銳角三角函數(shù)

—.填空題（共25小題）

1.如圖，sin/O=。，長度為2的線段。E在射線上滑動，點C在射線0A上，且OC=5,△COE的

兩個內(nèi)角的角平分線相交于點F,過點尸作FGLDE,垂足為G,則FG的最大值

為____________________.

2.如圖，△A8C為等邊三角形，點。在△ABC外，連接3。、CD.^ZABD=2ZACD,tan/AC￡）=等,

BD=歷，則CD=.

3.如圖，在四邊形ABC。中，ZABC=90°,AB//CD,點E是四邊形A8CD內(nèi)一點，ZBEC=90°,F

是AE的中點，連。尸，若AB=3,BC=2,tanZBAD=2,貝！］DF+^-AF的最小值

為.

4.如圖，BE是△A8C的角平分線，尸是AB上一點，ZACF=ZEBC,BE、CF相交于點G.若sin/AEB=

5.圖1是某折疊式躺椅的實物圖，圖2是靠背垂直地面時的側(cè)面展開圖，此時四邊形A8CO是矩形，AB

=20cm,AD=30V5cm,DE=60cm,8/=30cm.點H在BC上，椅子的支撐桿ARBG、CE分別繞2、

H、。轉(zhuǎn)動并帶動A/轉(zhuǎn)動，支撐桿LK、不動.躺椅在轉(zhuǎn)動時：

(1)若直線EF過點J,當(dāng)NADE=120°時，△APJ的面積是cm2.

1

(2)若-<tan/EZ)/<2,E尸與地面的夾角為a,則tana的取值范圍是_______________________.

2

圖1圖2

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知Rt^ABC可運(yùn)動(平移或旋轉(zhuǎn))，且/C=90°,BC=V5+4,

tanA=I，若以點M(3,6)為圓心，2為半徑的O"始終在△ABC的內(nèi)部，則△ABC的頂點C到原點

7.“曲柄搖桿機(jī)構(gòu)”是一種運(yùn)動零件.圖1是某個“曲柄搖桿”的示意圖，它由四條固定長度的線段組成，

其中AB是靜止不動的機(jī)架，AO是繞A做圓周運(yùn)動的曲柄，BC是繞B上下擺動的搖桿，C。是連結(jié)AD

和BC兩個運(yùn)動的連桿，A,B,C,。始終在同一平面內(nèi).已知AB=8C=5.當(dāng)。運(yùn)動到圖2位置時，

記AB,CD的交點為E,現(xiàn)測得AO_LBC,AD=DE,tan/D4E=則CD=.圖

2之后，。繞A繼續(xù)運(yùn)動，當(dāng)C再次回到圖2位置時(如圖3),則此時“曲柄搖桿”所圍成的四邊形

ABCD的面積為.

圖1圖2圖3

8.如圖，△ABC中，CD為邊AB上的中線，點E在AC上，連接BE交CD于點RZBEC=120°，BF

=AE+EF,若AB=4V7,AE=8,則C。的長為

9.如圖是一種手機(jī)三腳架，它通過改變鎖扣C在主軸A8上的位置調(diào)節(jié)三腳架的高度，其它支架長度固定

不變，已知支腳。E=A艮底座CD_LA8,BGLAB,且8=83,廠是。E上的固定點，且￡F：DF=

2：3.

圖1

（1）當(dāng)點8,G,E三點在同一直線上（如圖1所示）時，測得tan/8EZ）=2.設(shè)BC=5a,則尸G

（用含。的代數(shù)式表示）;

（2）在（1）的條件下，若將點C向下移動24c7”，則點3,G,尸三點在同一直線上（如圖2）,此時

點A離地面的高度是cm.

10.如圖2,有一塊四邊形的鐵板余料A3C0,經(jīng)測量A8=505,BC=108cm,CD=60cmf且tan3=tanC=

I，若要從這塊余料中裁出頂點M、N在邊BC上且面積最大的矩形PQMN,則該矩形的面積為

cm2.

11.如圖，在△A8C中，A3=AC,點。為△ABC內(nèi)部一點，_&ZADB+ZBAC=240°,ZADC=2ZABCf

若3BD=2CD,貝ijtan/AOC的值為

12.如圖，△ABC中，AB^AC,tanC=D、尸分另l］在邊AC、BC上,作DE〃AF交AE于E.若

q

AE3CD

——=一，則——=.

BD4BF---------------------

13.在△ABC中，已知6=1,c=2,是乙4的平分線，AO=竽，則/C=.

1

14.如圖，RtAABC,NC=90°,tanA=當(dāng)D是AC中點，NABD=/FBD,BC=6,CF//AB,則OB

15.如圖，在△ABC中，AB^AC,BC=12,。為AC邊的中點，線段2。的垂直平分線分別與邊BC,AB

交于點E,F,連接。RDE.設(shè)8E=x,tan/ACB=y.給出以下結(jié)論：@DF//BC；②的面積

3

為］xy；③△C￡）E的周長為12+尤；④/-/=%⑤2x-y2=9.其中正確結(jié)論有（把你認(rèn)為

正確結(jié)論的序號都填上）.

D

F

QAD

16.如圖，C為射線AM上一點,以點C為直角頂點作交射線AN于D,8兩點‘當(dāng)tanA=4時’而的

最大值為

17.在△ABC中，ZABC=60°，BC=8,點。是BC邊的中點，點E是邊AC上一點，過點。作ED的

垂線交邊AC于點F,若AC=1CF,且DE恰好平分△ABC的周長，則△ABC的面積

為.

18.如圖，己知四邊形ABC。的一組對邊A。、BC的延長線相交于點￡.另一組對邊A3、￡>C的延長線相

交于點F,若cosZABC=cosZADC=gCD=5,CF=ED=n,則AD的長為（用

含n的式子表示）.

19.如圖，線段AC,BD交于點P,ZA=30°,ZACZ)=120°,ZD=15°,AB=1,CD=V3,則BD

的長為__________________

20.等腰三角形ABC,AB=BC,tan/2AC=2,。為△ABC內(nèi)一點，連接A。、BD、CD,A￡>=3,BD=

2V5,CD=5,貝ijAB=.

114

21.已知△ABC中，滿足一+―c=—B，b=4,貝Ua+c=.

tan-tan-tan—

222

22.“572”汶川大地震使不少建筑物受損.某地一水塔地震時發(fā)生了嚴(yán)重沉陷（未傾斜）.如圖，已知地

震前，在距該水塔30米的A處測得塔頂B的仰角為60°；地震后，在A處測得塔頂B的仰角為45°,

則該水塔沉陷了米.（精確到0.01,V3?1.7321,a=1.4142）.

地震前地震后

23.（按課改要求命制）如圖，設(shè)尸是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，PA=1,PB=2,PC=V5,將△A8P繞

點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使AB與AC重合,點P旋轉(zhuǎn)到P'外，則sinZPCP1的值是

（不取近似值）.

24.如圖，在矩形ABC。中，E,F,G,反分別為AB,BC,CD,D4的中點，若AH：AE=4：3,四邊

形EFGH的周長是40cm,則矩形ABCD的面積是cm1.

25.在△ABC中，tan/ABC=W，2。平分NABC交AC于點。，過A作AE_LAB交BC于點E,若AE=

EC,BD=V26,則AB的長為.

銳角三角函數(shù)

參考答案與試題解析

一.填空題（共25小題）

1.如圖，sin/O=|,長度為2的線段。E在射線上滑動，點C在射線。4上，且OC=5,△CZ）E的

兩個內(nèi)角的角平分線相交于點F,過點F作/GLOE,垂足為G,則尸G的最大值為—空二

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識.

V10-1

【答案】.

【分析】如圖1中，連接CR過點廠作府,⑺于M,FNLEC于N,過點C作”，于凡利

用面積法可得FG?（2+EC+C。）=6,推出當(dāng)EC+CD的值最小時，BG的值最大，想辦法求出EC+CZ）

的最小值即可.

【解答】解：如圖1中，連接CR過點尸作于M,FNLEC于N,過點C作CHLOE于M

?..△CDE的兩個內(nèi)角的角平分線相交于點F,FG±DE,FMLCD,FNLEC,

:.FG=FM=FN,

在RtZXOCH中，'：ZCHO=90°,OC=5,

.?c_CH_3

..sinO-詼-寧

：.CH=3,

1111

:.SADEC=2，DE?CH=EC，F(xiàn)N+CD，F(xiàn)M+DE，F(xiàn)G,

：.FG<2+EC+CD)=6,

/.當(dāng)EC+CD的值最小時，F(xiàn)G的值最大，

如圖2中，過點C作CK〃OE,使得CK=DE=2,作點K關(guān)于直線的對稱點J,連接CJ交。2于

E,連接￡7交。2于T,截取ED=C。，此時CE+C。的值最小，最小值=CJ的長.

圖2

由圖1可知KT=TJ=3,

在RtZ\JKC中，；/JKC=90°,CK=2,JK=6,

：.CJ=yjKJ2+CK2=舟+22=2V10,

C.CE+CD的最小值二2，IU,

,FG的最大值=/在=萼1.

【點評】考查了軸對稱最短問題，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬

于中考壓軸題.

2.如圖，△ABC為等邊三角形，點。在△ABC外，連接8。、CD.^ZABD=2ZACD,tan/ACZ)=竽，

BD=V37,貝UCD=11.

【考點】解直角三角形；等邊三角形的性質(zhì).

【專題】與圓有關(guān)的計算；解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】如圖，連接A。，作于X,作DE_LCB交C2的延長線于E,作CM_LZM交ZM的延

長線于M.首先證明8D=8C,推出△AZJC的外接圓的圓心是點8,推出NADC=2/A8C=30°,解

直角三角形求出。H，設(shè)尤，KilDM=V3x,CD=2x,AM=A/3X-4V3,在Rtz\ACM中，根據(jù)AC?

=AM2+CM2,構(gòu)建方程解決問題即可.

【解答】解：如圖，連接A。，作比九LA。于作Z)E_LCB交CB的延長線于￡,作CM_LZM交D4

的延長線于M.

,：AABC是等邊三角形，

/.ZABC=ZACB=60°,

VZDBE=180°-ZABD-ZABC=120°-2ZACD=120°-2(60°-/BCD)=2NBCD,

又,?ZDBE=ZBDC+ZBCD,

:./BCD=/BDC,

：.BD=BC,

.?.2D=BA=8C=AC=V37.

：.AADC的外接圓的圓心是點B,

1

AZADC=^ZABC=30°,

?；BD=BA,BH±AD,

：.ZABH=/DBH,

丁ZABD=2ZACD9

：.ZBDH=ZACD,

：AanZDBH^tanZACD=竽=器,

設(shè)DH=2?,BH=5k,

：.（2?）2+（5k）2=37,

...左=1或-1（舍棄），

：.DH=AH=143,

設(shè)CM=x,則。M=bx,CD=2x,

'.AM—s/3x-4A/3,

在RtAACM中，*?AC2=AM2+CM2,

；.37=（V3x-4V3）2+?,

解得尤=/（舍棄）或不

z2

11

.?.C￡>=2尤=11,

故答案為IL

【點評】本題考查解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的外接圓等知識，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)點8

是△AC。的外接圓的圓心，屬于中考填空題中的壓軸題.

3.如圖，在四邊形A8CD中，ZABC=90°,AB//CD,點E是四邊形ABCD內(nèi)一點，NBEC=90°,F

是AE的中點，連。尸，若A8=3,BC=2,tanZBAD=2,則。尸+霽4尸的最小值為—巫型

【考點】解直角三角形；勾股定理.

【專題】幾何綜合題；推理能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】取8c的中點為點G,連接GE、AG,取AG的中點為點H,連接根據(jù)直角三角形斜邊上

中點的性質(zhì)以及三角形的中位線定理可得GE=1,HF=*,由勾股定理可得AG=g,從而得到

FHFM

與匕在A〃上取一點使得NH尸連接尸則△尸從而即可得到一=—=

2AHAF

器=盒=*FM=^-AF,HM=^-HF=^-X^=^-,DF+^-AF=DF+FM,連接

2

DM,可知當(dāng)。、F、M三點共線時，。尸+鉀4尸的值最小.連接。8,過點D作。NLAB于N,連接

DG,通過證明四邊形BCDN是正方形，可得CD=DN=2,從而即可證明△CDG四△MM（SAS）,得

到△AOG是等腰直角三角形，即可推出DH=1AG=DHIAG,最后由勾股定理計算出DM=

VDH2+HM2=J（乎）2+（鑼）2=嚼^即可得到答案.

【解答】解：如圖，取8C的中點為點G,連接GE、AG,取AG的中點為點"，連接FH,

,：BC=2,ZCEB=90°,點G為BC的中點，

11

GE=^BC=x2=1,

??,尸為AE的中點，〃為AG的中點，

???HF為ZkAGE的中位線，

11

：.HF=^GE=

在RtZXABG中，BG=\,A8=3,

/?AG=y/BG2+AB2=Vl2+32=V10,

TH為AG的中點，

：.AH^孚，

在AH上取一點M,使得NHFM=NHAF,連接FM,

?/ZFHM=ZAHF,

:.缸FHMs^AHF,

.FHFMHM|V10

"AH-力產(chǎn)—HF-叵-10)

2

AJ-,廠

?.?Fj-,M..=A/y10AF,HTTiiM=V[1冒0HrrF=A/[100x1V10，

_LKJ_1,ULU乙乙U

，DF+黑AF=DF+FM,

連接。M,

???當(dāng)。、F、M三點共線時，。尸+第ZF的值最小.

連接。H,過點。作。N_LA8于N,連接。G,

'：AB//CDfZABC=90°,

:?/ABC=/BCD=/BND=90。,

???四邊形8C0N是矩形，

：.DN=BC=2,ZDNA=90°,

DN2

"胡。=麗=麗=2,

：.AN=1,

：.BN=AB-AN=3-l=2=BC,

：.四邊形BCDN是正方形，

:.CD=DN=2,

在△COG和△NZM中，

CG=AN

乙DCG=乙DNA,

CD=ND

:ACDG經(jīng)XNDA（SAS）,

：.ZCDG=ZNDAfGD=AD,

?：/CDG+NGDN=90°,

ZNDA+ZGDN=ZGDA=90°,

???AADG是等腰直角三角形，

：.DH=^AG=^-,DH±AG,

：.ZDHM=90°,

：.DM=7DH2+HM2=J（孚）2+嘿）2=^2,

：.DF+卷AF的最小值為

故答案為：噌?

20

【點評】本題主要考查了三角形的中位線定理、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、

全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、解直角三角形、勾股定

理等知識，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，BE是△A8C的角平分線，尸是上一點，ZACF=ZEBC,BE、CF相交于點G.若sin/AEB=

-F-,BG=4,EG=5,則S^ABE=—

5-5'

【考點】解直角三角形；角平分線的性質(zhì).

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】如圖，過點2作2TLAC于T,連接EF.在中，解直角三角形求出BT,ET,BC,

由△ECGs^EBC,求出EC,CG,再利用相似三角形的性質(zhì)求出EF,BF,AE,AB,證明點T與點A

重合即可解決問題.

【解答】解：如圖，過點B作87UAC于T,連接￡足

；BE平分/ABC,

：./ABE=NCBE,

'：ZECG=ZABE,

：.ZECG=ZCBE,

,：ZCEG=ZCEB,

:.AECGsAEBC,

.ECEGCG

,,EB~EC~CB'

：.EC2=EG'EB=5X(5+4)=45,

V￡C>0,

:.EC=3屏,

在Rtz^BET中，：sin/AE8=f^=鎏，BE=9,

DCD

.18V5

??8T=F-'

：.ET=y/BE2-BT2=J92-=竽，

24匹

???CT=ET+CE=

BC=yjBT2+CT2=

CG=^^=10,

EC

/ECG=/FBG,

E,F,B,。四點共圓,

/EFG=/CBG,

/FGE=/BGC,

△EGFs^CGB,

EFEG

CB-CG'

EF5

6V5—10'

EF=35

NAFE=NACB,/EAF=/BAC,

△EAF^ABAC,

AEAFEF1

設(shè)AE=x,則A5=2x,

AB~AC~BC~2

NFBG=NECG,NBGF=NCGE,

△BGFs^CGE,

BFBG

CE-CG'

BF4

3V5—10'

AE-AC^AF'AB,

尤（龍+3西）=（2x—巧5）?2%,

解得x=等,

:.AE=ET=竽,

，點A與點T重合,

18V5

：.AB=2AE=

1.八一廠118V59西81

??S/\ABE=2xABXAE=X—g—X―g—=-g-.

故答案為

【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，角平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，四點共圓等知識，

解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

5.圖1是某折疊式躺椅的實物圖，圖2是靠背垂直地面時的側(cè)面展開圖，此時四邊形ABC。是矩形，AB

=20cm,AD=30V5cm,DE=6Qcm,8尸=30°加點”在8C上，椅子的支撐桿AF、BG、CE分別繞B、

H、。轉(zhuǎn)動并帶動A/轉(zhuǎn)動，支撐桿LK、不動.躺椅在轉(zhuǎn)動時：

■AQ^7C/1匚

(1)若直線所過點J,當(dāng)NAOE=120°時，△AF/的面積是--------cm2.

—11—

11111

(2)若一<tanN￡7XV2,E廠與地面的夾角為a,貝(Jtana的取值范圍是一VtanaV號.

2—3713——

【考點】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題；矩形的判定；銳角三角函數(shù)的增減性.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力.

AFAIAFAI505

【分析】(1)先證明△EVS2\ED7,得到一=—,進(jìn)一步得到一=-=—=求得A7,過點F

DEDJDEDJ606

作尸NJ_D4交D4的延長線于點N,則NAN尸=90°,在RtZkAFN中，求得尸N,進(jìn)而求得△AFJ的面

積;

1

(2)分tanZEDI=★和tan/ED/=2兩種情況，求解tana,由EF與地面的夾角a隨著的增大而

增大，求得tana的取值范圍.

【解答】解：(1)若直線石尸過點J,當(dāng)NAZ)E=120°時，如圖1所示,

：.ZF=ZE,ZFAJ=ZADE=120°,

MFAJsAEDJ,

?..絲=—國,

DEDJ

9

：AF=AB-^BF=50cmfDE=60cm,

.AFAJ505

?'DE-O/—60一6’

.54n15075

..AAJT=五A￡)=—五一cm,

過點尸作FNLD4交D4的延長線于點N,則NAN9=90°,

在RtZXAFN中，NEW=180°-NEV=60°,AF=50cm,

FN=AFsinNFAN=50Xsin60°=25,

AAFJ的面積=|xAJXFN^竺令里a/

1

(2)當(dāng)tanNEDb*時，如圖2所示，作于點尸，則NEPO=90°,設(shè)所交A。于點。,

：?/F=/QED,/FAQ=/QDE,

:.XFkQsXEDQ,

.AFAQ

??二,

DEDQ

*.*AF—AB+BF—50cm,DE=60cm,

,AFAQ505

?'DE-DQ_60-6’

?nc6,180追

.?D(2=五A￡)=—五一cm,

設(shè)EP=x,則OP=2x,由勾股定理得:

Ep2+DF^=D彥,

.*.x2+(2%)2=6()2,

解得x=12y/Scm9

:.EP=12逐cm,DP=24小cm,PQ=DP+DQ=號普cm,

?,+/snEP12店11

..tana=tan/￡QP=—=—^=-.,

II

當(dāng)tan/ED/=2時，如圖3所示,

圖3

同理可求得。。=筆比CTM,DP=12瓜m,EP=24V^cm,

：.PQ^DP+DQ=

一,EP24西11

..tana=tan“/ECQDP=而=全=正；

11

???E尸與地面的夾角a隨著NE。/的增大而增大，

11111

「?當(dāng)一<tanNEZ)/V2時，tana的取值范圍是一<tana

23713

1875V1501111

故答案為：-^—cm；-VtanaV育

【點評】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識，讀懂題意，分情況畫

出圖形是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，已知Rt^ABC可運(yùn)動(平移或旋轉(zhuǎn))，且NC=90°,BC=V5+4,

1

tanA=若以點M(3,6)為圓心，2為半徑的OM始終在△ABC的內(nèi)部，則△ABC的頂點C到原點

。的距離的最小值為V5

c

【考點】解直角三角形；坐標(biāo)與圖形變化-平移；坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn).

【專題】動點型；平面直角坐標(biāo)系；與圓有關(guān)的計算；應(yīng)用意識.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】如圖，設(shè)與AC相切于點J,與A3相切于點T,連接OC,MJ,MT,延長加交A5于尸.解

直角三角形求出CM,0M,根據(jù)0。三。河-CM即可解決問題.

【解答】解：如圖，設(shè)與AC相切于點/,與相切于點T,連接OC,MJ,MT,延長血交A8

于尸.

VAC,A3是。。的切線，

：.MJ±ACfMT1AB,

：.ZAJM=ZA7M=90°,

ZA+ZJMT=180°,

VZJMT+ZFMT=180°,

???NA=/FMT,

1

tanA=tanZFMT=,

,:MT=2,

：.TF=1,FM=VMT2+FT2=V22+I2=5

：.JF=MJ+MF=2+V5,

.?.AJ=2FJ=4+2V5,

VAC=2BC=8+2V5,

/.CJ=4,

VZCJM=90°,

：.CM=y/CJ2+MJ2=V42+22=2有，

'：M(3,6),

OM=V32+62=3A/5,

VOC^OM-CM,

：.OC23萌-2V5,

OC>V5,

;.oc的最小值為花.

故答案為有.

【點評】本題考查解直角三角形，切線的性質(zhì)，坐標(biāo)由圖形變化-旋轉(zhuǎn)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，

學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

7.“曲柄搖桿機(jī)構(gòu)”是一種運(yùn)動零件.圖1是某個“曲柄搖桿”的示意圖，它由四條固定長度的線段組成，

其中是靜止不動的機(jī)架，是繞A做圓周運(yùn)動的曲柄，8c是繞8上下擺動的搖桿，CD是連結(jié)AO

和8C兩個運(yùn)動的連桿，A,B,C,。始終在同一平面內(nèi).已知ABuBCuS.當(dāng)。運(yùn)動到圖2位置時，

Q25

記A5,的交點為E,現(xiàn)測得AZ)_L3C,AD=DE,則CD=一.圖2之后，。繞

4-3一

A繼續(xù)運(yùn)動，當(dāng)C再次回到圖2位置時(如圖3),則此時“曲柄搖桿”所圍成的四邊形ABC。的面積

【考點】解直角三角形的應(yīng)用；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】圖形的相似；解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)延長交CB的延長線于凡作8G〃C。交A尸于G,先解Rt^ABF,求得AF和8尸,

推出△ABG是等腰三角形，設(shè)AG=BG=x,在中列出方程，求得8G,再根據(jù)△F8GSZ\JFCZ)

列出比例式，求得CD；

(2)在Ab上截取A。=A。，連接。/(即還原圖2的C。的位置)，根據(jù)勾股定理求得0'b的長,

進(jìn)而求得△AC?及△ABC的面積，進(jìn)而求得四邊形A3CD的面積.

【解答】解：如圖1,

延長AO交C8的延長線于尸，作BG〃C。交Ab于G,

AADE^AAGB,△尸3Gs△尸CD,

.DEADBGBF

??BG-AG"CD~CF'

'：AD=DE,

：.AG=BG,

VADXBC,

：.ZF=90°,

3

VAB=5,tanZZ)AE=

4

:.BF=3,AF=4,

設(shè)AG=5G=x,則尸G=4-%,

在RtZ\39G中，由勾股定理得，

FG2+BF2=BG2,

(4-x)2+32=X2

._25

??x--g-,

25

.工_2

??一，

CD8

如圖2,

B

CD'是CD在圖2的位置,

在△ACZ)和△AC。'中,

(CD=CD'

\AC=AC，

VAD=AD'

△AC。也AACD'CSSS),

VZF=90°,CF=8,CD'=CD=等,

：.D'F=J(富尸_82=I，

7q

：.AD'=AF-Dr/=4一：=右

i142n

??S/^ACD'—]AD'，CF=]x可x8=-5->

??S/\ACD=,

1

1-

2

??S四邊形A3CZ)=10+=-2~9

2550

故答案為：—,—.

33

【點評】本題考查解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似

三角形及轉(zhuǎn)化圖形的面積.

8.如圖，ZVIBC中，CO為邊AB上的中線，點E在AC上，連接BE交CD于點RZB￡C=120°,BF

=AE+EF,若AB=4由,AE=8,則CD的長為673

D.

E

【考點】解直角三角形的應(yīng)用；等腰三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力.

【答案】6V3.

【分析】如圖，延長3E到T,使得ET=AE,連接AT,過點A作于J,過點E作于

K.解直角三角形求出AT,BT,再利用三角形中位線定理求出。尸，證明EP=EC=2,可得結(jié)論.

【解答】解：如圖，延長到T,使得ET=AE,連接AT,過點A作于J,過點E作EKLCD

于K.

VZB￡C=120°,

：.ZAET=ZBEC=120°,

AZA￡J=180°-ZAET=6Q°,

：AE=ET=8,

：.ZT=ZEAT=30°,

1

：.JE=^AE=4,

：.AJ=y/AE2-EJ2=V82-42=4同

.?.AT=2AJ=8V3,JT=4+8=12,

,:BF=AE+EF=EF+ET=FT,BD=AD,

：.DF//AT,DF=^Ar=4V3,

在RtZ\A即中，BJ='AB2-AJ2=(4V7)2-(4V3)2=8,

，BT=BJ+JT=8+12=20,

VBF=EF+8,

；?BF+EF+ET=20,

：.EF=2,

9：AT//FC,

：.ZECF=ZEAT=30°,ZEFC=ZT=30°,

：.ZECF=ZEFC=30°,

：.EF=EC=2,

'：EK.LCF,

1

：.EK=^EF=1

：.FK=KC=y/EF2-EK2=V22-l2=V3,

：.CF=2FK=243f

:?CD=DF+CF=6?

故答案為：6V3.

【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，三角形中位線定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的

關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造三角形中位線解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

9.如圖是一種手機(jī)三腳架，它通過改變鎖扣。在主軸A3上的位置調(diào)節(jié)三腳架的高度，其它支架長度固定

不變，已知支腳底座BG±AB,且CD=BG,尸是OE上的固定點，且ERDF=

2：3.

圖1

(1)當(dāng)點5,G,E三點在同一直線上（如圖1所示）時，測得tanN3EZ）=2.設(shè)3C=5〃，貝ljFG

5a

（用含〃的代數(shù)式表示）;

2-

（2）在（1）的條件下，若將點C向下移動24cs,則點8,G,尸三點在同一直線上（如圖2）,此時

點A離地面的高度是(19+19V5)cm.

【考點】解直角三角形的應(yīng)用；相似三角形的判定與性質(zhì).

【專題】壓軸題；推理填空題；解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】(1)y；

(2)19+19V5.

【分析】(1)如圖1中，連接。G,EG,過點尸作于“，則四邊形CDGB是矩形.可得8C=

DG=5a,根據(jù)勾股定理和已知條件可得EG和。E,再證明可得。R根據(jù)勾股定理

即可解決問題；

(2)如圖1中，連接DG,EG,過點F作FH1BE于H,則四邊形CDGB是矩形.如圖2中，連接

0G.作E人L8F交8尸的延長線于J.利用勾股定理構(gòu)建方程求出x即可.

【解答】解：(1)如圖1中，連接。G,EG,過點e作切于X,則四邊形CDGB是矩形.

在Rt/YDEG中，tan/OE8=/=2,

:.EG=苧，DE=y/EG2+DG2=](苧尸+(5a)2=竽q,

"."FH//DG,

.EFEH2

"DF~GH~3'

：.4EFHSAEDG,

.EFEH2

?'DE-EG-S’

EF=^DE='x^^<7A/5<22—a2—痘a,

：.DF=^-a,即=|EG=|x苧=a,HG^EG-EH=|a,

FH=VFF2-EH2=V5a2-a2=2a,

9皿

a2-

：.FG=y/FH2+HG2=4-2

故答案為：

(2)如圖1中，連接。G,EG,過點尸作于X,則四邊形CDG8是矩形.

圖1圖2

設(shè)BC=OG=2xaw,

r\r

在RtAOEG中，tanNDE8=/=2,

EG=x(cm),DE=VFG2+DG2=逐x(cm),

'CFH//DG,

.EFEH2

"DF~GH~3

DF=(cm),EH=(cm),HG=(cm),

---4

FH=VFF2—FH2=/(aw)，

:.FG=y/FH2+HG2=x(cm),

如圖2中，連接DG.

'：DF2^DG2+FG2,

(—2=x2+(2x-24)2,

解得尤=15+3由或15-3V5(舍棄)，

:.AB=DE=?=(15+15V5)cm,

作EJLBF交BF的延長線于J.則EJ=EF-sinZEFJ=(4+46)cm,

.,.點A離地面的高度=AB+E7=(19+19V5)cm.

故答案為：19+19遍.

【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用

參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

10.如圖2,有一塊四邊形的鐵板余料A8CD,經(jīng)測量AB=5OC7W,BC=108cm,CD=6Qcm,且tanB=tanC=

I，若要從這塊余料中裁出頂點M、N在邊BC上且面積最大的矩形PQMN,則該矩形的面積為1944

cm".

【考點】解直角三角形的應(yīng)用；等腰三角形的性質(zhì)；三角形中位線定理；相似三角形的判定與性質(zhì).

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】1944.

【分析】延長54、CO交于點E,過點E作EHL8C于點“，中位線PQ的兩端點在線段A8、CD上,

在△ABC中，設(shè)8C=a,8c邊上的高AO=〃，矩形PQWN的頂點P、N分別在邊A8、AC上，頂點°、

M在邊8c上，由△APNs/MBC,設(shè)PQ=x,則S矩彩PQMN=PQ。PN=x（a-=一鏟+辦=一張苫一百）

2+孚，可得當(dāng)加=軸，S矩形PQMN最大值為也，進(jìn)而可得矩形PQMN的最大面積.

4,Z4

【解答】解：如圖，延長胡、CD交于點E,過點E作EHL5C于點"，

交尸。于點G,如圖，設(shè)矩形尸。MN,

AZB=ZC,

：.EB=EC,

VBC=108cm,且EHLBC,

1

：.BH=CH=^BC=54cm,

n_EH_4

?tann=歷^=可

44

：.EH=^BH=|x54=72cm,

：.EG=EH-GH=72-QM,

■:PQ〃BC,

:.△EQPs^EBC,

.PQEGPQ72-QM

.?--=---,即---=-------，

BCEH10872

：.PQ=|(72-QM),

設(shè)

貝I」S矩形PQMN=PQ.QM=%(72-X)=-|(X-36)2+1944,

...當(dāng)x=36時，S矩形PQMN最大值為1944,

所以當(dāng)QM=36時，矩形PQMN的最大面積為1944cm2,

答：該矩形的面積為1944c,/.

故答案為：1944.

【點評】本題屬于四邊形綜合題，主要考查解直角三角形的應(yīng)用、中位線定理、相似三角形的判定與性

質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值及類比思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

11.如圖，在△ABC中，A8=AC,點￡>為△ABC內(nèi)部一點，且/ADB+NBACuZdO。，ZADC=2ZABC,

若3BD=2CD,貝ijtan/AOC的值為4舊.

B。

【考點】解直角三角形；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力.

【答案】4V3.

【分析】在上取一點T,使得/D4T=60°,過點T作力/_LA。于H.想辦法證明△AO8四△C7A

(A4S),推出BD=AT,AD=CT,可以假設(shè)BD=3k,CD=2k,則AH=AT'cos60°=k,HT=AT-sm6Q°

=y[3k,設(shè)AO=CT=x,則。利用勾股定理求出尤=*左，可得DH="k,由此即可解決問題.

【解答】解：在C。上取一點T,使得/D4T=60°,過點T作于H.

D

T

B

VZADB+ZBAC=240°,

ZADB+ZBAD+600+ZCAT=240°,

AZADB+ZBAD+ZCAT=180°,

VZADB+ZBAD+ZABD=1SO°,

???ZABD=ZCAT,

VAB=AC,

???ZABC=ZACB,

VZADC=2ZABCfZADT+ZDAT+ZATD=1^0°,ZBAC+2ZABC=180°,

AZBAC=ZDAT^ZATD=60°+ZATO,

???ZATC+ZABC=ZATC+ZATD+ZDAT=240°,

NADB=NATC,

：.AADB^ACTA(AAS),

：.BD=AT,AD=CT,

'：3BD=2CD9

???可以假設(shè)50=2%,CD=3k,則A〃=AT?cos60°=k,HT=AT-sin60°=Wk,

設(shè)AD=CT=x,則。H=x-左，

112

在RtZXOHT中，DT=DH+HTf

(x-左)2+(V3fc)2=(3k-x)2,

「?x=左左,

：.DH=/

?/4r\/^HTy[3k.尻

..tanZADC=—=4v3,

4k

故答案為：4V3.

【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，全等三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，

構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

12.如圖，/XABC中，AB^AC,tanC=工D、尸分另1J在邊AC、BC上,作DE〃AF交AE于E.若

q

AE3~C04

—=一，則—=--

BD4BF-5一

D

E

【考點】解直角三角形；平行線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】如圖，過點A作于H,連接QH,EH,設(shè)8。交AH于0,交AE于K,設(shè)?！敖籄E

CDCH

于T,想辦法證明△C0HSA5E4,推出一=—,由此即可解決問題.

BFAB

【解答】解：如圖，過點A作于連接EH,設(shè)5。交A”于0,交AE于K,設(shè)DH

交AE于T.

VBD±AE,AHLBC,

：.ZAKO=ZBHO=90°,

*/ZAOK=/BOH,

：.ZDBH=/EAH,

'：AB=AC,

：.ZABC=ZC,

AH

AtanZABC=tanZC=翳=

ttAE3

?BD一4’

tAHAE

?.—,

BH