重難點02勾股定理之“圖形折疊”模型

【知識梳理】

圖形折疊一定要注意折疊前后的邊角對應關系，計算時聯想到利用勾股定理對新形成的直角三角形進行求

解.

If

...........°e…

\J/T

----------p~tC卜o

翻折變換（折疊問題）

1、翻折變換（折疊問題）實質上就是軸對稱變換.

2、折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應

邊和對應角相等.

3、在解決實際問題時，對于折疊較為復雜的問題可以實際操作圖形的折疊，這樣便于找到圖形間的關系.

首先清楚折疊和軸對稱能夠提供給我們隱含的并且可利用的條件.解題時，我們常常設要求的線段長為X,

然后根據折疊和軸對稱的性質用含x的代數式表示其他線段的長度，選擇適當的直角三角形，運用勾股定理

列出方程求出答案.我們運用方程解決時，應認真審題，設出正確的未知數.

—,【考點剖析】

一.選擇題（共9小題）

1.如圖，已知矩形ABC。沿著直線8。折疊，使點C落在C'處，BC交于E,AD=8,AB=4,則

的長為（）

A.3B.4C.5D.6

2.矩形紙片A8CD的邊長A8=4,AD=2.將矩形紙片沿EE折疊，使點A與點C重合，折疊后在其一面

著色（如圖），則著色部分的面積為（

G

22

3.直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6,8,現將△ABC如圖折疊，使點A與點B重合，則折痕OE的長

是（）

fx

DA

A.爭B譚「25n15

44

4.如圖所示，在長方形紙片ABC。中,AB=32cm,把長方形紙片沿AC折疊，點B落在點E處，AE交DC

于點F,AF=25cm,則的長為（）

E

月匕................"

A.16cmB.20cmC.24cmD.28cm

5.如圖，矩形A3。沿直線3。折疊,使點C落在點C處，BC交A。于點E,AO=8,A8=4,則BE的

長為（）

產c.

A.3B.4C.5D.2M

6.直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6,"現將△ABC如圖那樣折疊，使點A與點8重合，折痕為。E,

則煦的值是（）

CB

A.24B.7_C.7D.2

T42421

7.將正方形ABC。折疊，使頂點A與。邊上的點M重合，折痕交AD于E,交BC于F,邊折疊后

與BC邊交于點G（如圖）.如果DM：MC=3：2,貝UOE：DM：EM=（）

A.7：24：25B.3：4：5C.5：12：13D.8：15：17

8.如圖，矩形紙片ABC。中，AB=18cm,把矩形紙片沿直線AC折疊,點8落在點E處，AE交。C于點

F,若AP=13,則的長為（

A.5cmB.6cmC.1OcmD.12cm

9.如圖，將一個邊長分別為4,8的長方形紙片ABC。折疊，使C點與A點重合，則折痕所的長是（）

243C.疾D.275

二.填空題（共1小題）

10.已知，矩形A8CD中，AB=3cm,AD=9cm,將此長方形折疊，使點8與點。重合，折痕為EF,則4

ABE的面積為

A.6cm2B.8cm2C.10cm1D.12cm2.

11.如圖所示，折疊長方形一邊AD,點。落在BC邊的點尸處，已知3。=10厘米，A3=8厘米，求3戶與

尸。的長.

【過關檢測】

一.選擇題（共11小題）

1.（2022秋?大東區校級期末）如圖，已知矩形A8CO沿著直線8。折疊，使點C落在C'處，BC'交AD

于E,AO=8,48=4,則。E的長為（）

C.5D.6

2.（2021秋?鎮海區校級期中）如圖，將矩形的四個角向內折起，恰好拼成一個無縫隙無重疊的四邊

形EFGH,若EH=5厘米，EF=12厘米，則邊”產的長是（）

A.12厘米B.13厘米C.14厘米D.15厘米

3.（2022春?杭錦后旗期中）如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC=6c機、BC=8cm,現將AABC折

疊，使點8與點A重合，折痕為。E,則的長為（）

AEB

A.—cmB.—cmC.—cmD.無法確定

444

4.（2021春?永嘉縣校級期末）如圖,將邊長為8cm正方形紙片ABCD折疊，使點D落在BC邊的中點E

處，點A落在點F處，折痕為MN,則線段CN的長是（）

--------------\D

S

BEC

A.6cmB.5cmC.4cmD.3cm

5.（2021秋?裕華區校級期末）如圖是一張直角三角形的紙片.兩直角邊AC=6on,BC=8cm將△ABC折

疊，使點3與點A重合，折痕為。E,則的長為（）

AEB

9R7

A.—―cmB.10cmC.—cmD.5cm

44

6.（2021春?漳平市期中）如圖，在長方形中，AB=3cmAD=9cm,將此長方形折疊，使點3與點

。重合，折痕為EF,則△ABE的面積為（）

/.............D

C

A.6cm2B.8cm2C.10cm2D.12cm2

7.（2020?饒平縣校級模擬）如圖，將邊長為8cm的正方形紙片ABC。折疊，使點。落在A2邊中點￡處,

點C落在點。處，折痕為口，則線段AF的長是（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

8.（2021春?環翠區校級期中）如圖：長方形紙片ABC。中，AD=4cm,48=10皿按如圖的方式折疊,

使點5與點。重合.折痕為ER則。E長為（)

A.4.8cmB.5cmC.5.8cmD.6cm

9.（2021秋?開福區校級期末）如圖，將矩形沿EF折疊，使頂點C恰好落在AB邊的中點C'上.若

AB=6,BC=9,則的長為（）

A.4B.3-72C.4.5D.5

10.（2021春?寧明縣期中）如圖，矩形紙片ABC。中，AB^Scm,把矩形紙片沿直線AC折疊，點B落在

點E處，AE交DC于點F,若4尸=空5，則AD的長為（）

4

A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm

11.（2021秋?東平縣期末）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是（-3,0）,點2的坐標是（0,4）,

點〃是上一點，將沿AM折疊，點B恰好落在x軸上的點3處，則點M的坐標為（）

C.(20)D.(0,S)

22

二.填空題（共6小題）

12.（2022秋?江北區期末）如圖，有一張直角三角形的紙片，ZACB=9Q°,AB=5,AC=3.現將三角形

折疊，使得邊AC與AB重合，折痕為AE,則CE長為

13.（2022秋?佛山期末）在長方形48。中，AB=5,BC=12,點E是邊上的一個動點，把沿

8E折疊，點A落在4處，當△AOE是直角二角形時，OE的長為

14.（2021秋?鼓樓區校級期末）如圖，在△ABC中，ZC=90°,AB的垂直平分線交A3、AC于點。、E,

若AC=8,BD=5,則CE的長度是.

15.（2022秋?南關區校級期末）如圖，透明的圓柱形玻璃容器（容器厚度忽略不計）的高為20cm,在容器

內壁離容器底部4cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在容器外壁，位于離容器上沿4cm的點A

處，若螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為25cm,則該圓柱底面周長為.

16.（2022秋?鼓樓區期中）如圖，矩形ABC。中，A2=5,BC=3,將矩形沿BE折疊，使頂點A落在CD

上的點F處，其中E在A。上，連接AF,則AE=.

17.(2022秋?下城區校級期中)在△ABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,將它的一個銳角翻折，使該銳

角頂點落在其對邊的中點D處，折痕交另一直角邊于點E,交斜邊于點F,則DE的長

為.

三.解答題(共4小題)

18.(2022秋?西湖區校級期中)如圖，在等邊△A3C中，點。，E分別是AB,AC上的點，將△ADE沿。E

所在直線對折，點A落在BC邊上的點A'處，且。A'±BC.

(1)求的度數.

(2)若4。=百，求線段和CE的值.

19.(2022秋?和平區期末)在△ABC中，AB=25,AC=10遙，”垂直直線BC于點■?.

(1)當2C=25時，求AP的長；

(2)當AP=20時，

①求BC的長；

②將△ACP沿直線AC翻折后得到△ACQ,連接BQ,請直接寫出△BCQ的周長

為.

20.(2022秋?武侯區校級期中)在四邊形A8CD中，ZA=ZB=ZC=ZD=90°,AB=CD=10,BC=AD

=6,P為射線BC上一點，將△ABP沿直線AP翻折至△AEP的位置，使點8落在點￡處.

(1)若P為BC上一點.

①如圖1,當點E落在邊CD上時，求CE的長；

②如圖2,連接CE,若CE〃AP,則8尸與BC有何數量關系？請說明理由；

(2)如果點P在2C的延長線上，當為直角三角形時，求尸2的長.

圖1圖2圖3

21.(2022秋?綏德縣期中)如圖所示，折疊長方形一邊A。，點。落在8C邊的點尸處,已知BC=10厘

米，A8=8厘米.

(1)求與尸C的長.

(2)求EC的長.

重難點02勾股定理之“圖形折疊”模型

【知識梳理】

圖形折疊一定要注意折疊前后的邊角對應關系，計算時聯想到利用勾股定理對新形成的直

角三角形進行求解.

g

A—..............0o匕.，

tf1----------p-tcr。

翻折變換（折疊問題）

1、翻折變換（折疊問題）實質上就是軸對稱變換.

2、折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，

位置變化，對應邊和對應角相等.

3、在解決實際問題時，對于折疊較為復雜的問題可以實際操作圖形的折疊，這樣便于找到

圖形間的關系.

首先清楚折疊和軸對稱能夠提供給我們隱含的并且可利用的條件.解題時，我們常常設要求

的線段長為無，然后根據折疊和軸對稱的性質用含尤的代數式表示其他線段的長度，選擇適

當的直角三角形，運用勾股定理列出方程求出答案.我們運用方程解決時，應認真審題，設

出正確的未知數.

w【考點剖析】

一.選擇題（共9小題）

1.如圖，已知矩形A5CD沿著直線5。折疊，使點。落在C，處，BC交于E,AD=

8,A8=4,則。E的長為（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】根據折疊前后角相等可知△ABEgaC'ED,利用勾股定理可求出.

【解答】解：設DE=x,則AE=8-x,42=4,

在直角三角形ABE中，?=（8-尤）2+16,

解之得，x=5.

故選：C.

【點評】本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸

對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角相等.

2.矩形紙片A2C。的邊長AB=4,AD=2.將矩形紙片沿跖折疊，使點A與點C重合，

折疊后在其一面著色（如圖），則著色部分的面積為（）

22

【分析】著色部分的面積等于原來矩形的面積減去△Eb的面積，應先利用勾股定理求

得FC的長，進而求得相關線段，代入求值即可.

【解答】解：在RtZkGFC中，WFC2-CG1=FG1,

/.FC2-22=（4-FC）2,

解得,FC=25,

陰影部分面積為：AB'AD-iFC'AD^^,

22

故選：B.

【點評】折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變

化，本題中沒有著色的部分為利用了矩形和三角形的面積公式，勾股定理求解.

3.直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6,8,現將△ABC如圖折疊，使點A與點8重合，

則折痕DE的長是（）

?---D.---口?-----U?----

2244

【分析】先通過勾股數得到10,再根據折疊的性質得到4。=。3=5,AE=BE,Z

ADE=90°,設4￡=尤，則3E=x,CE=8-x,在RtZ\CBE中利用勾股定理可計算出x,

然后在RSDE中利用勾股定理即可計算得到DE的長.

【解答】解：???直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6,8,

：.AB=10,

又???折疊，

：.AD=DB^5,AE=BE,ZA￡>￡=90°,

設AE=x,則BE—x,CE—8-尤，

在RtZkCBE中，BE2=BC2+CE2,即/=62+(8-x)2,解得尤=至，

4

在中，—=五,2也2=學

故選：D.

【點評】本題考查了折疊的性質：折疊前后兩圖形全等，即對應角相等，對應線段相等.也

考查了勾股定理.

4.如圖所示，在長方形紙片A2CD中，AB^32cm,把長方形紙片沿AC折疊，點2落在點

E處,AE交。C于點孔AF=25cm,則的長為()

【分析】首先根據平行線的性質以及折疊的性質證明NEAC=NOCA，根據等角對等邊證

明尸C=AR則。尸即可求得，然后在直角△AD尸中利用勾股定理求解.

【解答】解：：長方形ABCD中，

J.ZBAC^ZDCA,

又?.?/BAC=/EAC,

J.ZEAC^ZDCA,

.,.FC=AF=25cm,

又：長方形ABC。中，DC=AB=32cm,

:.DF=DC-"=32-25=7cm,

在直角LADF中，AD=N,尸2-DF2=$2_72=24(cm).

故選：C.

【點評】本題考查了折疊的性質以及勾股定理，在折疊的過程中注意到相等的角以及相

等的線段是關鍵.

5.如圖，矩形A8CD沿直線8。折疊，使點C落在點C處，8c交于點E,A￡）=8,AB

=4,則BE的長為（）

【分析】由矩形的性質和折疊的性質得出BD=NDBC=NBDA,可得OE=BE,設

BE=DE=x,則AE=8-x.根據勾股定理得出方程，解方程即可.

【解答】解：：四邊形ABC。是矩形，

J.AD//BC,

：./DBC=/BDA,

由折疊的性質得：ZC'BD=/DBC,

：.ZCBD=NBDA,

:.DE=BE,

設BE=DE=x,則AE=8-x.

在AABE中，由勾股定理得：

X2=42+（8-x）2.

解得：尤=5,

BE=5.

故選：C.

【點評】此題考查了矩形的性質、翻折變換的性質、等腰三角形的判定、勾股定理；熟練

掌握矩形和翻折變換的性質，由勾股定理得出方程是解決問題的關鍵.

6.直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6,8,現將△ABC如圖那樣折疊，使點A與點8重

合，折痕為DE,則出的值是（）

CB

【分析】先設CE=x,再根據圖形翻折變換的性質得出AE=BE=8-x,再根據勾股定理

求出X的值，進而可得出生的值.

CB

【解答】解：設CE=x,則AE=8-x,

,/ABDE是△AOE翻折而成，

：.AE=BE=S-x,

在中，B￡2=BC2+CE2,即(8-x)2=6W,解得x=工，

4

7_

.%=工=工

"CB624,

故選：C.

【點評】本題考查的是圖形翻折變換的性質及勾股定理，熟知“折疊是一種對稱變換，它

屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等”的知識

是解答此題的關鍵.

7.將正方形折疊，使頂點A與CD邊上的點M重合，折痕交4。于E,交BC于F,

邊AB折疊后與BC邊交于點G(如圖).如果。M：MC=3：2,則DE：DM：EM=()

A.7：24：25B.3：4：5C.5：12：13D.8：15：17

【分析】先根據折疊的性質得EM=EA,再根據勾股定理得ME的長，從而求比值.

【解答】解：由折疊知，EM=EA,

設CD=AD=5a,

：?DE=5a-EM,DM=3a,MC=2a,

在Rt/XEQM中，EM2=DE2+DM2,

即"爐=(5。-ME)2+(3a)2,

解得ME=^-a

5

：.ED=^-a

5

：.DE：DM：EM=3a：3a："a=8：15：17.

55

故選：D.

【點評】本題利用了：1、折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對

稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等；2、通過

設適當的參數，利用正方形的性質，勾股定理求解.

8.如圖，矩形紙片ABC。中，AB=lScm,把矩形紙片沿直線AC折疊，點8落在點E處,

AE交QC于點孔若AF=13,則的長為（）

A.5cmB.6cmC.10cmD.\2cm

【分析】根據折疊前后角相等可證AF=PC,在直角三角形ADF中，運用勾股定理求解.

【解答】解：根據折疊前后角相等可知尸絲

設ZM=x,又AP=13,。尸=18-13=5,

在直角三角形/中，?+52=132,

解之得，x—12cm.

故選：D.

【點評】本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸

對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角相等.

9.如圖，將一個邊長分別為4,8的長方形紙片A8C。折疊，使C點與A點重合，則折痕

的長是（）

273C.V5D.275

【分析】根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應

角相等和勾股定理求解.

【解答】解：根據折疊的性質知，四邊形AFE8與四邊形CE/ZI全等，＜EC=AF=AE,

由勾股定理得，AB2+B￡2=AE2BP42+（8-AE）2=AE2,

解得，AE=AF=5,BE=3,

作EGLAF于點G,

則四邊形AGEB是矩形，有AG=3,GF=2,GE=AB=4,由勾股定理得所=蓊.

故選：D.

【點評】本題利用了：1、折疊的性質；2、矩形的性質.

二.填空題（共1小題）

10.已知，矩形A8CD中，AB=3cm,AD=9cm,將此長方形折疊，使點8與點。重合,

折痕為EF,則AABE的面積為A

A.6cnrB.Sc/c.IOCITTD.12cm2.

【分析】根據折疊的條件可得：BE=DE,在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解.

【解答】解：將此長方形折疊，使點8與點。重合，

：.BE=ED.

"：AD=9cm=AE+DE=AE+BE.

：.BE=9-AE,

根據勾股定理可知：AB2+A￡2=BE2.

解得AE=4.

AABE的面積為3X4+2=6.

故選A.

【點評】本題考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形兩直角邊的平

方和等于斜邊的平方.

三.解答題（共1小題）

11.如圖所示，折疊長方形一邊AD,點。落在BC邊的點尸處，己知BC=10厘米，AB=

【分析】由圖形翻折變換的性質可知，AD=AF,設則"=10-x,在

中利用勾股定理即可求解BF,再由BC=12厘米可得出FC的長度.

【解答】解：:△AEP是沿直線AE折疊而成，AB^Scm,BC=10cm,

.'.AD=AF—10cm,

設BF=x,貝ijFC=10-x,

在RtZXABE中，AF1=AB2+BF2,即1。2=82+7,

解得尤=6,即BF=6厘米.

：.FC=BC-BF=10-6=4cm.

綜上可得8尸的長為6厘米、FC的長為4厘米.

【點評】本題考查的是圖形翻折變換的性質，解答本題需要表示出BF,AF的長度，在

尸中利用勾股定理，難度一般.

【過關檢測】

選擇題（共11小題）

1.（2022秋?大東區校級期末）如圖，已知矩形ABC。沿著直線8。折疊，使點C落在C'

處，BC交于E,AO=8,A8=4,則。E的長為（）

【分析】先根據翻折變換的性質得出CO=C'D,ZC=ZC=90°,再設。E=x,則

AE=8-x,由全等三角形的判定定理得出RtAABE^RtACzDE,可得出BE=DE=x,

在RtAABE中利用勾股定理即可求出x的值，進而得出DE的長.

【解答】解：：RtZ\JDC'JB由RtZV）BC翻折而成，

:.CD=CD=A8=8,/C=NC=90°,

設。E=x,貝！］AE=8-x,

=90°,/AEB=/DEC',

：.AABE=ZCDE,

在Rt^ABE與RtZkC'OE中，

rZA=ZC/=90°

-AB=C'D，

ZABE=ZCyDE

.*.RtAAB￡^RtAC,DE(ASA),

.".BE=DE=x,

在RtZXABE中，AB2+AE2=BE2,

/.42+(8-x)2=x2,

解得：尤=5,

...OE的長為5.

故選：C.

【點評】本題考查的是翻折變換的性質及勾股定理，熟知折疊是一種對稱變換，它屬于

軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等的知識是解

答此題的關鍵.

2.（2021秋?鎮海區校級期中）如圖，將矩形ABC。的四個角向內折起，恰好拼成一個無縫

隙無重疊的四邊形EFGH,若EH=5厘米，EF=12厘米，則邊HF的長是（）

宅

B-…戶

A.12厘米B.13厘米C.14厘米D.15厘米

【分析】利用折疊的性質得出NHEP=90°,再利用勾股定理即可求解.

【解答】解：:△AEH折疊得到△加印折疊得到△〃￡■￡

ZAEH=ZMEH,NBEF=ZMEF,

：.ZHEF=ZMEH+ZMEF=^~(NAEM+/BEM)=90°,

2

...△HEP為直角三角形，

在RtAHEF中，

EH2+EF2^HF2,

:即=5厘米，跖=12厘米,

HF=^52+122=13厘米,

故選：B.

【點評】本題考查折疊的性質，勾股定理，解題的關鍵是利用折疊性質得到/印亦=90°.

3.（2022春?杭錦后旗期中）如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC=6cs、BC=8aw,

現將△ABC折疊，使點8與點A重合，折痕為OE,則C。的長為（）

C.——cmD.無法確定

4

【分析】設。。=無。w，則8D=BC-a>=（8-X）cm,再根據折疊的性質得

8-x,然后在△AC。中根據勾股定理得到（8-x）2=6?+/,再解方程即可.

【解答】解：設CD=xan,則BO=BC-C￡）=（8-x）cm,

「△ABC折疊，使點B與點A重合，折痕為。E,

.,.A￡）=B￡）=8-x,

在△AC。中，ZC=90°,

：.AD2^A（^+CD2,

（8-x）2=62+X2,解得了=工，

4

即CD的長為工cv”.

4

故選：C.

【點評】本題考查了折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的

形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等.也考查了勾股定理.

4.（2021春?永嘉縣校級期末）如圖，將邊長為8c加正方形紙片A2CD折疊，使點D落在

2C邊的中點E處，點A落在點尸處，折痕為MV,則線段CN的長是（）

A.6cmB.5cmC.4cmD.3cm

【分析】根據折疊的性質，只要求出。N就可以求出NE,在直角△CEN中，若設CN=

x,則。N=NE=8-x,CE=4c加，根據勾股定理就可以列出方程，從而解出CN的長.

【解答】解：由題意設CN=xc:w,則EN=（8-X）cm,

又?.?CE=2OC=4c機，

2

...在RtzXECN中，Ea=Ed+Ca,即（8-尤）2=42+?,

解得：x=3,即CN=3cm.

故選：D.

【點評】本題考查翻折變換的問題，折疊問題其實質是軸對稱，對應線段相等，對應角相

等，找到相應的直角三角形利用勾股定理求解是解決本題的關鍵.

5.（2021秋?裕華區校級期末）如圖是一張直角三角形的紙片.兩直角邊AC=6C?7,BC=

8c相將△ABC折疊，使點B與點A重合，折痕為。E,則AD的長為（）

257

A.----cmB.10cmC.—cmD.5cm

44

【分析】首先設A￡)=xc/n,由折疊的性質得：BD=AD=xcm,又由3C=8on,可得CD

=8-x(cm)f然后在RtZXAC。中，利用勾股定理即可求得方程，解方程即可求得答案.

【解答】解：設AZ)=XCM,

由折疊的性質得：BD=AD=xcm,

???在中,AC=6cm,BC=8cm,

CD=BC-BD=8-x(cm),

在RtZVIC。中，AC2+CZ)2=AZ)2,

即：624-(8-X)2=%2,

解得：x=空，

4

：.AD=^-cm.

4

故選：A.

【點評】此題考查了折疊的性質與勾股定理的知識.此題難度適中，注意掌握數形結合

思想與方程思想的應用，注意掌握折疊前后圖形的對應關系.

6.(2021春?漳平市期中)如圖，在長方形ABC。中，AB=3cm,AD^9cm,將此長方形折

疊，使點8與點。重合，折痕為ER則aABE的面積為()

【分析】首先根據翻折的性質得到即=BE,再設出未知數，分別表示出線段AE,ED,

8E的長度，然后在中利用勾股定理求出AE的長度，進而求出AE的長度，就

可以利用面積公式求得△ABE的面積了.

【解答】解：???長方形折疊，使點8與點。重合，

：.ED=BE,

^AE=xcm,則EZ)=8E=(9-x)cm,

在中，

AB2+AE2=BE2,

.'.32+X2=（9-X）2,

解得：尤=4,

.?.△ABE的面積為：3X4X」=6（tv/）.

2

故選：A.

【點評】此題主要考查了圖形的翻折變換和學生的空間想象能力，解題過程中應注意折

疊后哪些線段是重合的，相等的，如果想象不出哪些線段相等，可以動手折疊一下即可.

7.（2020?饒平縣校級模擬）如圖，將邊長為8c機的正方形紙片ABC。折疊，使點。落在

AB邊中點E處，點C落在點。處，折痕為M，則線段A尸的長是（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

【分析】根據是直角三角形利用勾股定理求解即可.

【解答】解：由折疊可得=EF,設AF=x,貝|EB=8-x,

\'AF2+AE1^EF2,

.'.^+42—（8-x）2,

解得尤=3.

故選：A.

【點評】本題考查折疊問題；找到相應的直角三角形利用勾股定理求解是解決本題的關

鍵.

8.（2021春?環翠區校級期中）如圖：長方形紙片ABCD中，AD=4cm,AB=lQcm,按如圖

的方式折疊，使點8與點。重合.折痕為EE則。E長為（）

A.4.8cmB.5cmC.5.8cmD.6cm

【分析】在折疊的過程中，BE=DE,從而設8E=r?E=x,即可表示AE,在直角三角形

AOE中，根據勾股定理列方程即可求解.

【解答】解：設DE=xcm,貝l]3E=r)E=x,AE^AB-BE^IO-x,

在Rt^AOE中，DE^=AE1+AD2,

即/=(10-x)2+16.

解得：x=5.8.

故選：C.

【點評】此題主要考查了翻折變換的問題，解答本題的關鍵是掌握翻折前后對應線段相

等，另外要熟練運用勾股定理解直角三角形.

9.（2021秋?開福區校級期末）如圖，將矩形A8CO沿跖折疊，使頂點C恰好落在AB邊

的中點C'上.若AB=6,BC=9,則的長為（）

A.4B.3V2C.4.5D.5

【分析】先求出BC',再由圖形折疊特性知，C'F=CF=BC-BF=9-BF,在RtAC

BE中，運用勾股定理B尸+8C'2=c，產求解.

【解答】解：：點C'是邊的中點，AB=6,

：.BC=3,

由圖形折疊特性知，CF=CF=BC-BF=9-BF,

在RtZ\C'BF中，BF2+BC2=CF2,

：.BF2+9=（9-BF）2,

解得,BF=4,

故選：A.

【點評】本題考查了折疊問題及勾股定理的應用，綜合能力要求較高.同時也考查了列

方程求解的能力.解題的關鍵是找出線段的關系.

10.（2021春?寧明縣期中）如圖，矩形紙片4BCO中，AB=Scm,把矩形紙片沿直線AC折

疊，點8落在點￡處，AE交。C于點尸，若人尸=生即，則的長為（）

4

A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm

【分析】由折疊的性質可證AE=FC.在中，由勾股定理求的長.

【解答】解：由折疊的性質知，AE=AB=CD,CE=BC=AD,

.,.△ADC絲△CEA,ZEAC=ZDCA

OR7

：.AF^CF^—cm,DF=CD-CF=L

44

在RtZXADF中，由勾股定理得，AD=6cm.

故選：C.

【點評】本題利用了：①折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱

的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等；②全等三角

形的判定和性質，勾股定理求解.

11.(2021秋?東平縣期末)如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是(-3,0),點8的

坐標是(0,4),點M是。2上一點，將沿AM折疊，點2恰好落在x軸上的點

3處，則點M的坐標為()

y

A.(⑤，0)B.(0,—)C.(―,0)D.(0,—)

2222

【分析】設沿直線AM將aABM折疊，點2正好落在x軸上的夕點，則有而

AB的長度根據已知可以求出，所以夕點的坐標由此求出；又由于折疊得到在

直角中根據勾股定理可以求出OM,也就求出M的坐標.

【解答】解：

:將沿AM折疊，

：.AB=AB',

又A(-3,0),B(0,4),

.\AB=5=AB',

.,.點8的坐標為：(2,0),

設M點坐標為(0,b),

則B'M=BM=4-b,

"：B'M2=B'O2+OM2,

：.(4-6)2=22+Z?2,

：.b=^-,

2

：.M(0,3),

2

故選：B.

【點評】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，也考查了翻折變換，題中利用折疊

知識與直線的關系以及直角三角形等知識求出線段的長是解題的關鍵.

二.填空題(共6小題)

12.(2022秋?江北區期末)如圖，有一張直角三角形的紙片，ZACB=90°,AB=5,AC=

3.現將三角形折疊，使得邊AC與A8重合，折痕為AE,則CE長為

【分析】解法一：先根據勾股定理求得的長，再根據折疊的性質得到CE=Z)E,AC

=AD,ZC=ZEDA=90°,貝I8。=AB-AD,ZEDB=90°,設CE=OE=x,在RtA

中根據勾股定理列出方程，求解即可.

解法二：先根據勾股定理求得BC的長，再根據折疊的性質可推出/EO8=90°,以此可

得ABDEsABCA,設CE=OE=X,根據相似三角形的性質即可解答.

【解答】解：解法一：在Rt^ABC中，

由勾股定理得BC=?好2_蛻2W52-32=%

根據折疊的性質可知CE=Z)E,AC=AD=3,ZC=ZEDA=9Q°,

：.ZEDB=9Q°,BD=AB-AD=5-3=2,

設CE=DE=x,則BE=4-x,

■△BOE中，

D聲+BN=B戌,

即/+2?=(4-x)2,

解得:，

：.CE=^~.

2

故答案為：

2

解法二：在Rt^ABC中，

由勾股定理得BC=JAB2-AC2=V5-3=%

根據折疊的性質可知CE=OE,NC=NED4=90°,

；./EDB=/C=90°,

為公共角，

:.△BDEs^BCA,

.DEBE

??---=---,

ACAB

設CE=DE=x,貝l|BE=4-x,

?.?-x--4---x,

35

???AQ-，

2

2

故答案為：旦.

2

【點評】本題主要考查翻折變換、勾股定理、相似三角形的判定與性質，解題時，我們常

常設要求的線段長為尤,然后根據折疊和軸對稱的性質用含X的代數式表示其他線段的長

度，選擇適當的直角三角形，運用勾股定理列出方程求出答案

13.（2022秋?佛山期末）在長方形A8C。中，AB=5,8C=12,點E是邊上的一個動

點，把△A4E沿8E折疊，點A落在A處，當△ADE是直角三角形時，OE的長為空

一3

或7.

【分析】當AA'DE是直角三角形時，可分兩種情況進行討論：①當/EA'。=90°時,

此時A'在8。上，由勾股定理可得3。=13,根據折疊的性質可得E,AB^A'

B=5,A'。=8,設AE=A'E=x,則。E=12-x,最后根據勾股定理即可解答；②當

NA'm=90°時，根據折疊的性質可得以此可推出AABE為等腰直角

三角形，AB=AE=5,再根據AE即可求解.

【解答】解：①當NEA'0=90°時，如圖，

?.?四邊形A8CD為矩形，

AZA=90°,BC=AD=12,AB=5,

-,-BD=VAB2+AD2=13,

根據折疊的性質可得，AE=A'E,AB=A'B=5,

：.A'D=BD-A'8=8,

設AE=A'E=x,則。E=12-x,

在RtAA'DE中,

根據勾股定理得&爐+4。2=。E2,

.'.X2+82=(12-x)2,

解得:

??39DE學

②當/A'ED=90°時，如圖,

ZAEA=90°,

根據折疊的性質可得，NAEB=NAEB,

'：ZAEB+ZAEB=90°,

/.ZAEB=ZAEB=45°,

.?.△ABE為等腰直角三角形，AB=AE=5,

：.DE=AD-AE=U-5=7；

綜上，空或7.

3

故答案為：空或7.

3

【點評】本題主要考查勾股定理、矩形的性質、折疊的性質，據折疊和軸對稱的性質用含

X的代數式表示其他線段的長度，選擇適當的直角三角形，運用勾股定理列出方程求出答

案是解題關鍵.

14.（2021秋?鼓樓區校級