2010—2011學年度上學期單元測試高二數學試題【原人教】命題范圍：直線、圓和圓錐曲線方程 全卷滿分150分，用時150分鐘。一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1．與圓相切，且在兩坐標軸上截距相等的直線共有 （） A．2條 B．3條 C．4條 D．6條2．在中，三內角所對的邊是且成等差數列，那么直線與直線的位置關系是 （） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直3．已知函數，集合，集合，則集合的面積是 （） A． B． C． D．4．已知P在雙曲線上變動，O是坐標原點，F是雙曲線的右焦點，則的重心G的軌跡方程是 （） A． B． C． D．5．已知是三角形的一個內角，且，則方程表示（） A．焦點在軸上的橢圓 B．焦點在軸上的橢圓 C．焦點在軸上的雙曲線 D．焦點在軸上的雙曲線6．過拋物線的焦點作一條直線與拋物線相交于A、B兩點，它們的橫坐標之和等于5，則這樣的直線 （） A．有且僅有一條 B．有且僅有兩條 C．有無窮多條 D．不存在7．一個橢圓中心在原點，焦點在軸上，（2，）是橢圓上一點，且成等差數列，則橢圓方程為 （） A． B． C． D．8．設、分別為雙曲線的左、右焦點．若在雙曲線右支上存在點，滿足，且到直線的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙曲線的漸近線方程為 （） A． B． C． D．9．若直線與雙曲線的右支交于不同的兩點，則k的取值范圍是（） A．， B．， C．， D．，10．設離心率為e的雙曲線的右焦點為F，直線過點F且斜率為K，則直線與雙曲線C左、右支都有相交的充要條件是 （） A． B． C． D．11．已知雙曲線的左、右焦點分別為，點P在雙曲線上，且，則此雙曲線的離心率的最大值為 （） A． B． C． D．212．若AB過橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)=1中心的弦,F1為橢圓的焦點,則△F1AB面積的最大值為 （） A．6 B．12 C．24 D．48二、填空題（每小題4分，共16分）13．已知雙曲線的一條漸近線方程是y=,它的一個焦點在拋物線的準線上，則雙曲線的方程為________________14．1998年12月19日，太原衛星發射中心為摩托羅拉公司（美國）發射了兩顆“銥星”系統通信衛星．衛星運行的軌道是以地球中心為一個焦點的橢圓，近地點為mkm，遠地點為nkm，地球的半徑為Rkm，則通信衛星運行軌道的短軸長等于15．已知與曲線C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直線交x、y軸于A、B兩點，O為原點，|OA|=a，|OB|=b，a>2，b>2，線段AB中點的軌跡方程是。16．已知是橢圓的一個焦點，是短軸的一個端點，線段的延長線交于點，且=2，則的離心率為三、解答題17．（12分）已知，直線：和圓：．（1）求直線斜率的取值范圍；（2）直線能否將圓分割成弧長的比值為的兩段圓弧？為什么？18．（12分）已知A、B分別是橢圓的左右兩個焦點，O為坐標原點，點P）在橢圓上，線段PB與y軸的交點M為線段PB的中點。（1）求橢圓的標準方程；（2）點C是橢圓上異于長軸端點的任意一點，對于△ABC，求的值19．（12分）已知橢圓的中心在原點,離心率為,一個焦點是（為大于0的常數）．（1）求橢圓的方程;（2）設是橢圓上一點,且過點的直線與軸交于點,若,求直線的斜率．20．（12分）已知拋物線的焦點為F，過F作兩條相互垂直的弦AB、CD，設弦AB、CD的中點分別為M、N．（1）求證：直線MN必過定點；（2）分別以弦AB和CD為直徑作圓，求證：兩圓相交弦所在的直線經過原點．21．（12分）橢圓（a>b>0）的二個焦點F1（-c，0），F2（c，0），M是橢圓上一點，且。（1）求離心率e的取值范圍；（2）當離心率e最小時，點N（0，3）到橢圓上一點的最遠距離為，求此橢圓的方程。22．（14分）已知雙曲線C的中心在原點，拋物線的焦點是雙曲線C的一個焦點，且雙曲線過點（1，）．（1）求雙曲線的方程；（2）設直線：與雙曲線C交于A、B兩點，為何值時（3）是否存在實數，使（2）中的A、B兩點關于直線對稱（為常數），若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．參考答案1．C在兩坐標軸上截距相等的直線有兩類：①直線過原點時，有兩條與已知圓相切；②直線不過原點時，設其方程為，也有兩條與已知圓相切．易知①、②中四條切線互不相同，故選 C．2．B提示：成等差數列，又，，故兩直線重合。選B。3．D集合即為：，集合即為：，其面積等于半圓面積。4． C．雙曲線焦點坐標是F（6，0）．設雙曲線上任一點P（x0，y0），的重心G（x，y），則由重心公式，得，解得，代入，得為所求．5．B由，又是三角形的一個內角，故，再由，結合解得。故方程表示焦點在軸上的橢圓。選B。6．B該拋物線的通徑長為4，而這樣的弦AB的長為，故這樣的直線有且僅有兩條。選B。7．A提示：設橢圓方程為，由成等差數列知，從而，故橢圓方程為，將P點的坐標代入得，故所求的橢圓方程為。選A。8．C利用題設條件和雙曲線性質在三角形中尋找等量關系，得出a與b之間的等量關系，可知答案選C9．D提示：特別注意的題目。將直線代入雙曲線方程得 若直線與雙曲線的右支交于不同的兩點，則應滿足 。選D。10．C由已知設漸近線的斜率為于是，即故選C；11．B提示：，由又,∴故選B項。12．B設AB的方程為，代入橢圓方程得 ，。選B。13．依題意知，所以雙曲線的方程為14．2提示：－c=m+R， +c=n+R，∴c=，b=2=2．15．提示：滿足（a-2）（b-2）=2。設AB的中點坐標為（x,y）,則a=2x,b=2y,代入①得（2x-2）（2y-2）=2,即（x-1）（y-1）=eq\f(1,2)（x>1,y>1）。16．如圖，,作軸于點D1,則由=2，得,所以,即,由橢圓的第二定義得,又由,得17．解析：（1）直線的方程可化為，直線的斜率，因為，所以，當且僅當時等號成立． 所以，斜率的取值范圍是．……6分（2）不能．由（1）知的方程為，其中． 圓的圓心為，半徑．圓心到直線的距離． 由，得，即．從而，若與圓相交， 則圓截直線所得的弦所對的圓心角小于． 所以不能將圓分割成弧長的比值為的兩段弧．………………12分18．解：（1）由題意知： ∴橢圓的標準方程為=1．………………6分（2）∵點C在橢圓上，A、B是橢圓的兩個焦點， ∴AC＋BC＝2a＝，AB＝2c＝2． 在△ABC中，由正弦定理，， ∴＝．………………12分19．解：（1）設所求橢圓方程為:． 由已知得:,所以． 故所求橢圓的方程為:．………6分（2）設,直線,則點． 當時,由于． 由定比分點坐標公式,得 ,．又點在橢圓上, 所以,解得． 當時,,． 于是,解得． 故直線的斜率為0或．………………12分20．解：（1）由題設知F（1,0）且直線ＡＢ的斜率存在， 設代入， 得得 ， ，所以，同理可 ， 故不論k為何值，直線MN恒過定點T（3,0）………………6分（2）由拋物線定義可知，圓M、圓N都與拋物線的準線x=－1相切， 所以圓M、圓N的半徑分別為、， 從而，⊙…………eq\o\ac(○,1) ⊙……eq\o\ac(○,2) 由eq\o\ac(○,1)－eq\o\ac(○,2)，得公共弦所在直線方程為： ， ， 故：兩圓相交弦所在的直線經過原點．………………12分21．解：（1）設點M的坐標為（x，y），則，。 由，得x2-c2+y2=0，即x2-c2=-y2。① 又由點M在橢圓上，得y2=b2，代入①， 得x2-c2，即。 ∵0≤≤，∴0≤≤，即0≤≤1， 0≤≤1，解得≤≤1。 又∵0＜＜1，∵≤≤1。………………6分（2）當離心率取最小值時，橢圓方程可表示為。 設點H（x，y）是橢圓上的一點， 則|HN|2=x2+（y-3）2=（2b2-2y2）+（y-3）2=-（y+3）2+2b2+18（-b≤y≤b）。 若0＜b＜3，則0＞-b＞-3，當y=-b時，|HN|2有最大值b2+6b+9。 由題意知：b2+6b+9=50，b=或b=-，這與0<b<3矛盾。 若b≥3，則-b≤-3，當y=-3時，|HN|2有最大值2b2+18。 由題意知：2b2+18=50，b2=16，∴所求橢圓方程為．………………12分22．解：（1）由題意設雙曲線方程為，把（1，）代入得① 又的焦點是（，0），故雙曲線的