浙江省浙南名校聯盟2023-2024學年高二下學期數學期中聯考試題姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知集合A={x∣x2?2x?3<0}A．{x∣?1<x<1} C．{x∣0<x<1} 2．已知復數z=3+4i2+i,A．55 B．5 C．5 D．3．“m>1”是“方程x2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知非零向量a,b滿足|b|=23|aA．π6 B．π3 C．2π35．蒼南168黃金海岸線由北向南像一條珍珠項鏈，串聯了一個個金色沙灘?島礁怪石?肥沃灘涂和一座座漁村古寨?山海營地，被贊為中國東海岸“一號公路”.現有小王和小李準備從煙堆崗，炎亭沙灘，棕櫚灣，濱海小鎮4個網紅景點中隨機選擇一個游玩，設事件A為“小李和小王選擇不同的景點”，事件B為“小李和小王至少一人選擇炎亭沙灘景點”，則P(A∣B)=（）A．38 B．716 C．676．已知正項等差數列{an}的前n項和為SA．4 B．8 C．16 D．327．已知橢圓C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0,c2A．39 B．36 C．238．已知函數f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)在區間[?3π4A．54 B．43 C．5227二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．已知隨機變量X的分布列如下，則正確的是（）X?2?112P1mn2A．m+n=23 C．若m=19，則E(X)=110．如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2,A．三棱錐B1B．B1D⊥C．在線段AD上存在一點Q，使得D1QD．平面EFG截正方體的外接球的截面面積為1311．已知函數f(x)=x2,A．若a≤14，則不存在實數x0B．若a>14，則不存在實數x0C．若f(x)的值域是R，則a∈[0D．當a=2時，若存在實數x0∈(0,1)三、填空題：本大題共3小題，每題5分，共15分.把答案填在題中的橫線上.12．二項式(1?3x)7展開式中所有項的系數之和為13．2024年2月1日至4日花樣滑冰四大洲錦標賽在中國上海舉行，甲?乙?丙?丁?戊5名志愿者承擔語言服務?醫療服務?駕駛服務3個項目志愿服務，每名志愿者需承擔1項工作，每項工作至少需要1名志愿者，甲不承擔語言服務，則不同的安排方法有種.（用數字作答）14．已知a>1，對任意x∈(1,+∞)都有(lna?1x)四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明.證明過程或演算步驟.15．銳角△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為（1）求角A的大小；（2）求bc16．已知f(x)=e（1）當a=2時，求f(x)的單調區間；（2）若f(x)在(1,+∞)上有零點，求實數17．平行四邊形ABCD中，AD=12AB=2,∠DAB=π3，點E為AB的中點，將△ADE（1）求證：CE⊥PD；（2）求平面PDE與平面PDC的夾角的余弦值.18．在已知數列{an（1）求a2及數列{（2）已知數列{an}的前n項和為S（3）{an}中是否存在不同的三項a19．已知直線l:y=kx+1與拋物線Γ:（1）求|AB|（用k表示）；（2）過點A,B分別作直線l的垂線交拋物線Γ于（i）求四邊形ABCD面積的最小值；（ii）試判斷直線l與直線CD交點Q是否在定直線上？若是，求出定直線方程；若不是，請說明理由.

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：A={x|x故答案為：D【分析】本題考查集合的交集運算.先解一元二次不等式求出集合A，再根據集合交集運算可求出答案.2．【答案】B【解析】【解答】解：由題可得：|z|=|3+4i|故答案為：B.【分析】本題考查復數的模長公式.根據復數模長的計算公式：z13．【答案】A【解析】【解答】解：若m>1，則m?1>0,m+3>0，所以方程若方程x2m?1?y2m+3=1所以“m>1”是“方程x2故答案為：A【分析】本題考查雙曲線方程，充分必要條件的判斷.根據方程表示雙曲線方程，可列出不等式，解不等式可求出實數m的取值范圍，再根據充分、必要條件的概念可判斷出選項.4．【答案】D【解析】【解答】解：因為a⊥所以a?設a與b的夾角為θ，所以cosθ=所以θ=5π故答案為：D【分析】本題考查平面向量垂直的轉化，平面向量的夾角計算公式.根據題意利用平面向量垂直的轉化可求出a→5．【答案】C【解析】【解答】解：由題可知，小王和小李從4個著名旅游景點中隨機選擇一個游玩，共有4×4=16種，其中事件B的情況有4×4?3×3=7種，事件A和事件B共同發生的情況有2×3=6種，所以P(所以P(A∣B)=P故答案為：C.【分析】本題考查條件概率的計算公式.先求出小王和小李從4個著名旅游景點中隨機選擇一個游玩的種數，求出事件B的種數，進而求出事件B發生的概率和事件A和事件B共同發生的概率，再利用條件概率計算公式可求出答案.6．【答案】B【解析】【解答】解：由S10=5(a又a4?a故2a5a即a4?a故答案為：B.【分析】利用基本不等式求最值.利用等差數量的前n項和公式可求出a5+a7．【答案】C【解析】【解答】解：如圖，設切線方程為x=my+c,x=my+cx2a2+則y1+y2=?2mc代入①，得?y1=?2mcb2又圓心C2(?c,0則d=|?c?c|1+m2=c，解得m所以e2=c2a故答案為：C【分析】先設切線為x=my+c,A(x1,y1),B(x2,8．【答案】B【解析】【解答】解：f(A：當ω=54時，由?3π4≤x≤3π2f(f所以f(B：當ω=43時，由?3π4≤x≤3π2f(f(f(所以f(C：當ω=5227時，由?3π4≤x≤函數f(D：當ω=163時，由?3π4≤x≤函數f(故答案為：B【分析】先利用輔助角公式化簡函數解析式可得：f(x)=2sin(ωx+9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A，因為19+m+n+2B，P(C，因為m=19，所以所以E(X)=?2×1D，P(XP(則X2X14P21所以E(X則D(X故答案為：ABD.【分析】先利用分布列的性質可推出m,n的關系，可判斷A選項；再利用概率的性質可求出P(X<2)=710．【答案】A,C【解析】【解答】解：A，三棱錐B1?EFG的體積VB1?EFG=V而EF=1，則△B1EF面積為定值，又點G因此三棱錐B1在正方體ABCD?A1B則A1(2設平面EFG的法向量n=(x,y,zB，D(0,0,則B1D與平面C，令Q(t,0,0)，而D1(因此n?D1Q=2t?2=0，解得t=1，即Q為AD則D1Q//D，正方體ABCD?A1B1C1DOC1=(?1,1,1)，點平面EFG截球O所得截面圓半徑r2所以該截面圓面積為πr故答案為：AC【分析】利用等體積法進行轉化，再結合△B1EF面積為定值，點G到平面B1EF的距離為2，可判斷體積為定值，判斷A選項；建立空間直角坐標系，求出平面EFG的法向量n→，判斷出DB1→與向量n→不共線，利用直線與平面的位置關系可判斷B選項；令Q(t,11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A：例如a=0，則f(0)=0，即存在實數x0=0使得B：若a>14，對于關于x方程當x≥a>14時，則?x≤?a<?1整理得x2?x+a=0，則當?a≤x≤a時，則?a≤?x≤a，可得?x+a=?(x+a)，整理得a=?a，不成立，可知方程無解；當x<?a時，則?x>a，可得(?x)2整理得x2?x+a=0，則綜上所述：關于x方程f(?x)=?f(x)無解，即不存在實數x0使得f(?C：若a<0，當x≥a時，f(x)=x當x<a時，f(x)=x+a<2a<0；此時f(x)的值域為(?∞,2a)∪[0,若a≥0，當x≥a時，f(x)=x當x<a時，f(x)=x+a<2a；若f(x)的值域為R，則2a≥a2，解得綜上所述：a的取值范圍為[0,D：當a=2時，易得f(x)在R上單調遞增，所以g(x)單調遞增，下面證明：y=g(x)是單調遞增函數，若存在x0使得g(g(x0記g(x0)=即(x0,y0假設x0>y0，因為即y0假設x0<y0，因為即y0故x0=y因此由題意若存在實數x0∈(0,則存在實數x0∈(0,又因為g(即存在實數x0∈(0,而y=ex0+2在故k∈(e故答案為：BCD.【分析】舉反例：a=0，則f(0)=0進行說明可判斷A選項；分三種情況：當x≥a>14時；當?a≤x≤a時；當x<a時；求方程f(?x)=?f(x)的根，可判斷B選項；分a<0和a≥0兩種情況，結合分段函數值域分析可求出實數a的取值范圍判斷C選項；先證由y=g(x)是單調遞增函數，若存在x0使得g(g(x0))=x0，則12．【答案】?128【解析】【解答】解：令x=1，可得所有項的系數之和為(1?3)7故答案為：?128.【分析】本題考查二項式系數.令x=1，可得所有項的系數之和，再利用冪的運算性質可求出答案.13．【答案】100【解析】【解答】解：因為甲不承擔語言服務，第一類是從乙?丙?丁?戊中選1人承擔語言服務，則有C41種，

再把剩下的4人分為2組承擔醫療服務?駕駛服務，則有C4第二類是從乙?丙?丁?戊中選2人承擔語言服務，則有C42種，再把剩下的3人分為2組承擔醫療服務?駕駛服務，則有C3第三類是從乙?丙?丁?戊中選3人承擔語言服務，則有C43種，再把剩下的2人分為2組承擔醫療服務?駕駛服務，則有A2綜上不同的安排方法有56+36+8=100種，故答案為：100【分析】根據甲不承擔語言服務，分為三類：從乙?丙?丁?戊中選1人，2人或3人承擔語言服務，再把剩下的人分為2組承擔醫療服務?駕駛服務，依次求出各類的種數，再利用分類加法計數原理可求出答案.14．【答案】(1【解析】【解答】解：因為(lna?1x)令g(x)=xex,g'(x)=(x+1)e令g'(x)<0，即(x+1)e所以g(x)=xex在(?∞,依題意有g(lna?1x)≤g(ln所以lna?1x≤令函數h(x)=1x+1elnx,令h'(x)<0，即?e+xe所以h(x)=1x+1e所以h(x)min=h(e)=故答案為：(1,【分析】根據已知條件利用對數和指數的運算可得(lna?1x)elna?1x≤elnx1e15．【答案】（1）解：方法一：因為abcosB+b又因為S=12bcsinA，所以4S=4?又因為△ABC為銳角三角形，所以A=π方法二：4×12bcsinA=abcosB+即2csinA=2R(sin則2csinA=c，得sinA=12；因為△ABC為銳角三角形，所以（2）解：由正弦定理得：bc因為△ABC為銳角三角形，所以：0<C<π即π3<C<π2,【解析】【分析】本題考查利用正弦定理，余弦定理解三角形.

（1）方法一：利用余弦定理將角化為邊，再結合三角形的面積公式可得sinA=12，據此可反推出角A的大小；方法二：利用正弦定理將邊化為角，再結合三角形的面積公式和兩角和的正弦公式可求出sinA=1（2）利用正弦定理，將bc轉化為關于C的三角函數，根據△ABC為銳角三角形可求出C的范圍，利用正切函數的性質可求出三角函數值域，進而求出b16．【答案】（1）解：當a=2時，f(x)=ex?2(x?1)，由f'(x)=所以當x∈(ln2,+∞),f'當x∈(?∞,ln2),f'故f(x)在(ln2（2）解：①當a=0時，f(x)=ex>0②當a≠0時，f(x)=ex?a(x?1)=0在(1,+∞)則g'(x)=1?(x?1)ex當x∈(1,2)時，g所以g(x)在(1,2)上單調遞增，函數值從0增大到g(x)在(2,+∞)上單調遞減，函數值從因為g(x)=1a在所以0<1a≤綜上，a≥e【解析】【分析】本題考查利用導函數研究函數的單調性，函數的零點.

（1）先求出導函數f'(x（2）分兩類討論：當a=0時；當a≠0時，將問題轉化為g(x)=(x?1)ex=1a在(1,17．【答案】（1）證明：如圖，連接EC，在△EBC中∠EBC=2π由余弦定理可得EC又∵DC=4,∴CE2∵PC=4=DC，易得△ADE為正三角形∴PE=DE=2所以△DEC與△PEC全等，∴∠PEC=∠DEC=π∴CE⊥DE,又DE∩PE=E,DE,∴CE⊥平面DPE，又PD?平面DPE，∴CE⊥PD（2）解：（2）方法一：取PD的中點F連接EF?CF，如圖所示：∵PE=DE∴EF⊥PD又∵CP=CD∴CF⊥PD∴∠CFE為二面角C?PD?E的平面角在正△PDE中，EF=2在等腰△PDC中，PC=DC=4,∴CF=4由（1）可知CE⊥平面DPE,又EF?平面所以CE⊥EF，即∠FEC=π∴∠CFE為平面CPD與平面EPD的夾角，在Rt△CFE中，cos∠CFE=EF故平面PDE與平面PDC的夾角的余弦值為55方法二：由（1）可知CE⊥平面DPE，又CE?平面ABCD，故平面PED⊥平面ABCD，又平面PED∩平面ABCD=DE，取點K是線段ED的中點可得PK⊥ED，過E作EH∥PK.則EH⊥平面ABCD.分別以EC,ED,EH為則E(0,0,DC=(2設平面CPD的法向量為n1由DC=(2n1?DC令x1=1，則y1由CE⊥平面DPE，得平面PED的法向量為n2設平面PED與平面PDC所成角為θ，則cosθ=|cos故平面PDE與平面PDC的夾角的余弦值為55【解析】【分析】本題考查直線與平面垂直的判定定理，利用空間向量求二面角.

（1）先利用余弦定理求出EC，利用勾股定理逆定理證明∠DEC=π2，利用全等三角形的性質證明CE⊥DE,CE⊥PE，利用直線與平面垂直的判定定理可證明（2）方法一，利用等腰三角形的三線合一的性質可證明：CP=CD,CF⊥PD，利用二面角的定義推出∠CFE為二面角C?PD?E的平面角，根據（1）的結論可證明∠FEC=π2，利用余弦的定義可求出平面PDE與平面方法二，根據（1）的結論利用平面與平面垂直的判定定理和平面與平面垂直的性質定理可推出平面PDE與平面PDC的夾角的余弦值，以E為原點建立空間直角坐標系，寫出對應點的坐標，求出對應向量，求出平面PDE與平面PDC的法向量，利用空間向量的夾角計算公式可求出答案.18．【答案】（1）解：由題意得a2a2n所以{a2n}a2n+1所以{a2n?1}故an（2）解：由an+1得a2（3）解：設{an}①若p,q,則ap+ar=2因為1+2r?p是奇數，2q?p+1②若p,