第11節(jié)函數(shù)與方程考試要求1.理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的聯(lián)系.2.理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.3.了解用二分法求方程的近似解.【知識(shí)梳理】1.函數(shù)的零點(diǎn)(1)概念：對(duì)于一般函數(shù)y＝f(x)，我們把使________________的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn).(2)函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)、對(duì)應(yīng)方程的根的關(guān)系：2.函數(shù)零點(diǎn)存在定理(1)條件：①函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線；②________<0.(2)結(jié)論：函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得________，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的解.[常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒]1.若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)“點(diǎn)”，而是方程f(x)＝0的實(shí)根.2.由函數(shù)y＝f(x)(圖象是連續(xù)不斷的)在閉區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)不一定能推出f(a)·f(b)<0，如圖所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)的充分不必要條件.3.周期函數(shù)如果有零點(diǎn)，則必有無窮多個(gè)零點(diǎn).【診斷自測(cè)】1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)函數(shù)f(x)＝2x的零點(diǎn)為0.()(2)圖象連續(xù)的函數(shù)y＝f(x)(x∈D)在區(qū)間(a，b)?D內(nèi)有零點(diǎn)，則f(a)·f(b)<0.()(3)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0時(shí)沒有零點(diǎn).()2.(必修一P143例1改編)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋x－2，x≤0，,－1＋lnx，x＞0))的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.3 B.2C.7 D.03.(必修一P144T2改編)函數(shù)f(x)＝log2x＋x－2的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()A.(0，1) B.(1，2)C.(2，3) D.(3，4)4.函數(shù)f(x)＝ax2－x－1有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為________.考點(diǎn)一函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷例1(1)(2024·昆明診斷)函數(shù)f(x)＝x＋1－logeq\f(1,2)x的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))(2)(2024·廣州質(zhì)檢)定義開區(qū)間(a，b)的長(zhǎng)度為b－a.經(jīng)過估算，函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2x)－xeq\f(1,3)的零點(diǎn)屬于開區(qū)間________(只需寫出一個(gè)符合條件，且長(zhǎng)度不超過eq\f(1,6)的開區(qū)間即可).________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn).(2)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷.訓(xùn)練1(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可以判定方程lnx－x＋2＝0的一個(gè)根所在的區(qū)間為()x12345lnx00.6931.0991.3861.609x－2－10123A.(1，2) B.(2，3)C.(3，4) D.(4，5)(2)(2024·長(zhǎng)沙調(diào)研)函數(shù)f(x)＝5－2x－lg(2x＋1)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A.(0，1) B.(1，2)C.(2，3) D.(3，4)考點(diǎn)二函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷例2(1)函數(shù)f(x)＝2x＋x3－2在區(qū)間(0，1)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A.0 B.1C.2 D.3(2)(2024·杭州調(diào)研)已知在R上的函數(shù)f(x)滿足對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都有f(2＋x)＝f(2－x)，f(7＋x)＝f(7－x)，且在區(qū)間[0，7]上只有x＝1和x＝3兩個(gè)零點(diǎn)，則f(x)＝0在區(qū)間[0，2024]上根的個(gè)數(shù)為()A.404 B.405C.406 D.203________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定有下列幾種方法(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).(2)零點(diǎn)存在定理：利用該定理不僅要求函數(shù)在[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)(如單調(diào)性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).(3)畫兩個(gè)函數(shù)圖象，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有幾個(gè)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).訓(xùn)練2(1)(2024·海南質(zhì)檢)函數(shù)y＝ex＋x2＋2x－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.0 B.1C.2 D.3(2)函數(shù)f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，當(dāng)0≤x＜2時(shí)，f(x)＝x2－x，則函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[－3，3]上與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.6 B.7C.8 D.9考點(diǎn)三函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用角度1根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍例3(多選)(2024·聊城調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝x|x－a|－2有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值可以為()A.0 B.2eq\r(2)C.3 D.4________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________角度2根據(jù)零點(diǎn)范圍求參數(shù)范圍例4已知函數(shù)f(x)＝3x－eq\f(1＋ax,x).若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))C.(－∞，0) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)值或取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍.(2)分離參數(shù)法：將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域的問題加以解決.(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.訓(xùn)練3(1)函數(shù)f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1，2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(0，3) B.(1，3)C.(1，2) D.[2，＋∞)(2)(2024·重慶診斷)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3，x>a，,log2（x＋1），－1<x≤a))且a∈N*，記g(x)＝f(x)＋t，若存在實(shí)數(shù)t使得g(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則正整數(shù)a的最大值為________.嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問題函數(shù)的零點(diǎn)是命題的熱點(diǎn)，常與函數(shù)的性質(zhì)和相關(guān)問題交匯.對(duì)于嵌套函數(shù)的零點(diǎn)，通常先“換元解套”，設(shè)中間函數(shù)為t，通過換元將復(fù)合函數(shù)拆解為兩個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)，借助函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解.一、判斷嵌套函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)例1(2024·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)診斷)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lnx－\f(1,x)，x＞0，,x2＋2x，x≤0，))則函數(shù)y＝f[f(x)＋1]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A.2 B.3C.4 D.5________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________二、由嵌套函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)例2(2024·重慶質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤0，,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))，x>0.))若關(guān)于x的方程[f(x)]2＋(m－4)f(x)＋2(2－m)＝0有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.[1，3) B.(0，2)C.[1，2) D.(0，1)_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________