第8節(jié)直線與圓錐曲線考試要求1.理解直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷方法.2.掌握直線被圓錐曲線所截的弦長公式.3.掌握直線與圓錐曲線相交的綜合問題．【知識梳理】1．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(1)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有________、________、________；相交有兩個交點(特殊情況除外)，相切有一個交點，相離無交點．(2)判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時，通常將直線l的方程Ax＋By＋C＝0代入圓錐曲線C的方程．消去y(或x)得到一個關(guān)于變量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①當(dāng)a≠0時，可考慮一元二次方程的判別式Δ，有Δ＞0時，直線l與曲線C________；Δ＝0時，直線l與曲線C________；Δ＜0時，直線l與曲線C________．②當(dāng)a＝0時，即得到一個一次方程，則l與C相交，且只有一個交點，此時，若C為雙曲線，則直線l與雙曲線的________平行；若C為拋物線，則直線l與拋物線的________平行或重合．2．圓錐曲線的弦長公式設(shè)直線與圓錐曲線的交點坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝____________＝____________________或|AB|＝____________________＝__________________，k為直線斜率且k≠0.3．中點弦問題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點差法”求解．(1)利用根與系數(shù)的關(guān)系：將直線方程代入橢圓的方程，消元后得到一個一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和中點坐標(biāo)公式建立等式求解，注意不能忽視對判別式的討論．(2)點差法：若直線l與橢圓C有兩個交點A，B，一般地，首先設(shè)出A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中點M(x0，y0)，直線AB的斜率k，將點A，B代入圓錐曲線的方程，兩式相減，整理得(分別以eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，y2＝2px為例)，橢圓中k＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)；雙曲線中k＝____________；拋物線中k＝________．[常用結(jié)論與微點提醒]1．圓錐曲線中最短的焦點弦為通徑，橢圓、雙曲線中長為eq\f(2b2,a)，拋物線中長為2p.2．過原點的直線交橢圓于A，B兩點，P是橢圓上異于A，B的任一點，則kPA·kPB＝－eq\f(b2,a2)；同理，雙曲線中kPA·kPB＝eq\f(b2,a2)(以上焦點在x軸上)．3．若點P(x0，y0)在橢圓上，過點P的切線方程為eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1；同理，雙曲線中為eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝1(以上焦點在x軸上)．【診斷自測】1．思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)直線與圓錐曲線的三種位置關(guān)系：相離、相切、相交．()(2)直線y＝x與橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1一定相交．()(3)“直線l與雙曲線C相切”的充要條件是“直線l與雙曲線C只有一個公共點”．()(4)若直線與拋物線只有一個交點，則直線與拋物線一定相切．()2．過點(0，1)作與雙曲線eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1僅有一個公共點的直線，這樣的直線有()A．1條 B．2條C．3條 D．4條3．已知直線l：y＝x－2與拋物線y2＝2x交于A，B兩點，則線段AB的長是()A．2 B．eq\r(10)C．2eq\r(10) D．4eq\r(10)4．過點P(0，1)作斜率為－1的直線l與橢圓eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1相交于A，B兩點，則線段AB的中點坐標(biāo)為________.考點一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系例1已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.試問當(dāng)m取何值時，直線l與橢圓C：(1)有兩個不同的公共點；(2)有且只有一個公共點．______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升在判斷直線和圓錐曲線的位置關(guān)系時，先聯(lián)立方程組，再消去x(或y)，得到關(guān)于y(或x)的方程，如果是直線與圓或橢圓，則所得方程一定為一元二次方程；如果是直線與雙曲線或拋物線，則需討論二次項系數(shù)等于零和不等于零兩種情況，只有二次方程才有判別式，另外還應(yīng)注意斜率不存在的情形．訓(xùn)練1(1)若直線y＝kx＋1與橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1總有公共點，則m的取值范圍是()A．m>1 B．m>0C．0<m<5且m≠1 D．m≥1且m≠5(2)(2022·全國甲卷)記雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為e，寫出滿足條件“直線y＝2x與C無公共點”的e的一個值________．(3)若直線y＝k(x＋2)＋1與拋物線y2＝4x只有一個公共點，則k的值為________．考點二中點弦例2(1)(2023·全國乙卷)設(shè)A，B為雙曲線x2－eq\f(y2,9)＝1上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是()A．(1，1) B．(－1，2)C．(1，3) D．(－1，－4)(2)已知P(1，1)為橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1內(nèi)一定點，經(jīng)過P引一條弦，使此弦被P點平分，則此弦所在的直線方程為________________．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升弦及弦中點問題的解決方法(1)根與系數(shù)的關(guān)系：直線與橢圓或雙曲線方程聯(lián)立，消元，利用根與系數(shù)關(guān)系表示中點；(2)點差法：利用弦兩端點適合橢圓或雙曲線方程，作差構(gòu)造中點、斜率間的關(guān)系．若已知弦的中點坐標(biāo)，可求弦所在直線的斜率．訓(xùn)練2已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點到準(zhǔn)線的距離為1，若拋物線C上存在關(guān)于直線l：x－y－2＝0對稱的不同的兩點P和Q，則線段PQ的中點坐標(biāo)為________．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考點三弦長公式例3(2024·南京調(diào)研)已知頂點在原點，關(guān)于y軸對稱的拋物線與直線x－2y＝1交于P，Q兩點，若|PQ|＝eq\r(15)，則拋物線的方程為()A．x2＝－4y B．x2＝12yC．x2＝－4y或x2＝12y D．以上都不是________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升弦長的求解方法(1)當(dāng)弦的兩端點坐標(biāo)易求時，可直接利用兩點間的距離公式求解．(2)當(dāng)直線的斜率存在時，斜率為k的直線l與橢圓或雙曲線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩個不同的點，則弦長公式的常見形式有如下幾種：①|(zhì)AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])；②|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(k≠0)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[（y1＋y2）2－4y1y2]).訓(xùn)練3已知斜率為2的直線經(jīng)過橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1的右焦點F，且與橢圓相交于A，B兩點，則弦AB的長為________．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________軌跡方程問題1．曲線C與方程F(x，y)＝0滿足兩個條件：(1)曲線C上點的坐標(biāo)都是方程F(x，y)＝0的解；(2)以方程F(x，y)＝0的解為坐標(biāo)的點都在曲線C上．則稱曲線C為方程F(x，y)＝0的曲線，方程F(x，y)＝0為曲線C的方程．2．求曲線方程的基本方法主要有：(1)直接法：直接將幾何條件或等量關(guān)系表示為代數(shù)方程；(2)定義法：利用曲線的定義，判斷曲線類型，再由曲線的定義直接寫出曲線方程；(3)代入法(相關(guān)點法)：題中有兩個動點，一個為所求，設(shè)為(x，y)，另一個在已知曲線上運動，設(shè)為(x0，y0)，利用已知條件找出兩個動點坐標(biāo)的關(guān)系，用所求表示已知，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝f（x，y），,y0＝g（x，y），))將(x0，y0)代入已知曲線即得所求曲線方程；(4)參數(shù)法：引入?yún)?shù)t，求出動點(x，y)與參數(shù)t之間的關(guān)系eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝f（t），,y＝g（t），))消去參數(shù)即得所求軌跡方程；(5)交軌法：引入?yún)?shù)表示兩動曲線的方程，將參數(shù)消去，得到兩動曲線交點的軌跡方程．例(1)已知M(－2，0)，N(2，0)，點P滿足eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝12，則點P的軌跡方程為()A.eq\f(x2,16)＋y2＝1 B．x2＋y2＝16C．y2－x2＝8 D．x2＋y2＝8(2)設(shè)P為雙曲線eq\f(x2,4)－y2＝1上的動點，O為坐標(biāo)原點，M為線段OP的中點，則點M的軌跡方程是()A．x2－4y2＝1 B．4y2－x2＝1C．x2－eq\f(y2,4)＝1 D．eq\f(x2,2)－y2＝1(3)(多選)(2024·泰安模擬)已知圓O的半徑為定長r，A是圓O所在平面內(nèi)一個定點，P是圓上任意一點，線段AP的垂直平分線l和直線OP相交于點Q.當(dāng)點P在圓上運動時，下列說法正確的是()A．當(dāng)點A在圓O內(nèi)(不與圓心重合)時，點Q的軌跡是橢圓B．點Q的軌跡可能是一個定點C．當(dāng)點A在圓O外時，點Q的軌跡是雙曲線的一支D．點Q的軌跡可能是拋物線(4)(2024·廣州模擬)變量x，y滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(t)，,y＝2\r(1－t)))(t為參數(shù))，則代數(shù)式eq\f(y＋2,x＋2)的取值范圍是_____________________．(5)如圖，已知橢圓C：eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1的短軸端點分別為B1，B2，點M是橢圓C上的動點，且不與點B1，點B2重合，點N滿足NB1⊥MB1，NB2⊥MB2，求動點N的軌跡方程．______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________訓(xùn)練(1)動點A在圓x2＋y2＝1上