2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《如何作輔助圓》專項(xiàng)測(cè)試卷(附答案)

學(xué)校:班級(jí)：姓名：考號(hào)：

1.(10分)(1)【學(xué)習(xí)心得】

小剛同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題，如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)解決,

可以使問題變得非常容易.

例如：如圖1,在△ABC中，AB=AC,NB4c=90°,。是△ABC外一點(diǎn)，且AO=AC,求/BOC的

度數(shù)，若以點(diǎn)A為圓心，為半徑作輔助圓。4,則點(diǎn)C、。必在OA上，N8AC是OA的圓心角，而

是圓周角，從而可容易得到NBr)C=°.

(2)【問題解決】

如圖2,在四邊形中，/BAD=NBCD=90°,/BDC=25°,求N8AC的度數(shù).

小剛同學(xué)認(rèn)為用添加輔助圓的方法，可以使問題快速解決，他是這樣思考的：△A3。的外接圓就是以

8。的中點(diǎn)為圓心，工8。長為半徑的圓；△8CQ的外接圓也是以8。的中點(diǎn)為圓心，工8。長為半徑的

22

圓.這樣A、B、C、。四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，進(jìn)而可以利用圓周角的性質(zhì)求出NA4c的度數(shù)，請(qǐng)運(yùn)用小

剛的思路解決這個(gè)問題.

(3)【問題拓展】

如圖3,在△ABC中，ZBAC=45°,是BC邊上的高，且2D=6,CD=2,求的長.

2.(10分)小明在學(xué)習(xí)了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)“圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)”后，想探究它的逆命題“對(duì)

角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上”是否成立.他先根據(jù)命題畫出圖形，并用符號(hào)表示已知，求

證.

己知：如圖①，在四邊形ABC。中，ZB+ZAZ)C=180°.

求證：點(diǎn)A,B,C,。在同一個(gè)圓上.

他的基本思路是依據(jù)“不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓”，先作出一個(gè)過三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C的。。，

再證明第四個(gè)頂點(diǎn)D也在。。上.

具體過程如下；

步驟一、作出過A,B,C三點(diǎn)的O。.

如圖1,分別作出線段42,2C的垂直平分線相，n,設(shè)它們的交點(diǎn)為O,以。為圓心，的長為半徑作

QO.連接OA,OB,OC,

：.OA=OB,OB=OC(①).(填推理依據(jù))

：.OA=OB=OC.

.?.點(diǎn)8,C在。。上.

步驟二、用反證法證明點(diǎn)。也在。。上.

假設(shè)點(diǎn)。不在。。上，則點(diǎn)。在。。內(nèi)或。。外.

i、如圖2,假設(shè)點(diǎn)。在。。內(nèi).

延長CD交O。于點(diǎn)。1,連接AD1.

.1.ZB+ZDi=180°(②).(填推理依據(jù))

ZADC是△ADDi的外角，

第1頁共17頁

AZADC=ZDADi+ZDi（③）.（填推理依據(jù)）

ZADOZDi.

：.ZB+ZADC>180°.

這與已知條件/3+NAOC=180°矛盾.

假設(shè)不成立.即點(diǎn)。不在O。內(nèi).

爪如圖3,假設(shè)點(diǎn)。在。。外.

設(shè)C￡）與。。交于點(diǎn)。2,連接AO2.

：.ZB+ZAD2C=1SO°.

,：ZAD2C是△A6。的外角，

/AD2C=ZDAD2+ZADC.

：.ZADC<ZAD2C.

.?.ZB+ZADC<180°.

這與已知條件NB+/AOC=180°矛盾.

假設(shè)不成立.即點(diǎn)。不在。。外.

綜上所述，點(diǎn)。在。。上.

...點(diǎn)A,B,C,。在同一個(gè)圓上.

閱讀上述材料，并解答問題：

(1)根據(jù)步驟一，補(bǔ)全圖1（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；

(2)填推理依據(jù)：①.,②.

3.（10分）綜合與實(shí)踐

“善思”小組開展“探究四點(diǎn)共圓的條件”活動(dòng)，得出結(jié)論：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓.該小組

繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究.

提出問題：

如圖1,在線段AC同側(cè)有兩點(diǎn)8,D,連接AD,AB,BC,CD,如果那么A,B,C,。四點(diǎn)

在同一個(gè)圓上.

探究展示：

圖1圖2

如圖2,作經(jīng)過點(diǎn)A,C,。的OO,在劣弧AC上取一點(diǎn)E（不與A,C重合），連接AE,CE,貝I/AEC+

ZD=180°（依據(jù)1）

,:/B=/D

：.ZA￡C+ZB=180°

...點(diǎn)A,B,C,E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上（對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓）

:.點(diǎn)B,。在點(diǎn)A,C,E所確定的。。上（依據(jù)2）

...點(diǎn)A,B,C,。四點(diǎn)在同一個(gè)圓上

反思?xì)w納：

（1）上述探究過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？

第2頁共17頁

依據(jù)1:;

依據(jù)2：.

(2)如圖3,在四邊形ABC。中，/1=N2,N3=45°,則/4的度數(shù)為.

拓展探究：

(3)如圖4,已知△ABC是等腰三角形，AB=AC,點(diǎn)。在3C上(不與8C的中點(diǎn)重合)，連接AD作

點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)E,連接班并延長交AD的延長線于F,連接AE,DE.

①求證：A,D,B,E四點(diǎn)共圓；

②若AB=2&,的值是否會(huì)發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請(qǐng)說明理由.

圖3圖4

4.(5分)如圖，已知四邊形ABCD是矩形，8c=4,AB>2,若CE=2,且點(diǎn)E在矩形ABC。的內(nèi)部,

求NABE的取值范圍.

5.(10分)如圖，已知矩形A8CD

(1)如圖①，請(qǐng)?jiān)诰匦蜛BC。的內(nèi)部或邊上畫出使/APB=45°的點(diǎn)尸的軌跡；

(2)如圖②，請(qǐng)?jiān)诰匦蜛BC。的內(nèi)部或邊上畫出使NAP8=90°的點(diǎn)尸的軌跡；

(3)如圖③，請(qǐng)?jiān)诰匦?8cD的內(nèi)部或邊上畫出使/APB=120°的點(diǎn)P的軌跡.

6.(3分)如圖，在四邊形A8CD中，CZ>〃A8,CB=4,AB=AC=AD=3,則8。的長

為_____________.

7.(3分)如圖，在Rt^ABC中，ZABC=9Q°,8C=2,點(diǎn)。在AC邊上運(yùn)動(dòng)，將△BCD沿8。翻折,

點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C',在點(diǎn)。從點(diǎn)C到點(diǎn)A的動(dòng)過程中，點(diǎn)C'運(yùn)動(dòng)的路徑長為.

第3頁共17頁

C'

8.（3分）如圖示，A,2兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-2,0）,（3,0）,點(diǎn)C在y軸上，S.ZACB=45

則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

A01BX

9.（3分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為（3,0）、（0,4）,點(diǎn)C是無軸正半軸上一

點(diǎn)，連接BC.過點(diǎn)A垂直于AB的直線與過點(diǎn)C垂直于BC的直線交于點(diǎn)D,連接BD,則sin/BOC的

值是__________________.

0\ACx

10.（3分）如圖，△ABC中，ZC=90°,ZBAC=30°,A8=2,點(diǎn)尸從C點(diǎn)出發(fā)，沿C8運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8

停止，過點(diǎn)8作射線AP的垂線，垂足為。，點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的路徑長為.

11.（3分）如圖，在矩形A8CD中，4B=3,BC=5,點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，連接8E,作垂足

為E,直線所交線段。C于點(diǎn)R則里=.

參考答案與試題解析

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1.(1)［學(xué)習(xí)心得］

小剛同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題，如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)解決,

可以使問題變得非常容易.

例如：如圖①，在△ABC中，AB^AC,ZBAC=90°,。是△ABC外一點(diǎn)，且AO=AC,求NBOC的

度數(shù).若以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作輔助圓04則點(diǎn)C,。必在OA上，NBAC是。4的圓心角，而

NBOC是圓周角，從而可容易得到N3r)C=45或135°.

(2)［問題解決］

如圖②，在四邊形ABC。中，ZBAD=ZBCD^90°,NBDC=25°,求N8AC的度數(shù).小剛同學(xué)認(rèn)

為用添加輔助圓的方法，可以使問題快速解決，他是這樣思考的：AABD的外接圓就是以BD的中點(diǎn)

為圓心，工8。長為半徑的圓；的外接圓也是以8。的中點(diǎn)為圓心，上8。長為半徑的圓.這樣A,

22

B,C,。四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，進(jìn)而可以利用圓周角的性質(zhì)求出/BAC的度數(shù)，請(qǐng)運(yùn)用小剛的思路解決

這個(gè)問題.

(3)［問題拓展］

如圖③，在△ABC中，ZBAC=45°,AD是2C邊上的高，且BD=6,CD=2,求A。的長.

【分析】(1)利用同弦所對(duì)的圓周角是所對(duì)圓心角的一半求解即可；

(2)根據(jù)已知90°的角不難得到點(diǎn)A,B,C,D共圓，然后根據(jù)同圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等即可

得解；

(3)作△ABC外接圓，構(gòu)造等腰直角三角形，利用勾股定理解答即可.

【解答】解：(1)'：AD=AC,AB=AC,

以點(diǎn)A為圓心，點(diǎn)8,D,C必在OA上.］

當(dāng)點(diǎn)。在劣弧上時(shí)，

是OA的圓心角，而/CDB是圓周角，

ZCDB=^-ZCAB=45°；

2

當(dāng)點(diǎn)。在優(yōu)弧上時(shí)，則NBOC=135°；

故答案為：45或135.

(2)如圖①，取8。的中點(diǎn)。，連接04OC,

:?/BAD=NBCD=90°,

.?.點(diǎn)A,B,C,。共圓，

：.ZBDC=ZBAC=25a；

(3)如圖②，作△ABC的外接圓，過圓心。作0E_L8C于點(diǎn)E,作于點(diǎn)「連接04OB,

OC.

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：NBAC=45°,

:./BOC=90°.

在Rt/YBOC中，BC=6+2=8,OB2+CO2=BC2,

:.B0=C0=4M.

'：OE±BC,

，8E=EC=LC=4,

2

:.DE=OF=EC-C￡>=2.

在RtABOE中,B0=4近,BE=4,

：.OE=DF=4.

在RtzXAOF中，40=4、、歷，OF=2,

AF=VAO2-OF2=V(4V2)2-22=2V7>

①

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于圓綜合題，考查了垂徑定理、圓周角定理、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知

識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型.

2.小明在學(xué)習(xí)了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)“圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)”后，想探究它的逆命題“對(duì)角互補(bǔ)的

四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上”是否成立.他先根據(jù)命題畫出圖形，并用符號(hào)表示已知，求證.

已知：如圖①，在四邊形ABC。中，ZB+ZAZ)C=180°.

求證：點(diǎn)A,B,C,。在同一個(gè)圓上.

他的基本思路是依據(jù)“不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓”，先作出一個(gè)過三個(gè)頂點(diǎn)A,8,C的

OO,再證明第四個(gè)頂點(diǎn)。也在。。上.

具體過程如下；

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步驟一、作出過A,B,C三點(diǎn)的OO.

如圖1,分別作出線段AB,BC的垂直平分線加，”，設(shè)它們的交點(diǎn)為。，以。為圓心，04的長為半徑

作O。.連接。4,OB,0C,

：.0A=0B,0B=0C(①).(填推理依據(jù))

J.OA^OB^OC.

:,點(diǎn)B,C在O。上.

步驟二、用反證法證明點(diǎn)。也在。。上.

假設(shè)點(diǎn)。不在O。上，則點(diǎn)。在O。內(nèi)或。。外.

i、如圖2,假設(shè)點(diǎn)。在。。內(nèi).

延長C。交。。于點(diǎn)。1,連接AD.

.?.ZB+ZDi=180°(②).(填推理依據(jù))

ZADC是的外角,

AZADC^ZDADi+ZDi(③).(填推理依據(jù))

ZADOZD1.

AZB+ZADO180°.

這與已知條件N3+NAOC=180°矛盾.

假設(shè)不成立.即點(diǎn)。不在O。內(nèi).

花、如圖3,假設(shè)點(diǎn)。在。。外.

設(shè)CD與。。交于點(diǎn)。2,連接AO2.

.?.ZB+ZAD2C=180°.

ZAD2C是△ADz。的外角，

ZAD2C=ZDAD2+ZADC.

：.ZADC<ZAD2C.

：.ZB+ZADC<180°.

這與已知條件/2+NAOC=180°矛盾.

假設(shè)不成立.即點(diǎn)。不在O。外.

綜上所述，點(diǎn)。在OO上.

.?.點(diǎn)A,B,C,。在同一個(gè)圓上.

閱讀上述材料，并解答問題：

(1)根據(jù)步驟一，補(bǔ)全圖1(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡)；

(2)填推理依據(jù)：①線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，②圓內(nèi)接四邊形的對(duì)

角互補(bǔ)，③三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

【分析】(1)根據(jù)作線段的垂直平分線的基本作法作圖;

(2)根據(jù)反證法的步驟進(jìn)行證明.

【解答】解：(1)如圖：OO即為所求；

第7頁共17頁

A

圖1

（2）步驟一、作出過A,B,C三點(diǎn)的O。.

如圖1,分別作出線段A8,8C的垂直平分線處n,設(shè)它們的交點(diǎn)為O,以。為圓心，OA的長為半徑

作00.連接OA,OB,OC,

J.OA^OB,0B=0C（線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等）.

；.0A=0B=0C.

:.點(diǎn)B,C在。。上.

步驟二、用反證法證明點(diǎn)。也在上.

假設(shè)點(diǎn)。不在O。上，則點(diǎn)。在O。內(nèi)或O。外.

i、如圖2,假設(shè)點(diǎn)。在。。內(nèi).

延長交O。于點(diǎn)。1,連接AO1.

.-.ZB+ZZ）i=180o（圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)）.

,/ZADC是的外角,

：.ZADC^ZDADi+ZDi（三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）.

ZADOZD1.

AZB+ZADO180°.

這與已知條件/3+/4￡^=180°矛盾.

假設(shè)不成立.即點(diǎn)。不在O。內(nèi).

ii、如圖3,假設(shè)點(diǎn)。在。。外.

設(shè)CD與O。交于點(diǎn)。2,連接AO2.

.?.ZB+ZAD2C=180°.

,/ZAD2C是△AD?。的外角，

ZADiC=ZDAD2+ZADC.

：.ZADC<ZAD2C.

AZB+ZADC<180°.

這與已知條件/8+/AOC=180°矛盾.

假設(shè)不成立.即點(diǎn)。不在。。外.

綜上所述，點(diǎn)。在OO上.

.?.點(diǎn)A,B,C,。在同一個(gè)圓上.

故答案為：①線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等；②圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；③三

角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反證法，掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)及有關(guān)圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.綜合與實(shí)踐

“善思”小組開展“探究四點(diǎn)共圓的條件”活動(dòng)，得出結(jié)論：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓.該小

組繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究.

提出問題：

如圖1,在線段AC同側(cè)有兩點(diǎn)8,D,連接A。，AB,BC,CD,如果那么A,B,C,。四

點(diǎn)在同一個(gè)圓上.

第8頁共17頁

探究展示：

如圖2,作經(jīng)過點(diǎn)A,C,。的O。，在劣弧AC上取一點(diǎn)E（不與A,C重合），連接AE,CE,則/

A￡C+ZD=180°（依據(jù)1）

:/B=/D

：.ZA￡C+ZB=180°

...點(diǎn)A,B,C,E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上（對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓）

...點(diǎn)2,。在點(diǎn)A,C,E所確定的O。上（依據(jù)2）

...點(diǎn)A,B,C,。四點(diǎn)在同一個(gè)圓上

反思?xì)w納：

（1）上述探究過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？

依據(jù)1：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；依據(jù)2：過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓.

（2）如圖3,在四邊形A8C。中，Z1=Z2,Z3=45°,則/4的度數(shù)為45°.

拓展探究：

（3）如圖4,已知△ABC是等腰三角形，A8=AC,點(diǎn)D在BC上（不與2C的中點(diǎn)重合），連接AD作

點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)E,連接班并延長交AD的延長線于R連接AE,DE.

①求證：A,D,B,￡四點(diǎn)共圓；

②若AB=2近,的值是否會(huì)發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請(qǐng)說明理由.

圖1圖2

【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、過三點(diǎn)的圓解答即可；

（2）根據(jù)四點(diǎn)共圓、圓周角定理解答；

（3）①根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到AE=AC,DE=DC,ZAEC=AACE,ZDEC=ZDCE,進(jìn)而得到/

AED=ZABC,證明結(jié)論；

②連接CR證明根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可.

【解答】（1）解：依據(jù)1：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；依據(jù)2：過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)

圓，

故答案為：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓；

（2）解:VZ1=Z2,

...點(diǎn)A,B,C,。四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，

.*.Z3=Z4,

第9頁共17頁

VZ3=45°,

；./4=45°,

故答案為:45°；

(3)①證明：'：AB^AC,

：.ZABC^ZACB,

:點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱，

：.AE^AC,DE=DC,

：.ZAEC^ZACE,ZDEC=ZDCE,

：./AED=ZACB,

：.ZAED=ZABC,

：.A,D,B,E四點(diǎn)共圓；

②解：的值不會(huì)發(fā)生變化，

理由如下：如圖4,連接CF,

:點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于AD對(duì)稱，

:.FE=FC,

:./FEC=/FCE,

：.ZFED=ZFCD,

VA,D,B,E四點(diǎn)共圓，

NFED=ZBAF,

:./BAF=NFCD,

：.A,B,F,C四點(diǎn)共圓，

NAFB=NACB=ZABC,

?；/BAD=NFAB,

：.△ABDs^AFB,

.AD=AB

,.而AF'

：.AD'AF=AB2=8.

圖4

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是四點(diǎn)共圓、相似三角形的判定和性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)，正確理解四點(diǎn)共圓的條件

是解題的關(guān)鍵.

如圖，已知四邊形ABC。是矩形，BC=4,AB>2,若CE=2,且點(diǎn)E在矩形A8CD的內(nèi)部，則/ABE的

取值范圍為60°.

AD

B

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【分析】以點(diǎn)C為圓心，CE長為半徑畫圓，當(dāng)3E與OC相切時(shí)，NCBE最大,此時(shí)NABE最小，這

時(shí)求出NC3E,即可解決問題.

【解答】解：以點(diǎn)C為圓心，CE長為半徑畫圓，

當(dāng)BE與。C相切時(shí)，/CBE最大,此時(shí)N4BE最小，

?半徑CE±BE,

：.smZCBE^—=—=—,

BC42

：.ZCBE^30°,

AZABE=90°-30°=60°,

:點(diǎn)E在矩形ABCD的內(nèi)部，

ZABE<90°,

.1.60°W/ABE<90°.

故答案為：60°^ZABE<9Q°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的性質(zhì)，三角函數(shù)定義，圓的性質(zhì)，關(guān)鍵是以點(diǎn)C為圓心，CE長為半徑畫圓,

判斷出BE與OC相切時(shí)NA8E最小.

5.如圖，已知矩形4BCD

（1）如圖①，請(qǐng)?jiān)诰匦蜛BC。的內(nèi)部或邊上畫出使/APB=45°的點(diǎn)P的軌跡;

（2）如圖②，請(qǐng)?jiān)诰匦蜛BCD的內(nèi)部或邊上畫出使/APB=90°的點(diǎn)P的軌跡;

（3）如圖③，請(qǐng)?jiān)诰匦蜛8CD的內(nèi)部或邊上畫出使/AP8=120°的點(diǎn)P的軌跡

圖①圖②圖③

【分析】（1）作等腰直角三角形AOB,使/AOB=90°,以。為圓心，為半徑畫圓即可;

（2）以為直徑作圓，則篇即為所求；

（3）作等腰△A02,使NAOB=120°,以。為圓心，。4為半徑畫圓，則忘即為所求.

【解答】解：（1）如圖，作等腰直角三角形A08,使/AO8=90°,以。為圓心，04為半徑畫圓,

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則PP'即為所求;

(3)如圖，作等腰△A08,使/AOB=120°,以。為圓心，為半徑畫圓，則窟即為所求(不與A、

2重合)；.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓周角與圓心角的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，軌跡問題，熟練掌握同弧所對(duì)的

圓周角相等是解題的關(guān)鍵._

6.如圖，在四邊形ABC。中，CD//AB,CB=4,AB=AC=AD=3,則BD的長為2芯.

【分析】以A為圓心，長為半徑作圓，延長A4交OA于R連接。？在△2。尸中，由勾股定理即

可求出BD的長

【解答】解：以A為圓心，長為半徑作圓，延長8A交OA于凡連接。尸.

'：AB=AC=AD=3,

：.D,C在圓A上，

■:DC//AB,

.?.弧。尸=弧左，

：.DF=CB=4,BF=AB+AF=2AB=6,

是04的直徑，

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：.ZFDB=90°,

BD={BF2-DF2=V20=2V5

故答案為：2A/^.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是作出以A為圓心，A3長為半徑的圓，構(gòu)建直角三角形，

從而求解.

7.如圖，在RtaABC中，ZABC=90°,BC=2,點(diǎn)。在AC邊上運(yùn)動(dòng)，將△BC。沿8。翻折，點(diǎn)C的

對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C',在點(diǎn)。從點(diǎn)C到點(diǎn)A的動(dòng)過程中，點(diǎn)C'運(yùn)動(dòng)的路徑長為2TT.

【分析】由題意可知點(diǎn)C'的運(yùn)動(dòng)軌跡是以2為圓心，BC為半徑的扇形，由此即可解決問題.

【解答】解：由題意可知點(diǎn)C'的運(yùn)動(dòng)軌跡是以8為圓心，BC為半徑的扇形，

當(dāng)點(diǎn)。從點(diǎn)C到點(diǎn)A的動(dòng)過程中，點(diǎn)C'運(yùn)動(dòng)的軌跡是扇形，扇形的圓心角為180。，

點(diǎn)C,運(yùn)動(dòng)的路徑長=也。兀2=2m,

180

故答案為：2TT.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查翻折變換，弧長公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找點(diǎn)C'的運(yùn)動(dòng)軌跡，屬于中考常

考題型.

8.如圖示，A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-2,0),(3,0)，點(diǎn)C在y軸上，且/AC8=45°,則點(diǎn)C的

【分析】在x軸的上方作等腰直角△ABF,FB=FA,ZBAF=90°,以尸為圓心，剛為半徑作。尸交y

軸于C,連接C2,CA.首先證明NACB=45°,根據(jù)尸。=至返，構(gòu)建方程即可解決問題.

2

【解答】解：在無軸的上方作等腰直角△A8RFB=FA,ZBAF=90°,以尸為圓心，剛為半徑作。F

交y軸于C,連接CB,CA.

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2

■:B(-2,0),A(3,0),是等腰直角三角形,

：.F(A,a),物=五2=尸0=殳！2,設(shè)C(0,m),

22_2

則（1）2+（7M--）--(返2,

222

解得771=6或-1（舍棄）

：.C（0,6）,

根據(jù)對(duì)稱性可知C（0,-6)也符合條件，

綜上所述，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,6)或(0,-6).

故答案為（0,6）或（0,-6).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用輔助圓解決問題，屬

于中考?？碱}型

9.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為（3,0）、（0,4）,點(diǎn)C是無軸正半軸上一點(diǎn)，連接

BC.過點(diǎn)A垂直于AB的直線與過點(diǎn)C垂直于BC的直線交于點(diǎn)D,連接BD,則sinZBDC的值是

1

【分析】作。軸于點(diǎn)E,設(shè)AO交BC于點(diǎn)尸，先證明導(dǎo)出相應(yīng)的條件以證明4

AFCsABFD,則再證明/A￡)E=N8OC=N8AO,由勾股定理求出AB的長，則sin

Nsin/BAO=絲=匹.

AB5

【解答】解：作無軸于點(diǎn)E,設(shè)AO交8C于點(diǎn)F，

VAD1AB,CDYBC,

：.ZBAF=ZDCF=90°,

'：ZAFB=ZCFD,

：.△AFBs^CFD,

.AF=BF

"CFDF'

.AF=CF

-，BFDF)

??ZAFC=NBFD,

：.△AFCs^BFD,

：.ZFAC=ZFBD,

VZAED=ZBCD=90°,

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AZADE^ZDAE=90°,ZBDC+ZDBC=90°,

???ZADE=ZBDC,

VZAED=ZBAD=90°,

；?NADE=900-ZDAE=ZBAO,

：.ZBDC=ZBAO,

TA、3坐標(biāo)分別為(3,0)、(0,4)