專(zhuān)題33最值模型之胡不歸模型

胡不歸模型可看作將軍飲馬衍生，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，近年在中考數(shù)學(xué)和各地的模擬

考中常以壓軸題的形式考查，學(xué)生不易把握。本專(zhuān)題就最值模型中的胡不歸問(wèn)題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，

方便掌握。在解決胡不歸問(wèn)題主要依據(jù)是：點(diǎn)到線的距離垂線段最短。

例題講模型］

模型1.胡不歸模型（最值模型）

模型解讀

從前有個(gè)少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家.根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，雖

然從他此刻位置A到家8之間是一片砂石地，但他義無(wú)反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時(shí)，老人剛咽了氣，小伙

子追悔莫及失聲痛哭.鄰居告訴小伙子說(shuō)，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？”

看到這里很多人都會(huì)有一個(gè)疑問(wèn)，少年究竟能不能提前到家呢？假設(shè)可以提早到家，那么他該選擇怎樣的

一條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問(wèn)題.

模型證明

一動(dòng)點(diǎn)尸在直線"N外的運(yùn)動(dòng)速度為匕，在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為匕，且匕〈匕，4、5為定點(diǎn),

，確定點(diǎn)的位置使江+些的值最小.（注意與阿氏圓模型的區(qū)分）。

點(diǎn)C在直線上C

匕K

B

1）—+—=—[BC+^Ac],記上=匕，即求BC+以C的最小值.

匕匕匕IV2）%

2）構(gòu)造射線AD使得sin/D4N=Z,—=k,C〃=fc4C,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值.

AC

3）過(guò)8點(diǎn)作BHLAD交MN于點(diǎn)C,交AD于H點(diǎn),此時(shí)8C+C8取到最小值，即BC+姑C最小.

【解題關(guān)鍵】在求形如“出+初中的式子的最值問(wèn)題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與狂引相等的線段，將“B4+d2”型問(wèn)題

轉(zhuǎn)化為“E4+P。'型.（若Q1,則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）。

【最值原理】垂線段最短。

模型運(yùn)用

例1.（24-25九年級(jí)上?安徽合肥?階段練習(xí)）如圖，在VA8C中，NA=15。，AB=10,尸為AC邊上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），連接3P,則也AP+PB的最小值是（）

A.5^2B.5\/3C.—A/3D.8

【答案】B

【分析】以AP為斜邊在AC下方作等腰直角AADP，過(guò)2作班，AD于E,通過(guò)解直角三角形可得BE的長(zhǎng),

再根據(jù)。尸=A尸?sin45°=變AP,可得叵AP+PB=DP+PB2BE,據(jù)此即可解答.

22

【詳解】解：如圖，以AP為斜邊在AC下方作等腰直角△4DP,過(guò)2作3E_L"）于E,連接

B

???/7^￡>=45。，ZBAC=15°f,\ZBAD=60°,，班=ABsin600=5百，

DP=AP-sm450=—AP,—AP+PB=DP+PB>BE,.?.受AP+PB的最小值為5G.故選：B.

222

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵.

例2.（23-24九年級(jí)上.湖南婁底?階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=3,E,P分別是邊AD和對(duì)角線AC

4

上的動(dòng)點(diǎn)，連接EP,記NB4C=a,若tany=§,則P石+PCcosa的最小值為（）

A.3B.4C.5D.2.4

【答案】A

【分析】本題考查了三角函數(shù)的定義，矩形的判定和性質(zhì).過(guò)點(diǎn)尸作于點(diǎn)”，交AD于點(diǎn)G,求得

PC?cos。=尸"，根據(jù)垂線段最短，知當(dāng)點(diǎn)石與點(diǎn)G重合時(shí)，尸石+PC-cosa有最小值，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)尸作GHL3C于點(diǎn)交AD于點(diǎn)G,

四邊形ABCD是矩形，???NB=ZBAG=90°,四邊形ABHG是矩形，，PH//AB,：.ZHPC=ZBAC=a,

4BC4,--------------

VAB=3,tancr=-,——=-,/.BC=4,AC=y/AB2+BC2=5，

3AB3

AB3

cosa==—=cos/HPC,PC-cosa=PH,

AC5

當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)G重合時(shí)，PE+PC-cosa有最小值，最小值為GH的長(zhǎng)，

,：GH=AB=3,???PE+尸Ccosa的最小值為3,故選：A.

例3.（2024.陜西渭南?二模）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、5。相交于點(diǎn)。，AC=8,BD=6,P是

3

對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，則+的最小值為.

BC

【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，過(guò)點(diǎn)尸作PE1A。，連接BE,由菱形的

性質(zhì)可得Q4=gAC=4,OD^BD=?>,AC±BD,則由勾股定理可得AD=5,解直角三角形得到

333

sinZOAD-j,則PE=APsin/P4E=：AP,進(jìn)而得到當(dāng)8、P、E三點(diǎn)共線，且3E1.AD時(shí)，BP+^AP^

小，最小值為班的長(zhǎng)，據(jù)此利用等面積法求出3E的長(zhǎng)即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作PE上AD，連接BE,

;在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、3D相交于點(diǎn)O,AC=8,BD=6,P

OA——A.C=4,OD——BD-3，A.CO/^+-59**?sinNOA.D-......——,

22AD5

33

???在Rt^APE中，PE=AP-sinZPAE=~^PABP+-AP=BP+PEf

3

.?.當(dāng)8、P、E三點(diǎn)共線，且BE_LAD時(shí)，8尸+《4尸最小，最小值為助的長(zhǎng)，

1124

止匕時(shí)有S四邊形^pc。=A。,BE=—AC,BD,5BE=—x6x8,BE=,

???3尸+^3人尸的最小值為2個(gè)4，故答案為：y24.

例4.（2023?云南昆明?統(tǒng)考二模）如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E是。。邊上一點(diǎn)，且NAB￡=75。.P

是對(duì)角線3。上一動(dòng)點(diǎn)，則+的最小值為（）

A.4B.4&C.D.行+#

【答案】D

【分析】連接AC,作PGL3E,證明當(dāng)AP+：BP取最小值時(shí)，A,P,G三點(diǎn)共線，且AGLBE,此時(shí)最

小值為AG,再利用勾股定理，30。所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可求出結(jié)果.

【詳解】解：連接AC,作「GLBE

；ABC。是正方形且邊長(zhǎng)為4,：.ZABO=45°,AC1BD,AO=20，

VZABE=75°,ZPBG=30°,:.PG=、BP,

2

.?.當(dāng)+取最小值時(shí)，A,P,G三點(diǎn)共線，且AGJ_3E,此時(shí)最小值為AG,

VZABE=15°,AGA.BE,：.ZBAG=15°,VZBAO=45°,440=30°,

設(shè)OP=b,則AP=2"："2+（2夜）2=（292,解得：6=與，

設(shè)PG=a,則第=2。，;B0=2也,：,2a+b=2日解得：。=夜一^

/.AG=AP+PG=2b+a=s/2+y/6,故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，勾股定理，30。所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，解題的關(guān)鍵是

證明當(dāng)+取最小值時(shí)，A,P,G三點(diǎn)共線，且AGL3E,此時(shí)最小值為AG.

例5.（23-24九年級(jí)上.江蘇南通?階段練習(xí)）如圖，AB是。。的直徑，CE切。。于點(diǎn)C交A3的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)。是弦AC上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），若NCEA=30。，BE=4,則CD+2OD的最小值為（）

C

D

A.273B.73C.4D.4g

【答案】D

【分析】作OF平分N49C,交。。于尸，連接AF、CF、DF,過(guò)點(diǎn)。作DHLOC于A,根據(jù)切線的性

質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得/COE=60。，求得NAOC=120。，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得

ZAOF=ZCOF=60°,根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)可得OE=2OC,求得OC=4,根據(jù)等邊三角形

的判定和性質(zhì)可得A尸=AO=OC=RC,根據(jù)菱形的判定和性質(zhì)可得AC平分ZFAO,根據(jù)角平分線的性質(zhì)

和全等三角形的判定和性質(zhì)可得。尸=DO,根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理求得/OC4=NQ4C=30。,

根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)可求得CD=2DH,推得CD+28=2(0〃+Q),根據(jù)垂線段最短可得，當(dāng)F、

D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH+FD的值最小，即m_LAC時(shí)，CD+2OD的值最小，根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)

可求得五H=2g,即可求解.

【詳解】解：作/AOC的角平分線OP,交。。于尸，連接AF、CF、DF,過(guò)點(diǎn)。作。于H,如

圖：

：OC_LCE,，NC?CE=90。，又：NCE4=30°,ZCOE=180°-90°-30°=60°,ZAOC=180°-60°=120°,

,/O/平分ZAOC,貝UZAOF=NCOF=-ZAOC=-xl20°=60°,

22

VZCEO=30°,ZOCE=90°,：.OC=^OE,即OE=2OC,

XVOE=OB+BE=OC+BE,BE=4,：.2OC=OC+4,二OC=4,即圓的半徑為4,

VOA^OF=OC,ZAOF=ZCOF=60°,：.^AOF,ACO尸是等邊三角形，

Z.AF=AO=OC=FC,；.四邊形AOC尸是菱形，二AC平分/E4O,AZFAC=ZOAC,

XVAF=AO,AD=AD,△■EW四△Q4D（SAS）,/.DF=DO,

180。一440。180。—120。

?：OA=OCZOCA=ZOAC=

22

DH=DC-sinZDCH=DC-sin30°=-DC,即CD=2D",.1

2

CD+2OD=2DH+2OD=2（DH+OD）=2（DH+FD）.若使CD+2OD的值最小，即。H+陽(yáng)的值最小,

當(dāng)尸、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH+FD=FH,此時(shí)DH+ED的值最小，即FH_LAC時(shí)，CD+2OD的值最小，

此時(shí)，F(xiàn)H=OF-sinZFOH=OF-sin60°=^-OF=2y/3,CD+2OD=2（DH+FD）=2FH=,故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，等

邊三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊對(duì)等角，特殊角的銳角三角

函數(shù)，垂線段最短，解題的關(guān)鍵是明確當(dāng)尸、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH+田的值最小，即CD+2OD的值

最小.

例7.（2023?四川自貢?統(tǒng)考中考真題）如圖，直線y=-gx+2與x軸，y軸分別交于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)。是線

段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)X是直線>=尤+2上的一動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)磯〃*0）,尸（m+3,0）,連接3E,DF,HD.當(dāng)

雇+。戶(hù)取最小值時(shí)，的最小值是.

【分析】作出點(diǎn)C（3,-2）,作于點(diǎn)。，交x軸于點(diǎn)凡此時(shí)BE+D尸的最小值為CD的長(zhǎng)，利用解

直角三角形求得利用待定系數(shù)法求得直線CD的解析式，聯(lián)立即可求得點(diǎn)。的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)。作

OGLy軸于點(diǎn)G,此時(shí)的最小值是5￡>G的長(zhǎng)，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：???直線y=-；x+2與x軸，y軸分別交于A,2兩點(diǎn)，3（0,2）,A（6,0）,

作點(diǎn)3關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B，（0,-2），把點(diǎn)E向右平移3個(gè)單位得到C（3,-2）,

作CD,他于點(diǎn)。，交x軸于點(diǎn)R過(guò)點(diǎn)8'作3石〃CD交無(wú)軸于點(diǎn)E,則四邊形EFCB'是平行四邊形,

此時(shí)，BE=B'E=CF,破+七方二叱+力尸二⑺有最小值，作CP_Lx軸于點(diǎn)P,

貝|JCP=2,OP=3,?:/CFP=ZAFD,：.ZFCP=ZFAD,：.tanZFCP=tanZFAD,

PF生絲=22

，:?PF=.則/pOL設(shè)直線CD的解析式為丁=履+人,

PCOA26

3k+b=-2

k=3

則U』=。,解得―,???直線8的解析式為m,

13

39

y=3x-llx=—

1;,即。397

聯(lián)立，解得；過(guò)點(diǎn)。作少軸于點(diǎn)G,

y=--x+2

-3y——

10

3

直線y=_gx+2與X軸的交點(diǎn)為。佶，o],則BQ="Q2+O82="sinZ0Be=-^=4=j,

3）2D（2￡3

2

HG=BHsinNGBH=：BH,：.3BH+5DH=5^BH+DH^=5（HG+DH）=5DG,

393939

即33"+5￡>"的最小值是5DG=5x記=5,故答案為：y.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解直角三角形，利用軸對(duì)稱(chēng)求最短距離，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所

學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

例8.（2024.山東濟(jì)南.一模）實(shí)踐與探究

【問(wèn)題情境】（1）①如圖1，RtAABC,IB90?,NA=60。，D,E分別為邊AB,AC上的點(diǎn)，DE//BC,

AJ'）

且BC=2DE,則F=______；②如圖2,將①中的VADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。，則￡>E,3c所在直線較

AB

小夾角的度數(shù)為.

【探究實(shí)踐】（2）如圖3,矩形ABC。，AB=2,AD=2j3,E為邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，尸為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，BF=2AE,

連接￡1尸，作BHLEF于H點(diǎn),,連接CH.當(dāng)CH的長(zhǎng)度最小時(shí)，求3”的長(zhǎng).

【拓展應(yīng)用】（3）如圖4,RtAABC,ZACB=90°,ZCAB=60°,AC=y/3,。為A3中點(diǎn)，連接CO,E,F

分別為線段即，CD上的動(dòng)點(diǎn)，SLDF=2BE,請(qǐng)直接寫(xiě)出AF+友的最小值.

3

圖1圖2圖3圖4

【答案】（1）①②30。；（2）2；（3）岳

【分析】（1）①由。E〃3C得出AADEs&XBC,再由相似三角形的性質(zhì)即可得解;②延長(zhǎng)DE交BC于F,

令A(yù)B交DE于G,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可得出答案；

（2）延長(zhǎng)3AFE,相交于點(diǎn)G,連接A”,AC.由矩形的性質(zhì)可得BC=AD=2^3,證明

△GAEs2BF,由相似三角形的性質(zhì)得出點(diǎn)A為G3中點(diǎn)，由直角三角形的性質(zhì)得出AH=J=AB=2,當(dāng)

A,H,C,三點(diǎn)共線時(shí)8取得最小值，證明出△ABH為等邊三角形，即可得解；

（3）分別過(guò)點(diǎn)。和8作垂線，兩線相交于點(diǎn)P,連接PE、PF、PA,則NCDP=/P3E=90。，證明

△PBEs#DF,得出NPEB=NPFD,再證明出尸、E、D、P四點(diǎn)共圓，得出/PEE=/尸￡后=30。，

ZPEF=ZPDF=90°,解直角三角形得出尸尸;名回石尸，即可得出AF+其1石尸=4尸+尸尸2AP,最后由

33

勾股定理計(jì)算即可得出答案.

【詳解】解：（1）①DE〃3C,.?.△ADES^MC,.?.絲=匹=匹=,，故答案為：

ABBC2DE22

由①可得/O=/ABC=90。，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：ZZMB=30°,

ZAGD=90°-ZDAG=60°,:.ZBGF=ZAGD=60°,ZBFG=90°-ZBGF=30°,

DE,所在直線較小夾角的度數(shù)為30。，故答案為：30°；

(2)延長(zhǎng)3AFE,相交于點(diǎn)G,連接姐，AC.

???四邊形ABCD是矩形，.〔AE〃班BC=AD=26:.NGAE=NGBF,

GAAEAE1

VZG=ZG,:.AGAESAGBF,：.——=——=——=一，二點(diǎn)A為G3中點(diǎn)，:.BG^2AB=4,

GBBF2AE2

:如工石尸于點(diǎn).?.在RGB/ZG中，AH=^=AB=2,

?.?在AAHC中，CH>AC-AH,且AC,A”為定值，，當(dāng)AH,C,三點(diǎn)共線時(shí)CH取得最小值，

*.*tanACAB=——=^J3,ACAB—60°,此時(shí)△ASH為等邊二角形，/.5"=A6=2.

AB

(3)如圖，分別過(guò)點(diǎn)。和5作垂線，兩線相交于點(diǎn)P,連接PE、PF、PA,則NCDP=N/Z石=90。,

/RtAABC,ZACB=90°,ZC4B=60°,AC=6，。為AB中點(diǎn)，

,-.CD=AD=BD=-AB,ZABC=900-ZCAB=30°,AB=2AC=273,

2

.?.△ACD為等邊三角形，，NADC=60。，BD=AD=AC=#,

j2

ZPDB=180°-ZADC-ZCDP=30°,/.PB^-PD,?；PB?+BD。=DP。，：.PB°+(6J=(2PB『，:,PB=1,

?:DF=2BE,"PBESAPDF,:.ZPEB=ZPFD,:.NPED+N產(chǎn)FD=180°,:.P、E、D、/四點(diǎn)共圓，

:.NPFE=NPDB=30°,ZPEF=ZPDF=90°,在RtAP跖中，cosNPbE=cos30°=身=且，

PF2

:.PF=^-EF,AF+^^EF=AF+PF>AP,

33

在RtA4PB中，AP=yjAB2+PB2=^2^+12=A/13,，AF+半跖的最小值為相.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、圓的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定

與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加

適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵.

例9.(24-25九年級(jí)上?江蘇蘇州?階段練習(xí))如圖，二次函數(shù)y=6x2-6jgx+5省的圖象交x軸于4、8兩

點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,連接3C.(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)8、C的坐標(biāo)，B；C.

⑵點(diǎn)尸是y軸右側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，連接尸8、PC.若△P3C的面積156，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

(3)設(shè)E為線段8C上任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，連接AE,一動(dòng)點(diǎn)〃從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AE以每秒1個(gè)單位

速度運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)，再沿線段EC以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到C后停止，求點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最小值.

【答案】（1）（5,0）,（0,5⑹（2）（2,-3用或卜，-4⑹或（6,5⑹（3）點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最小值為7秒

【分析】（1）根據(jù)拋物線計(jì)算即可；（2）利用同底等高的三角形面積相等構(gòu)造與BC平行直線，找到與拋物

線的交點(diǎn)尸；（3）如圖，在x軸上取一點(diǎn)G,連接CG,使得/3CG=30。，作ENJ_CG于N.作AN'LCG

FC1

于N'交BC于E，.由點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間f=AE+k，EN=-EC,推出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間f=AE+EN,根據(jù)

22

垂線段最短可知，當(dāng)A,E,N關(guān)系，點(diǎn)N與N'重合，點(diǎn)E與E重合時(shí)，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少.由此即可

解決問(wèn)題；

【詳解】（1）解：當(dāng)x=0時(shí)，y=5幣,

2

當(dāng)y=。時(shí)，y/3x—6y[3x+5A/3=0,解得：%=1,x2=5,故答案為：（5,0）,（0,

（2）解：設(shè)x軸上點(diǎn)。，使得的面積156，.彳瓦＞。。=15有，解得：BD=6,

?■-C（0,5^）,3（5,0）,則可求直線BC解析式為：y=4+50,故點(diǎn)。坐標(biāo)為（一1,0）或（11,0）,

當(dāng)D坐標(biāo)為（-1,0）時(shí)，過(guò)點(diǎn)。平行于BC的直線/與拋物線交點(diǎn)為滿(mǎn)足條件的P,

則可求得直線/的解析式為：y=-y[3x-^3,

求直線/與拋物線交點(diǎn)得：瓜2一66尤+50=-岳-君，解得：士=2,%=3,

則尸點(diǎn)坐標(biāo)為（2,-36）或卜,-4指），同理當(dāng)點(diǎn)D坐標(biāo)為（11,0）時(shí)，直線/的解析式為y=-6x+116，

求直線/與拋物線交點(diǎn)得：石X?-6氐+5/=-&+11石，解得:玉=-1（舍棄），無(wú)2=6,

則點(diǎn)尸坐標(biāo)為伍,5間，綜上滿(mǎn)足條件P點(diǎn)坐標(biāo)為：（2,-3⑹或。，-4⑹或（6,56）；

(3)解：如圖，在x軸上取一點(diǎn)G,連接CG,使得4CG=30。，作ENLCG于N.作AN」CG于V交

/.OG=60C=15，.二直線CG的解析式為=x+573，

3

FC1

,?,點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，=A￡+k，EN=-EC,???點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，=AE+￡7V,

22

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)A,E,N關(guān)系，點(diǎn)N與N'重合，點(diǎn)E與E重合時(shí)，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少.

由題意A(1,O),；.AG=14,，4V'=gAG=7,.?.點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最小值為7秒，止匕時(shí)E(3,2^).

【點(diǎn)睛】本題為代數(shù)幾何綜合題，考查了二次函數(shù)圖象性質(zhì)、一次函數(shù)圖象性質(zhì)及圓的有關(guān)性質(zhì)是解答本

題的關(guān)鍵.

習(xí)題練模型

1.（2024?山東淄博?校考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（。，2）,點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0,-2）,點(diǎn)

8（尤,。）是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上移動(dòng)時(shí)，始終保持是等邊三角形（點(diǎn)P不在第二象限），連接PC,

求得AP+]PC的最小值為（）

2

A.4百B.4C.2石D.2

【答案】C

【分析】如圖1所示，以O(shè)A為邊，向右作等邊△A。。，連接PD,過(guò)點(diǎn)。作OELOA于E,先求出點(diǎn)。的

坐標(biāo)，然后證明△射。烏人物。得到/尸。4=48。4=90。，則點(diǎn)尸在經(jīng)過(guò)點(diǎn)。且與垂直的直線上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸時(shí)，如圖2所示，證明此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（0,-2）從而求出直線P。的解析式；如圖3

所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線尸。的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G,連接尸G,過(guò)點(diǎn)尸作PPLy軸于R設(shè)直線PD與x軸的交點(diǎn)為X,

先求出點(diǎn)H的坐標(biāo)，然后證明NHCO=30。，從而得到AP+gpC=GP+PF,則當(dāng)G、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，

GP+P尸有最小值，即AP+：PC有最小值，再根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求出點(diǎn)G在x軸上，則OG即為所求.

【詳解】解：如圖1所示，以。4為邊，向右作等邊連接PD,過(guò)點(diǎn)。作于E,

丁點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,2）,：.OA=OD=2,：.OE=AE=1,:.DE*OD，-OE。=下,.,.點(diǎn)。的坐標(biāo)為（后1）；

?.,△A2P是等邊三角形，△4。。是等邊三角形，：.AB=AP,ZBAP=60°,AO=AD,ZOAD=60°,

ZBAP+ZPAO=ZDAO+ZBiO,即NBAO=/B4。，AABAO^AB4D（SAS）,AZPDA=ZBOA=90°,

.?.點(diǎn)P在經(jīng)過(guò)點(diǎn)。且與AD垂直的直線上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸時(shí)，如圖2所示，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合,

?.?△A3P是等邊三角形，BOLAP,.?.AOPOZ,.?.此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0,-2）,

.6k+b=1.k=不

設(shè)直線尸。的解析式為丁=履+〃，，，直線尸。的解析式為丁=氐-2；

b=-2b=-2

如圖3所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線尸。的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G,連接PG,過(guò)點(diǎn)尸作尸尸,丁軸于凡連接CG,設(shè)直線尸。與

X軸的交點(diǎn)為“，，點(diǎn)H的坐標(biāo)為［與，。），...tanNOCH=^=?,.?./OC”=30。，PF=；PC,

由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知AP=GP,：.AP+^PC=GP+PF,

.?.當(dāng)G、尸、尸三點(diǎn)共線時(shí)，GP+尸尸有最小值，即AP+；PC有最小值，

：A、G兩點(diǎn)關(guān)于直線尸。對(duì)稱(chēng)，且/AOC=90。，.?.AO=GQ,即點(diǎn)。為AG的中點(diǎn)，

:點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,2）,點(diǎn)。的坐標(biāo)為（G1）,，AG=2AO=2OA=4,

-：AC=4,ZCAG=60°,；.ZkACG是等邊三角形，VOC=OA,：.OG±AC,即點(diǎn)G在無(wú)軸上，

由勾股定理得OG=,42_22=2陋，二當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到H點(diǎn)時(shí)，GP+PP有最小值，即AP+gpC有最小值，

最小值即為OG的長(zhǎng)，+的最小值為26，故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，一次函數(shù)與幾何綜合，軸

對(duì)稱(chēng)最短路徑問(wèn)題，解直角三角形等等，正確作出輔助線確定點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵.

2.（2024?四川德陽(yáng)?二模）如圖，已知拋物線y=Q%2+"+c與x軸交于A（l,0）,。（一3,0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)

8（。，3）.若尸為y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP,則fgP+AP的最小值為（）

y

p1\

co\八、

A.&B.2C.2夜D.4

【答案】C

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短等知識(shí)，關(guān)鍵在

于把求變BP+4P最小值轉(zhuǎn)化為求PG+”的最小值;連接BC,AP,過(guò)點(diǎn)尸作PG，3c于點(diǎn)G,連接AG,

2

過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)X；由B、C的坐標(biāo)得OB=OC,則有NOBC=45。，從而PG=^BP；于是求

2

受BP+AP最小值轉(zhuǎn)化為求PG+AP的最小值；利用勾股定理即可求得最小值.

2

【詳解】解：連接BC,AP,過(guò)點(diǎn)尸作尸G,3c于點(diǎn)G,連接AG,過(guò)點(diǎn)A作AH于點(diǎn)如圖，

：.—BP+AP=PG+AP>AG>AH,.?.交8尸+A尸的最小值為AH的長(zhǎng)，

22

,/A(1,O),C(一3,0),\AC=1-(-3)=4,^RuACH^,-.-2ACH45?,AC4,\AH=-AC=2-j2,

2

+的最小值為2忘.故選：C.

3.(2024.山東校考一模)如圖，AB=AC,A(0，A/15),c(1,0),。為射線AO上一點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P從A出

發(fā)，運(yùn)動(dòng)路徑為A-C,在上的速度為4個(gè)單位/秒，在C。上的速度為1個(gè)單位/秒，則整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)

間最少時(shí)，D的坐標(biāo)為

【分析】如圖，作DH±AB于H,CM1AB于交A。于D,.運(yùn)動(dòng)時(shí)間，=丁+丁=丁+。，由

AAHD^AAOB,推出^-AD+CD=CD+DH,推出當(dāng)C,D,〃共線且和CM重合時(shí),

44

運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短.

【詳解】如圖，作于氏四于"，交A。于".

;運(yùn)動(dòng)時(shí)間，=—+—=——+CD,?：AB=AC,AO.LBC,：.BO=OC=1,

414

A(0,,C(1,0),AB—AC,AO_Z.BC,24g=AC=.(,Qp-=,15+1=4,

,/ZDAH=ZBAO,ZDHA=ZAOB=90°,AAHD^AAOB,

DH=-AD,：.-AD+CD=CD+DH,

ABOB44

.?.當(dāng)C,D,H共線且和CM重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，

:.^BC-AO=^ABCM,CM=半,二AM=dAC。一C”=J4T半］=1,

49

,/AD,=4A/D,,設(shè)A/D'=〃z,則AD'=4m,則有：161-m2=~

32f或一需（舍去），?.3=普’

4.（2023?湖南湘西?統(tǒng)考中考真題）如圖，。。是等邊三角形A3C的外接圓，其半徑為4.過(guò)點(diǎn)2作BEJ_AC

于點(diǎn)E,點(diǎn)尸為線段8E上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)尸不與8,E重合），則+的最小值為

2

【答案】6

【分析】過(guò)點(diǎn)P作尸連接CO并延長(zhǎng)交于點(diǎn)R連接A0,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和圓內(nèi)接三

角形的性質(zhì)得到。4=03=4,CF1AB,然后利用含30。角直角三角形的性質(zhì)得到OE==2,進(jìn)而求

出3E=30+EO=6,然后利用CP+：3尸=CP+尸。WC歹代入求解即可.

【詳解】如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作連接CO并延長(zhǎng)交于點(diǎn)R連接49

^ABC是等邊三角形，BE1AC：.NABE=ZCBE=|ZABC=30。

:。。是等邊三角形A3C的外接圓，其半徑為4；.04=03=4,CF1AB,

：.ZOBA=ZOAB=30°/.ZOAE=ZOAB=-ABAC=30°

2

1.,BELAC：.OE=-OA=2：.BE=BO+EO=6

2

PD±AB,ZABE=3Q°：.PD=-PB：.CP+-BP=CP+PD<CF

22

+尸的最小值為CF的長(zhǎng)度：4鉆。是等邊三角形，BEVAC,CFJ.AB

2

:.CF=BE=6/.CP+\BP的最小值為6.故答案為：6.

2

【點(diǎn)睛】此題考查了圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含30。角直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的

關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn).

5.（2023?遼寧錦州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在RtaABC中，ZACB=90°,ZABC=3Q°,AC=4,按下列步

驟作圖：①在AC和A3上分別截取AD、AE,使=②分別以點(diǎn)。和點(diǎn)E為圓心，以大于的

長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在—B4C內(nèi)交于點(diǎn)③作射線40交3C于點(diǎn)?若點(diǎn)尸是線段AF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

連接CP,則CP+^AP的最小值是

【答案】2石

【分析】過(guò)點(diǎn)尸作PQ1AB于點(diǎn)°,過(guò)點(diǎn)。作81.48于點(diǎn)先利用角平分線和三角形的內(nèi)角和定理求

出/瓦S=30。，然后利用含30。的直角三角的性質(zhì)得出PQ=：AP,則CP+gAP=CP+PQ2CH,當(dāng)C、

P、。三點(diǎn)共線，且與A3垂直時(shí)，CP+JAP最小，CP+^AP最小值為CH,利用含30。的直角三角的性質(zhì)

和勾股定理求出AB,BC,最后利用等面積法求解即可.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)尸作于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)H,

由題意知：AF平分/B4C,VZACB=90°,ZABC=30。，AZBAC=60°,

：.ZBAF=-ABAC=30°,APQ=-AP,：.CP+-AP=CP+PQ>CH,

222

...當(dāng)C、P、。三點(diǎn)共線，且與AB垂直時(shí)，CP+^AP最小，CP+g”最小值為S,

VZACB=90°,ZABC=30°,AC=4,：.AB=2AC=8,：.BC^AB1-AC2=4A/3-

即CP+；A尸最小值為2石.故答案為：20.

【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖-作角平分線，含30。的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，注意掌握利用

等積法求三角形的高或點(diǎn)的線的距離的方法.

6.(2022?湖北武漢?九年級(jí)期末)如圖，回A3CD中NA=60。，AB=6,AD=2,P為邊CO上一點(diǎn)，貝I

6PD+2PB的最小值為.

【答案】6A/3

【分析】作尸以，交AD的延長(zhǎng)線于由直角三角形的性質(zhì)可得用三正。P,因止匕班PQ+2PB=2(3

22

DP+PB)=2(PH+PB),當(dāng)H、P、B三點(diǎn)共線時(shí)HP+PB有最小值，即十2PB有最小值，即可求解.

【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)尸作尸以LAD,交AD的延長(zhǎng)線于

四邊形ABCD是平行四邊形，AB//CD,：.ZA=NPDH=60°

,/PH1.AD：.NDPH=3。°：.DH=-PD,PH=^>DH=-PD,

22

/.mPD+2PB=2(4PD+PB)=2(PH+PB)

當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)P,點(diǎn)B三點(diǎn)共線時(shí)，HP+PB有最小值，即6尸。+2依有最小值，

此時(shí)BH±AH,ZABH=30°,ZA=60。，：.AH=^AB=3,BH=CAH=36

則&PD+2PB最小值為66，故答案為：673.

【點(diǎn)睛】本題考查了胡不歸問(wèn)題，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí).構(gòu)造直角

三角形是解題的關(guān)鍵.

7.(2023?江蘇宿遷?統(tǒng)考二模)已知AABC中，BC=6cm,ZA=60°,則AB二1■AC的最大值為

2

【答案】6夜

【分析】過(guò)點(diǎn)C作CDLAS,垂足為D,取DE=AD,即可說(shuō)明VADE是等腰直角三角形，求出ZACD=30°,

進(jìn)一步求出CE=也匚AC,繼而將AB+叵4AC轉(zhuǎn)化為BD+CD,推出點(diǎn)。在以BC為直徑的圓上，從而

22

可知當(dāng)△BCD為等腰直角二角形時(shí)，BD+CD最大,再求解即可.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CDLAB,垂足為D,^DE=AD,

VADE是等腰直角三角形，二NZME=NDEA=45。，

VZA=60°,/.ZCAE=15°,：.ZACD=ZAED-ZCAE=30°,：.AD=-AC=DE,

2

22

CD=y/AC-AD=—AC,CE=CD-DE=—AC--AC=^^-ACf

2222

/3_i

AB+-x——AC=AB+CE=AD+BD-^CE=DE+BD+CE=BD+CD,

2

2222

V(BD+CD)=BD+CD+2BDxCD=BC+4SABCD=36+4SABCD,而8C一定，

...當(dāng)△BCD的面積最大時(shí)，BD+CD最大，：/或心=90。，...點(diǎn)。在以BC為直徑的圓上，

當(dāng)。平分BC時(shí)，點(diǎn)。到3C的距離最大，即高最大，則面積最大，

此時(shí)BD=CD,則△BCD為等腰直角三角形，8。+8=2m=2*1^=6右，故答案為：6金.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，含30度的直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理,

解題的關(guān)鍵是添加輔助線，將最值轉(zhuǎn)化為3D+CD的長(zhǎng).

8.(2023?陜西西安?校考二模)如圖，在MAABC中，ZACB=90°,ZB=30°,AB=8,D、尸分別是邊A8、

3c上的動(dòng)點(diǎn)，連接CD,過(guò)點(diǎn)A作AE±CD交BC于點(diǎn)E,垂足為G,連接GF,則GF+^FB的最小值為

2

A

【答案】3"2

【分析】“胡不歸模型”，以2/為斜邊構(gòu)造含30。角的直角三角形，結(jié)合/2=30。，即把R3A2C補(bǔ)成等邊

△ABP,過(guò)F作3尸的垂線切，根據(jù)垂線段最短得，當(dāng)G、F、H成一直線時(shí)，最短，又根據(jù)直角

所對(duì)的弦是直徑，可得點(diǎn)G在以AC為直徑的圓上，取AC的中點(diǎn)O,連接OG,過(guò)點(diǎn)。作0Q_L2P于點(diǎn)Q,

據(jù)此解題.

【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)AC到點(diǎn)尸，使CP=AC,連接BP,

過(guò)點(diǎn)尸作以尸于點(diǎn)X,取AC的中點(diǎn)O,連接。G,過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)。，

,/ZACB=90°,/ABC=30。，AB=8,；.AC=CP=4,AP=8,BP=AB=8,是等邊三角形，.?./FBH=30。，

在RtAFHB中，F(xiàn)H=-FB,.,.當(dāng)G、F、”在同一直線上時(shí)，GF+-FB=GF+FH,

22

,JAELCD,：.ZAGC=9Q°,為AC的中點(diǎn)，：.OA=OC=OG=-AC,

2

AA,C、G三點(diǎn)共圓，圓心為。，即點(diǎn)G在。。上運(yùn)動(dòng)，.?.當(dāng)點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到。。上時(shí)，GF+尸H取得最小值,

?.?在RtAOP。中，ZP=60°,OP=6,sinP=^=立，

OP2

：.0Q=昱0P=36，的最小值為3g-2,即的最小值為3指-2,故答案為：373-2.

22

【點(diǎn)睛】本題考查含30。直角三角形性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，垂直平分線性質(zhì)，點(diǎn)到直線距離，圓周角

定理，最短路徑，解題關(guān)鍵是找到點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，GH最小，聯(lián)想到找出點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)路徑再計(jì)算.

9.(2023