)均為偶函

2024

數(shù)，且/⑼=1,則￡/(%)=()

￡=0

A.2025B.2024C.1D.0

【答案】A

【分析】根據(jù)條件得到〃x)="2-x),“x)+/(-x)=2,從而得出函數(shù)/(x)是周期為4的周期函數(shù)，再根

據(jù)條件得到/(0)+/(1)+/(2)+/(3)=4,即可求出結果.

【解析】因為/(x+1)是偶函數(shù)，所以/(x)關于直線x=l對稱，即〃x)=/(2-x),

由題知g(x)=f'(x),又g(x)是偶函數(shù),所以g(-x)=g(x),

則r(x)=/1-X),貝W(-x)+c,

又y(o)=l,所以2/(0)=c,得到c=2,

所以/'(x)+/(f)=2,又由〃X)=/(2-X),得到/(一x)=〃2+x),

所以〃x)+/(2+x)=2①，/(2+x)+/(4+x)=2②，

由①②得到/(x)=/(x+4),所以函數(shù)〃x)是周期為4的周期函數(shù)，

由①得到/⑴+"3)=2,又/(0)=〃2)=1,所以〃0)+〃1)+/(2)+〃3)=4,

2024

故￡//)=506(/(0)+/(I)+/(2)+/(3))+/(2024)=4x506+/(0)=2024+1=2025,

左=0

故選：A.

27.(2024?山東,二模)已知〃x)為定義在R上的奇函數(shù)，設/'(x)為“X)的導函數(shù),若

/(x)=/(2-x)+4x-4,則廣(2023)=()

A.1B.-2023C.2D.2023

【答案】C

【分析】根據(jù)〃x)=/(2-x)+4x-4進行/(x)奇偶性和周期性的推導，得到析(x)是周期為4的偶函數(shù),

從而算出了'(2023)的值.

【解析】因為〃X)=〃27)+4X-4,所以兩邊求導，得r(x)=-_f(2—x)+4,

即/'(x)+/'(2-x)=4①

因為/(x)為定義在R上的奇函數(shù)，則/(r)=--Q),

所以兩邊求導，得/'(》)=/'(f),所以/(X)是定義在R上的偶函數(shù)，

所以/''(2-x)=/'(x-2),結合①式可得，r(x)+/V-2)=4,

所以/(x-2)+r(x-4)=4,兩式相減得，r(x)=Ax-4),

所以/(x)是周期為4的偶函數(shù)，

所以((2023)=/(-1)=/(1).

由①式，令x=l,得/(1)=2,所以r(2023)=/⑴=2.

故選：C.

28.(2024?河南周口?模擬預測)已知函數(shù)/'(x+g］是定義在R上的奇函數(shù)且在R上可導，若

-/(2+x)+4x=0恒成立，則廣(2024)=(

A.-2B.0C.1D.2

【答案】D

【分析】借助復合函數(shù)的導數(shù)計算與函數(shù)奇偶性的性質(zhì)可得函數(shù)/'（x）的周期性，結合賦值法計算即可得解.

【解析】由〃27）-〃2+x）+4x=0,則-r（2-x）-r（2+x）+4=0,

即/'（2—無）+/'（2+x）=4,

由函數(shù)/卜+；]為奇函數(shù)，故/

1

貝火

032-X2f

貝展+2）=廣31）=4--仙+2）,

即/''（x_l）+/'（x+2）=4=/'（x+2）+/'（x+5）,

即廣（x-l）=/（x+5）,故/'（X）為周期為6的周期數(shù)列,

故r（2024）=（（6x337+2）=（（2）,

對/''（2-x）+/'（2+x）=4,令x=0,有2/'（2）=4,即/'（2）=2,

故（（2024）=（（2）=2.

故選：D.

29.（23-24高三下?內(nèi)蒙古赤峰?開學考試）已知定義在R上的函數(shù)/（2x+2）為奇函數(shù)，且對VxeR,都有

j-x

,定義在R上的函數(shù)/'（x）為/（x）的導函數(shù)，則以下結論一定正確的是（）

A.〃x+2）為偶函數(shù)

D./'（x）為偶函數(shù)

【答案】D

【分析】利用奇偶對稱性、周期性以及復合函數(shù)求導法則即可判斷各項正誤.

【解析】對于選項A,因為/（2x+2）為奇函數(shù)，所以〃-2x+2）=-/'（2x+2）,則有〃-x+2）=-〃x+2）,

故/（x+2）為奇函數(shù)，故A錯誤；

對于選項B,因為/]x+￡|=/g_x],所以〃=+J=/=/（-x+2）,

又+2)=-〃x+2),故〃x)=-/(x+2)=/(x+4),即函數(shù)〃x)周期為4,

則0=4-+m‘故B錯誤；

對于選項C因為〃-x+2)=-/(x+2),所以卜(—+2)]=[一〃x+2)],

即一/'(-x+2)=-/'(x+2)，即/'(-x+2)=/'(x+2).

因為〃x)=-〃x+2),所以八"=-/。+2)=-八-x+2),

所以d￡H「+2)=-r圖”圖，故c錯誤;

對于選項D,由選項C可知，x+2)=/(x+2),所以/'(x)為偶函數(shù)，故D正確.

故選：D

30.(2024?江西鷹潭?一模)已知函數(shù)f(x),g(x)的定義域為R,g'(x)為g(x)的導函數(shù)，且

2023

/(x)+g-(x)-8=0,/(x-2)-g,(6-x)-8=0,若g(x)為偶函數(shù)，求￡/(")=.

?=1

【答案】16184

【分析】先利用復合函數(shù)的導數(shù)與g(x)的奇偶性判斷gG)的奇偶性，進而推得gG)與/⑴的周期性，再利

用賦值法求得了(2)J(4)J(l)+/(3)的值，從而得解.

【解析】因為g(x)是偶函數(shù)，則g(-x)=g(x),

兩邊求導得-g'(-x)=g'(x),所以寸⑴是奇函數(shù),故g'(0)=0,

由/(x)+g，(x)-8=0n/(x-2)+gg2)-8=0=/(x-2)=8-,

代入〃x-2)-g'(6-x)-8=0,得8-g'(x-2)-g'(6-x)-8=0,

貝Ug'(x-2)+g<6-X)=0,所以g'(x+4)+g'(-x)=0,

又g'(x)是奇函數(shù)，所以g'(x+4)=-g，(-x)=g'(x),

所以g'(x)是周期函數(shù)，且周期為4,

又〃x)+g'(x)-8=0,可知也是以4為周期的周期函數(shù)，

令x=4,得〃4)+g'(4)-8=/(4)+g'(0)-8=0,故/(4)=8,

而g，(2)=g，(2-4)=g\-2)=-g'(2)所以g'(2)=0,

令x=2,得/(2)+g@-8=0,則，(2)=8,

而〃D+g'⑴-8=0,/(3)+g-(3)-8=0,

又g'(3)=gX-l)=-g'(l),則/(1)+*3)=16,

2023

￡“〃)=5051y(1)+/(2)+〃3)+/(4)]+/(l)+/(2)+/(3)

n=\

=505x(8+16+8)+(8+16)=16184,

故答案為：16184.

【點睛】結論點睛：函數(shù)的對稱性與周期性：

(1)若/(x+a)+/(-x+b)=c,則函數(shù)/(x)關于中心對稱;

(2)若+=〃一x+6),則函數(shù)/(x)關于x=一對稱；

(3)若〃x+a)=〃無一〃)，則函數(shù),(x)的周期為2“；

(4)若/(x+a)=-/(x),則函數(shù)〃x)的周期為2a.

一、單選題

1.(202”湖南永州?三模)若某物體做直線運動，路程S(單位：m)與時間〃單位：s)的關系由函數(shù)s?)=左方告

2

表示.當t=2s時，該物體的瞬時速度v為--m/s,貝。當，=6s時，該物體行駛的路程為()

e

A.2e6B.4/C.2e'3D.

【答案】D

【分析】首先求出函數(shù)的導函數(shù)，再根據(jù)導數(shù)的物理意義求出參數(shù)上的值，即可求出函數(shù)解析式，再代入即

可；

t1.L2

【解析】解：因為S(/)=he-5,所以S'?)=--he?,因為當t=2s時，該物體的瞬時速度v為——m/s,所

2e

以S'(2)=-；heT=-j,解得人=4,所以s?)=4＞，所以S⑹=4e.3

故選：D

2.(2024?福建?模擬預測)已知直線y=+6既是曲線歹=lnx的切線，也是曲線歹=-ln(-x)的切線，則()

A.k=—,b=0B.k=l,6=0

e

C.k=-,b=-lD.k=1,b=-l

e

【答案】A

【分析】設出切點，寫出切線方程，利用對應系數(shù)相等建立方程，解出即可.

【解析】設直線與曲線＞=lnx的切點為(X],lnxj且再＞0,

與曲線＞=-ln(-x)的切點為(X2，-In(-X2))且無2＜。，

又y'=(lnx)=：,/=[-ln(-x)]=--i-,

則直線y=h+b與曲線y=lnx的切線方程為＞-ln再即了=!工+111玉一1,

再再

直線歹=京+，與曲線V=-ln(-x)的切線方程為y+ln(-％)=---(%-%2)，即歹=----x+l-ln(-x2),

故選：A.

3.(2024?黑龍江?二模)函數(shù)/(x)=M+i在―一處的切線方程為()

A.y=4x+6B.y=-2x+6

C.y=-3x-3D.y=-3x-1

【答案】D

【分析】當x＜0時/(x)=-d+l,利用導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再由點斜式求出切線方程.

【解析】因為小)=1+1,則/(一1)=卜1升+1=2,

當x＜0時/(%)=3+1,貝IJ/(x)=_3x2,所以/，(一i)=_3x(-iy=_3,

所以切點為(-1,2),切線的斜率為-3,

所以切線方程為尸2=-3(》+1),即y=-3x-l.

故選：D

4.(2024?遼寧大連?一模)斜率為1的直線/與曲線y=ln(x+a)和圓/+/=；都相切，則實數(shù)。的值為()

A.0或2B.-2或0C.—1或0D.0或1

【答案】A

【分析】設直線/的方程為y=x+6,先根據(jù)直線和圓相切算出b,在根據(jù)導數(shù)的幾何意義算4.

【解析】依題意得，設直線/的方程為＞=x+b,

\b\_V2

由直線和圓/+/=;相切可得,解得b=±1,

2

當b=l時，歹=x+1和＞=111(%+。)相切，

設切點為(〃?,")，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，-=1,

m+a

n=0

n=m+l

又切點同時在直線和曲線上，即一、，解得m=-l,

n=m(m+a)

a=2

即y=x+1和y=ln(x+2)相切，此時將直線和曲線同時向右平移兩個單位,

y=x-l和夕=lnx仍會保持相切狀態(tài)，即6=-1時，a=0,

綜上所述，a=2或。=0.

故選：A

5.(2024?全國?模擬預測)若直線V=x與曲線y=lQg'x(八0且"1)無公共點，則實數(shù)。的取值范圍是

()

【答案】D

【分析】由0＜。＜1時，易知直線了=x與曲線y=log“x必有一個公共點，當。＞1時，由直線與曲線相切，

利用導數(shù)法求得〃一￡，再由圖象位置判斷.

ct-V

【解析】解：當0＜。＜1時，直線y=x與曲線y=log,x必有一個公共點，不合題意，

當。＞1時，若直線與曲線相切，設直線＞=x與曲線y=bg“x相切于點(%,%),則^^=1,得

/inaIna

由切點在切線上，得歹。=/二'；—，

Ina

由切點在曲線上，得比=10gMo=bg”，

In(7

所以/=e,〃=1.

如圖所示:

故當直線y=x與曲線歹=1陪％(a>o且"1)無公共點時，a>ei.

故選：D

【點睛】思路點睛：o<a<i時，由>=x單調(diào)遞增，y=log,x單調(diào)遞減容易判斷；。>1時，利用導數(shù)法研

究直線與曲線相切時。的值，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)在第一象限內(nèi)隨底數(shù)a的增大，圖象向x軸靠近而得解.

6.(2024?江蘇?模擬預測)貝塞爾曲線(Beziercurve)是應用于二維圖形應用程序的數(shù)學曲線，一般的矢量

圖形軟件通過它來精確畫出曲線.三次函數(shù)/(x)的圖象是可由A,B,C,。四點確定的貝塞爾曲線，其中

A,。在〃x)的圖象上，在點A,。處的切線分別過點3,C.若/(0,0),5(-1,-1),C(2,2),

￡>(1,0),則〃x)=()

A.5x3-4x2-xB.3x3-3x

C.3x3-4x2+xD.3x3-2x2—x

【答案】C

【分析】由題意設出函數(shù)表達式，結合函數(shù)值、切線斜率建立方程組，待定系數(shù)即可得解.

【解析】/(x)=ax3+bx2+cx+d,貝！j/Ix)=3ax2+26x+c,

〃0)=d=0

/⑴=q+b+c+d=0a=3

b二—4

由題意</'⑼=。=書=%,解得.,,所以〃x)=3d-4f+x

—1—UC=1

2-0d=0

/⑴=3a+26+c=27=噎

故選：C.

7.(2024?海南海口?二模)已知函數(shù)〃x)的定義域為R,/(x+1)是偶函數(shù)，當x<；時,

/(x)=ln(l-2x),則曲線>=/(x)在點(2J(2))處的切線斜率為()

22

A.—B.—C.2D.—2

55

【答案】C

3

【分析】根據(jù)函數(shù)對稱性求出時的/（X）解析式，利用導數(shù)的幾何意義求解.

【解析】因為/（X+1）是偶函數(shù)，所以函數(shù)〃無）的圖象關于尤=1對稱，則"2-x）=f（x）,

31

當x>—時，2—x<一,

22

?./（2-x）=ln[l-2（2-x）]=ln（2x-3）,

.-./（x）=ln（2x-3）,則/，⑺

??.r（2）=2,即曲線〉=“X）在點（2,/（2））處切線的斜率為2.

故選：C.

8.（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預測）設〃x）=sinx,f^x）=f'[x},f2{x）=f；{x）,…/M（X）=<（X）,則

我融于（）

A.0B.皂C.D.；

222

【答案】A

【分析】根據(jù)題意分析可知：可知力+4（x）=/,（x）,且工（x）+力（無）+力（x）+/；（x）=0,結合周期性分析求

【解析】由題意可得：＜(x)=cosx,力(x)=-sinXJ(無)=-cosx/(x)=sin尤,力(x)=cosx,

可知，+4(x)=/,(x),且工(x)+力(x)+力(x)+/(x)=0,

2024/\

且2024=506x4,所以=

故選：A.

二、多選題

9.（2021?廣東?模擬預測）某地下車庫在排氣扇發(fā)生故障的情況下測得空氣中一氧化碳含量達到了危險狀態(tài),

經(jīng)搶修排氣扇恢復正常，排氣4分鐘后測得車庫內(nèi)的一氧化碳濃度為64ppm,繼續(xù)排氣4分鐘后又測得濃

度為32ppm.由檢驗知該地下車庫一氧化碳濃度y（單位：ppm）與排氣時間f（單位：分）之間滿足函數(shù)關

系y=/C）,其中索=尺（R為常數(shù)）.若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5ppm,人就可以安全進入車庫了,

則下列說法正確的是（）

A-R=e~^

?In2

B.R=----

4

C.排氣12分鐘后，人可以安全進入車庫

D.排氣32分鐘后，人可以安全進入車庫

【答案】BD

【分析】

由已知徐=尺，找到函數(shù)模型，通過待定系數(shù)法得到函數(shù)解析式，再解不等式即可.

JV7

【解析】

因為今=a，所以/0）符合要求.

JV）

pre4A=64

又［"蹉=32

解得五=一半，0=128,故B正確，A錯誤.

4

In2

”/）=128屋7，

,?2居1

當/⑺40.5時，即128屋7＜05,得e4＜—＞

一,256

所以-qtwin上，即的TM2--=32,所以排氣32分鐘后，人可以安全進入車庫，故D正確，C

4256In2

錯誤，