第01講兩條直線的位置關系（7類熱點題型講練）

學習目標

i.理解對頂角、補角和余角的概念，能在圖形中辨認；

2.掌握對頂角相等的性質和它的推證過程；

3.掌握對頂角相等、同角或等角的余角相等、同角或等角的補角相等，并能解決一些實際問題.

4.理解垂線、垂線段的概念，會用三角尺或量角器過一點畫已知直線的垂線；

5.掌握點到直線的距離的概念，并會度量點到直線的距離；

6.掌握垂線的性質，并會利用所學知識進行簡單的推理.

思維導圖

相交線：若兩條直線只有一個公共點，我們稱這

兩條直線為相交線.

對頂角的概念概念：一個角的兩邊分別是另一個

2一角的兩邊的反向延長線且這兩個角有公共頂點，

相父線"這樣的兩個角叫做對頂角.性質：對頂角相等.

互補：如果兩個角的和是180°,那么稱這兩個角

兩條互為補角，也稱互補.互余：如果兩個角的和是

L90°,那么稱這兩個角互為余角，也稱互余性

直線質：同角涯角的補角相等；同角或等角的余角

相等.

的位

■垂直的概念及表示.兩條直線相交成四個角，如果

系有一個角是直角，那么稱這兩條直線互相垂直

垂直的性質：（1）平面內，過一點有且只有一條

垂線-直線與已知直線垂直.（2）直婚一點與直線上

各點連接的所有線段中，垂線段".

點到線的距離：如下圖所示，過點A作直線的垂

L線，垂足為點B,則線段AB的長度叫做點A到直

線的距離，此時線段AB叫垂線段.

知識清單

知識點01相交線

1.相交線：若兩條直線只有一個公共點，我們稱這兩條直線為相交線.表示方法：如下圖，直線AB與直線

C。相交于點0

A

D

B

2.對頂角的概念及性質

對頂角的概念概念：一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線且這兩個角有公共頂點，這樣的兩

個角叫做對頂角.性質：對頂角相等.

3.互補與互余

互補：如果兩個角的和是180°,那么稱這兩個角互為補角，也稱互補.互余：如果兩個角的和是90°,

那么稱這兩個角互為余角，也稱互余.

性質：同角或等角的補角相等；同角或等角的余角相等.

知識點02垂線

1.垂直的概念及表示.兩條直線相交成四個角，如果有一個角是直角，那么稱這兩條直線互相垂直，其中

的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.通常用符號表示兩條直線互相垂直.如下

圖，直線A8與直線垂直，記作A8_LC。，垂足為。.垂直的概念包含兩個方面的含義：一方面由直角

（90°的角）可以得到兩條直線垂直；另一方面由兩條直線垂直可以得到直角（或90°的角）

2.垂直的性質：（1）平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

（2）直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短.

3.點到線的距離：如下圖所示，過點A作直線/的垂線，垂足為點8,則線段A8的長度叫做點A到直線/的

距離，此時線段叫垂線段.

1

BI

題型精講

題型01對頂角的定義

【例題】（2023上?黑龍江哈爾濱?七年級哈爾濱市虹橋初級中學校校考階段練習）在下圖中，Zl,N2為對

頂角的是（）

【答案】B

【分析】本題主要考查了對頂角的定義，根據對頂角的定義進行判斷：兩條直線相交后所得的只有一個公

共頂點且兩個角的兩邊互為反向延長線，這樣的兩個角叫做對頂角，依次判定即可得出答案.

【詳解】解：根據對頂角的定義，只有8選項正確，

故選：B.

【變式訓練】

1.（2023上?黑龍江哈爾濱?七年級校考期中）下列各圖中，N1與N2是對頂角的是（）

【答案】C

【分析】本題考查了對頂角的定義，根據對頂角的定義判斷即可.有一個公共點，并且一個角的兩邊分別

是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關系的兩個角互為對頂角.

【詳解】解：4N1的兩邊不是N2的兩邊的反向延長線，N1與N2不是對頂角，故該選項不合題意；

B、N1的兩邊不是N2的兩邊的反向延長線，N1與N2不是對頂角，故該選項不符合題意；

C、N1的兩邊分別是N2的兩邊的反向延長線，N1與N2是對頂角，故該選項符合題意；

D、N1的兩邊不是N2的兩邊的反向延長線，N1與N2不是對頂角，故該選項不合題意.

故選：C.

2.（2023上?黑龍江哈爾濱?七年級校考階段練習）下列各圖中，N1和/2是對頂角的是（）

【答案】C

【分析】根據對頂角的兩邊互為反向延長線對各圖形分析判斷后進行解答.

【詳解】解：根據對頂角的定義：

A.N1和N2的兩邊不是互為反向延長線，不是對頂角；

B.N1和N2的兩邊不是互為反向延長線，不是對頂角；

C.N1和N2的兩邊互為反向延長線，是對頂角；

D.N1和N2的頂點不同，不是對頂角；

故選：C.

【點睛】本題主要考查了對頂角，正確把握對頂角的定義是解題關鍵.

題型02利用對頂角相等求角度

【例題】（2023上?廣東珠海?八年級珠海市第九中學校考期中）如圖，直線A3,。相交于點。，OE平分

NBOD,若NAOC=40。，則/COE的度數為（）

【答案】D

【分析】首先根據對頂角相等和角平分線的概念得到/DOE=/BOE=gzBOD=20。，然后根據平角的概

念求解即可.

【詳解】SZAOC=40°

SZBOD=ZAOC=40°

團。￡平分/30￡）,

0/DOE=ZBOE=-ZBOD=20°

2

回ZCOE=180°-ZDOE=160°.

故選：D.

【點睛】此題考查了對頂角相等，角平分線的概念，平角的概念，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點.

【變式訓練】

1.（2023下?云南昭通?七年級統考階段練習）如圖，直線AB、CD相交于點O,ZAOC-.ZAOD=2.3,則/B。。

的度數為（）

【答案】C

2

【分析】首先根據Z4OC:Z4OD=2:3結合平角的概念得到ZAOC=180°x-=72°,然后利用對頂角相等得到

ZBOD=ZAOC=72°.

【詳解】團NAOC:/4OD=2:3,ZAOC+ZAOD=180°

0ZAOC=18O°x-=72°

5

ZBOD=ZAOC=72°.

故選：C.

【點睛】此題考查了平角的概念，對頂角相等，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點.

2.（2023上,四川巴中?七年級四川省巴中中學校考階段練習）如圖，兩直線相交于一點，若Nl+N3=80。,

則回3的度數為.

【答案】40740S

【分析】本題考查了對頂角的知識，根據N1,/3互為對頂角，且/1+/3=80。，可求得N1,/3的度數.

【詳解】解：?.?Z1,N3互為對頂角，Zl+Z3=80°,

.-.Zl=Z3=40o.

故答案為：40°.

題型03求一個角的余角、補角

【例題】（2023上?四川內江?七年級統考期末）如果NA=25。，那么-4的余角等于；的補角

為.

【答案】65。/65度155。/155度

【分析】利用兩角互余及互補的定義，進行計算，即可求解.

【詳解】解：?.?4=25。，

的余角為：90°-25°=65°,/A的補角為：180。—25。=155。，

故答案為：65°,155°.

【點睛】本題考查了兩角互余及互補的定義，牢固掌握兩角互余及互補的定義，發現隱含條件：兩角之和

是90。或180。，并能熟練運用.

【變式訓練】

1.（2023上?海南省直轄縣級單位?七年級統考期末）若Na=47。20',則Na的余角等于,/a的補

角等于.

【答案】42040,132。40'

【分析】兩個角的和為90。，則這兩個角互余，兩個角的和為180。，則這兩個角互為補角，根據互余與互補

的定義求解即可.

【詳解】解：：Za=47°20,,

Ela的余角=90°-47°20'=42°40,

0a的補角=180°—47°20'=132°40'

故答案為：42。40',132。40'.

【點睛】本題考查的是互余與互補的含義，角的四則運算中的減法運算，掌握"互余與互補的含義”是解本題

的關鍵.

2.（2023?全國?七年級專題練習）38。41'的余角等于,123。59'的補角等于.

【答案】51。19'56°V

【分析】根據余角的定義和補角的定義計算即可.

【詳解】解：回90°—38°41'=51°19',

回38。41'的余角等于51。19'；

回180°—123°59'=56°1',

町23。59'的補角等于56。1'.

故答案為：51。19'；56°V.

【點睛】本題考查余角和補角，解題的關鍵是明確余角和補角的定義.

題型04垂線的定義的理解與應用

【例題】（2023下?安徽宿州?七年級校考期中）如圖，P是直線/外一點，A,B,C三點在直線/上，且

于點B,ZAPC=90°,則下列結論中正確的是（）

①線段的長度是點尸到直線/的距離；②線段A尸是A點到直線尸C的距離；③在弘PB,PC三條線

段中，PB最短;④線段PC的長度是點P到直線/的距離

A.①②③B.③④C.①③D.①②③④

【答案】C

【分析】本題考查了點到直線的距離及垂線段最短等知識點.點到直線的距離，即過這一點做目標直線的

垂線，由這一點至垂足的距離.熟記相關結論是解題關鍵.

【詳解】解：回于點8,

團線段8尸的長度是點尸到直線/的距離，故①正確，④錯誤；

SZAPC=90°,

團線段AP的長度是A點到直線PC的距離，故②錯誤；

根據垂線段最短，在叢PB,PC三條線段中，PB最短,故③正確；

故選：C.

【變式訓練】

1.（2023下?河南濮陽?七年級統考期末）如圖，在測量跳遠成績的示意圖中，直線/是起跳線，則需要測量

的線段是（）

A.AEB.ACC.ADD.BE

【答案】B

【分析】利用垂線段最短求解.

【詳解】解：根據垂線段最短可得，需要測量的線段是AC,

故選：B.

【點睛】此題主要考查了垂線段最短，正確掌握垂線段的性質是解題關鍵.

2.（2023下?山東臨沂?七年級校考階段練習）如圖所示，下列說法不正確的是（)

A.點8到AC的垂線段是線段A3B.點C到的垂線段是線段AC

C.線段AD是點。到的垂線段D.線段是點8到AD的垂線段

【答案】C

【分析】根據垂線段的定義逐個判斷即可.

【詳解】解：A、點8到AC的垂線段是線段A3,正確，故此選項不符合題意；

8、點C到的垂線段是線段AC,正確，故此選項不符合題意；

C、線段AD是點A到BC的垂線段，原說法錯誤，故此選項符合題意；

D、線段8。是點8到AD的垂線段，正確，故此選項不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查了垂線段的定義，熟練掌握過直線外一點作這條直線的垂線，這點與垂足構成的線段叫

垂線段是解此題的關鍵.

題型05利用垂線的定義求角的度數

【例題】（2023上?吉林長春?七年級校考期末）如圖，直線45、CD相交于點O,EOLO9，且OC平分/AOE,

若ZBOF=36°.

EB

F

C——卞——D

A

⑴求/AOC的度數；

⑵寫出ZDOF的度數是'

【答案】⑴ZAOC=63。

(2)27

【分析】本題考查了角平分線定義，垂直的定義；

(1)先由垂直求出/3OE,再由平角求出/AOE,最后根據角平分線求出/AOC；

(2)由平角/DOC求出ZDO尸即可.

【詳解】(1)0EO1OF,

SZEOF=90°,

X0ZBOF=36°,

0ZEOB=ZEOF-ZBOF=90-36=54°,

0ZEOA=180-ZEOB=180-54=126°,

又EIOC平分/AOE,

B1ZAOC=ZFOC=-ZAOE=-xl26=63°；

22

(2)ZDOF=180°-ZFOC-ZFOE=180°-90°-63°=27°,

故答案為：27.

【變式訓練】

1.(2023上?北京石景山?七年級統考期末)已知：OALOB,射線OC是平面上繞點O旋轉的一條動射線,

0。平分/3OC.

A

(1)如圖，若/BOC=40。，求ZAO“

⑵若/BOC=&（00<6Z<180。），直接寫出ZAOD的度數.（用含1的式子表示）

【答案】⑴70。

⑵90。-5或90。+5

【分析】本題考查了角的計算，角平分線，垂直的意義.

（1）根據垂直的定義和角平分線的定義以及角的和差即可得到結論；

（2）根據垂直的定義和角平分線的定義以及角的和差即可得到結論.

【詳解】（1）解：（1）-：OALOB,

：.ZAOB=90。（垂直定義）.

平分/30C,

二.NBOD=；/BOC（角平分線定義）.

■.■ZBOC=40°,

Z.BOD=20°.

ZAOD=ZAOB-ZBOD,

:.ZAOD=1Q°.

（2）解：當OC在—AO3的內部時，

-.-OA±OB,

.-■ZAOB=90°,

?.?0￡）平分/30C,

ZBOD=~ZBOC,

2

,/ZBOC=a,

/.ZBOD=—a,

2

ZAOD=NAOB-ZBOD=90°--a,

2

當OC在/A03的外部時,

A

同理得ZAOD=ZAOB+ZBOD=90。+a,

綜上所述，N4OD的度數為90。-《a或90。+工。.

22

2.（2023上?吉林長春,七年級統考期末）如圖，直線與CD相交于點孔于點F.

⑴圖中與N1相等的角是,與N1互余的角是「

（2）若/AFD=155。，求NDEE的度數.

【答案】⑴N2,Z3；

(2)115°.

【分析】本題考查了垂線，余角和補角，對頂角，

（1）根據對頂角相等得出N1=N2,根據余角的性質得出與N1互余的角是23；

（2）根據鄰補角的性質求出N3ED的度數，再根據垂線的定義求出/班E的度數，即可求出/DEE的度數;

熟練掌握這些知識點是解此題的關鍵.

【詳解】（1）回N1和N2的對頂角，

EIZ1=Z2,

0EF±AS,

0ZAFE=9O°,

即/2+N3=90°,

0/1+/3=90°,

即與N1互余的角是/3,

故答案為：N2,Z3；

(2)EZATO=155°,

0Z.BFD=180°-ZAFD=180°-155°=25°,

0EF±AB,

SZBFE=90°,

ElZDFE=NBFD+NBFE=25°+90°=115°.

題型06作垂線與求點到直線的距離

【例題】(2023上?吉林長春?七年級統考期末)如圖，在6x6的正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1,

其頂點稱為格點，點A、8、C、O均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網格中，按下列要求作圖,

保留作圖痕跡.

坦

V：

⑴畫線段A3,畫直線AC.

⑵過點。畫直線AC的垂線，垂足為E.

(3)點D到直線AC的距離為線段一的長度.

【答案】⑴見解析

(2)見解析

(3)DE

【分析】本題考查作圖-應用與設計作圖、直線、射線、線段、垂線、點到直線的距離，熟練掌握相關知識

點是解答本題的關鍵.

(1)根據線段、直線的定義畫圖即可.

(2)結合網格，過點。作DE垂直直線AC即可.

(3)由點到直線的距離可知，點。到直線AC的距離為線段DE的長度.

【詳解】(1)解：如圖，線段A3、直線AC即為所求.

(2)如圖,DE即為所求.

（3）點。到直線AC的距離為線段DE的長度.

故答案為：DE.

【變式訓練】

1.（2023上?黑龍江哈爾濱?七年級哈爾濱市第十七中學校校考階段練習）如圖，所有小正方形的邊長都為1

⑴過點A作直線8c的垂線，垂足為G；

⑵過點A作直線AH，A8,垂足為A,直線A”交BC于點H；

⑶點A到直線BC的距離等于個單位長度.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

（3）2

【分析】（1）根據垂線的定義作出圖形即可；

（2）根據垂線的定義作出圖形即可；

（3）線段AG的長即為點A到直線3C的距離.

【詳解】（1）解：如圖，直線AG即為所求.

【點睛】本題考查作圖-應用與設計作圖，垂線，點到直線的距離等知識，解題的關鍵是理解垂線的定義，

屬于中考常考題型.

2.（2023下?河南許昌?七年級校考期中）如圖，網格線的交點叫格點，格點尸是一493的邊上的一點

（請利用三角板和直尺借助網格的格點畫圖）.

⑴過點尸畫。8的垂線，交于點E；過點尸畫。4的垂線，垂足為尸；

(2)線段尸歹的長度是點尸到的距離，線段的長度是點E到直線08的距離，所以線段

PE、PF、OE這三條線段大小關系是(用號連接)，理由是.

【答案】(1)圖見解析

(2)OA,PE,PF<PE<OE,垂線段最短

【分析】(1)如圖，找點C,連接PC,與交點即為E,過P點作豎直的線，與。4交點即為F；

(2)根據點到直線的距離的定義、垂線段最短即可求解.

【詳解】(1)解：由題意作圖如下，PE是0B的垂線，是的垂線.

(2)解：線段尸尸的長度是點P到Q4的距離，線段PE的長度是點E到直線。3的距離，

由垂線段最短可知，PF<PE<OE,

故答案為：OA,PE,PF<PE<OE,垂線段最短.

【點睛】本題考查了作垂線，垂線段最短.解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用.

題型07與對頂角、余角、補角、直角有關的綜合計算問題

【例題】(2023上?黑龍江綏化?七年級校考階段練習)如圖，直線A3、。相交于點O,ZBOC=75°,射

線ON將44OD分成兩個角，且ZAQV:ZM9D=2:3.

⑴求NAON的度數；

(2)若加平分ZBQN,則08是NCOM的平分線嗎？判斷并說明理由.

【答案】⑴ZAQV=30。

(2)08是/COM的平分線，理由見解析

【分析】本題考查了幾何圖形中的角度計算，角平分線的定義：

（1）由對頂角相等可得NAOD=/BOC=75。，再根據ZAON:ZM9D=2:3即可求解；

（2）由鄰補角的性質求得/BON,再由角平分線的性質求得即可得出結論.

【詳解】⑴解：：40c=75。，

ZAOD=ZBOC=15°,

ZAONtZNOD=2:3,ZAON+NNOD=ZAOD,

22

/.ZAON=-ZAOD=-xr75°=30°；

55

（2）解：是.理由如下：

???NAON=30。，

ZBON=180°-ZAON=180°-30°=150°,

???OM平分ZBON,/BON=150°,

/BOM=-ZBON=-xl50°=75°,

22

Z.BOC=75°,ZBOM=75°,

???NBOC=NBOM,

..03是NCQVf的平分線.

【變式訓練】

1.（2023下?陜西西安?七年級校聯考階段練習）如圖，直線AB,CO相交于點O,OMLCD,垂足為。,

ZBOD=28°

⑴求的度數.

⑵若。4平分NMOE,求/BOE的度數.

【答案】⑴62。

（2）118°

【分析】（1）由垂直的定義和對頂角相等，求解即可;

（2）由角平分線的定義，鄰補角的性質，即可求解.

【詳解】（1）解：因為0MLCD,

所以/MOC=90。

因為NAOC=NBOD=28。，

所以ZAOM=90°-28°=62°.

（2）因為。1平分NA7OE,

所以ZEOA=ZAOM=62°.

因為ZBOE+ZAOE=180°,

所以NBQE=180°—62°=118°.

【點睛】本題考查了垂線，對頂角相等，鄰補角的性質，角平分線的定義，解題的關鍵是熟練掌握相關基

礎知識.

2.（2023下?陜西西安,七年級校考階段練習）如圖，直線A3與CO相交于O,OF,0。分別是—AOE,NBOE

的平分線.

C

⑴寫出NOOE的兩個補角；

（2）若ZBOE=62°,求ZAC?和ZEOF的度數；

⑶試問射線。。與O尸之間有什么特殊的位置關系？為什么？

【答案】（l）NCOE,ZAOD

⑵ZAO￡>=149°,ZEOF=59°

⑶垂直，見解析

【分析】（1）根據角平分線的定義結合鄰補角的性質即可解答；

（2）根據角平分線的定義和鄰補角的性質解答即可；

（3）根據角平分線的定義和鄰補角的性質可得43=90。，即可得出結論.

【詳解】（1）回。。是/BOE的平分線，

aNDOE=NBOD,

0ZDOE+ZCOE=180°,ZBOD+ZAOD=180°,

I3ZDQE的兩個補角為：ZCOE,ZAOD；

（2）團。。是NBOE的平分線，ZBOE=62°,

0ZBOD=ZDOE=31°,ZAOE=180°-Z.BOE=118°,

團NAOD=180°—N3OD=149°；

團OF是NAOE的平分線.

ElNEOF=ZAOF=-NAOE=59°,

2

即ZAOD=149°,NEO尸=59°；

（3）射線。。與O尸互相垂直.理由如下：

0OF,分別是—AOE,NBOE的平分線,

0NDOE=-NBOE,ZEOF^-ZAOE,

22

0ZDOF=NDOE+NEOF=g(NBOE+NAOE)=：x180°=90°；

即射線。。與OF互相垂直.

【點睛】本題考查了角平分線的定義、鄰補角的性質和垂直的定義，屬于基礎題型，熟練掌握角平分線的

定義等基本知識是關鍵.

強化訓練

一、單選題

1.（2023下?遼寧大連?七年級校聯考階段練習）下列圖中，N1與N2是對頂角的是（）

【答案】D

【分析】根據對頂角的定義判斷即可.

【詳解】解：A、N1與N2不是對頂角，故此選項不符合題意；

B、N1與N2不是對頂角，故此選項不符合題意；

C、N1與/2不是對頂角，故此選項不符合題意；

D、N1與N2是對頂角，故此選項符合題意；

故選：D.

【點睛】本題主要考查了對頂角的定義，掌握有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊

的反向延長線，具有這種位置關系的兩個角，互為對頂角是關鍵.

2.（2023下?海南省直轄縣級單位?七年級統考期中）如圖，直線A5、CZ）相交于點。，OE平分/3OC,若

NBOD:NBOE=2:5,則/AOE的大小為（）

【答案】D

【分析】根據角平分線的定義得到NCOE=4OE,根據鄰補角的定義列出方程，解方程求出NBt?,根

據對頂角相等求出-AOC,結合圖形計算，得到答案.

【詳解】解：設NBOD=2x,

■：NBOD.NBOE=2:5,

:.NBOE=5x,

?.?OE平分/BOC,

:.ZCOE=ZBOE=5x,

r.2x+5x+5x=180°,

解得，x=15。，即/3。。=30。，NCOE=15。,

ZAOC=/BOD=30°,

/AOE=ZCOE+ZAOC=105°,

故選：D.

【點睛】本題考查的是對頂角、鄰補角的概念，掌握對頂角相等、鄰補角之和為180。是解題的關鍵.

3.（2023下?七年級單元測試）如圖，直角三角形ABC中，ZACB=90°,CDLAB,垂足為點。，則下列

說法正確的是（）

C

A.線段AC的長表示點C到A3的距離B.線段CO的長表示點A到。的距離

C.線段BC的長表示點8到AC的距離D.線段的長表示點C到D3的距離

【答案】C

【分析】根據點到直線距離的定義，逐個進行判斷即可.

【詳解】解：A、線段AC的長表示點A到BC的距離，故A不正確，不符合題意;

B、線段CD的長表示點C到A3的距離，故8不正確，不符合題意；

C、線段的長表示點2到AC的距離，故C正確，符合題意；

D、線段2。的長表示點B到CO的距離，故。不正確，不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題主要考查了點到直線的距離，解題的關鍵是掌握點到直線的垂線段的長度是點到直線的距離.

4.（2023上?貴州遵義?七年級校聯考期末）如圖，已知直線和CO相交于點。，NDOE是直角，OF平分

NAOE,ZCOF=34°,則-3。。的度數為（）

A.22°B.32°C.34°D.56°

【答案】A

【分析】本題考查角平分線定義，角度的計算，余角定義，鄰補角定義.根據題意先計算出/反加=56。,

再利用角平分線性質得到NBOE=112°,即可計算出本題答案.

【詳解】解：回NDOE是直角，ZCOF=34°,直線A3和C。相交于點O,

EIZEOC=90o,

0NEOF=ZEOC一ZCOF=56°,

團OF平分NAOE,

ZAOF=ZEOF=56°,

EIZAOE=112O,

0ZBOE=180°-112°=68°,

0/BOD=90°-68°=22°,

故選：A.

5.（2023下?天津?七年級校考期末）已知（MLOB,直線8經過點。且NAOC=40度，則/3O。等于（）

A.130°B.50°C.130°或50°D,40°

【答案】C

【分析】根據垂線的定義結合題意，分OC在，AQB的內部時，OC在—AO3的外部時，求解即可.

【詳解】解：當OC在NAO3的內部時，

SZAOC=40°,OAA,OB,

0Z.BOC=90°-ZAOC=90°-40°=50°,

0ZBOD=180°—NBOC=180°—50°=130°.

當OC在2A03的外部時，

Z.BOD=180°-ZAOC-ZAOB=180°-40°-90°=50°.

【點睛】本題考查垂線的定義，鄰補角互補以及角的和差關系，利用數形結合和分類討論的思想是解題關

鍵.

二、填空題

6.（2023上?江蘇泰州?七年級期末）一個角的補角是其余角的4倍，則這個角為。.

【答案】60

【分析】本題考查補角的概念、余角的概念和一元一次方程，設這個角為x,根據補角的定義和余角的定義,

列式求解即可.

【詳解】解：設這個角為x,

由題意得：180。—尤=4（90。—力,解得x=60。,

故答案為：60.

7.（2023上?黑龍江哈爾濱?七年級統考期末）如圖，這是小濤同學在體育課上某一次跳遠后留下的腳印.通

過測量得到如下數據：AB=L95米，AC=1.90米，/汨=1.74米，D尸=1.85米，其中AC,分別垂直起

跳線于C,￡.小濤這次跳遠成績是米.

【答案】1.74

【分析】此題主要考查了垂線段最短，正確理解題意是解題關鍵.直接利用跳遠成績應該是垂線段最短距

離進而得出答案.

【詳解】解：由題意可得：小濤同學這次跳遠的成績應該是OE的長1.74米.

故答案為：L74.

8.（2023下?江西南昌,七年級校考階段練習）如圖，直線A8與直線MN相交，交點為。，OCLAB,Q4平

分ZMOD,若ZBON=20。則NCOD的度數為.

【分析】利用對頂角相等可得NAOM的度數，再利用角平分線的定義和垂線定義進行計算即可.

【詳解】解：???/BON=20。，

.".ZAOM=20°,

?.?04平分/MOD,

:.ZAOD=ZMOA=20°,

SAB,

:.ZAOC=90°,

ZCOD=90°-20°=70°；

故答案為：70°.

【點睛】本題考查幾何圖形求角度，熟練掌握對頂角相等、角平分線的定義、垂線定義是解題的關鍵.

9.（2023上?黑龍江哈爾濱?七年級統考期末）同一平面內兩條直線9，CD相交于點。，ZAOC=40°,

EO1AB,垂足為。，則NCOE的度數是.

【答案】50。或130。

【分析】本題主要考查了垂線的定義、幾何圖中角度的計算，分兩種情況，分別計算即可得出答案，熟練

掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵.

【詳解】解：如圖，

-.-EO±AB,

:.NAOE=90°,

ZCOE=ZAOE-ZAOC=90°-40°=50°；

如圖，

E

■.■EOYAB,

:.ZAOE=90°,

:.ZCOE=ZAOE+ZAOC=90°+40°^130°；

綜上所述，NCOE的度數是50°或130。，

故答案為：50。或130。.

10.（2023下?河北保定?七年級校考階段練習）如圖，直線AB,CD相交于點。，OMLCD,垂足為點。,

ZBOD=28°.

（1）NAOM的度數為；

（2）若Q4平分/MOE,則/COE的度數為,/BOE的度數為.

【答案】62。/62度34。/34度118。/118度

【分析】（1）根據垂直的定義得出NMOC=90。，再由對頂角相等得出NAOC=/3O￡>=28。，結合圖形,

即可求解.

（2）由（1）及角平分線得NEQ4=/AQM=62。，結合圖形利用鄰補角求解即可.

【詳解】解：???。加，CD，

ZMOC=90°,

ZAOC=NBOD=28°,

ZAOM=90°-28°=62°；

故答案為：62°.

（2）:（M平分NMOE,

:.ZEOA^ZAOM^6T,

NCOE=NAOE-ZAOC=62°-28°=34°,

ZBOE+ZAOE=180°,

.?./3QE=180°-62°=118°.

故答案為：34°,118°.

【點睛】題目主要考查角平分線及角度的計算，結合圖形，找準各角之間的關系是解題關鍵.

三、解答題

11.(2023上?河北唐山?七年級統考期末)如圖，點。為直線A3上一點，ZBOC=130°,平分/AOC.

⑴求的度數；

⑵作射線OP,若/BOP與/AOM互余,求/COP的度數.

【答案】⑴25。

(2)65。或165。

【分析】本題考查角的和差關系，余角、補角和角平分線的定義：

(1)根據補角、角平分線的定義及角的和差關系求解；

(2)根據ZBQP與互余求出“QP,分射線OP在N3OC內部與外部兩種情況，分別計算即可.

【詳解】(1)解：???ZAO3=180。，ZBOC=130°,

ZAOC=ZAOB-NBOC=180°-l30°=50°,

?-?OM平分ZAOC,

ZAOM=ZCOM=-ZAOC=25°；

2

(2)解：NBOP與ZAOM互余，ZAOM=25°,

NBOP=90°-ZAOM=65°,

當射線。尸在—3OC內部時，如圖：

ZCOP=ZBOC-ZBOP=130°-65°=65°；

當射線OP在—3OC外部時，如圖：

c

p

ZAOP=180°-ABOP=180°-65°=115°,

ZCOP=ZAOP+ZAOC=115°+50°=165°,

綜上可知，NCOP的度數為65。或165。.

12.（2023下?河北邢臺?七年級校考期中）如圖，OELCD于點。，過點。作直線A3.

⑴已知NAOC=35。，求/BQE的度數.

(2)若/BOC:/3OD=3:1,求—AOE的度數.

【答案】⑴4OE=55。；

⑵4OE=135°.

【分析】（1）根據平角的定義和角的和差關系進行計算即可；

（2）根據/BOC:N3OD=3:1,以及互為補角的定義可求出N3QD=45。，再根據對頂角相等以及角的和

差關系得出答案.

【詳解】（1）解：SOE^CD,ZAOC=35°,

團/COE=90°,

0ZBOE=180°-ZAOC-NCOE

=180°-35°-90°

=55°；

（2）解：0ZBOC:ZBOD=3:1,ZB0C+AB0D=180°,

0ZBOD=18O°x—=45°,

3+1

SZBOD=ZAOC,

ElZAOC=45°,

0ZCOE=90°,

0ZAOE=ZCOE+ZAOC=90°+45°=135°.

【點睛】本題主要考查了對頂角、鄰補角、角的和差關系等知識，理解對頂角、鄰補角的定義是解答此題

的關鍵.

13.（2023下?北京懷柔?七年級統考期末）如圖，在射線A3上有一點請選擇適當的工具作圖，完成以

⑴過點M作射線AC的垂線，垂足為點

⑵在線段”C上任取一點N（不與C重合），連接MN；

（3）在線段MA,MH,中，線段