二次函數專項訓練-2025年中考數學一輪復習

選擇題（共6小題）

1.（2024?吉林一模）某數學興趣小組借助數學軟件探究函數y=a/（x-6）的圖象，輸入了一組a,

b的值，得到了它的函數圖象如圖所示,借助學習函數的經驗，可以推斷輸入的a,6的值滿足（）

A.a<0,￡><0B.a>0,b<0C.a<0,b>0D.a>0,b>0

2.（2024?中山市校級三模）把拋物線y=-f+1向左平移1個單位，然后向上平移3個單位，則平

移后拋物線的解析式為（）

A.y--（x+3）2+1B.y=-（無+1）2+3

C.-（尤-1）2+4D.y=-（x+1）2+4

3.（2024?西安校級模擬）已知拋物線〉=0?一2"+6,（a<0）的圖象上三個點的坐標分別為A（xi,

yi）,B（x2,j2）,C（L*），若xi<l<尤2,XI+X2<2,則yi,yi,"的大小關系為（）

A.y3<yi<y2B.y2<yi<y3C.y3<y2<yiD.yi<y2<y3

4.（2024?西湖區一模）在平面直角坐標系中，已知一次函數》=以+。（aWO,a,b是常數）的圖象

經過點P（-2,0）,且與y軸正半軸相交，則二次函數y=a?+公+1的圖象可能是（）

5.（2024?吉安一模）如圖是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當水面寬4米時，拱頂（拱橋洞的最

高點）離水面2米，水面下降2.5米時，水面的寬度為米.（）

6.（2024?金沙縣一模）二次函數>=蘇+灰+。（°力0）的圖象如圖所示，對稱軸是直線尤=1,下列

結論：

①2a+6=0；②abc<0；③9a+3b+c>0；④3a+c<0；⑤若niWl,則“z（awi+6）-a<b.其中正確

的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

二.填空題（共8小題）

7.（2024?南崗區校級二模）拋物線y=（x-1）2的頂點坐標是.

8.（2024?柳州一模）已知二次函數y=/-4x+2,當-1WXW3時，y的取值范圍內是.

9.（2024?涼州區一模）已知尸（xi,1）,Q（g1）兩點都在拋物線y=/-3x+l上，那么尤1+尤2

10.（2024?南通一模）某種型號的小型無人機著陸后滑行的距離S（米）關于滑行的時間t（秒）的

函數解析式是S=-0.25P+103無人機著陸后滑行秒才能停下來.

11.（2024?化德縣校級模擬）如圖，拋物線y=-/+6x+c交y軸于點（0,5）,對稱軸為直線x=

-2,若y》5,則x的取值范圍是.

12.(2024?淮北三模)拋物線40r經過原點，且與x軸的正半軸交于點A,頂點C的坐標

為(2,-4).

(1)a的值為；

(2)若點尸為拋物線上一動點，其橫坐標為K作PQL無軸，且點。位于一次函數y=x-4的圖

象上.當f<4時，的長度隨f的增大而增大，貝h的取值范圍是.

13.(2024?歷下區校級模擬)如圖，拋物線Ci的解析式為y=-x2+4,將拋物線繞點。順時針旋轉

45°得到圖形G,圖形G分別與y軸、x軸正半軸交于點A、B,連接AB,則△OA8的面積

為

14.(2024?瓦房店市模擬)如圖，拋物線尤軸交于A,2兩點，與y軸交于點C,

3

連接AC,點N在y軸負半軸上，點A繞點N順時針旋轉，恰好落在第四象限的拋物線上點〃處,

且NAM0+NACM=18O°,則點M的坐標是

三.解答題(共6小題)

15.(2024?房山區一模)在平面直角坐標系xOy中，A(xi,yi),B(%2,”)是拋物線y=W-lax+a2

-2上任意兩點.

(1)當〃=1時，求拋物線與y軸的交點坐標及頂點坐標；

(2)若對于o〈x,<工，—<Xo<1>都有yi>”，求。的取值范圍.

1222

16.(2024?武威一模)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=a/+法-5(aWO)交無軸于A,C

兩點，交y軸于點2,50A=0B=0C

(1)求此拋物線的表達式；

(2)已知拋物線的對稱軸上存在一點M,使得的周長最小，請求出點〃的坐標；

(3)連接BC,點P是線段8c上一點，過點P作y軸的平行線交拋物線于點Q,求當四邊形OBQP

為平行四邊形時點尸的坐標.

17.(2024?荊州二模)施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道，其最高點尸距離地面高度為

8米，寬度為16米.現以點。為原點，所在直線為x軸建立直角坐標系(如圖1所示).

并寫出自變量x的取值范圍;

(2)隧道下的公路是單向雙車道，車輛并行時，安全平行間距為2米，該雙車道能否同時并行兩

輛寬2.5米、高5米的特種車輛？請通過計算說明；

(3)施工隊計劃在隧道門口搭建一個矩形“腳手架”ABC。，使點A,。在拋物線上.點8,C在

地面線上(如圖2所示).為了籌備材料，需測算“腳手架”三根鋼桿AB,AD,OC的長度

之和的最大值是多少，請你幫施工隊計算一下.

18.(2024?息烽縣一模)小明和小亮參加了一次籃球比賽，籃球傳出后的運動路線為如圖所示的拋

物線，以小明站立的位置為原點。建立平面直角坐標系，籃球在。點正上方1.8機的點P處出手,

籃球的高度y(m)與水平距離x(m)之間滿足函數表達式y=Wx2+x+c.

8

(1)求c的值；

(2)求籃球在運動過程中離地面的最大高度；

(3)小明傳球給小亮，小亮手舉過頭頂在對方球員后方接球，已知小亮跳起后，手離地面的最大

高度為BC=2.8m,則球在下落過程中，若小亮要想順利接住球，求他至少距離小明多遠的距離.

19.（2024?懷遠縣一模）如圖1,已知直線＞=-尤+5與坐標軸相交于4、8,點C坐標是（-1,0）,

拋物線經過A、B、C三點.點尸是拋物線上的一點，過點尸作y軸的平行線，與直線AB交于點

D,與x軸相交于點尸.

（1）求拋物線的解析式;

（2）當點尸在第一象限時，連接CP交OA于點E,連接ER如圖2所示.

①求AE+。尸的值;

②設四邊形AEEB的面積為S,則點尸在運動過程中是否存在面積S的最大值，若存在，請求出此

已知拋物線y=^+bx+c與x軸相交于A

(2,0）,B（-2,0）兩點，與y軸相交于點C,〃為第四象限的拋物線上一動點.

(1)求拋物線的函數表達式;

(2)連接BC,CM和AM,當四邊形的面積為9時，求點〃的坐標;

(3)請完成以下探究.

【動手操作】作直線OM，交拋物線于另一點N,過點C作y軸的垂線，分別交直線AM,直線

BN于點、D,E.

【猜想證明】隨著點M的運動，線段。E的長是否為定值？若是，請直接寫出該定值并證明；若

不是，請說明理由.

二次函數專項訓練-2025年中考數學一輪復習

參考答案與試題解析

選擇題(共6小題)

1.(2024?吉林一模)某數學興趣小組借助數學軟件探究函數y=a?Qx-b)的圖象，輸入了一組a,

b的值，得到了它的函數圖象如圖所示,借助學習函數的經驗，可以推斷輸入的a,6的值滿足()

A.aVO,b<0B.a>0,b<0C.a<0,b>0D.a>0,b>0

【解答］解：令(x-Z?)=0,

解得，x=0或％=/?,

由圖象可知，

當x〈0時，x-b<0,y=ax2(x-/?)<0,

?\a>0,

故選：D.

2.(2024?中山市校級三模)把拋物線y=-W+i向左平移i個單位，然后向上平移3個單位，則平

移后拋物線的解析式為()

A.y=-(x+3)2+1B.y=-(x+1)2+3

C.y=-(x-1)2+4D.y=-(x+1)2+4

【解答】解：拋物線y=-/+1向左平移1個單位，得：>=-(x+1)2+1；

然后向上平移3個單位，得：y=-(x+1)2+1+3.

即y=■(x+1)2+4,

故選：D.

3.(2024?西安校級模擬)已知拋物線(〃<0)的圖象上三個點的坐標分別為ACn,

yi),B(%2,”)，C(1,*),若XI+X2<2,則yi,yi,"的大小關系為()

A.gVyiVy2B.y2<yi〈y3C.y3<yi<y\D.y\<yi<y3

【解答】解：拋物線-2ax+b的對稱軸為直線苫=-二區=1,

2a

Va<0,

...開口向下,

：.X=1時有最大值*,

*.*xi<1<X2,X1+X2V2,

；.A、B在尤=1的兩側，且A離著對稱軸較遠，

.".y3>y2>yi.

故選：D.

4.（2024?西湖區一模）在平面直角坐標系中，已知一次函數y=ox+b（aWO,a,6是常數）的圖象

經過點P（-2,0）,且與y軸正半軸相交，則二次函數y=ax2+bx+l的圖象可能是（）

【解答】解：?.,一次函數;y=ax+b（a#0,a,b是常數）的圖象經過點尸（-2,0）,且與y軸正

半軸相交，

.,.^>0,-2a+b=0,

--L=-1,

2a

拋物線開口向上，對稱軸為直線x=-l,

故選：A.

5.（2024?吉安一模）如圖是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當水面寬4米時，拱頂（拱橋洞的最

高點）離水面2米，水面下降2.5米時，水面的寬度為米.（）

【解答】解：建立平面直角坐標系，設橫軸x通過A8,縱軸y軸通過中點O且通過C點，則

通過畫圖可得。為原點，拋物線以y軸為對稱軸，且經過A、8兩點，0A和可求出為A8的

一半為2米，拋物線的頂點C坐標為（0,2），

v

設頂點式為y=a，+2,代入點A的坐標（-2,0）,

得出4a+2=0,

解得：a=-0.5,

拋物線的解析式為：y=-0.57+2,

當水面下降2.5米時，即當y=-2.5時，-0.57+2=-2.5,

解得：x=±3,

；?水面的寬度為3-（-3）=6（米），

故選：B.

6.（2024?金沙縣一模）二次函數y=a/+bx+c（aWO）的圖象如圖所示，對稱軸是直線％=1,下列

結論：

①2。+6=0；②abc<0；③9a+3b+c>0；④3a+c<0；⑤若〃zWl,貝！J-a<b.其中正確

的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：???拋物線對稱軸為直線》=-2=1,

2a

??Z?~-2a,

2tz+/?=0,①正確，符合題意.

??,拋物線開口向下，

.*.6Z<0,

■:b=-2a,

：?b>0,

???拋物線與y軸交點在x軸上方，

：.c>0,

：.abc<0,②正確，符合題意.

由圖象可得冗=-1時，y<0,根據拋物線對稱性可得％=3時，y<0,

9?+3Z?+c<0,③錯誤，不符合題意.

?.”=-1,y〈0,

>>a-h+cVO,

?b~~~2a,

.*.3?+c<0,④正確，符合題意.

?.”=1時，y取最大值，

/.an^+bm+c^a+b+c,

Am（am+b）-a<b（根Wl）,⑤正確，符合題意.

故選：D.

二.填空題（共8小題）

7.（2024?南崗區校級二模）拋物線y=（x-1）2的頂點坐標是（1,0）.

【解答】解：

?「y=（x-1）2,

???拋物線頂點坐標為（1,0）,

故答案為：（1,0）.

8.（2024?柳州一模）已知二次函數y=7-4x+2,當-時，y的取值范圍內是-2<yW7

【解答】解：二次函數>=/-4工+2化為頂點式為y=（x-2）2-2,

???二次函數有最小值為y最小值=-2,此時x=2,

當x=-1時，y=（-1-2）2-2=7,

當x=3時，y=（3-2）2-2=-1,

.?.該函數在-的取值范圍內，y的取值范圍內是-2WyW7,

故答案為：-2WyW7.

9.（2024?涼州區一模）已知產（xi,1）,Q（必1）兩點都在拋物線y=7-3尤+1上，那么xi+x2

=3?

【解答】解：：P（XI,1）,Q（X2,1）兩點都在拋物線-3X+1上，

；.P、。關于對稱軸對稱，

...拋物線的對稱軸為直線口=勺+'工=-二3,

22

.??X1+X2=3,

故答案為：3.

10.（2024?南通一模）某種型號的小型無人機著陸后滑行的距離S（米）關于滑行的時間t（秒）的

函數解析式是S=-OZSp+lOf,無人機著陸后滑行20秒才能停下來.

【解答】解：由題意得，

S=-0.25?+10r

=-0.25（z2-40?+400-400）

=-0.25（/-20）2+100,

：-0.25<0,

.1=20時，飛機滑行的距離最大，

即當f=20秒時，飛機才能停下來.

故答案為：20.

11.（2024?化德縣校級模擬）如圖，拋物線y=-/+bx+c交y軸于點（0,5）,對稱軸為直線x=

-2,若>25,則x的取值范圍是-44W0.

【解答】解：：拋物線y=-/+bx+c交y軸于點（0,5）,對稱軸為直線x=-2,

...圖象過點（-4,5）,

:圖象開口向下，

...當y25時，尤的取值范圍是-4WxW0.

故答案為：-4WxW0.

12.(2024?淮北三模)拋物線40r經過原點，且與x軸的正半軸交于點A,頂點C的坐標

為(2,-4).

(1)a的值為1；

(2)若點尸為拋物線上一動點，其橫坐標為K作尸Q,無軸，且點。位于一次函數y=x-4的圖

象上.當，<4時，P。的長度隨/的增大而增大，貝心的取值范圍是

【解答】解：(1)由題意，將(2,-4)代入>=以2-4ax中，得4〃-8〃=-4,

解得〃=1,

故答案為：1；

(2)由(1)得拋物線的表達式為丁:%2-公,

聯立方程組[y=x2-4x,解得|x=l或(X=4,

y=x-4ly=-3[y=0

「?拋物線y=/-4x與直線y=x-4的交點坐標為(1,-3),(4,0),

設尸G,p-書)，Q(r,/-4),

當fWl時，尸0=戶-4-G-4)=尸-5什4=(1_A)2_9,

?214

Vl>0,

.?.當rWl時，PQ的長度隨t的增大而減小，不符合題意;

當1</<4時，PQ=L4-(r-4t)=-P+5L4=_(t

V-1<0,

...當■時，PQ的長度隨1的增大而增大，當時，P。的長度隨f的增大而減小，

故答案為：

2

13.(2024?歷下區校級模擬)如圖，拋物線Ci的解析式為y=-?+4,將拋物線繞點。順時針旋轉

45°得到圖形G,圖形G分別與y軸、x軸正半軸交于點A、B,連接AB,則△048的面積為

9-V17

【解答】解：由題意可知，將拋物線繞點。順時針旋轉45°得到圖形G的對稱軸為直線丫=%

設直線y=x與拋物線y=-?+4在第一象限的交點為M,

.?.把0M繞點。順時針旋轉45°得到。3,如圖所示：

///［仁”

聯立方程組得：卜二皇+4,

1y=x

X=9X-?

解得〈L或1L,

_-l+V17_-l-V17

Iy27~h

.?.點M坐標為（L,土叵）,

_22

OM=x5/2=jV2jV34_,

2-2

即QB=,

2

?.?對稱性，

：.OA=OB,

.?.△。^的面積為工^^廣二^義（一后+\屬）2=9fhL7.

_2222

故答案為：9-舊.

2

14.（2024?瓦房店市模擬）如圖，拋物線丫=總乂2總x+4上3X軸交于A,2兩點，與y軸交于點C,

連接AC,點N在y軸負半軸上，點A繞點N順時針旋轉,恰好落在第四象限的拋物線上點M處,

且/ANM+/ACM=180°,則點M的坐標是（5,—

一13■）—,

TMW

【解答】解：如圖，過點N作NELCA的延長線于點￡,過點N作NFLCM于點R

：.ZCEN=ZNFC=90°,/CEN+/NFC=\8S,

AZENF+ZACM=180°.

VZAW+ZACM=180°，

???/ANM=ZENF,

：./ANE=/MNF.

■:NAEN=/MFN=90°,AN=MN,

：.AAEN義AMFN,

：.NE=NF,

：.ZACO=ZMCO.

設CM與x軸交于點D

VZAOC=ZDOC,CO=CO,

：.△ACOdOCO,

：.AO=DO.

??,拋物線與x軸交于A,5兩點，與y軸交于點C,

???點A的坐標為（-3,0）,點。的坐標為（0,4）,

：.AO=DO=3.

???點。的坐標為（3,0）,

???直線CM的解析式為y=-±x+4

4

y=-x+4,'x=5,

O

聯立（舍去）或，g,

=x+4,7=~3

o

...點M的坐標為（5,國）.

3

故答案為：（5,—

3

三.解答題（共6小題）

15.（2024?房山區一模）在平面直角坐標系xOy中，A（xi,yi）,B（%2,y2）是拋物線y=W-lax-^-a2

~2上任意兩點.

(1)當〃=1時，求拋物線與y軸的交點坐標及頂點坐標;

(2)若對于o<x,<工，工都有yi>”，求。的取值范圍.

1222

【解答】解：(1)當。=1時，拋物線為y=--2x-1,

令％=0,則y=-1,

???拋物線與y軸的交點為(0,-1),

Vy=x2-2x-1=(x-1)2-2,

???拋物線的頂點坐標為(1,-2)；

(2)?.,丁=/-2ax+a2-2,

拋物線開口向上，對稱軸為直線x=-m-=小

2X1

.*.A(xi,ji),B(處J2)離拋物線y=?-2依+屋-2的對稱軸距離較大，函數值越大.

y+1o

當心J_=1時，點A離對稱軸遠，都有yi>y2.

二。的取值范圍為。>3.

16.(2024?武威一模)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=a7+Zzr-5(a#0)交無軸于A,C

兩點，交y軸于點2,5OA=OB=OC.

(1)求此拋物線的表達式；

(2)已知拋物線的對稱軸上存在一點M,使得的周長最小，請求出點〃的坐標；

(3)連接BC,點P是線段8c上一點，過點P作y軸的平行線交拋物線于點Q,求當四邊形OBQP

為平行四邊形時點尸的坐標.

【解答】解：(1)由拋物線的表達式知，c=-5=中,

貝ijO2=5=OA=OC,

則點A、C、8的坐標分別為：(1,0)、(-5,0)、(0,-5),

設拋物線的表達式為：y—a(x-1)(x+5)=a(~+4%-5)=ox2+Z?x-5,

貝U。=1,

故拋物線的表達式為：y=f+4x-5；

（2）點A關于拋物線對稱軸得對稱點為點C,則BC交拋物線的對稱軸于點M,此時的周

長最小，理由:

AABM的周長^AB+AM+BM=AB+CM+BM^AB+BC為最小,

由點8、C的坐標得，直線8c的表達式為：y=-X-5,

由拋物線的表達式知，其對稱軸為直線x=-2,

當x=-2時，y=-x-5=-3,

則點M(-2,-3)；

(3)設點尸(x,-x-5),則點0(無，?+4x-5),

貝！!PQ=(-x-5)-(/+4x-5)=-x1-5x,

'：PQ//OB,

故當尸。=。2時，滿足題設條件,

即PQ--x2-5x—OB=5,

解得：x"土遮,

2__

則點尸的坐標為：（二5心,..-5-V5）或（二5一代,二5+—）.

2222

17.（2024?荊州二模）施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道，其最高點尸距離地面高度為

8米，寬度為16米.現以點。為原點，所在直線為x軸建立直角坐標系（如圖1所示）.

（1）求出這條拋物線的函數解析式,并寫出自變量x的取值范圍;

（2）隧道下的公路是單向雙車道，車輛并行時，安全平行間距為2米，該雙車道能否同時并行兩

輛寬2.5米、高5米的特種車輛？請通過計算說明；

(3)施工隊計劃在隧道門口搭建一個矩形“腳手架”ABC。，使點A,。在拋物線上.點2,C在

地面。加線上(如圖2所示).為了籌備材料，需測算“腳手架”三根鋼桿AB,AD,DC的長度

之和的最大值是多少，請你幫施工隊計算一下.

【解答】解：(1)依題意：拋物線形的公路隧道，其高度為8米，寬度為16米，現在。點

為原點，

...點M(16,0),頂點尸(8,8),

設拋物線的解析式為y=a^+bx.

把點M(16,0),點P(8,8)代入得：

(64a+8b=8

l256a+16b=0,

'J

解得/方，

,b=2

???拋物線的解析式為y=」X2+2X，

8

：OM=16,M(16,0),

.??自變量x的取值范圍為：0Wx<16；

⑵當x=8-2.5-l-1時,y=[x4)2+2X1-=-^->5>

.??能同時并行兩輛寬2.5米、高5米的特種車輛.

(3)設OB=x,貝U8C=16-2無，

:四邊形ABC。是矩形，

^AD=BC=16-2X,AB=DC=-VX2+2X

o

設/=A8+AZ注DC,則1=」X2+4X+16-2X，

4

?12

,?l=^yx+2x+16，

4

**,0，

4

2

...當*=上=4時，/有最大值為4ac-b=2°.

2a4a

答：三根木桿AB,AD,0c的長度和的最大值是20米.

18.(2024?息烽縣一模)小明和小亮參加了一次籃球比賽，籃球傳出后的運動路線為如圖所示的拋

物線，以小明站立的位置為原點。建立平面直角坐標系，籃球在。點正上方1.8機的點P處出手,

籃球的高度yCm)與水平距離x(in)之間滿足函數表達式y=」x2+x+c.

（1）求c的值;

（2）求籃球在運動過程中離地面的最大高度;

（3）小明傳球給小亮，小亮手舉過頭頂在對方球員后方接球，已知小亮跳起后，手離地面的最大

高度為8C=2.8〃z,則球在下落過程中,若小亮要想順利接住球，求他至少距離小明多遠的距離.

小明翻小亮

【解答】解：（1）由題意得點P的坐標為（0,1.8）,

將尸(0,1.8)代入y=」x2+x+c得：c=L8,

8

:.c=1.8；

(2)由(1)知c=1.8,

?#-y=-^-x2+x+l.8=W(x-4)2+3.8,

oo

：--l<0,

8

...當x=4時，y有最大值，最大值為3.8,

籃球在運動過程中離地面的最大高度為3.8m；

2

(3)由y=-i-x+x+l.g，

o

2

令y=2.8,則--lx+x+l.8=2.8,

-8

解得X1=4+2亞X2=4-2技

4-2V2<4<4+啦且在下落過程中接球,

???x=4+2點，

所以在球下落過程中小亮離小明的距離至少（4+簿）米才能順利接住球.

19.（2024?懷遠縣一模）如圖1,已知直線>=-x+5與坐標軸相交于A、B,點C坐標是（-1,0）,

拋物線經過A、B、C三點.點P是拋物線上的一點，過點P作y軸的平行線，與直線交于點

D,與x軸相交于點?

（1）求拋物線的解析式;

（2）當點尸在第一象限時，連接CP交04于點E,連接ER如圖2所示.

①求AE+D尸的值;

②設四邊形AEEB的面積為S,則點尸在運動過程中是否存在面積S的最大值，若存在，請求出此

：.B(5,0),

當y=0時，x=5,

AA(0,5),

設拋物線的解析式為y=a(x-5)(x+1),

將點A(0,5)代入，可得。=-1,

...拋物線的解析式為＞=-?+4x+5；

(2)①設尸G,-?+4r+5),貝！(t,7+5),F(t,0),

設直線CP的解析式為y=fcv+6,

?J~k+b=021

[kt+b=-t+4t+5

解得，k=5-t.

lb=5-t

直線CP的解析式為y=(5-f)x+5-t,

：.E(0,5-0,

.,.AE—t,