數學

（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第II卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合

題目要求的）

1.—2025的倒數是（）

A.-2025B.2025C.—D.--—

20252025

2.tern45。的值等于（）

A.2B.1c.涯D.-

23

3.華為最新款手機芯片“麒麟990”是一種微型處理器，每秒可進行100億次運算，它工作2022秒可進行的運

算次數用科學記數法表示為（）

A.0.2022X1014B.20.22x1012C.2.022X1013D.2.022x1014

4.在以下綠色食品、回收、節能、節水四個標志中，是軸對稱圖形的是（）

5.如圖,是一個正方體截去一個角后得到的幾何體，則該幾何體的左視圖是（)

6.設6-VIU的整數部分為小數部分為6，則（2a+的值是（）

A.6B.2V10C.12D.9710

7.已知｛；二2是二元一次方程組｛北?'京；:8的解，貝屹巾-n的算術平方根為（）

A.±2B.V2C.2D.4

8.如果點P（m,l+2m）在第三象限內，那么根的取值范圍是（）

111

A.—<m<0B.m>—C.m<0D.m<—

222

9.如圖，正比例函數y=左6與反比例函數y=晟的圖像交于

/（1,租）、8兩點，當七%工引寸，x的取值范圍是（）

A.-1<%<0或久>1B.x<—1或0<%<1

C.x<—1或％>1D.-1<x<0或0<%41

10.如圖，拋物線y=a/++。的對稱軸是％=1.下列結論：①

abc>0；②力2—4ac>0；③8a+c<0；④5a+b+2c>0,正確的有（)

第n卷（非選擇題共90分）

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分，直接填寫答案.）

11.單項式3%y的系數為.

12.若分式旦有意義，貝卜的取值范圍是.

X-2

13.有甲、乙兩組數據，如表所示：

甲1112131415

乙1212131414

甲、乙兩組數據的方差分別為s甲2,s乙2,貝心用2s,2（填“>”，“<，，或“=.

14.點4（占,乂）,3（%2，%）在一次函數y=（a-2）X+1的圖像上，當％1>久2時，71<

火，貝1J。的取值范圍是.

15.如圖，ZL4BC中，D為BC的中點，E是4D上一點，連接班并延長交力C于F,BE=AC,且BF=9,

CF=6,那么AF的長度為.

16.我國古代數學的許多發現都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”（如圖）就是一例.這個三角形給出了（

a+b）n（n=l,2,3,4,5,6）的展開式的系數規律.例如，在三角形中第三行的三個數1,2,1,恰好對

應（a+b）2=a?+2ab+b2展開式中各項的系數；第四行的四個數1,3,3,1,恰好對應著（a+b）3=a3+3a2b+3ab

2+b3展開式中各項的系數，等等.

有如下四個結論：

①（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；

②當a=-2,b=l時，代數式a3+3a2b+3ab2+b3的值是-1；

③當代數式a，+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的值是0時，一定是a=-l,b=l；

④（a+b）n的展開式中的各項系數之和為2n.

上述結論中，正確的有（寫出序號即可）.

三、解答題（本大題共個8小題，共72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

2x>x—1,①

17.（6分）解不等式組

,x+1W3.②

請結合題意填空，完成本題的解答.

（1）解不等式①，得;

（2）解不等式②，得；

（3）把不等式①和②的解集在數軸上表示出來:

-2-10123

（4）原不等式組的解集為.

18.（6分）先化簡，再求值：。+力）+會，其中久=百+2.

19.（6分）某中學積極落實國家“雙減”教育政策，決定增設“禮儀”“陶藝”“園藝”“廚藝”及“編程”等五門校本

課程以提升課后服務質量，促進學生全面健康發展為優化師資配備，學校面向七年級參與課后服務的部分學

生開展了“你選修哪門課程（要求必須選修一門且只能選修一門）？”的隨機問卷調查，并根據調查數據繪制

了如下兩幅不完整的統計圖：

請結合上述信息，

（1）共有一名學生參與了本次問卷調查；“陶藝”在扇形統計圖中所對應的圓心角是—度；

（2）補全調查結果條形統計圖；

（3）小剛和小強分別從“禮儀”等五門校本課程中任選一門，請用列表法或畫樹狀圖法求出兩人恰好選到同一門

課程的概率.

20.（10分）如圖，小文在數學綜合實踐活動中，利用所學的數學知識測量居民樓的高度4B,在居民樓前

方有一斜坡，坡長CD=15m,斜坡的傾斜角為a,cosa=*?小文在C點處測得樓頂端4的仰角為60°，在。

點處測得樓頂端4的仰角為30°（點4B,C,。在同一平面內）.

（1）求C,D兩點的iW］度差；

（2）求居民樓的高度AB.（結果精確至打小，參考數據：百~1.7）

21.（10分）如圖，在RJABC中，乙4cB=90。，以BC為直徑作。0,交力B邊于點D,在曲上取一點

E,使靛=/，連接DE,作射線CE交2B邊于點F.

⑴求證：ZA=4CF;

（2）若4C=8,cosZ.ACF=求M及DE的長.

22.（10分）某商店購進了一種消毒用品，進價為每件8元，在銷售過程中發現，每天的銷售量y（件）與每

件售價x（元）之間存在一次函數關系（其中8SE15,且x為整數）.當每件消毒用品售價為9元時，每天的

銷售量為105件；當每件消毒用品售價為11元時，每天的銷售量為95件.

（1）求y與x之間的函數關系式.

（2）若該商店銷售這種消毒用品每天獲得425元的利潤，則每件消毒用品的售價為多少元？

（3）設該商店銷售這種消毒用品每天獲利w（元），當每件消毒用品的售價為多少元時，每天的銷售利潤最大

?最大利潤是多少元？

23.（11分）如圖，拋物線y=a（%-2）2+3Q為常數且亞0）與y軸交于點A（0,|）.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若直線y=fcv+|（原0）與拋物線有兩個交點，交點的橫坐標分別為犯，尤2,當X/2+尤22=10時，求屈勺值

（3）當-4V立利時，y有最大值不-,求機的值.

24.（13分）在矩形中，點E是射線上一動點，連接AE,過點B作1AE于點G,交直線

CD于點尸.

(1)當矩形力BCD是正方形時，以點尸為直角頂點在正方形4BCD的外部作等腰直角三角形CFH,連接EH.

①如圖1,若點E在線段BC上，則線段4E與EH之間的數量關系是,位置關系是;

②如圖2,若點E在線段

BC的延長線上，①中的結論還成立嗎？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由；

(2)如圖3,若點E在線段BC上，以8E和跳'為鄰邊作回BEHF,〃是8"中點，連接GM,AB=3,BC=

2,求GM的最小值.

數學?全解全析

第I卷

12345678910

DBCABACDAB

一、選擇題（本大題共10小題,每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合

題目要求的）

1.（本題3分）-2025的倒數是（）

A.-2025B.2025C-^―D......-

-2025-2025

【答案】D

【分析】直接利用倒數的定義，即若兩個不為零的數的積為1,則這兩個數互為倒數，即可求解.

【詳解】解：—2025的倒I數是一短，

故選：D.

【點睛】本題考查了倒數的定義，熟練掌握和運用倒數的求法是解決本題的關鍵.

2.（本題3分）tcm45。的值等于（）

A.2B.1C.—D.在

23

【答案】B

【分析】根據三角函數定義：正切=對邊與鄰邊之比，進行求解.

【詳解】作一個直角三角形，ZC=90°,ZA=45°,如圖：

CA

：.ZB=90°-45°=45°,

.?.△ABC是等腰三角形，AC=BC,

.,.根據正切定義，=

ZA=45°,

tan45°-1,

故選B.

【點睛】本題考查了三角函數，熟練理解三角函數的定義是解題關鍵.

3.（本題3分）華為最新款手機芯片“麒麟990”是一種微型處理器，每秒可進行100億次運算，它工作2022秒

可進行的運算次數用科學記數法表示為（）

A.0.2022X1014B.20.22x1012C.2.022X1013D.2.022X1014

【答案】C

【分析】科學記數法的表示形式為aX

10"的形式，其中上同＜10,〃為整數.確定w的值時，要看把原數變成。時，小數點移動了多少位，〃的值與小

數點移動的位數相同，題中：1億=10%

【詳解】解：100億=101°,IO10X2022=2.022X1013,

故選：C.

【點睛】本題考查科學記數法的表示方法，關鍵要正確確定。的值以及〃的值.

4.（本題3分）在以下綠色食品、回收、節能、節水四個標志中，是軸對稱圖形的是（）

【答案】A

【分析】根據軸對稱圖形的概念求解.如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做

軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸.

【詳解】A.是軸對稱圖形，故A符合題意；

B.不是軸對稱圖形，故B不符合題意；

C.不是軸對稱圖形，故C不符合題意；

D.是軸對稱圖形，故D不符合題意.

故選：A.

【點睛】本題主要考查軸對稱圖形的知識點.確定軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重

合.

5.（本題3分）如圖，是一個正方體截去一個角后得到的幾何體，則該幾何體的左視圖是（）

【答案】A

【分析】根據左視圖是從左面看到的圖形判定則可.

【詳解】解：從左邊看，可得如下圖形：

故選：A.

【點睛】本題考查三視圖、熟練掌握三視圖的定義是解決問題的關鍵.

6.（本題3分）設6-VIU的整數部分為。，小數部分為6,則（2a+VIU）b的值是（）

A.6B.2V10C.12D.9^10

【答案】A

【分析】首先根據VTU的整數部分可確定a的值，進而確定b的值，然后將a與

b的值代入計算即可得到所求代數式的值.

【詳解】<V10<4，

.*?2<6-V10<3>

?'-6—VTU的整數部分a=2,

二小數部分6=6-V10-2=4-V10，

/.（2a+V10）h=（2X2+V10）（4-V10）=（4+V10）（4-V10）=16-10=6.

故選：A.

【點睛】本題考查了二次根式的運算，正確確定6-VTU的整數部分a與小數部分b的值是解題關鍵.

7.（本題3分）已知廣=2是二元一次方程組｛爪"+"'=8的解，貝屹爪-n的算術平方根為（）

y=1nx—my_

A.±2B.V2C.2D.4

【答案】C

【分析】把x與y的值代入方程組求出山與〃的值，即可求出所求.

【詳解】??.{”=2是二元一次方程組{爪久*叮=8的解，

Ly=lmx—my=^

,.2m4-幾=8

*—m=］，

解得嚴=3

n=2

V2m—n=V2x3—2=V4=2

即27n-九的算術平方根為2

故選C.

【點睛】此題考查了解二元一次方程組，以及算術平方根，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

8.（本題3分）如果點尸（m,l+2m）在第三象限內，那么根的取值范圍是（）

A.--<m<0B.m>--C.m<0D.m<

222

【答案】D

【分析】根據第三象限點的特征，橫縱坐標都為負，列出一元一次不等式組，進而即可求解.

【詳解】解：???點尸（m,l+2m）在第三象限內，

.（m<0①

11+2m<0②

解不等式①得：m<0,

解不等式②得：相<-彳，

.?.不等式組的解集為：，"<-,，

2

故選D.

【點睛】本題考查了第三象限的點的坐標特征，一元一次不等式組的應用，掌握各象限點的坐標特征是解題

的關鍵.

9.（本題3分）如圖，正比例函數y=七久與反比例函數丫=個的圖像交于4（1,爪）、8兩點,當kjxW

”時，x的取值范圍是（）

X

C.x<-1或x>1D.-1<%<0或0<%W1

【答案】A

【分析】先根據反比例函數圖像的對稱點求出點B的坐標，然后根據

”的解集即為反比例函數在一次函數上方的部分可得答案.

X

【詳解】解析：???正比例函數y=gx與反比例函數y=年的圖像交于4（1,?、B兩點,

8（—L—7H）,

由圖像可知，當ZqxW與時，x的取值范圍是一1<久<0或xNl,

故選：A.

【點睛】本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，根據反比例函數的對稱性得出點

B的坐標的坐標是解本題的關鍵.

10.（本題3分）如圖，拋物線y=a/+b*+c的對稱軸是％=1.下列結論：①abc>0；?b2—4ac>

0；③8a+c<0；④5a+6+2c>0,正確的有（）

【分析】由拋物線的性質和對稱軸是久=

1，分別判斷a、b、c的符號，即可判斷①；拋物線與x軸有兩個交點，可判斷②；由》=-2b=1,得力=

2a

—2a,令x=—2,求函數值，即可判斷③；令尤=2時，貝I]y=4a+26+c>0,令x=—1時，y=a-b+c>

0,即可判斷④；然后得到答案.

【詳解】解：根據題意，貝Ua<0,O0,

Vx=-A=1,

2a

b=-2a>0,

.\abc<0,故①錯誤；

由拋物線與X軸有兩個交點，則b2—4ac>0,故②正確；

b=-2a,

令％=-2時，y=4a-2b+c<0,

：.8a+c<0,故③正確；

在y=ax2+6%+c中，

令x=2時，貝!]y=4a+26+c>0,

令x=-1時,y=a-6+c>0,

由兩式相加，得5a+b+2c>0,故④正確；

...正確的結論有：②③④，共3個；

故選：B.

【點睛】本題考查了二次函數的圖像和性質，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的性質，熟練判斷各個式子的

符號.

第n卷（非選擇題共90分）

三、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分，直接填寫答案.）

11.（本題3分）單項式3xy的系數為.

【答案】3

【分析】單項式中數字因數叫做單項式的系數，從而可得出答案.

【詳解】3孫的系數是3,

故答案為：3.

【點睛】此題考查了單項式的知識，解答本題的關鍵是掌握單項式系數的定義.

12.(本題3分)若分式立亙有意義，貝卜的取值范圍是.

X—2

【答案】%>一3且xH2//2且近-3

【分析】根據分式有意義的條件x-270,二次根式有意義的條件x+3>0解題即可.

【詳解】解：由題意得解得｛jJt'即“2—3且無力2

故答案為：x2-3且x72.

【點睛】本題考查分式有意義的條件、二次根式有意義的條件，是基礎考點，掌握相關知識是解題關鍵.

13.(本題3分)有甲、乙兩組數據，如表所示：

甲1112131415

乙1212131414

甲、乙兩組數據的方差分別為乙2,貝人用2S聲(填“>，，，“<”或“=.

【答案】>

【分析】根據甲、乙兩組數據分別求出甲、乙的平均數，然后再利用方差公式進行求解比較即可.

【詳解】解：由題意得：

—11+12+13+14+15re—12+12+13+14+14”

x甲=--13,x乙~—=13,

.[(11-13)2+(12-13)2+(13-13)2+(14-13)2+(15-13)2]3

?*s甲7=-=2,

7[(12—13)2+(12-13)2+(13—13)2+(14—13)2+(14—13)2]4

乙55

?C2>q2

?甲，》乙；

故答案為>.

【點睛】本題主要考查平均數及方差，熟練掌握平均數及方差的計算是解題的關鍵.

14.(本題3分)如圖，AABC^,。為BC的中點，E是4。上一點，連接BE并延長交4C于F,BE=AC,且

BF=9,CF=6,那么AF的長度為

【分析】延長40至G使20=DG,連接BG,得出44CDw/G8。,得出2C=BG=BE,所以得出

44EF是等腰三角形，根據已知線段長度建立等量關系計算.

【詳解】

如圖：延長4。至G使/。=0G,連接BG

CD=BD

在A4C。和4GBD中：ZADC=NBDG

AD=DG

：.AACD=AGBD

ZCAD=ZG,AC^BG

9：BE=AC

：.BE=BG

NG=/BEG

NBEG=ZAEF

???ZAEF=ZEAF

：.EF=AF

：.AF+CF=BF—EF

即ZF+6=9—EF

：.AF=-

2

【點睛】倍長中線是常見的輔助線、全等中相關的角的代換是解決本題的關鍵.

15.（本題3分）點^（石,%）,*%,%）在一次函數y=Q-2）%+1的圖像上，當％i>%2時，71<

丫2，則〃的取值范圍是.

【答案】〃〈2

【分析】根據一次函數的性質，建立不等式計算即可.

【詳解】???當％i>%2時，yi<y2?

：.a-2<0f

故答案為：a<2.

【點睛】本題考查了一次函數的性質，熟練掌握性質是解題的關鍵.

16.（本題3分）我國古代數學的許多發現都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”（如圖）就是一例.這個三

角形給出了（a+b）n（n=l,2,3,4,5,6）的展開式的系數規律.例如，在三角形中第三行的三個數1,2

,1,恰好對應（a+b）2=a?+2ab+b2展開式中各項的系數；第四行的四個數1,3,3,1,恰好對應著（a+b）3

=a3+3a2b+3ab?+b3展開式中各項的系數，等等.

有如下四個結論：

①（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；

②當a=-2,b=l時，代數式a3+3a2b+3ab2+b3的值是-1；

③當代數式a，+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的值是0時，一定是a=-l,b=l；

④（a+b）。的展開式中的各項系數之和為2n.

上述結論中，正確的有(寫出序號即可).

【答案】①②

【分析】根據題中舉例說明，明確楊輝三角的與(a+6產的展開式的系數間的對應關系，據此逐項分析.

【詳解】解：；在楊輝三角形中第三行的三個數1，2,1,恰好對應(。+6)2=.2+2帥+匕2展開式中各項

的系數；第四行的四個數1,3,3,1,恰好對應著(a+辦尸=(j3+3a2b+3a/?2+

川展開式中各項的系數，等等

.??在楊輝三角形中第n行的n個數，對應(a+。產-】展開式中各項的系數，

①：(a+b)5展開式中各項的系數，為楊輝三角形中第6行的6個數，

(a+b)5=a5+5a%+10a3Z>2+10a2/?3+5ab4+b5；

②：a3+3a2b+3ab2+廬各項系數對應楊輝三角中的第4行的4個數，

.".a3+3a2b+3ab2+￡>3=(a+b)3,

當a=-2,b=1時，代數式=(-2+I)3=-1；

③：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+〃各項系數對應楊輝三角中的第5行的5個數，

/.a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4=(a+b)3

當代數式時，a+b=0,不一定是a=—l,b=l；

④???當a=1,6=1時，展開式各項之和便是系數之和，

...(a+切”的展開式中的各項系數之和為(1+l)n=2n,

故答案為：①②.

【點睛】本題考查了合情推理，由具體舉例推廣到一般情況下楊輝三角與展開式的系數之間的對應規律，是

解題的關鍵.

四、解答題(本大題共個8小題，共72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

17.(本題6分)解不等式組2"—1'①

I久+1W3.②

請結合題意填空，完成本題的解答.

⑴解不等式①，得;

(2)解不等式②，得；

(3)把不等式①和②的解集在數軸上表示出來：

I||||??

-2-10123

(4)原不等式組的解集為.

【答案】⑴%2-1

(2)x<2

⑶見解析

(4)-1<%<2

【分析】(1)通過移項、合并同類項直接求出結果;

(2)通過移項直接求出結果；

(3)根據在數軸上表示解集的方法求解即可；

(4)根據數軸得出原不等式組的解集.

【詳解】(1)解：移項得：2x—1

解得：%>-1

故答案為：%>-1:

(2)移項得：%<3-1,

解得：x<2,

故答案為：%<2：

(3)把不等式①和②的解集在數軸上表示出來：

-2-10123

(4)所以原不等式組的解集為：—1WXW2,

故答案為：—1WxW2.

【點睛】本題考查解一元一次不等式組，熟練掌握解一元一次不等式組的一般步驟是解題的關鍵.

18.(本題6分)先化簡，再求值：。+￡)+會，其中％=遮+2.

【答案】吃，叵

X-23

【分析】利用分式的混合運算法則，結合因式分解化簡原式，再代值求解即可.

【詳解】解：fi+—

Vx-27x-2

(x-2+4).(x+2)(x-2)

\x—2X—2/X—2

1

=f

x-2

當x=遮+2時,

-3

【點睛】本題考查分式的化簡求值、分母有理化，熟練掌握分式的混合運算法則并正確計算是解答的關鍵.

19.(本題6分)某中學積極落實國家“雙減”教育政策，決定增設“禮儀”“陶藝”“園藝”“廚藝”及“編程”等五門校

本課程以提升課后服務質量，促進學生全面健康發展為優化師資配備，學校面向七年級參與課后服務的部分

學生開展了“你選修哪門課程(要求必須選修一門且只能選修一門)？”的隨機問卷調查，并根據調查數據繪

制了如下兩幅不完整的統計圖：

調查結果的條形統計圖調查結果的扇形統計圖

禮儀陶藝園藝廚藝編程課程

請結合上述信息，解答下列問題:

(1)共有一名學生參與了本次問卷調查；“陶藝”在扇形統計圖中所對應的圓心角是一度；

(2)補全調查結果條形統計圖；

(3)小剛和小強分別從“禮儀”等五門校本課程中任選一門，請用列表法或畫樹狀圖法求出兩人恰好選到同一門

課程的概率.

【答案】(1)120,99

⑵見解析

熊

【分析】(1)由選修“禮儀”的學生人數除以所占百分比得出參與了本次問卷調查的學生人數，即可解決問題

(2)求出選修“廚藝”和“園藝”的學生人數，即可解決問題；

(3)畫樹狀圖，共有25種等可能的結果，其中小剛和小強兩人恰好選到同一門課程的結果有5種，再由概率

公式求解即可.

【詳解】(1)解：參與了本次問卷調查的學生人數為：30^25%=120(名)，

則“陶藝”在扇形統計圖中所對應的圓心角為：360°X—=99°,

120

故答案為：120,99；

(2)解：條形統計圖中，選修“廚藝”的學生人數為：120x^=18(名)，

則選修“園藝”的學生人數為：120-30-33-18-15=24(:名)，

補全條形統計圖如下：

(3)解:把“禮儀”“陶藝”“園藝”“廚藝”及“編程”等五門校本課程分別記為4、B、C、D、E,

畫樹狀圖如下：

開始

ABCDE

共有25種等可能的結果，其中小剛和小強兩人恰好選到同一門課程的結果有5種，

???小剛和小強兩人恰好選到同一門課程的概率為3=：.

255

【點睛】本題考查的是用樹狀圖法求概率以及條形統計圖和扇形統計圖.樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出

所有可能的結果，適合兩步或兩步以上完成的事件.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.

20.(本題10分)如圖，小文在數學綜合實踐活動中，利用所學的數學知識測量居民樓的高度4B,在居民樓

前方有一斜坡，坡長CD=15m,斜坡的傾斜角為a,cosa=：小文在C點處測得樓頂端4的仰角為60°,在D

點處測得樓頂端4的仰角為30。(點4B,C,。在同一平面內).

A

□□

□□

□□

□□

□□

□□

⑴求C，。兩點的高度差;

(2)求居民樓的高度48.(結果精確到1小，參考數據：V3?1.7)

【答案】⑴9m

(2)24m

【分析】(1)過點。作。E1BC,交2C的延長線于點E,在Rt^DCE中，可得CE=CD?=15x：=

12(m),再利用勾股定理可求出DE,即可得出答案.

(2)過點。作DF14B于F,設4尸=久加，在中人4。F中，ttm30。=竺=三=漁，解得。尸=百力在

KLADFDF3

Rt"4BC中，XB=(%+9)m,BC-(V3x-12)m,tan6(T=霹=募］=同求出％的值，即可得出答案.

【詳解】(1)解：過點。作DE1BC,交BC的延長線于點E,

a

□□

□□

□□

□□

□□

□□□—

60a

-LE

..4

a

??,在RQDCE中，cos—pCD=15m,

??.CE=CD-=15x-=12(m).

DE=yJCD2-CE2=V152-122=9(m).

答：C,。兩點的高度差為9nl.

(2)過點。作DF14B于尸，

由題意可得8F=DE,DF=BE,

設4F=xm,

在RtA?WF中，f/ADF=tan30°=貨=二=包,

KIAtanDFDF3

解得。F=V3x，

在RtzkABC中，AB=AF+FB=AF+DEQx+9)m,BC=BE-CEDF-CE=(V3x-12)m,

tan60°=BC-V3x-i2-VJ,

解得X=6V3+I，

XS=6V3+1+9?24(m).

答：居民樓的高度AB約為24nl.

【點睛】本題考查解直角三角形的應用-仰角俯角問題、坡度坡角問題，熟練掌握銳角三角函數的定義是解答

本題的關鍵.

21.(本題10分)如圖，在Rt^ABC中，^ACB=90°,以BC為直徑作。0,交4B邊于點D,在曲上取一點

⑴求證：ZA=ZACF-,

(2)若4C=8,cos/.ACF=求BF及DE的長.

【答案】(1)見解析

42

⑵BF=5,DE

【分析】(1)根據Rt^ABC中，^ACB=90°,得至U/A+/B=NACE+NBCF=90。，根據翁=

CD，得至(推出NA=N4CF；

(2)MZB=ZBCF,ZA^ZACF,得至IJAF=CRBF=CF,^ihAF=BF=-AB,^^cos^ACFcosA

*=g4c=8,得到48=10,得到“=5,根據BC=辦5一4c2=6,得至Us出4=器=

AB5AB

I，連接CD,根據8c是。。的直徑，得到/BOC=90。，推出NB+/8CO=90。，推出/A=/BC。，得到

BD31Q

sinZBCD=——=一，推出=三，得到DF=8F—8。=

BC55

根據/E￡)E=/BCE,/B=NBCE,得到/"比二/9推出。E〃BC,得到△尸SAFBC推出竺=",

5DE,BCBF

得到DE=g.

【詳解】⑴解：?.?Rt/8C中，4cB=90。，

ZA+ZB=ZACF+ZBCF=90°,

'-BE=&，

：?/B=/BCF,

：.ZA=ZACF；

(2)VZB=ZBCF,ZA=ZACF

；?AF=CF,BF=CF,

：.AF=BF=-AB,

2

ArA.

*.*cosACF=cosA=——=一，AC=8,

AB5

：.BF=5,

'-'BC=y/AB2-AC2=6^

...BC3

??SITIA———,

AB5

連接CD???3C是。。的直徑,

：.ZBDC=90°,

：.ZB+ZBCD=90°f

：.ZA=ZBCD,

28=底

7

：.DF=BF-BD=g

'：ZFDE=ZBCE,/B=NBCE,

；.NFDE=NB,

J.DE//BC,

△FDEsxFBC,

.DEDF

<?=,

BCBF

：.DE=—42

25

【點睛】本題主要考查了圓周角，解直角三角形，勾股定理，相似三角形，解決問題的關鍵是熟練掌握圓周

角定理及推論，運用勾股定理和正弦余弦解直角三角形，相似三角形的判定和性質.

22.（本題10分）某商店購進了一種消毒用品，進價為每件8元，在銷售過程中發現，每天的銷售量y（件）

與每件售價x（元）之間存在一次函數關系（其中8區15,且尤為整數）.當每件消毒用品售價為9元時，每天

的銷售量為105件；當每件消毒用品售價為11元時，每天的銷售量為95件.

（1）求y與x之間的函數關系式.

（2）若該商店銷售這種消毒用品每天獲得425元的利潤，則每件消毒用品的售價為多少元？

（3）設該商店銷售這種消毒用品每天獲利w（元），當每件消毒用品的售價為多少元時，每天的銷售利潤最大？

最大利潤是多少元？

【答案】⑴y=-5x+150

⑵13

（3）每件消毒用品的售價為15元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是525元.

【分析】（1）根據給定的數據，利用待定系數法即可求出y與x之間的函數關系式；

（2）根據每件的銷售利潤x每天的銷售量=425,解一元二次方程即可；

（3）利用銷售該消毒用品每天的銷售利潤=每件的銷售利潤x每天的銷售量，即可得出w關于x的函數關系式，

再利用二次函數的性質即可解決最值問題.

【詳解】（1）解：設y與x之間的函數關系式為y=kx+b（kR0）,根據題意得：

篙甘；嚷,解得:產丸，

lll/c+b=95S=150

???y與%之間的函數關系式為y=-5%+150；

(2)解：(-5x+150)(x-8)=425,

整理得：x2-38%+345=0,

x

解得：i=13,x2=25,

V8<x<15,

若該商店銷售這種消毒用品每天獲得425元的利潤，則每件消毒用品的售價為13元;

(3)解：根據題意得：w-y(x-8)=(-5%+150)(x-8)

=-5x2+190x-1200

V8<x<15,且x為整數，

當x<19時，卬隨x的增大而增大，

??.當產15時，w有最大值，最大值為525.

答：每件消毒用品的售價為15元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是525元.

【點睛】本題考查了待定系數法求一次函數解析式以及二次函數的應用，解題的關鍵是找準題目的等量關系

a(x-2)2+3(〃為常數且〃加)與y軸交于點A(0,|).

(2)若直線了=日+|(厚0)與拋物線有兩個交點，交點的橫坐標分別為尤/,X2,當用2+垃2=10時，求左的值;

當爛根時，有最大值手，求機的值.

(3)-4<y

【答案】(l)y=—(%—2/+3；(2)七=2,七=-,；(3)?71=—或-.

334

【分析】(I)把力(0,|)代入拋物線的解析式，解方程求解即可；

(2)聯立兩個函數的解析式，消去％得：―久%-2尸+3=依+|,再利用根與系數的關系與好+據=

(%!+x2y