絕密★啟用前

燕山地區2024-2025學年第一學期九年級期末考試

數學試卷

1.本試卷共8頁，共三道大題，28道小題.滿分100分.考試時間120分鐘.

注

2.在試卷和答題卡上準確填寫學校名稱、班級、姓名和考號.

意

3.試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效.

事

4.在答題卡上，選擇題、畫圖題用26鉛筆作答，其它試題用黑色字跡簽字筆作

項

答.

5.考試結束，請將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題（共16分，每題2分）第1—8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.

1.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

2.推進美麗中國建設，綠色低碳生產生活方式加快形成.中國超額完成到2020年碳排放強度下降40%至45%

的目標，累計減排二氧化碳5800000000噸，建成全球規模最大碳市場和清潔發電體系.將5800000000

用科學記數法表示應為（）

A5.8x108元B.5.8x109元C.58x109元D.0.58xl（）i°元

3.《城市公共交通條例》自2024年12月1日起施行，落實城市公共交通優先發展戰略，構建安全、便捷、

高效、綠色、經濟的城市公共交通體系.經過某路口的公交車，只能直行或右轉，若這兩種可能性大小相

同，則經過該路口的兩輛公交車都右轉的概率為（）

1113

A.-B.—C.—D.一

2344

4.在平面直角坐標系中，將拋物線＞=/平移，可以得到拋物線》=￡+為+1，下列平移的敘述正確的

是（）

A向上平移1個單位長度B.向下平移1個單位長度

C.向左平移1個單位長度D.向右平移1個單位長度

5.若關于x的方程必—》+。=0有兩個相等的實數根，則實數。的值是（）

,11

A.—4B.4C.----D.一

44

6.如圖，在。。中，C是前的中點，點。是。。上一點.若NZQC=20。，則N50C的度數為（）

7.執行神舟十九號載人飛行任務的航天員乘組由蔡旭哲（男）、宋令東（男）、王浩澤（女）3名航天員組

成，北京時間2024年10月29日，3名航天員與中外記者集體見面.如果從2名男航天員1名女航天員中

任選2人回答記者問，則恰好選中1名男航天員1名女航天員的概率為（）

1112

A.—B.-C.-D.一

4233

8.如圖，在平面直角坐標系中，點M坐標為四（2,0）,點N坐標為（0,2）,以點M為圓心，為半徑作

QM,與丁軸的另一個交點為2,點C是。M上的一個動點，連接5C,NC,點。是NC的中點，連接

0。，當線段0。取得最大值時，點。的坐標為（）

A.（0,l+V2）B.（1,1+V2）C.（2,2）DQ4)

二、填空題（共16分，每題2分）

9.拋物線y=（x-+5的頂點坐標是,開口方向是

10.如圖，48是。。的直徑，C,。是。。上兩點，若NZOC=140。，則/。的度數為

11.若關于尤的一元二次方程3/+4x+機=0有兩個不相等的實數根，則實數加的取值范圍是

12.在下圖中，48是。。的直徑，要使得直線NT是。。的切線，需要添加的一個條件是.（寫

一個條件即可）

13.在平面直角坐標系中，已知點4（。一仇—8）與點8（—2,。+6）關于原點對稱，則。=,b=

14.如圖，。。的半徑為2,V45C是。。的內接三角形，半徑OD1BC于E,當NB/C=45°時,

BE的長是.

15.草坪上的自動噴水裝置的旋轉角為200。，且它的噴灌區域是一個扇形.若它能噴灌的扇形草坪面積為

54平方米，則這個扇形的半徑是一米.

16.二次函數丫=a*2+6*+<:圖象上部分點的橫坐標x,縱坐標y的對應值如下表：

X???-2-1012???m???

y04664-6

則這個二次函數的對稱軸為直線x=,m=(m>0).

三、解答題(本題共68分，第17—19題，每小題5分，第20題6分，第21—24題，每小

題5分，第25題6分，第26—28題，每小題7分)解答應寫出文字說明、演算步驟或證明

過程.

17.解方程：x2—4x+4=5-

18.解方程：x(x-2)+x—2=0.

19.石拱橋是中國傳統橋梁四大基本形式之一，如圖，一石拱橋的橋頂到水面的距離CD為8加，橋拱半徑

OC為5m,求水面寬4B的長度.

20.一個大型社區，要修建一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個噴水頭，使

噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達到最高，高度為3m,水柱落地處離池中心3m.

(1)以水管與地面交點為原點，原點與水柱落地處所在直線為x軸，水管所在直線為〉軸，建立平面直角

坐標系.

(2)求水管的長.

21.二十四節氣是通過觀察太陽周年運動，認知一年中時令、氣候、物候等方面變化規律所形成的知識體

系.二十四節氣被列入聯合國教科文組織人類非物質文化遺產代表作名錄，被譽為“中國的第五大發明”.現

有三張不透明的卡片，其中兩張卡片的正面圖案為“立春”，另外一張卡片的正面圖案為“立冬”，卡片除

正面圖案不同外，其余均相同，將這三張卡片背面向上洗勻，從中隨機抽取一張，記錄圖案后放回，重新

洗勻后再從中隨機抽取一張.

請用畫樹狀圖或列表的方法，求抽出的兩張卡片上的圖案都是“立春”的概率，(圖案為“立春”的兩張卡

片分別記為4，4，圖案為“立冬”的卡片記為3)

(1)求此拋物線的解析式，并畫出圖像;

川

T-5-

；-4-

；-3-

；-2-

i--i-

-：5-4-3-22]012345x

;——+——+——?——

二」…L二…匚5

(2)結合圖像直接寫出當0WxW4時，夕的范圍.

23.下面是小石設計的“過圓上一點作圓的切線”的尺規作圖的過程.

已知：如圖1,。。及。。上一點尸.

求作：直線PN,使得PN與。。相切.

作法：如圖2,

①作射線OP;

②在。。外取一點Q(點Q不在射線OP上)，以Q為圓心，QP為半徑作圓，OQ與射線0P交于另一點

M；

③連接MQ并延長交。Q于點N；

④作直線PN.

所以直線PN即為所求作直線.

根據小石設計的尺規作圖的過程，

（1）使用直尺和圓規，補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：：“N是。。的直徑，

:./MPN=°（）（填推理的依據）.

OP1PN.

又尸是。。的半徑，

是。。的切線（）（填推理的依據）.

圖2

24.如圖，在平面直角坐標系方刀中，點4（3,3）,點3(4,0),點。(0,-1).

1c

（1）以點C為中心，把V48C逆時針旋轉90。，畫出旋轉后的圖形△Z'8'C；

（2）在（1）中的條件下,

①點A經過的路徑AAX的長為（結果保留兀）;

②寫出點8'的坐標為

25.如圖，48是。。的直徑，過點B作。。的切線點A、C、。分別為。。的三等分點，連接

AC,AD,DC,延長4D交于點￡,CD交AB于點、F.

（1）求證：CD//BM.

（2）連接若DE=m,求△05E的面積.

26.在平面直角坐標系xQy中，已知拋物線：y=ax2-2ax+4（a>0）.

y

5

4

3

2

1

（1）拋物線的對稱軸為x=;拋物線與了軸的交點坐標為;

（2）若拋物線的頂點恰好在x軸上，寫出拋物線的頂點坐標，并求它的解析式；

（3）若/（加一1,Ji）,B（m,竺），C（m+2,為）為拋物線上三點，且總有力>y3>H，結合圖象，求

m的取值范圍.

27.V4SC是等邊三角形，點。是射線5c邊上一點（不與5c重合），ZADE=60°,AD=DE,連接

CE.

圖1圖2

（1）如圖1,點。是線段8c上一點（不與8,C重合）

①判斷CE與48的位置關系，并證明；

②過點。作。G,48,垂足為G.直接寫出。G,ZG與。C之間的數量關系.

（2）如圖2,點。是線段8c延長線上一點，過點。作。G,48,垂足為G.用等式QG,ZG與

OC之間的數量關系，并證明.

28.在平面直角坐標系中，點M在無軸上，以點M為圓心的圓與x軸交于幺(1刀),8(4,0)兩點，對于

點P和。M,給出如下定義若拋物線y=ax-+bx+c(aw0)經過/,8兩點且頂點為P,則稱點P為OM

的“圖象關聯點”.

⑴已知嗚，2)，嗚。)G段”

,在點E,F,G,，中，0M的“圖象關聯點

是；

(2)已知點尸為。/的“圖象關聯點”，且3。0=5a

①判斷。尸與。M的位置關系，并證明；

②直接寫出拋物線的頂點坐標.

(3)已知。(4,2),。(1,2),當。M的“圖象關聯點”尸在外且在四邊形4BCQ內運動時，直接寫

出拋物線y=ax1-\-bx+c中a的取值范圍.

參考答案

一、選擇題(共16分，每題2分)第1—8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.

1.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是()

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的知識，把一個圖形繞某一點旋轉180。后，能夠與原圖形

重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重

合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，熟練掌握軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念，是解題的關鍵.

【詳解】解：A、繞某一點旋轉180。后，能夠與原圖形重合，是中心對稱圖形；沿一條直線折疊，直線兩

旁的部分不能夠互相重合，不是軸對稱圖形；故不符合題意；

B、繞某一點旋轉180。后，不能夠與原圖形重合，不是中心對稱圖形；沿一條直線折疊，直線兩旁的部分

能夠互相重合，是軸對稱圖形；故不符合題意；

C、繞某一點旋轉180°后，能夠與原圖形重合，是中心對稱圖形；沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠

互相重合，是軸對稱圖形；故符合題意；

D、繞某一點旋轉180。后，不能夠與原圖形重合，不是中心對稱圖形；沿一條直線折疊，直線兩旁的部分

不能夠互相重合，不是軸對稱圖形；故不符合題意；

故選：C.

2.推進美麗中國建設，綠色低碳生產生活方式加快形成.中國超額完成到2020年碳排放強度下降40%至45%

的目標，累計減排二氧化碳5800000000噸，建成全球規模最大碳市場和清潔發電體系.將5800000000

用科學記數法表示應為（）

A.5.8x108元B.5.8x109元C.58x109元D.0.58xl（）i°元

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了科學記數法.科學記數法的表示形式為ax10"的形式，其中14同〈10,〃為整數.確

定〃的值時，要看把原數變成。時，小數點移動了多少位，〃的絕對值大于1與小數點移動的位數相同.

【詳解】解：5800000000=5.8xlO9>

故選：B.

3.《城市公共交通條例》自2024年12月1日起施行，落實城市公共交通優先發展戰略，構建安全、便捷、

高效、綠色、經濟的城市公共交通體系.經過某路口的公交車，只能直行或右轉，若這兩種可能性大小相

同，則經過該路口的兩輛公交車都右轉的概率為（）

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查簡單概率的計算，根據題意列出所有等可能的情況是解題的關鍵.從所有等可能的情況

中找出符合條件的情況數，利用概率公式求解.

【詳解】解：由題意知，A,8兩輛汽車經過該路口時共有4種等可能的情況，

分別是：A直行B右轉，A直行B直行，A右轉3右轉，A右轉B直行，

因此經過該路口的兩輛汽車都右轉的概率為!.

4

故選：C.

4.在平面直角坐標系中，將拋物線y=V平移，可以得到拋物線》=￡+2X+1,下列平移的敘述正確的

是（）

A.向上平移1個單位長度B.向下平移1個單位長度

C.向左平移1個單位長度D.向右平移1個單位長度

【答案】C

【解析】

【分析】將》=犬+2%+1轉化為頂點式，再根據拋物線的平移規則，進行判斷即可.

【詳解】解：y=x2+2x+l=（x+l）2,它的圖象是由的圖象向左平移一個單位得到的；

故選C.

【點睛】本題考查二次函數圖象的平移.熟練掌握拋物線的平移規則：上加下減，左加右減，是解題的關

鍵.

5.若關于x的方程必—》+。=0有兩個相等的實數根，則實數。的值是（）

11

A.—4B.4C.---D.一

44

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，若一元二次方程有兩個相等的實數根，則方程的

根的判別式等于0,由此可列出關于。的等式，求出。的值.

【詳解】解：.??關于x的方程必一工+口二。有兩個相等的實數根

廳―4xlxa=0

1

:.a=—

4

故選：D.

6.如圖，在。。中，C是力的中點，點。是。。上一點.若NZDC=20。，則/80C的度數為（）

A.10°B.20°C,40°D.80°

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了圓周角定理，弧、圓心角的關系，先根據圓周角定理求出N/OC的度數，然后根據弧、

圓心角的關系求解即可.

【詳解】解：連接。4,

??NADC=20°,

，ZAOC=2ZADC=40°,

是前的中點，

-,-BC=AC^

：.ZBOC=ZAOC=40°,

故選：C.

7.執行神舟十九號載人飛行任務的航天員乘組由蔡旭哲（男）、宋令東（男）、王浩澤（女）3名航天員組

成，北京時間2024年10月29日，3名航天員與中外記者集體見面.如果從2名男航天員1名女航天員中

任選2人回答記者問，則恰好選中1名男航天員1名女航天員的概率為（）

1112

A-4B-TC.—D.一

33

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查的是用樹狀圖法求概率.畫出樹狀圖求概率即可求解.

【詳解】解：畫樹狀圖如圖，

開始

男男女男女男

共有6種等可能結果，其中選中1名男航天員1名女航天員，有4種，

42

.??選中1名男航天員1名女航天員的概率：=

故選：D.

8.如圖，在平面直角坐標系中，點M坐標為四（2,0）,點/坐標為（0,2）,以點M為圓心，M4為半徑作

GM,與〉軸的另一個交點為8,點C是。M上的一個動點，連接5C,NC,點。是NC的中點，連接

0。，當線段0。取得最大值時，點。的坐標為（）

A.（0,l+V2）B.（1,1+V2）C.（2,2）D.（2,4）

【答案】C

【解析】

【分析】先根據三角形中位線的性質得到當5c為直徑（過圓心M）時，0。最大；然后延長8M與圓交

于C'點，連接ZC'；再由圓周角定理可得NR4C'=90°,然后由垂徑定理得到。4=08、求解

BC=4也、NC'=4,最后求出線段NC'的中點坐標即可.

【詳解】解：如圖：連接皿，

???（WJ_48,點M坐標為V（2,0）,點/坐標為（0,2）,

,"=°B=2,MA=V22+22=2^/2，

:點。是ZC的中點，

：.OD〃BC且OD’BC,

2

???8C最大時，即當8c為直徑（過圓心〃）時，0。最大;

如圖：延長3M與圓交于C'點，連接NC',

BC是直徑，

.'.ABAC=90°,

,?*MA=2G，

BC'=472，

■■■AC=^4^-42=4，

???點C'（4,2）,

?.?ZC'的中點DC,Z（0,2）,

/.DC的坐標為（2,2）.

故選：C.

【點睛】本題屬于圓的綜合題，主要考查了圓周角定理、垂徑定理、三角形的中位線、勾股定理、線段的

中點等知識，將求線段0。最大時。的坐標轉換成求8c最大時點。的坐標是解答本題的關鍵.

二、填空題（共16分，每題2分）

9.拋物線y=（x-+5的頂點坐標是,開口方向是.

【答案】?.（1,5）②.向上

【解析】

【分析】本題主要考查了二次函數頂點式，準確分析是解題的關鍵.

根據二次函數y=a(x-/z『+左的性質求解即可.

【詳解】???拋物線y=(x—iy+5,二次項系數為1〉0,

???頂點坐標為(1,5),開口向上

故答案為：(1,5),向上.

10.如圖，48是。。的直徑，C,。是。。上兩點，若NZOC=140。，則/。的度數為

【答案】20°##20度

【解析】

【分析】先根據鄰補角的性質求出/80C,再根據一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半即可得

出答案.

【詳解】解：,??ZB是。。的直徑，ZAOC^140°,

ABOC=180°-ZAOC=40°,

ZD=-ZBOC=20°,

2

故答案為20。

【點睛】本題主要考查了圓周角的性質和鄰補角的性質，解題的關鍵是熟知圓周角的性質定理;一條弧所對

的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

11.若關于x的一元二次方程3必+4》+機=0有兩個不相等的實數根，則實數機的取值范圍是.

4

【答案】m<-

3

【解析】

【分析】本題考查的是一元二次方程根的判別式，注意記憶判別式大于0時有兩個不相等的實數根，判別

式等于0時有兩個相等的實數根，判別式小于0時方程無實數根.

根據有兩個不相等的實數根，直接得到判別式〉0,即可求解本題.

【詳解】解：???方程3/+4x+機=0有兩個不相等的實數根,

A=42-4x3xm>0，

4

解得：m<—；

3

4

故答案為：m<—.

3

12.在下圖中，是。。的直徑，要使得直線/T是。。的切線，需要添加的一個條件是.（寫

一個條件即可）

B

【答案】乙45G乙4竊=45。（答案不唯一）

【解析】

【分析】根據切線的判定條件，只需要得到NBAT=90。即可求解，因此只需要添加條件：UBT=3B=45。

即可.

【詳解】解：添加條件：^ABT=^ATB=45°,

；UBT=UTB=45°,

：.NB4T=90。,

又MB是圓。的直徑，

???/T是圓。的切線，

故答案為：AABT=^ATB=45°（答案不唯一）.

【點睛】本題主要考查了圓切線的判定，三角形內角和定理，熟知圓切線的判定條件是解題的關鍵.

13.在平面直角坐標系中，已知點/伍-4-8）與點8（-2,a+6）關于原點對稱，則。=,b=

【答案】①.5②.3

【解析】

【分析】本題考查原點對稱點的性質，熟記性質并運用解題是關鍵.關于原點對稱的兩個點的橫縱坐標都

互為相反數，根據特點列式求出。、b,即可求得答案.

【詳解】解：由題意可知，a-b=2,a+b=S

解得a=5,b=3

故答案為：5,3.

14.如圖，的半徑為2,V/5C是。。的內接三角形，半徑0D1BC于E,當NA4c=45。時，

BE的長是.

【答案】V2

【解析】

【分析】根據題意可得A50c是等腰直角三角形，半徑0D18。于E,根據等腰三角形的“三線合一”,

即可求解.

【詳解】解：。。的半徑為2,

/.0B=0C=2,

是。。的內接三角形，ABAC=45°,

/.ZBOC=2ZBAC=2x45。=90°,

...A50c是等腰直角三角形，BO1CO,NOBC=NOCB=45。,BC=42OB=272.

?.?半徑ODJ_BC于E,

BE=CE=0E=LBC=LX2亞=啦,

22

故答案為：V2.

【點睛】本題主要考查圓與三角形的綜合，等腰直角三角形的性質的綜合，掌握以上知識的綜合運用解題

的關鍵.

15.草坪上的自動噴水裝置的旋轉角為200。，且它的噴灌區域是一個扇形.若它能噴灌的扇形草坪面積為

5萬平方米，則這個扇形的半徑是—米.

【答案】3

【解析】

【分析】根據已知得出自動噴水裝置它能噴灌的草坪是扇形，面積為57r平方米，圓心角為200。，利用扇形

面積公式S扇形=二^求出即可.

360

【詳解】解：???草坪上的自動噴水裝置它能噴灌的草坪是扇形，面積為5n平方米，圓心角為200。,

O八八D2

它能噴灌的草坪的面積為：=5兀m2.

360

解得：R=3,

故答案為3.

【點睛】此題主要考查了扇形面積求法.

16.二次函數y=ax?+bx+c圖象上部分點的橫坐標x,縱坐標y的對應值如下表:

X.??-2-1012???m???

?????????

y04664-6

則這個二次函數的對稱軸為直線x=,m=(m>0).

【答案】?.1②.4

【解析】

【分析】根據題意把點(0,6)代入求出c,再把點(-1,4)和(1,6)代入求出a、b,進而分析計算即

可求出答案.

【詳解】解：由表得，拋物線y=ax?+bx+c(aWO)過點(0,6),

c=6,

拋物線y=ax?+bx+6過點(-1,4)和(1,6),

。一6+6=4a=-l

,解得:

。+b+6=6b=l

...二次函數的表達式為：y=-x2+x+6；

二?拋物線y=ax?+bx+c(aWO)過點(0,6)和(1,6),

，拋物線的對稱軸方程為直線X=y,

當x=m時，y=-6,代入y=-x2+x+6,則有-6=-m2+m+6,

解得：m=-3或m=4,

Vm>0,

.,.m=4,

故答案為：y,4.

【點睛】本題考查二次函數的圖象和性質，熟練掌握并用待定系數法求函數的解析式的應用，能求出二次

函數的解析式是解答此題的關鍵.

三、解答題(本題共68分，第17—19題，每小題5分，第20題6分，第21—24題，每小

題5分，第25題6分，第26—28題，每小題7分)解答應寫出文字說明、演算步驟或證明

過程.

2

17.解方程：X-4X+4=5.

【答案1X]=2+y/5,x2=2—\[5

【解析】

【分析】本題考查解一元二次方程，將方程轉化為一般形式，利用公式法進行求解即可.

【詳解】解：由4x+4=5得：X2-4X-1=0

6/=1,b=—4,c=-1

.-.A=Zj2-4ac=16-4xlx(-l)=20>0

6±"2—而。_4土而.

??JC~一?

2a2

%]=2+Vs,/=2--\/5.

18.解方程：x(x—2)+x—2=0.

【答案】項=2,x2=-l

【解析】

【分析】把方程中的x-2看作一個整體，利用因式分解法解此方程.

【詳解】解：(%—2)(x+l)=0,

Ax—2=0或x+l=0,

.*.%1=2,%2=-1?

【點睛】本題考查了一元二次方程的解法因式分解法，屬于基礎題.

19.石拱橋是中國傳統橋梁四大基本形式之一，如圖，一石拱橋的橋頂到水面的距離CD為8加，橋拱半徑

OC為5m,求水面寬48的長度.

【答案】8m

【解析】

【分析】連接04根據垂徑定理可知：48,在中，利用勾股定理即可求出的長,

進而可得出的長，此題得解.

【詳解】解：連接如圖所示.

\'CD±AB,

：.AD=BD=^AB,

在放△/DO中，0A=0C=5m,OD=CD-OC=3m,ZADO=90°,

4D=y/o^-OD1=4m,

.\AB=2AD=Sm.

【點睛】本題考查了垂徑定理的應用以及勾股定理，利用勾股定理求出的長度是解題的關鍵.

20.一個大型社區，要修建一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個噴水頭，使

噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達到最高，高度為3m,水柱落地處離池中心3m.

(1)以水管與地面交點為原點，原點與水柱落地處所在直線為X軸，水管所在直線為y軸，建立平面直角

坐標系.

(2)求水管的長.

【答案】(1)見解析(2)水管應2.25m長

【解析】

【分析】(1)以池中心為原點，豎直安裝的水管為y軸，與水管垂直的為x軸建立直角坐標系；

(2)設拋物線的解析式為y=a(x—I,+3(04x43),將(3,0)代入求得。值，令x=0,得的>值即為

水管的長.

【小問1詳解】

解：如圖，建立以池中心為原點，豎直安裝的水管為y軸，與水管垂直的為x軸建立直角坐標系，

【小問2詳解】

解：由于在距池中心的水平距離為1m時達到最高，高度為3m,

則設拋物線的解析式為：y=a(x—1)2+3(0VXV3),代入(3,0),

3

解得：a——.

4

將。值代入得到拋物線的解析式為：

3

y=--(x-l)92+3(0<x<3),

9

令x=0,則>=—=2.25.

4

故水管長為2.25m.

【點睛】此題主要考查二次函數的應用，解題的關鍵是根據圖形建立合適的直角坐標系.

21.二十四節氣是通過觀察太陽周年運動，認知一年中時令、氣候、物候等方面變化規律所形成的知識體

系.二十四節氣被列入聯合國教科文組織人類非物質文化遺產代表作名錄，被譽為“中國的第五大發明”.現

有三張不透明的卡片，其中兩張卡片的正面圖案為“立春”，另外一張卡片的正面圖案為“立冬”，卡片除

正面圖案不同外，其余均相同，將這三張卡片背面向上洗勻，從中隨機抽取一張，記錄圖案后放回，重新

請用畫樹狀圖或列表的方法，求抽出的兩張卡片上的圖案都是“立春”的概率，（圖案為“立春”的兩張卡

片分別記為4，4，圖案為“立冬”的卡片記為5）

4

【答案】樹狀圖見解析，P（兩張都是“立春”）=—

9

【解析】

【分析】本題考查的是用樹狀圖法求概率，熟練掌握該知識點是解題的關鍵.先列出樹狀圖，然后根據概

率=所求情況數十總情況數，求出答案即可.

【詳解】解：畫樹狀圖為：

開始

第一次抽取A1A2B

小/N小

第二次抽取A\A2BA,A2BA,A2B

由樹狀圖可知，所有可能出現的結果共有9種，其中兩次抽取的卡片上都是“立春”的結果有4種，所以尸

4

（兩張都是“立春”）=—.

(1)求此拋物線的解析式，并畫出圖像;

(2)結合圖像直接寫出當0W尤W4時，y的范圍.

【答案】(1)J=X2-2X-3,圖見解析

(2)-4<j<5

【解析】

【分析】(1)根據表格得出拋物線過點(1，-4)、(-1,0)、(3,0),將點坐標代入拋物線解析式求出°、

6、c即可，再利用描點法畫函數圖像；

(2)利用圖像可直接得到答案.

【小問1詳解】

解：,設二次函數的解析式為y=ax2+bx+c(aw0),

由題意得：當x=0時，y=-3,

c=—3,

?.?x=l時，y=-4,當x=-1時，歹=0,

a—b—3=0

??.《,

Q+b-3=-4

a-\

解得5c，

b=-2

y=x2-2x-3；

???當X=4時，y=5f

...根據表格描點(一2,5),(-1,0),(0,-3),(1,-4),(2,-3),(3,0),(4,5),用平滑曲線連結，拋物線圖像如

圖:

【小問2詳解】

解：由圖可得，拋物線的頂點為（1,-4）,

.?.當0WxW4時，—4VyV5.

【點睛】本題考查了待定系數法求拋物線解析式，描點法畫函數圖像，根據圖像求函數值范圍，熟練掌握

待定系數法和描點法畫函數圖像是解題關鍵.

23.下面是小石設計的“過圓上一點作圓的切線”的尺規作圖的過程.

已知：如圖1,。。及。。上一點尸.

求作：直線PN,使得PN與。。相切.

作法：如圖2,

①作射線OP;

②在。。外取一點Q（點Q不在射線0P上），以Q為圓心，QP為半徑作圓，OQ與射線0P交于另一點

M；

③連接MQ并延長交。Q于點N；

④作直線PN.

所以直線PN即為所求作直線.

根據小石設計的尺規作圖的過程，

（1）使用直尺和圓規，補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：是。。的直徑，

/.ZMPN=°（）（填推理的依據）.

OPLPN.

又尸是。。的半徑,

是。。的切線（）（填推理的依據）.

圖1圖2

【答案】（1）作圖見解析；（2）90,直徑所對的圓周角是直角；經過半徑的外端，并且垂直于這條半徑的

直線是圓的切線

【解析】

【分析】（1）根據題意作出圖形即可；

（2）根據圓周角定理可得/MPN=90。，根據切線的判定定理即可得結論.

【詳解】（1）（1）補全圖形如下圖；

（2）證明：：〃乂是。。的直徑，

:.NMPN=J0°（直徑所對的圓周角是直角）（填推理的依據）.

/.OP1PN.

又尸是。。的半徑，

???PN是。。的切線（經過半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線）（填推理的依據）.

故答案為：90,直徑所對的圓周角是直角；經過半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

【點睛】本題考查了切線的判定及圓周角定理，正確作出圖形是解題關鍵.

24.如圖，在平面直角坐標系xOy中，點幺（3,3）,點8（4,0）,點C（0,-L）.

（1）以點C為中心，把V48C逆時針旋轉90。，畫出旋轉后的圖形△Z'8'C；

（2）在（1）中的條件下，

①點A經過的路徑幺4的長為（結果保留兀）；

②寫出點B'的坐標為.

57r

【答案】（1）見解析（2）①一；②（-1,3）

2

【解析】

【分析】本題主要考查作圖-旋轉變換；

（1）根據旋轉的定義作出點A、8繞點C逆時針旋轉90。得到的對應點，再順次連接可得;

（2）①根據弧長公式列式計算即可；②根據（1）中所作圖形可得.

解題的關鍵是根據旋轉變換的定義作出對應點及弧長公式.

【小問1詳解】

解：如圖所示，AHB'C即為所求；

①???ZC=，32+42=5,ZACA'=90°,

???點A經過的路徑AA'的長為------=—

1802

故答案為：--:

2

②由圖知點"的坐標為（-1,3）,

故答案為：（-1,3）.

25.如圖，Z8是O。的直徑，過點3作。。的切線瓦I1,點A、C、。分別為。。的三等分點，連接

AC,AD,DC,延長40交于點￡,CD交AB于點、F.

（1）求證：CD//BM；

（2）連接若DE=m,求△05E的面積.

2

【答案】（1）見解析（2）S^OBE=V3m

【解析】

【分析】本題主要考查了垂直平分線的判定、三角形的外心、圓切線的性質、平行線的判定，等邊三角形

的判定與性質、直徑所對的圓周角是直角、勾股定理、含30。角的直角三角形的性質，熟練掌握知識點推理

是解題的關鍵.

（1）根據三等分點，得出介=比=元，A/CD內接于。。，推出4D=DC=NC,點。是的

外心，得出48，。，根據切線的性質，得出8EL48,根據“同一平面內，垂直于同一條直線的兩條

直線平行”，即可得證C。〃氏區；

（2）連接由（1）得4D=￡）C=ZC,ABVCD,BELAB,得出A/CD是等邊三角形，

NABE=90。,得出NC4D=60。，計算出角度NE48=30°,ZAEB=60°,根據“直徑所對的圓周角是

直角”，得出N4DB=NBDE=90。,求出ND5E=30°,根據“30°角所對的直角邊是斜邊的一半”，結

合勾股定理，推出5￡=2根，。"回，根據三角形面積公式，計算其…上際所得出答案

即可.

【小問1詳解】

證明：?..點A、C、。為。。的三等分點，

AD=DC=AC>A/CZ>內接于。0,

AD=DC=AC,點。是A/CD的外心,

.?.點A、。在線段CD的垂直平分線上，

/.ABLCD,

:過點8作。。的切線8M,

，BELAB,

CD//BM；

【小問2詳解】

解：如圖，連接

M

E

:由（1）得：AD=DC=AC,ABVCD,BELAB,

A/CD是等邊三角形，ZABE=90°,

：.ZCAD=60°,QEAB=-DG4D=60°=30°,

22

ZAEB=90°-30°=60°,

：48是。。的直徑，

/.NADB=ZBDE=90°,

QDBE=90°-BAEB=30°,

又DE=m,

：.BE=2DE=2m,BD=^BE2-DE2=^（2m）2-m2=73m，

又??,在Rt^4D5中，/DAB=30。,

AB=2BD=m，OB=—AB=y/im,

2

???在R"OBE中，SAOBE=gxBExOB=gx2m義也m=Cm.

2

26.在平面直角坐標系xQy中，已知拋物線：y=ax~2ax+A（Q>0）.

y

5

4

3

2

1

（1）拋物線的對稱軸為x=;拋物線與歹軸的交點坐標為;

（2）若拋物線的頂點恰好在x軸上，寫出拋物線的頂點坐標，并求它的解析式；

（3）若力（m—1,為），B（m,歹2）,C（m+2,為）為拋物線上三點，且總有為>為>歹2，結合圖象，求

m的取值范圍.

【答案】（1）1,（0,4）

（2）頂點坐標為（1,0）,歹=4N—8X+4

（3）0<m<—

2

【解析】

【分析】（1）根據二次函數對稱軸公式，以及與〉軸的交點坐標公式；

（2）根據二次函數與x軸交點公式，以及待定系數法求解析式；

（3）先求對稱點坐標根據函數的增減性解決本題.

【小問1詳解】

解：％=-----=1,

2a

當x=0時，歹="2-2。%+4=4,

所以拋物線的對稱軸是直線x=l,拋物線與y軸的交點坐標是（0,4）,

故答案為：1,（0,4）.

【小問2詳解】

解：??,拋物線的頂點恰好在x軸上，

???拋物線的頂點坐標為（1,0）,

把（1,0）代入歹="2—2辦+4得：0=ax12—2djx1+4,

解得：a=4,

，拋物線的解析式為歹=4N—8x+4.

【小問3詳解】

解：A（m—1,為）關于對稱軸x=l的對稱點為4（3—心，力），

B（機，竺）關于對稱軸x=l的對稱點為8,（2—加，”），

若要為＞73＞＞"2，則3—機＞%+2＞2—加，解得：0＜小＜；.

【點睛】本題考查二次函數圖像求對稱軸公式，以及與X軸，y軸的交點公式，以及函數的增減性，掌握

數形結合的思想是解決本題的關鍵.

27.V4SC是等邊三角形，點。是射線3C邊上一點（不與8c重合），AADE=60°,AD=DE,連接

CE.

圖1圖2

（1）如圖1,點。是線段8c上一點（不與8,C重合）

①判斷CE與48的位置關系，并證明；

②過點。作DGL48,垂足為G.直接寫出。G,/G與。C之間的數量關系.

（2）如圖2,點。是線段8c延長線上一點，過點。作。G,48,垂足為G.用等式QG,ZG與

。。之間的數量關系，并證明.

【答案】（1）①CE〃4B,證明見解析；②DG=C（AG-DC）

（2）當點G在線段48上時，DG=AAG+DC）；當點G在線段48延長線上時，

DG=43（DC-AG）

【解析】

【分析】（1）①連接ZE,證明VNDE是等邊三角形，得到ZE=4D,ZDAE=60°,再證明

△BAD咨ACAE,得到N/CE=NASD=60。，結合/B/C=60。，推出NA4C=NZCE,從而得誣②

在線段幺3上截取Z〃=CD,連接先證明是等邊三角形，在利用等腰三角形三線合一，得

到NHDG=L/BDH=30。,再利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半以及勾股定理，得到

2

DG=^DH2-GH2=6GH，結合GH=AG—AH=AG—DC從而得證;

(2)①當點G在線段N8上時，在A4延長線上截取4f7=CD,連接"T先證明是等邊三角形,

得到DH=BD,ZDHG=60°,從而推出N/7DG=30°,HD=2GH,由勾股定理得，

DG=/GH，最后得到。G=J§(ZG+OC)；當點G在線段ZB長線上時，同上，截取=

連接。〃，同理可證。G=6CDC—/G).

【小問1詳解】

解：①CE〃AB

連接/E,如圖所示：

.?V4DE是等邊三角形

AE=AD,ZDAE=60°

是等邊三角形

AB=AC,ABAC=60°

???/BAD=ABAC-ADAC,NCAE=ZDAE-ADAC

NBAD=ZCAE

在AB4D和ACZE中，

AB=AC

-/BAD=ZCAE

AD=AE

△BAgMAE

/ACE=ZABD=60°

QABAC=60°

：.NBAC=ZACE

CE//AB

②DG=6(AG-DC),理由如下：

在線段N5上截取4〃=CO,連接Q/f,如圖所示:

是等邊三角形

:.AB=BC,ZABC=60°

AH=CD

:.AB-AH=BC-CD

BH=BD

.?.△AM)是等邊三角形

BD=DH,ZBDH=60°

DG1BH

ZHDG=-ZBDH=30°

2

:.GH=-DH

2

DG=^DH2-GH2=43GH

DG=瓜AG-AH)=也(AG-DC)

【小問2詳解】

解：點。是線段8c延長線上一點(不與5,C重合)，過。作。G,45,垂足為G,

①當點G在線段48上時，DG=AAG+DC)

如圖，在氏4延長線上截取=CD,連接

是等邊三角形

AB=BC

■：AH=CD

BH=BD

???