重難點(diǎn)09幾何熱考題三四邊形熱考模型

（5種類型19種模型詳解+專題訓(xùn)練）

【題型匯總】

幾

何

熱

考

題

三

四

邊

形

熱

考

模

型

題型01中點(diǎn)四邊形模型

【基礎(chǔ)模型】已知點(diǎn)E、F、G、H分別為任意四邊形ABCD四條邊AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，則

①四邊形EFGH是平行四邊形②CEFGH=AC+BD③S平行四邊形已用”=；S四邊形

【名師總結(jié)】

1）順次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是矩形.

2）順次連接對角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是矩形.

3）順次連接對角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是菱形.

4）順次連接對角線互相垂直且相等的四邊形各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是正方形.

速記口訣：矩中菱，菱中矩，正中正.

1.（2024?山西?中考真題）在四邊形4BCD中，點(diǎn)E,F,G,"分別是邊2B,BC,CD,DA的中點(diǎn)，EG,FH交于

點(diǎn)。.若四邊形2BCD的對角線相等，則線段EG與FH一定滿足的關(guān)系為（）

A.互相垂直平分B.互相平分且相等

C.互相垂直且相等D.互相垂直平分且相等

【答案】A

【分析】本題主要考查了中點(diǎn)四邊形、菱形的判定與性質(zhì)及三角形的中位線定理，根據(jù)題意畫出示意圖，

得出中點(diǎn)四邊形的形狀與原四邊形對角線之間的關(guān)系即可解決問題.

【詳解】解：如圖所示，

連接BD,AC,

???點(diǎn)H和點(diǎn)E分別是AD和AB的中點(diǎn),

???"E是△4BD的中位線，

HE=^BD,HE\\BD.

同理可得，GF=^BD,GF\\BD,

：.HE=GF,HEWGF,

四邊形"EFG是平行四邊形.

11

???HE=-BD,HG=-AC,B.AC=BD,

22

??.HE=HG,

???平行四邊形HEFG是菱形,

EG與HF互相垂直平分.

故選：A.

2.（2022?湖北荊州?中考真題）如圖，已知矩形A8CD的邊長分別為a,b,進(jìn)行如下操作：第一次，順次連

接矩形ABC。各邊的中點(diǎn)，得到四邊形4B1QA；第二次，順次連接四邊形各邊的中點(diǎn)，得到四

邊形2c2。2；…如此反復(fù)操作下去，則第〃次操作后，得到四邊形在建九0外的面積是（）

【分析】利用中位線、菱形、矩形的性質(zhì)可知，每一次操作后得到的四邊形面積為原四邊形面積的一半,

由此可解.

【詳解】解：如圖，連接AC,BD,AC】，BrDr.

A_______?D

:四邊形ABCD是矩形，

：.AC=BD,AD=BC,AB=CD.

?；G，%分別是矩形四個邊的中點(diǎn)，

.\A1D1=B]C]—A1B1=C1D1,

???四邊形4/1的。1是菱形，

41cl=AD=a,B1D1=AB=b,

...四邊形ABiGOj的面積為:加G-B也=1ab=\saABCD.

同理，由中位線的性質(zhì)可知,

D2c2=A2B2==-a>D2c2]IA2B2IIAD,

11

0242=C2B2=~AB=-b,D2A211c2B2IIAB,

.??四邊形4282c2。2是平行四邊形，

'：AD1.AB,

,,。2。2J-。242,

/.四邊形2c2。2是矩形，

，四邊形4282c202的面積為：。2。2,4202=2°'2=4^aABCD=5s菱形人聲小也，

.??每一次操作后得到的四邊形面積為原四邊形面積的一半，

，四邊形4tBnCn4的面積是票.

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)以及中位線的性質(zhì)，證明四邊形44CiA是菱形，四邊形2282c2。2

是矩形是解題的關(guān)鍵.

3.(2023?江蘇南通?中考真題)如圖，四邊形ABCD的兩條對角線AC,BD互相垂直，AC=4,BD=6,則

【分析】設(shè)",BD的交點(diǎn)為。，4民8。,(?。,。4的中點(diǎn)分別是「,(2，/?,5,連接PQ,QR,RS,SP,OQ,OS,QS,先證

AD+BC=2(05+0Q),由此得當(dāng)OS+0Q最小時,4。+BC最小，再根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得0Q+0S2

QS,再證四邊形PQRS是矩形，且PQ=2,SP=3,根據(jù)勾股定理的OS=V13,進(jìn)而求得2D+BC的最小值.

【詳解】解：設(shè)力C,BD的交點(diǎn)為。，48,8岬6,。4的中點(diǎn)分別是「,(2禺5,^PQ,QR,RS,SP,OQ,OS,QS,

???互相垂直，

AOD^ABOC為直角三角形，且AD,BC分別為斜邊，

AD=20S,BC=20Q,

???AD+BC=2(0S+0Q),

.?.當(dāng)OS+OQ最小時，4D+BC最小，再根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得。Q+OS2QS,

.??當(dāng)點(diǎn)。在線段QS上時，OQ+OS最小，最小值為線段QS的長，

???P,Q分別為的中點(diǎn)，

PQ是△4BC的中位線，

1

PQ=^AC=2,PQ\\AC,

同理QR=|BD=3,QRWBD,

RS=|AC=2,RS\\AC,

1

sp=：BD=3,SP\\BD,

PQWACWRS^RWBDWSP,

.??四邊形PQRS是平行四邊形，

VAC1BD,PQ\\AC,SP\\BD,

PQISP,

???四邊形PQRS是矩形，

在RtAPQS中，PQ=2,SP=3,

???QS=y/PQ2+SP2=V13,

OQ+OS的最小值為g,

AD+BC的最小值為2局.

故答案為：2g.

【點(diǎn)睛】此題只要考查了矩形的判定和性質(zhì)，三角形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，線段的性質(zhì)，勾股定

理等，熟練掌握矩形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，理解直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，

兩點(diǎn)之間線段最短是解答此題的關(guān)鍵.

4.（2024.云南?中考真題）如圖，在四邊形4BCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是各邊的中點(diǎn)，且4B||C。，AD\\BC,

(1)求證：四邊形4BCD是菱形；

(2)若矩形EFGH的周長為22,四邊形48CD的面積為10,求4B的長.

【答案】(1)見解析

⑵VTTI

【分析】(1)連接BD,AC,證明四邊形2BCD是平行四邊形，再利用三角形中位線定理得到GFIIBD,HGWAC,

利用矩形的性質(zhì)得到BD，4C,即可證明四邊形4BCD是菱形；

(2)利用三角形中位線定理和菱形性質(zhì)得到：BD=OA+OB=11,利用lx面積公式得到2。4?

OB=10,再利用完全平方公式結(jié)合勾股定理進(jìn)行變形求解即可得到4B.

【詳解】(1)解：連接BD,AC,

BFCABWCD,ADWBC,

二四邊形4BCD是平行四邊形，

??,四邊形4BC0中，點(diǎn)E、尸、G、”分別是各邊的中點(diǎn)，

???GFWBD,HGWAC,

???四邊形EFGH是矩形，

HG1GF,

：.BD1AC,

四邊形4BCD是菱形；

(2)解：???四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、”分別是各邊的中點(diǎn),

???GF=EH=-BD,HG=EF=-AC,

22

???矩形EFGH的周長為22,

BD+AC=22,

???四邊形4BCD是菱形,

即卯。+豺。=04+08=11,

???四邊形4BCQ的面積為10,

-.^BDAC=10,BP20X-OB=10,

???(04+OB)2=0A2-+20A-OB+OB2=121,

0A2+OB2=121-10=111,

.-.AB=VOX2+OB2=V1T1.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定，三角形中位線定理，菱形的性質(zhì)和判定,

菱形面積公式，勾股定理，完全平方公式，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.(2023?山西?中考真題)閱讀與思考：下面是一位同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).

瓦里尼翁平行四邊形

我們知道，如圖1,在四邊形A8CD中，點(diǎn)E,F,G,H分別是邊4B,BC,CD,的中點(diǎn)，順次連接E,F,G,H,

得到的四邊形EFGH是平行四邊形.

我查閱了許多資料，得知這個平行四邊形EFGH被稱為瓦里尼翁平行四邊形.瓦里

尼翁(Var譏gncm,Pierrel654—1722)是法國數(shù)學(xué)家、力學(xué)家.瓦里尼翁平行四邊形與原四邊形關(guān)系密切.

①當(dāng)原四邊形的對角線滿足一定關(guān)系時，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正

方形.

②瓦里尼翁平行四邊形的周長與原四邊形對角線的長度也有一定關(guān)系.

③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半.此結(jié)論可借助圖1證明如下：

證明：如圖2,連接4C,分別交于點(diǎn)P,Q,過點(diǎn)。作DM1AC于點(diǎn)M,交HG于點(diǎn)N.

?..”,6分別為4。,。。的中點(diǎn)，：.HG||AC,HG=\AC.（依據(jù)1）

:喘嗎.,：DG=GC,：.DN=NM/DM.

:四邊形EFG"是瓦里尼翁平行四邊形，.?.HE||GF,BPHP||GQ.

\9HG||AC,即”G||PQ,

四邊形HPQG是平行四邊形.（依據(jù)2）...SmHPQG=HG?MN=^HG-DM.

?：S^ADC=^AC-DM=HG-DM,'.sBHPQG=ls^ADC.同理，…

任務(wù):

（1）填空：材料中的依據(jù)1是指：.

依據(jù)2是指：.

（2）請用刻度尺、三角板等工具，畫一個四邊形4BCD及它的瓦里尼翁平行四邊形EFGH,使得四邊形EFGH為

矩形；（要求同時畫出四邊形4BCD的對角線）

（3）在圖1中，分別連接2C,8。得到圖3,請猜想瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長與對角線力C,8。長度的關(guān)

系，并證明你的結(jié)論.

圖3

【答案】（1）三角形中位線定理（或三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半）；平行四邊形的定

義（或兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形）

（2）答案不唯一，見解析

（3）平行四邊形EFG”的周長等于對角線2C與BD長度的和，見解析

【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理和平行四邊形的定義解答即可；

（2）作對角線互相垂直的四邊形，再順次連接這個四邊形各邊中點(diǎn)即可；

（3）根據(jù)三角形中位線定理得瓦里尼翁平行四邊形一組對邊和等于四邊形的一條對角線，即可得她結(jié)論.

【詳解】（1）解：三角形中位線定理（或三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半）

平行四邊形的定義(或兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形)

(2)解：答案不唯一，只要是對角線互相垂直的四邊形，它的瓦里尼翁平行四邊形即為矩形均可.例如:

如圖即為所求

(3)瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長等于四邊形4BCD的兩條對角線2C與BD長度的和，

證明如下：丁點(diǎn)E,尸,G,H分別是邊4B,BC,CD,的中點(diǎn)，

:.EF=\AC,GH=\AC.

：.EF+GHAC.

同理EH+FG=BD.

：.四邊形EFGH的周長=EF+GH+EH+FG=AC+BD.

即瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長等于對角線力。與BD長度的和.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定，矩形的判定，三角形中位線.熟練掌握三角形中位線定理是解題的

關(guān)鍵.

6.(2024?青海?中考真題)綜合與實踐

順次連接任意一個四邊形的中點(diǎn)得到一個新四邊形，我們稱這個新四邊形為原四邊形的中點(diǎn)四邊形.數(shù)學(xué)

興趣小組通過作圖、測量，猜想：原四邊形的對角線對中點(diǎn)四邊形的形狀有著決定性作用.

以下從對角線的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系兩個方面展開探究.

【探究一】

原四邊形對角線關(guān)系中點(diǎn)四邊形形狀A(yù)

不相等、不垂直平行四邊形

如圖1,在四邊形4BCD中，E、F、G、H分別是各邊的中點(diǎn).

求證：中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形.

證明：：￡、F、G、X分別是AB、BC、CD、。力的中點(diǎn)，

：.EF,GH分別是AABC和△ACD的中位線，

：.EF=-AC,GH=-AC(①)

22-----------------------

：.EF=GH.

同理可得：EH=FG.

.?.中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形.

結(jié)論：任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形.

(1)請你補(bǔ)全上述過程中的證明依據(jù)①

【探究二】

原四邊形對角線關(guān)系中點(diǎn)四邊形形狀A(yù)

1

?〃A、

i?/i

不相等、不垂直平行四邊形//

幺.....

AC=BD菱形

(?圖2

從作圖、測量結(jié)果得出猜想I：原四邊形的對角線相等時，中點(diǎn)四邊形是菱形.

(2)下面我們結(jié)合圖2來證明猜想I,請你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫出后綾的證明過程.

（3）從作圖、測量結(jié)果得出猜想II：原四邊形對角線垂直時，中點(diǎn)四邊形是②.

（4）下面我們結(jié)合圖3來證明猜想n,請你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫出后續(xù)的證明過程.

【歸納總結(jié)】

（5）請你根據(jù)上述探究過程，補(bǔ)全下面的結(jié)論，并在圖4中畫出對應(yīng)的圖形.

中點(diǎn)四邊形形狀

原四邊形對角線關(guān)系

③________④________

圖4

結(jié)論：原四邊形對角線③時，中點(diǎn)四邊形是④.

【答案】（1）①中位線定理

（2）證明見解析

（3）②矩形

（4）證明見解析

（5）補(bǔ)圖見解析；③AC1BD且AC=BD；④正方形

【分析】本題考查了三角形中位線定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性

質(zhì)等知識

（1）利用三角形中位線定理即可解決問題；

（2）根據(jù)三角形中位線定理，菱形判定定理即可解決問題；

（3）根據(jù)三角形中位線定理，矩形判定定理即可解決問題；

（4）根據(jù)三角形中位線定理，矩形判定定理即可解決問題；

（5）根據(jù)三角形中位線定理，正方形判定定理即可解決問題.

【詳解】（1）①證明依據(jù)是：中位線定理；

（2）證明：F,G、H分別是48、BC、CD、的中點(diǎn)，

:.EF、GH分別是△ABC和△4CD的中位線，

3*GH^AC

：.EF=GH.

同理可得：EH=FG.

\"AC=BD

：.EF=GH=EH=FG

二中點(diǎn)四邊形EFGH是菱形.

(3)②矩形；

故答案為：矩形

(4)證明YE、F、G、H分別是4B、BC、CD、04的中點(diǎn),

：.EF,GH分別是△ABC和△4CD的中位線，

J.EF||AC,GH||AC,

：.EF||GH.

同理可得:EH||FG.

'：AC1BD

圖3

：.^A0D=^AIH=90°,乙FEH=4AIH

：.Z.A0D=Z.EFG=乙FEH=4EHG=90°

/.中點(diǎn)四邊形EFGH是矩形.

(5)證明：如圖4,F,G、H分別是28、BC、CD、。力的中點(diǎn),

：.EF,GH分別是△力8C和AaCD的中位線，

：.EF^-AC,GH--AC

22

：.EF=GH.

同理可得：EH=FG.

U：AC=BD

：.EF=GH=EH=FG

???中點(diǎn)四邊形EFGH是菱形.

VAC1BD

由（4）可知/力。。=Z.EFG=乙FEH=4EHG=90°

，菱形EFGH是正方形.

故答案為：③AC18。且47=8。；④正方形

圖4

題型02垂美四邊形模型

已知四邊形中AC±BD如圖，在矩形ABCD中，P為CD如圖，在矩形ABCD中，P為矩形內(nèi)部

邊上有一點(diǎn)，連接AP、BP任意一點(diǎn)，連接AP、BP,CP,DP

圖示DFCD_________________C

S

BABAB

2222

結(jié)論DP+BP=AP+PCAP2+PC2=DP2+BP2

S四邊形ABCD=-?AC?BD

AB2+DC2=AD2+BC2

7.（2020?四川雅安?中考真題）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形

ABCD,對角線AC、BD交于點(diǎn)。.若4。=2,BC=4,則AB?+CD2=.

【答案】20

【分析】由垂美四邊形的定義可得ACLBD,再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2,從而求解.

【詳解】???四邊形ABCD是垂美四邊形,

/.ACXBD,

ZAOD=ZAOB=ZBOC=ZCOD=90°,

由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,

AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,

.*.AD2+BC2=AB2+CD2,

VAD=2,BC=4,

：.AB2+CD2=AD2+BC2=22+42=20,

故答案為：20.

【點(diǎn)睛】本題主要考查四邊形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解新定義，并熟練運(yùn)用勾股定理.

8.（2024?山東泰安?二模）小明學(xué)習(xí)了四邊形后，對有特殊性質(zhì)的四邊形的探究產(chǎn)生了興趣，發(fā)現(xiàn)了這樣一

類特殊的四邊形：兩條對角線互相垂直的四邊形，叫做垂美四邊形，如圖：已知四邊形4BCD中，ACLBD,

垂足為。，對角線4C=4,BD=6,設(shè)S=4。+BC,貝達(dá)的最小值等于.

【答案】2g

【分析】本題考查了多邊形，平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理，以邊AC,8c為鄰邊作平行四邊形4C8E,連

接OE,貝!]BE=2C=4,AE=BC,根據(jù)S=4。+=4。+4E2DE,可知S的最小值為DE的長，根據(jù)

勾股定理即可求出答案，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造平行四邊形和直角三角形.

【詳解】如圖，

以邊AC,BC為鄰邊作平行四邊形2C8E,連接DE,

則BE=ac=4,AE=BC,

：.S=AD+BC=AD+AE,

當(dāng)4D、E三點(diǎn)共線時，S最小，

；.S的最小值為DE的長，

'：BE\\AC,AC1BD,

：.BE1BD

在RtzkBDE中，由勾股定理得，DE=7BE2+BD2="6+36=2舊,

；.S的最小值等于2舊，

故答案為：2g.

9.（2021?山東棗莊?中考真題）如圖1,對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

（1）概念理解：如圖2,在四邊形ABC。中，AB=AD,CB=CD,問四邊形4BCD是垂美四邊形嗎？請說

明理由；

（2）性質(zhì)探究：如圖1,垂美四邊形4BCD的對角線AC,BD交于點(diǎn)。.猜想：AB2+CD2^AD2+5C2W

么關(guān)系？并證明你的猜想.

（3）解決問題：如圖3,分另U以RtAACB的直角邊4C和斜邊力B為邊向夕卜作正方形4CFG和正方形4BDE,

連結(jié)CE,BG,GE.已知4C=4,AB=5,求GE的長.

【答案】（1）四邊形4BCD是垂美四邊形，理由見解析；（2）力B2+CD2=4）2+BC2,證明見解析；（3）

GE=V73.

【分析】（1）連接力C,BD,先根據(jù)線段垂直平分線的判定定理可證直線4C是線段BD的垂直平分線，再根據(jù)

垂美四邊形的定義即可得證；

（2）先根據(jù)垂美四邊形的定義可得80,再利用勾股定理解答即可;

(3)設(shè)CE分別交4B于點(diǎn)M,交BG于點(diǎn)N,連接BE,CG,先證明△G4B三△CAE,得到"1BG=NAEC,再

根據(jù)角的和差可證ZBNM=90°,即CE1BG,從而可得四邊形CGEB是垂美四邊形，然后結(jié)合(2)的結(jié)論、

利用勾股定理進(jìn)行計算即可得.

【詳解】證明：(1)四邊形4BC0是垂美四邊形，理由如下：

如圖，連接4C,BD,

"：AB=AD,

點(diǎn)4在線段8D的垂直平分線上，

VCB=CD,

.??點(diǎn)C在線段BD的垂直平分線上，

二直線4C是線段8。的垂直平分線，即AC1BD,

二四邊形4BCD是垂美四邊形；

(2)^.AB2+CD2=AD2+BC2,證明如下：

,/四邊形4BCD是垂美四邊形，

：.AC1BD,

J.Z.AOD=/.AOB=Z.BOC=乙COD=90°,

由勾股定理得：AD2+BC2=OA2+OD2+OB2+OC2,

AB2+CD2=OA2+OB2+OC2+OD2,

：.AB2+CD2=AD2+BC2；

(3)如圖，設(shè)CE分別交4B于點(diǎn)M,交BG于點(diǎn)N,連接BE,CG,

13

D

,：四邊形4CFG和四邊形4B0E都是正方形，

J.Z.CAG=4BAE=90°,4G=AC,AB=AE,

：.^CAG+/.BAC=NBAE+ZBAC,即NG4B=^CAE,

AG^AC

在八GAB和AC4E中，\z.GAB=/.CAE,

.AB=AE

：.AGAB=LCAE（SAS）,

J.^LABG=AAEC,

又;ZEC+乙4ME=90。，4AME=4BMN,

:.乙ABG+乙BMN=90°,

:.乙BNM=9。。,即CE1BG,

四邊形CGEB是垂美四邊形，

由⑵得：CG2+BE2=CB2+GE2,

是Rt△4cB的斜邊，且AC=4,AB=5,

：.BC2=AB2-AC2=9,AG=AC=4,AE=AB=5,

在RM4CG中，CG2=AC2+AG2=32,

在RtAABE中，BE2=AB2+AE2=50,

Z.9+GE2=32+50,

解得GE=聞或GE=-V73（不符題意，舍去），

故GE的長為g.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定定理與性質(zhì)、線段垂直平分線的判定、勾股定理等

知識點(diǎn)，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題關(guān)鍵.

10.（2023?江蘇常州?二模）【知識感知】：我們把對角絲互相垂直的四邊形稱為“垂美四邊形”如圖1所示.

【概念理解】：①在下列四邊形中，①正方形；②矩形：③菱形；④平行四邊形，是垂美四邊形的是」

②三邊長為2的垂美四邊形周長為

【性質(zhì)探索】：若記垂美四邊形2BCD面積為S,試直接寫出S與4C、之間的關(guān)系」

【性質(zhì)應(yīng)用】：嘗試用兩個全等的直角三角形（RtAABC三RtABED）如圖2擺放，其中8、C、E在一條

直線上，若假設(shè)直角三角形三邊長為x,y,z,即BC=ED=尤，AB=BE—y,AC=BD=z,試?yán)蒙厦?/p>

的結(jié)論證明勾股定理.

圖1圖2

【答案】【概念理解】①①③；②8；【性質(zhì)探索】s=（ac-BD；【性質(zhì)應(yīng)用】見解析

【分析】本題是四邊形綜合題，主要考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾

股定理的應(yīng)用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵.

概念理解：①由正方形和菱形的性質(zhì)可求解；

②先證四邊形42co是菱形，即可求解；

性質(zhì)探索：由面積關(guān)系可求解；

性質(zhì)應(yīng)用：先證四邊形4BCD是垂美四邊形，可得S=由面積和差關(guān)系可求

【詳解】解.

概念理解：解：①???正方形和菱形的對角線互相垂直，

正方形和菱形是垂美四邊形，

故答案為：①③；

②：如圖：U：ACAB=BC=CD=2,

：.^LB0A=2LB0C=90°,BO=DO,AO=CO,

???四邊形/BCD是平行四邊形，

,：AC1BD,

???四邊形/BCD是菱形，

：.AB=BC=CD=AD=2,

???三邊長為2的垂美四邊形周長為8,

故答案為：8；

AD

性質(zhì)探索：解：：四邊形4BCD的面積=A4BC的面積+△力DC的面積^-AC-BD,

：.S=-AC-BD；

2

故答案為：S=^AC-BD,

性質(zhì)應(yīng)用：證明：VRtA^BCsRtABED,

Z.Z.BCA=Z.EDB,

■:4CBO+乙EDB=90°,

：.^CBO+^BCA=90°,

：.AC1BD,

四邊形2BCD是垂美四邊形，

由(2)可得42。。是垂美四邊形的面積S=|aC-BD,

：.S=-AC-BD=7

22

*S四邊形4BC。=s梯形ABED-SACED=|(^+y)y--%)

1cl111c2l2

=5、2+Xy+x2--xy--y+-x

乙乙乙乙乙乙

.".|z2=|y2+|x2,SPz2—y2+x2,

所以勾股定理得證.

11.(2024?浙江杭州.三模)(1)認(rèn)識研究對象：如圖，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”.我

們已經(jīng)學(xué)習(xí)了①平行四邊形②菱形③矩形④正方形，在這四種圖形中是垂美四邊形的是

(2)探索研究方法：如圖1.已知四邊形4BCD是垂美四邊形，求證：AB2+CD2=AD2+BC2.

(3)嘗試問題解決：已知28=5V2,BC=4VL分另I］以△4BC的邊BC和2B向夕卜作等腰Rt△BCE和等腰Rt△

ABD；

①如圖2,當(dāng)乙4cB=90。，連接DE,求DE的長；

②如圖3.當(dāng)乙4CBH90。，點(diǎn)G、H分別是力￡?、AC中點(diǎn)，連接GH.若G”=2①，求S-BC的面積?

圖2圖3

【答案】(1)②④；(2)見解析；(3)①@|

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，勾股定理，正確理解垂美四邊形的

定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)平行四邊形，菱形，正方形和矩形的性質(zhì)，結(jié)合垂美四邊形的定義，進(jìn)行判斷即可；

(2)運(yùn)用勾股定理可得：AB2=0A2+OB2,CD2=0C2+OD2,AD2=O/42+OD2,BC2=OB2+OC2,

即可證得結(jié)論；

(3)①如圖2,過點(diǎn)D作。MlBE,交EB的延長線于點(diǎn)M,利用勾股定理可得AC=3魚，再證得△ABC三

△DBM(AAS),得出MD=AC=3企，BM=BC=4V2,運(yùn)用勾股定理即可求得答案.②分別過點(diǎn)A、D

作4WJ.CB于點(diǎn)M,DN1CB于點(diǎn)N,連接DC,證明AAMB三△BND(AAS),得到8M==BN,設(shè)

AM=BN=x,勾股定理求出久的值，利用面積公式進(jìn)行計算即可.

【詳解】(1)解：:?菱形、正方形的對角線垂直，

菱形、正方形都是垂美四邊形，

故答案為：②④；

(2)證明：?.,四邊形A8CD是垂美四邊形，

.■.ACLBD,垂足為。，如圖1,

圖1.-.AB2=OA2+OB2,CD2=OC2+OD2,AD2=OA2+OD2,BC2=OB2+OC2,

AB2+CD2=OA24-OB2+OC24-OD2,AD2+BC2=OA2+OB2+OC2+OD2,

AB2+CD2=AD2+BC2.

（3）解：①解：如圖2,過點(diǎn)。作DMJL8E,交的延長線于點(diǎn)M,貝=90。,

AC

圖2???^ACB=90°,

AC=7AB2—BC2=3V2,

???△8。5和44BD都是等腰直角三角形，

.-.乙CBE=Z.ABD=90°,BE=BC=4迎，BD=BA=5V2,

???4CBM=180°-乙CBE=180°-90°=90°,

???4ABC+Z.ABM=90°,

???乙DBM+4ABM=90°,

???乙ABC=乙DBM,

???^ACB=乙DMB=90°,

：.LABC=AZ)BM(AAS),

MD=AC=3V2,BM=BC=4位,

ME=BE+BM=4A/2+4V2=8/，

在Rt△BMD中，DE=VDM2+ME2=V146.

②如圖3,^ACB90°,分別過點(diǎn)A、。作4Mle8于點(diǎn)M,DNLCB于點(diǎn)N,連接DC,

圖3

又??等腰Rt△BCE和等腰Rt△ABD,AB=542,BC=4或,

/./.AMB=乙BND=Z.CBE=/.ABD=90°,AB=BD=5y/2,BC=BE=4位,

J.^LABC+Z.BAM=90°,AABC+乙DBN=90°,

/.Z.BAM=乙DBN,

在AAMB和ABND中，

^AMB=乙BND=90°

ABAM=乙DBN,

、AB=BD

：.△AMB三ABND(AAS),

：.BM=DN,AM=BN,

設(shè)4M=BN=x,貝I]CN=BC+BN=4蟲+光，

:點(diǎn)G、H分別是AD、AC中點(diǎn)，連接GH、DC,GH=2>/6,

：.DC=2GH=4A/6,

在RtADNC和RtADNB中，由勾股定理得：

DN2=DB2-BN2,DN2=DC2-CN2,

72

：.DB2-BN2=DN2=DC2-CN2,即(5a)-%2=(4V6)-(4+x)2,

解得：x=—,即AM=BN=x=^,

88

???S-BC=^C-71M=|x4V2x^=1.

ZZOz

12.(2023?江蘇徐州?中考真題)【閱讀理解】如圖1,在矩形力BCD中，若2B=a,BC=b,由勾股定理，得

AC2=a2+b2,同理BZ)2=a2+b2,故ACz十=23+的.

【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2,四邊形A8CD為平行四邊形，若AB=a,BC=b,則上述結(jié)論是否依然成立？請加以

判斷，并說明理由.

【拓展提升】如圖3,已知8。為△力BC的一條中線，AB=a,BC=b,AC=c.求證：BO2

【嘗試應(yīng)用】如圖4,在矩形4BCD中，若4B=8,BC=12,點(diǎn)尸在邊4。上，貝！IPF+PC?的最小值為

【答案】探究發(fā)現(xiàn)：結(jié)論依然成立，理由見解析；拓展提升：證明見解析；嘗試應(yīng)用：200

【分析】探究發(fā)現(xiàn)：作力E1BC于點(diǎn)E,作OF1BC交BC的延長線于點(diǎn)F,則N4EB=乙CFD=90°,證明

Rt△ABE三Rt△DCF(HL),BE=CF,利用勾股定理進(jìn)行計算即可得到答案；

拓展提升：延長B。到點(diǎn)C,使。。=B。，證明四邊形4BCD是平行四邊形，由【探究發(fā)現(xiàn)】可知，4C2+B￡)2=

2(>1B2+BC2),則c2+(2BO)2=2屹2+爐)，得到c?+4B。？=2(CJ2+爐)，即可得到結(jié)論;

嘗試應(yīng)用：由四邊形48C。是矩形，AB=8,BC=12,得到48=CD=8,BC=AD=12,乙4=乙0=90°,

設(shè)4P=x,PD=12-x,由勾股定理得到PF+PC2=2(x-6尸+200,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答

案.

【詳解】探究發(fā)現(xiàn)：結(jié)論依然成立，理由如下：

作AE1BC于點(diǎn)E,作DF1BC交BC的延長線于點(diǎn)R貝！UdEB=NCFD=90。，

圖2

??,四邊形4BCD為平行四邊形，若4B=a,BC=b,

：.AB=DC=a,AD||BC,AD=BC=b,

\'AE1BC,DF1BC,

：.AE=DF,

：.Rt△ABE=RtADCF(HL),

：.BE=CF,

：.AC2+BD2=AE2+CE2+BF2+DF2

={AB2-BE2)+(FC-BE)2+(BC+CF)2+DF2

=AB2-BE2+BC2-2BC-BE+BE2+BC2+2BC-BE+BE2+AE2

=AB2+BC2+BC2+BE2+AE2

=AB2+BC2+BC2+AB2

=2{AB2+BC2)

=2(a2+b2)；

圖3

：B。為△ABC的一條中線,

AOA=CO,

???四邊形ZBC。是平行四邊形，

**AB=a,BC=b,AC=c.

，由【探究發(fā)現(xiàn)】可知，AC2+BD2=2(X52+BC2),

：.c2+(2BO)2=2(a2+b2),

：.c2+4B02=2(a2+b2),

嘗試應(yīng)用：：四邊形2BCD是矩形，AB=8,BC=12,

：.AB=CD=8,BC=AD=12,乙4=ND=90°,

設(shè)4P=x,貝IJPD=4。-AP=12—x,

/.PB2+PC2=AP2+AB2+PD2+CD2=x2+82+(12-x)2+82

=2x2-24x+272=2(%-6)2+200,

V2>0,

拋物線開口向上，

當(dāng)x=6時，PB2+PC?的最小值是20。

故答案為：200

【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、勾股定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識，熟練掌

握勾股定理和數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

題型03正方形熱考模型

1)十字架模型

【基礎(chǔ)模型-兩邊過頂點(diǎn)】

使用場景：在正方形ABCD中，E,F分別是BC,DC上的點(diǎn)，AE與B0相交于點(diǎn)0,互相推導(dǎo)①BE=CF,②AE=BF,

③AE_LBF

大招結(jié)論：相等則垂直，垂直則相等.

【模型進(jìn)階-一邊過頂點(diǎn)】

條件：在正方形ABCD中，E,F,G分別是BC,AB,DC上的點(diǎn)，AE與FG相交于點(diǎn)0,

結(jié)論：正方形十字模型中,構(gòu)成“十”字形的兩條線段，知垂直推相等，知相等推垂直.

【模型進(jìn)階-兩邊均不過頂點(diǎn)1

圖示:

結(jié)論：正方形十字模型中,構(gòu)成“十”字形的兩條線段，知垂直推相等，知相等推垂直.

【易錯點(diǎn)】以上結(jié)論成立的條件是：四點(diǎn)必須位于四邊，否則不成立.

類型矩形的十字架模型（兩邊過頂點(diǎn)）矩形的十字架模型（兩邊不過頂點(diǎn)）

條件在矩形ABCD中，E是AD上的點(diǎn),CELBD在矩形ABCD中，E,F,G,H分別是AD,BC,AB,

交于點(diǎn)0CD上的點(diǎn),EFLGH交于點(diǎn)0,

圖示A

AD之_PAE

口LT”p

BCFLBMFC

結(jié)論CECDEF_EM_.IB

△CDES/^BCD"---=----

BDBC△EMFS/XGNHOGHGNAD

①正方形兩邊過頂點(diǎn)

13.（2023?遼寧丹東?中考真題）如圖，在正方形48CD中，AB=12,點(diǎn)E,尸分別在邊BC,CD上，4E與BF相

交于點(diǎn)G,若BE=CF=5,則BG的長為

AD

【答案】§

【分析】根據(jù)題意證明A48E三△BCF(SAS),4EBGFFBC,利用勾股定理即可求解.

【詳解】解：???四邊形2BCD是正方形，

???乙ABE=ZC=90°,AB=BC,

BE=CF,

.?△ABEmABCF(SAS),

???Z.BAE=乙CBF,

???乙CBF+^LABG=90°,

???/LBAE+Z.ABG=90°,

???乙BGE=90°,

???Z-BGE=",

又???乙EBG=乙FBC,

???△EBGFBC,

.BG_BE

,?=,

BCBF

vBC=AB=12,CF=BE=5,

???BF=y/BC2+CF2=V122+52=13,

BG5

—=—,

1213

BG=—.

13

故答案為：g.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握這些性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

14.(2023?湖北黃石?中考真題)如圖，正方形2BCD中,點(diǎn)M,N分別在AB,BC上，且=3N,4V與。M相

交于點(diǎn)P.

(1)求證：AABN咨ADAM；

(2)求乙4PM的大小.

【答案】(1)見解析

(2)90°

【分析】(1)直接利用SAS證明全等即可；

(2)根據(jù)全等的性質(zhì)，得出NM4P=/.ADM,再由4VMP+乙4Mp=/.ADM+4AMp=90°,從而求出

NAPM=90°.

【詳解】(1)證明：,??四邊形ABC。是正方形，

???AB=AD=BC,^DAM=4ABN=90°,

BM=CN,

：.BC-CN=AB-BM,即BN=AM,

在△力BN和ADAM中，

-AB=AD,

乙ABN=Z.DAM,

,BN=AM,

.?.△48N*A￡MM(SAS)；

(2)解：由(1)知

???/.MAP=Z.ADM,

AAMAP+/LAMP=^ADM+AAMP=90°,

ZXPM=180°-^MAP+"MP)=90°.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)和判定.

15.(2023?山東?中考真題)(1)如圖1,在矩形A8CD中，點(diǎn)、E,F分別在邊DC,8c上，AE1DF,垂足為

點(diǎn)G.求證：4ADEFDCF.

圖1圖2圖3

【問題解決】

(2)如圖2,在正方形48CD中，點(diǎn)E,F分別在邊DC,8C上，AE=DF,延長BC到點(diǎn)H,使CH=DE,連

接DH.求證：4ADF=.

【類比遷移】

(3)如圖3,在菱形ABCD中，點(diǎn)E,F分另I」在邊DC,BC上，AE=DF=11,DE=8,^AED=60°,求CF的

長.

【答案】(1)見解析(2)見解析(3)3

【分析】(1)由矩形的性質(zhì)可得乙4DE=Z.DCF=90°,貝UNCDF+NDFC=90°,再由2E1DF,可得NDGE=

90°,貝此CDF+N2ED=90。，根據(jù)等角的余角相等得乙4ED=NDFC,即可得證；

(2)利用“HL”證明ZiADE三△￡)(7/可得DE=CF,由CH=DE,可得CF=CH,利用“SAS”證明△DCF三

△DCH,則NDHC=NDFC,由正方形的性質(zhì)可得4D||BC,根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得證；

(3)延長BC到點(diǎn)G,使CG=DE=8,連接。G,由菱形的性質(zhì)可得40=DC,AD\\BC,則乙4DE=乙DCG,

推出AADE三△DCG(SAS),由全等的性質(zhì)可得NDGC=NAED=60。，DG=AE,進(jìn)而推出△￡)口；是等邊三

角形，再根據(jù)線段的和差關(guān)系計算求解即可.

【詳解】(1)證明：???四邊形2BCD是矩形，

???^ADE=乙DCF=90°,

.-./.CDF+Z.DFC=90°,

AE1DF,

.-.乙DGE=90°,

.-.乙CDF+/.AED=90°,

Z.AED=Z.DFC,

ADEs&DCF；

(2)證明：???四邊形2BCD是正方形，

/.AD=DC,ADWBC,Z.ADE=ADCF=90°,

AE—DF,

.*.△ADE三△OCF(HL),

DE=CF,

又1CH=DE,

??.CF=CH,

???點(diǎn)”在BC的延長線上，

???乙DCH=乙DCF=90°,

???DC=DC,

.*.△DCF=ADCH(SAS),

???乙H="FC,

???ADWBC,

??.AADF=乙DFC=乙H；

(3)解：如圖，延長BC到點(diǎn)G,使CG=DE=8,連接DG,

AD=DC,ADWBC,

???Z-ADE=Z-DCG,

ADE三△DCG(SAS),

???乙DGC=乙4EO=60°,DG=AE,

AE=DF,

DG=DF,

??.△DFG是等邊三角形，

??.FG=FC+CG=DF=llf

??.FC=11-C(7=11-8=3.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定,

全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握這些知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

②正方形一邊過頂點(diǎn)

16.（2023?江蘇揚(yáng)州?中考真題）如圖，已知正方形ABCD的邊長為1,點(diǎn)￡、尸分別在邊AD、BC上，將正方

形沿著EF翻折，點(diǎn)8恰好落在CD邊上的點(diǎn)夕處，如果四邊形4BFE與四邊形EFCD的面積比為3：5,那么

線段FC的長為.

【分析】連接8夕，過點(diǎn)尸作于點(diǎn)H,設(shè)CF=x,則D”=x,則BF=1-x,根據(jù)已知條件，分別

表示出證明三AB'CB(ASA),得出EH=B'C=三一2久，在RtAB'FC中，B'F2=B'C2+

4

CF2,勾股定理建立方程，解方程即可求解.

【詳解】解：如圖所示，連接過點(diǎn)F作FH14D于點(diǎn)

?.?正方形ZBCD的邊長為1,四邊形4BFE與四邊形EFCD的面積比為3：5,

,S四邊形ABFE=Gx1=￡

設(shè)CF=%,貝=x,貝I|BF=1-x

1Q

’5四邊形43尸￡=5("￡+BF)xAB=-

'.AE=x--

4

：.DE=1-AE=--x,

4

：.EH=ED-HD=--x-x=--2x,

44

??,折疊，

：.BBrLEF,

.*.Z1+Z2=Z^GF=9O°,

Vz.2+z3=90°,

.'.zl=z3,

又FH=BC=l/EHF=Zf

：.^EHF=^B'CB(ASA),

：.EH=B'C=--2x

4

在Rt△"FC中，BrF2=BrC2+CF2

即(1—%)2=/+(|—2%)

解得：x

o

故答案為：|.

o

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知

識是解題的關(guān)鍵.

17.(2022.貴州貴陽?中考真題)如圖，在正方形48CD中，E為40上一點(diǎn)，連接BE,8E的垂直平分線交48于

點(diǎn)M,交CD于點(diǎn)N,垂足為。，點(diǎn)F在DC上，且MFII4D.

(1)求證：XABEKFMN；

(2)若AB=8,AE=6,求。N的長.

【答案】（1）見詳解

⑵§

【分析】（1）先證明四邊形是矩形，得到ZAMF=90°=ZMFD,再利用證得

ZMBO=ZOMF,結(jié)合NA=90o=/NPM即可證明；

（2）利用勾股定理求得BE=IO=MN,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得3O=OE=5,即有

在放AAME中，AM2+AE2=ME2,可得（8-ME?+62=ME?,解得：ME=即有BM=ME=,，

再在放△BAfO中利用勾股定理即可求出M。，則N。可求.

【詳解】（1）在正方形A8CO中，＜AD=DC=CB=A