北京市平谷區(qū)2024-2025學年九年級上學期期末考試

數(shù)學

2025年1月

一、選擇題(本題共16分，每小題2分)

下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的.

1.在中，NC=90°,AC=4,AB=5,則sinA的值是

443

A.B.C.D.

3545

2.如圖，直線/l〃/2〃/3，直線4,/5被直線/1、b、，3所截，截得的線段分別

為AB,BC,DE,EF,若AB=4,BC=6,DE=3,則EF的長是

992

(A)—(B)—(C)—(D)4

243

3.在平面直角坐標系中，將拋物線y=2X2先向左平移3個單位長度，再向下

平移4個單位長度后所得到的拋物線的表達式為

A.y-2(X-3)2+4B.y-2(x-3)2-4

C.J=2(X+3)2+4D.y=2(x+3)2-4

4.如圖，點A、B、C為。。上三點，ZACB=30°,A8=3,弧AB的長是

371c

A.B.-7iC.—D.27r

42

5.如圖，已知正方形ABCD的邊長為6,點E是CD邊上一點，CE=2,以CE為一邊

作正方形CEMN,連接AM交CD于點H,則DH的長為

42

A.-B.1C.3D.-

33

6.點A(1,yi),B(3,>2)是反比例函數(shù)y=-色圖象上的兩點，那么巾，”的大

x

小關(guān)系是()

A.yi>y2B.yi—yiC.yi<y2D.不能確定

7.加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”.在一定條件下,

可食用率P與加工時間t(分鐘)滿足的函數(shù)關(guān)系式為：

0=。產(chǎn)+初+。(a，0),如圖記錄了三次相同條件下實驗的數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函

數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為

A.3.5分鐘B.3.75分鐘

C.4分鐘D.4.25分鐘

8.如圖，等邊AABC中，點D是BC邊上一點（不與點B、點C重合），連接AD,以AD為邊作等邊4AED.給

出如下三個結(jié)論：，

①BE=DC;②△DBES/\ADC；（3）-<S^ADE<1

4S-ABC

上述結(jié)論一定正確的是

（A）①（B）①③/

（C）②③（D）①②③SV

二、填空題（本題共16分，每小題2分）

L3D

9.函數(shù)y=，2x—4的自變量尤的取值范圍是_____.

K

...m2m2m

10.右=,則=____.

n3m+n

n.如圖，身高1.6米的小林從一盞路燈下5處向前走了8米到達點。處時,發(fā)現(xiàn)'、、、n

自己在地面上的影子CE長2米，則路燈的高AB為_____米.

12.如圖，在。0中，AB是。。的直徑，C,D,E是。。上的點,如果NA0C+B

ZE0D=180°,0D=5,DE=6,那么AC的長為_________________.

13.若拋物線y=kx2+2x-l的頂點在%軸上，則k的值為_____.

14.如圖，點A、2在雙曲線5上，過點A作ACLx軸于點C,過點B作BDLy軸于點D,連接

OA、OB,設AOBD的面積為Si.設AOAC的面積為S2,則Si__S2（填“>,<,或="）.

15.中國古代建筑中的斜脊結(jié)構(gòu)，既有利于排水，又有利于保溫，是古代工匠智慧的體現(xiàn).如圖，房屋的屋

頂截面結(jié)構(gòu)為等腰三角形，若斜脊AB的坡度i為1：2,房子側(cè)寬BC為12米，則斜脊AB的長為米.

16.周末，明明要去科技館參觀，該科技館共有A、B、C、D、E、F六個展館，各展館參觀所需要的時間如

下表，其中展館B和展館E設有特定時間段的專業(yè)講解，若明明準備9：00進科技館，12：00離開（各展

館之間轉(zhuǎn)換時間忽略不計）.

（1）若不考慮專業(yè)講解的情況下，明明最多可以參觀完一個展館；

（2）若B、E展館必須參觀且正好趕上專業(yè)講解，本著不浪費時間的原則，請給出最合理的參觀順序

展館ABCDEF

專業(yè)講解無9：30-11：00每半小時一無無10：00-12：00每1小時一無

場，共3場場，共2場

參觀所需時間（分603045156090

鐘）

三、解答題（本題共68分，第17、18、19、20、21、22題，每小題5分；第23、24、25、26題，每小題

6分；第27、28題，每小題7分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

17.計算：2sin45°+[g]

18.如圖，四邊形ABC。是平行四邊形，于點E,點E恰為AO中點，CFLA8于點F當

BF=2,AD=6時，求AB的長.

19.已知：如圖，△ABC中，AB=AC,AB>BC.

求作：線段8。，使得點。在線段4c上，且

2

作法：①以點A為圓心，長為半徑畫圓；

②以點C為圓心，長為半徑畫弧，交。A于點尸

（不與點B重合）;

③連接8尸交AC于點D

線段8。就是所求作的線段.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）;

（2）完成下面的證明.

證明：連接尸C.

'：AB=AC,

...點C在。A上.

:點P在。A上，

：.ZCPB=-ZBAC（）（填推理的依據(jù)）.

2

,:BC=PC,

：.ZCBD=.

，ZCBD=-ABAC.

2

20.已知二次函數(shù)幾組x與y的對應值如下表:

???…

X-i01234

…

y???830-10m

（1）直接寫出m的值，m=

（2）求此二次函數(shù)的表達式.

21.唐代李皋發(fā)明了“槳輪船”，這種船是原始形態(tài)的輪船，是近代航行模式之先導.如圖，某槳輪船的輪子

被水面截得的弦過O作半徑OCL弦AB于點D,若輪子的半徑為5米，弦長為8米，依題意補全

圖形，并求輪子的吃水深度CC為多少米.

22.湖光塔坐落在平谷區(qū)金海湖中心島的山頂，七層八角形樓閣式建筑掛滿風鈴，微風吹過，玲聲悠揚，是

金海湖景區(qū)的主要景觀之一.某校組織九年級學生到金海湖景區(qū)參加社會實踐活動，數(shù)學小組的同學最初的

目標是測量湖光塔的高度，但是他們通過網(wǎng)絡搜索發(fā)現(xiàn)，網(wǎng)上可以查到湖光塔的塔高為30米，所以他們

把任務確定為測量湖光塔所在的中心島小山的高度，數(shù)學小組設計的方案如圖所示，他們在點C處用測角

儀測得塔頂A的仰角為45。，此時，由于樹木的遮擋，看不清塔底，他們延水平方向向后走64米在點。處

用測角儀測得塔底B的仰角為26.50.請根據(jù)他們網(wǎng)上查到的數(shù)據(jù)和測量數(shù)據(jù)求中心島小山BE的高度約為

多少米.（參考數(shù)據(jù):sin26.5°?0.45;cos26.50°0.89;tan26.5080.50;)

23.在平面直角坐標系xOy中，直線y=g：+l(kwO)與雙曲線y=9(x>0)的交點是A(a,3).

x

(1)求a和女的值;

(2)當x>3時，對于x的每個值，函數(shù)y=既大于函數(shù)y=9(x>0)的值，又小于函數(shù)

x

y="+l的值，直接寫出m的取值范圍.

24.如圖，已知△ABC中，AB=BC,點D是BC邊上一

點，連接AD,以AD為直徑畫。O,與AB邊交于點

E,與AC邊交于點F,EF=AF,連接DE.

(1)求證：BC是。O的切線；

3

(2)若，C=10,cosZAFE=-i求的長.

25.某客運站為了了解早高峰時間段運營情況，有效的緩

解該時段乘客的等待時間，對早上6:00-8:00時間段內(nèi)，客運站累計候車人數(shù)和累計承載人數(shù)進行統(tǒng)計，為

了便于記錄，將早上6:00開始每10分鐘記作一個單位時間，記為時間x(0WxW12),累計候車人數(shù)記為

yi,累計承載人數(shù)記為yz.

下面是他們的調(diào)查過程，請補充完整：

(1)他們調(diào)取了客運站該時段內(nèi)累計候車人數(shù)yi與累計承載人數(shù)y2隨x的變化而變化的有關(guān)數(shù)據(jù)：

時間段0123456789101112

累計候車人數(shù)yi(萬人)0.51.11.62.22.93.64.25.15.76.06.36.56.6

累計承載人數(shù)丫2(萬人)0.51.01.52.02.53.03.54.04.55.05.5m6.5

(1)補全表格，m的值為；

(2)通過分析數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)可以用函數(shù)刻畫yi與x.y2與x的關(guān)系，在給出的平面直角坐標系中，補全表中

各對對應值為坐標的點，畫出這兩個函數(shù)的圖象;

(3)根據(jù)以上數(shù)據(jù)與函數(shù)圖象，解決下列問題：

①大約一點一分時，客運站滯留人數(shù)最多；

②客運站將在滯留乘客人數(shù)達到0.5萬人及以上的時間段增派車次緩解供需壓力，公司約在一點—分

至一點—分時間段增派車次更合理.

26.在平面直角坐標系xOy中，已知二次函數(shù)y=X?_2w?x+加2一4.

(1)當m=l時，求拋物線與x軸的交點坐標；

(2)將拋物線在x軸上方的部分沿x軸翻折，其余部分保持不變，得到的新函數(shù)記為G,若點A(xi，

yi),B(X2，＞2)是函數(shù)G圖象上的兩點，若對于任意的-2a1＜-1,X2=-l,都有“＜乃,求m的取值范圍.

27.Rt^ABC中，ZACB=90°NB=a,點D是AB邊中點，點E是BC邊上一點(不與點B、點C重

合)，連接DE,將線段DE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)2a,得到線段DF,連接EF、AF.

(1)如圖1,若a=30°,點F剛好落在BC邊上，BE=1,則AF=，AC=；

(2)判斷AF、BE和BC的數(shù)量關(guān)系，從圖2、圖3中任選一種情況進行證明.

28.我們給出如下定義：在平面內(nèi)，已知點M和圖形G,點M到圖形G上所有點的距離的最小值稱作點

M到圖形G的距離.

(1)平面直角坐標系下，已知點P(0,3),以O為圓心，1為半徑畫圓，則點P到。。的距離為;

(2)平面直角坐標系下，已知點P(0,3),在平面內(nèi)有一個矩形ABC。，A(-2,1),B(2,1),D(-2,-1).

①當矩形繞著點。旋轉(zhuǎn)時，點尸到矩形的距離d的取值范圍為.

②若M為矩形ABCD上一點，連接OM,以0M為直徑畫圓，記作圓G,則點P到圓G的距離d的取值

范圍為.

參考答案

一、選擇題（本題共16分，每小題2分）

題號12345678

答案DADACCBB

二、填空題（本題共16分，每小題2分）

題號910111213141516

答案x>2488—1=3A/54;F-B-E

J

三、解答題（本題共68分，第17-22題，每小題5分；第23-26題，每小題6分；第27、28題，每小題7

分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

17.解：

=2X^+3+V2-1-3A/2...........................................................................................................4

=2-A/2..............................................................................................................................................5

18.解：???四邊形ABC。是平行四邊形

AZD=ZB,AD=BC,AB=DC..........................................................................................1

?.*CE±ADCF±AB

:.NCED=NCFB=90°..................................................................................................................2

???ACDE?ACBF

................3

CDDE

>>?-----=..........4

BCFB

u

：AD=BC=6fE是AD中點

??.DE=3

?CD_3

??.AB=CD=9................................

19.

...............................................................................................................................................................2

圓周角定理.........................................................4

ZCPB.............................................................5

20.解：

(1)3............................................................1

（2）由表中數(shù)據(jù)可知拋物線的頂點坐標為（2,T）,

.2

.,?設拋物線的解析式為y=a（x-2>—l（awO）

..................................................................3

?.?拋物線過點（3,0）,

.,.a（3-2>-1=0

..................................................................4

解得a=l,

???拋物線的解析式為y=（x-2）2-l.

..................................................................5

法2：

（2）由表中數(shù)據(jù)可知拋物線與y軸交點為（0,3）,

**?設拋物線的解析式為y=ax?+bx+3（a工0）

..................................................................3

：拋物線過點（T,8）,（1,0）

.a—b+3=8

a+b+3=0

..................................................................4

解得a=l,b=-4.

拋物線的解析式為y=x?-4x+3.

..................................................................5

21.依題意補全圖形1

---------ee-------------

解：：半徑OC，弦AB于點D,AB=8

；.BD=4.......................................................................................................................................2

連接OB...............................................................................................................................................3

VOB=5

由勾股定理OD=3.............................................................................................................................4

.*.CD=5-3=2........................................................................................................................................5

；?吃水深度為2米.

22.解：

由題意，ZAED=90°,ZACE=45°,ZBDE=26.5°,AB=30,CD=64..........................1

設BE=x,則EC=x+30......................................................................................................................2

Vtan26.5°?0.50

x

土0.504

x+30+64

解得xa94.........................................................................................................................5

答：小山高度約為94米.

23.(1)；雙曲線y=9(x>0)過點A(a,3)

X

Aa=2............................................................................................................................................1

???直線y=+l過點A(2,3)

：.k=l............................................................................................................................................2

2

(2)-#m1..................................................................................................................................6

3

(一個界值1分，符號完全正確滿分)

24.(1)證明

TAD為。。的直徑，

AZAED=90°........................................................................................................1

VBA=BC

JNBAONBCA

VEF=AF

AZBAC=ZFEA......................................

JNBCA=NFEA

ZDEF=ZDAC

???ZDAC+ZBCA=ZDEA+ZAEF=90

AAD±BC

???BC為。。的切線....................................3

(2)?.?BC為。0的切線

.,.ZADE+ZBDE=90°

:.NB+NBDE=90°

???NB=NADE

3

*.*cosZAFE=—

5

3

cosZB=—

5

?BD_3

**AB-5

?BD_3

，9~L0~~5

ABD=6........................................................................................................................4

由勾股，AD=8

VBC=10

ADC=10-6=4.........................................................................................................5

由勾股

AC=4^/5........................................................................6

25.(1)61

(3)①7點20分.......................................4

②6點45分至7點45分

..............................................................................................................................6

26.解：

(1)當m=l時，y=x2-2x-3

令y=o,得y=2兀-3

解得4=3,%2=T

???拋物線與x軸的兩個交點(3,0)和(-1,0)

....................................................................................................................................................................................2

(2)由y=x2-2mx+m2-4=(x-m)2-4

I.拋物線的頂點為(m,-4),

拋物線的對稱軸為x=m.

..........