專題01雙中點（線段）模型與雙角平分線（角）模型

線段與角度是初中幾何的入門知識，雖然難度不高，但重要性是不言而喻的。這類模型通常由問題出

發，先由線段（角度）和差確定解題方向，然后輔以線段中點（角平分線）來解決。但是，對于有公共部

分的線段雙中點模型和雙角平分線模型，可以寫出的線段（角度）和差種類較多，這就增加了思考的難度。

目錄導航

例題講模型'

■.........................................................................................................................................................2

模型1.線段的雙中點模型...............................................................2

模型2.線段的多中點模型...............................................................4

模型3.雙角平分線模型與角n等分線模型.................................................6

習題練模型

1----------——................................................................................................................................................................11

例題講模型

模型1.線段的雙中點模型

線段雙中點模型：兩線段在同一直線上且有一個共同的端點，求這兩條線段的中點距離的模型我們稱之為

線段的雙中點模型。

模型證明

條件：點M、N分別為線段/8、3c的中點，結論：MN^-AC.

2

證明：①當點3在線段4c上，如圖1,

A、,-C

MBN

圖1

N分別為48、8C的中點，...收=l48（中點定義）；BN=-BC（中點定義）;

22

MN=BM+BN,MN^-AB+-BC=-（AB+BC）^-AC-,

222'72

②當點B在線段AC的延長線上，如圖2,

A?,-R

CMN

圖2

,:M、N分別為AB、8c的中點，；.3朋=工/8（中點定義）；BN=-BC（中點定義）;

22

?:MN=BM-BN,：.MN^-AB--BC^-（AB-BC^-AC',

222''2

③當點B在線段CA的延長線上

B??■C

MAN

圖3

N分別為4B、8C的中點，皿1=148（中點定義）；BN=-BC（中點定義）;

22

"：MN=BN-BM,：.MN^BC-\AB=^BC-BA)=\AC；

模型運用

例1.（23-24七年級上?江蘇揚州?期末）如圖，點C在線段48上，點M、N分別是/C、8c的中點.

AMCN~B

⑴若48=18cm,5cm,求CN的長；（2）若就=6cm,求AB的長；

例2.（23-24七年級上?江西贛州?期末）如圖，點C在線段48上，點N分別是線段AC,8C的中點.

1IIII

AMCNB

⑴若/C=10cm,C3=6cm,求線段AW的長；（2）若NC+C5=acm,求線段MV的長度.

例3.（23-24七年級?山東淄博?期末）已知點C是線段42的中點，點。是線段/C的三等分點.若線段

AB=12cm,則線段8。的長為（）

A.10cmB.8cmC.8cm或10cmD.2cm或4cm

例4.（23-24七年級上?安徽黃山?期末）如圖，C,。是線段上兩點（點。在點C右側），E,尸分別是

線段AD,2c的中點.下列結論：

@EF=-AB-②若/E=5尸，則/C=&D；③-=2跖；@AC-BDEC-DF.

2

IIIII?

AECDFB

其中正確的結論是（）

A.①②B.②③C.②④D.③④

例5.（23-24七年級上?貴州遵義?期末）已知線段=24，點。為線段的中點，點。為線段NC上的

三等分點，則線段8。的長的最大值為（）

A'----------------------------'B

A.16B.18C.15D.20

例6.(23-24七年級上?遼寧阜新?期末)點A、B在數軸上所表示的數如圖所示，尸是數軸上一點：

BOA

—?——?——?——i—?——?——?-----1—i—?——>

-5-4-3-2-1012345

(1)將點3在數軸上向左移動2個單位長度，再向右移動7個單位長度，得到點尸，求出A、尸兩點間的距離

是多少個單位長度.

(2)若點8在數軸上移動了加個單位長度到點P,且A、P兩點間的距離是4,求加的值.

(3)若點M為/尸的中點，點N為心的中點，點尸在運動過程中，線段"N的長度是否發生變化？若發生變

化，請你說明理由：若不變，請你畫出圖形，并求出線段的長度.

模型2.線段的多中點模型

模型解讀

條件：如圖，點M在線段/N的延長線上，且線段MV=2“，第1次操作：分別取線段和NN的中點朋；、

M；第2次操作：分別取線段AM,和n乂的中點，小；第3次操作：分別取線段AM2和AN2的中點AG，

做；...連續這樣操作"次，結論：

AN3M3N2M2NiMiNM

模型證明

證明：M是/〃r和NN的中點，，/,

:.M風=*M-；AN=；MN=a,'：M,,%是/四?和/乂的中點，

AM2=—AM,AN2=—/N],M2N2=———ANX=3M、N、=—iz,

M3,%是/必和/乂的中點，'監，AN,=^AN2,

二弘乂=；㈣-：颯=；此乂=；&=9]-a,……發現規律：必應=（：]

模型運用

例1.（23-24七年級上?貴州六盤水?期末）如圖，數軸上的點。為原點，點A表示的數為-3,動點P從點O

出發，按以下規律跳動：第1次從點。跳動到。4的中點4處，第2次從點4跳動到//的中點應處，第3

次從點4跳動到4/的中點4處，…，第〃次從點4T跳動到4一/的中點4處，按照這樣的規律繼續跳動

到點4，4，4,…，4儂處，那么點4。24所表示的數為

例2.（23-24七年級上?河南濮陽?期末）已知：如圖，點M在線段NN的延長線上，且線段MN=16,第一

次操作：分別取線段//和4V的中點〃i，第二次操作：分別取線段/AG和工乂的中點N2.

第三次操作：分別取線段AM2和AN2的中點AG，電,連續這樣操作4次，則M4N4=.

ANsM~iN2M2N\M\NM

例3.（23-24七年級上?湖南張家界?期末）如圖，點M在線段NN的延長線上，且線段〃N=2,第一次操

作：分別取線段和/N的中點/1、乂；第二次操作：分別取線段和/乂的中點N2；第三次

操作：分別取線段和/生的中點朋〉華；...連續這樣操作2024次，則每次的兩個中點所形成的所有

線段之和MN+M2N2+-+M2024N2024=.

?????iiii

AN3M3N2M2N\M\NM

例4.（23-24七年級上?廣東?期中）學習了線段的中點之后，小明利用數學軟件GeoGebra做了"次取線段中

點實驗：如圖，設線段。4=1,第1次，取的中點月；第2次，取《6的中點￡;第3次，取4片的中

點月，第4次，取8A的中點與；…

??一G單?

OPP3P5Po

（1）請完成下列表格數據.

次數P-P,線段O4的長

OP=OP-P.P=\-^

第1次}0}

O￡=O4+4￡=l_g+1

第2次

月=1++U

第3次

OP4=OP3+P3PLi；+；

第4次尸

第5次①_______②________

(2)小明對線段0P4的表達式進行了如下化簡：

因為=l-g+,所以20~=2(1=2-1+,

121

兩式相加，得3。勺=2+三，所以。〃=§+雙夢.

請你參考小明的化簡方法，化簡。乙的表達式.

(3)類比猜想：P“.\P”=,OP=,隨著取中點次數〃的不斷增大，的長最終接近的值是

模型3.雙角平分線模型與角n等分線模型

模型解讀

雙角平分線模型：共頂點的三條射線組成的三個角中(兩角共一邊)，已知任意兩個角的平分線，求角平分

線夾角。下面是最完整的角平分線模型結論的推導過程，推導過程是需要掌握的，也并不難推，同學們自

己嘗試著推導一遍，再去記結論，印象會更加深刻。

模型證明

圖1圖2圖3圖4

1）雙角平分線模型（兩個角無公共部分）

條件：如圖1,已知：OD、OE分別平分N/O5、/BOC；結論：ZDOE=-ZAOCo

2

證明：,：OD、。打分另U平分N4O5、ZBOC,AZDOB=-ZAOBNBOE'/BOC，

22

?1111

??ZDOB+ZBOE=-ZAOB+-ZBOC=-ZAOC??/DOE=—/AOC。

2222

2）雙角平分線模型（兩個角有公共部分）

條件：如圖1,已知：OD、OE分另IJ平分N/O5、/BOC；結論：ZDOE=-ZAOCo

2

證明：?：OD、O￡分另I」平分N4O5、/BOC,ZDOB=-ZAOB?/BOE='/BOC，

22

.1111

??NBOE-ZDOB=-ZBOC——ZAOB=-ZAOC，?-ZDOE=-ZAOC。

2222

3）拓展模型：雙角平分線模型（三個角圍成一個周角）

條件：如圖3,已知//O8+N3OC+NNOC=360°,。尸i平分//OC、OP?平分NBOC；

結論：=180°-^ZAOB°

證明：：。尸1平分/4。。、OPi平分4BOC,：.ZPtOC=^ZAOC>NPQCugzBOC，

"：ZAOB+ZBOC+ZAOC=360°,：.ZBOC+ZAOC=360°-OB,

=N[OC-N巴OC=；N/OC+；N8OC=；（N/OC+NBOC）=18（T-；NNO8。

4）角〃等分線模型

條件：如圖4,ZAOB=aQA、。4分別是和NMO8的平分線，04、。鳥分別是44。河和2可。耳

的平分線，。4、OB.分別是ZA.OM和ZMOB2的平分線…，％分別是和/MOB,-的平分

線；結論：.

證明：QZAOB=a,。4、分別是//（W和的平分線，

ZAQM=-ZAOM,NBQM=-ZBOM,AAflB=-（ZAOM+ZBOM）=-ZAOB=-a,

222x22

；。4、。當分別是43和*用的平分線，—,

ZAOB=~（ZAOM+ZBOM）=-AAOB=-x-ZAOB=,

222Xl2X}222

???OA3、OB3分別是ZA2OM和ZM0B2的平分線，ZA3OM=,NB30M=^-ZB2OM,

/.N4OB3——+/B20M）=—/AzOB2——x—/AQB]——x—x—Z_AOB———,...,

22222222

Of

由此規律得：Z4,os?=-o

模型運用

例1.（2023?河南周口?校聯考一模）如圖，點。為直線48上一點，OE平分'/BOC,平分//OC,

若NBOE=28°,則的度數為（）

A.58°B.60°C.62°D.70°

例2.(2023春?遼寧遼陽?七年級統考期末)如圖，射線OC平分射線(9。平分/3OC,則下列等

式中成立的有()

?ZCOD=ZAOD-ZBOC；②NCOD=ZAOD-NBOD；③2NCOD=2ZAOD-ZAOB；④

ZCOD=-ZAOB.

例3.（2023春?黑龍江?七年級校考階段練習）如圖，射線OG是//OC的角平分線，射線是N498的

角半分線，射線ON是/80C的角平分線，則下列結論成立的有（）個.

①NMON=NCOG；?ZMOG=^(ZAOG-ZBOG)；③NGON=；(/COG+/JBOG)；(4)

AMON=g(Z4OC+NBOG)；

A.0個B.1個C.2個D.3個

例4.（2023?河南?七年級校聯考期末）如圖，4O3=a,Q4］、分別是//（W和NMO8的平分線,

例、分別是〃和乙區漢的平分線，。4、。員分別是和/九的層的平分線，…，OA?,OB,

分別是N4-QM和ZMOBu的平分線，則NAQB,的度數是.

例5.（2022秋?山西太原?七年級統考期末）圖，ZAOC=ZBOD=90°,03在。的內部，OC在/BOD

的內部，OE是的一條三等分線.請從45兩題中任選一題作答.

A.當/8。。=30。時，/EOD的度數為.

B.當NBOCna。時，/EOD的度數為（用含a的代數式表示）.

例6.（2023秋?遼寧沈陽?七年級統考期末）如圖，點A,O,B在同一條直線上，OD,OE分別平分//OC

和180C.（1）求/DOE的度數；（2）如果NCOD=60。.①求//OE的度數；②若乙40尸=20。，直接寫出

/FOD的度數.

AOB

例7.（2023秋?江蘇無錫?七年級校考期末）解答題：（1）如圖，若//。8=120°,乙40c=40。，OD、OE

分別平分//OB、ZAOC,求/DOE的度數；

（2）若N/OB,//OC是平面內兩個角，ZAOB=m,ZAOC=n（?<m<180°）,OD、OE分別平分//OB、

ZAOC,求NOOE的度數.（用含加、”的代數式表示）

例8.（2023春?山東濟南?七年級統考期末）解答下列問題

如圖1,射線。。在NZO8的內部，圖中共有3個角：ZAOB,N/OC和NBOC,若其中有一個角的度數

是另一個角度數的兩倍，則稱射線。。是/更加的“巧分線”.⑴一個角的平分線.這個角的“巧分線”，（填“是”

或“不是”）.（2）如圖2,若NMPN=60。,且射線尸。是NMPN的“巧分線”，則/兒。。=（表示出所有

可能的結果探索新知）.（3）如圖3,若NMPN=a,且射線尸。是/MPN的“巧分線”，則（用

含a的代數式表示出所有可能的結果）.

習題練模型

1.（2023秋?福建泉州?七年級統考期末）在直線上任取一點/,截取48=6cm,再截取/C=14cm,則/8

的中點。與/C的中點E之間的距離為（）

A.4cmB.8cmC.4cm或10cmD.3cm或8cm

2.（2023秋?江西上饒?七年級統考期末）如圖，C、。是線段NB上兩點，M、N分別是線段4D、3C的中

點，下列結論：①若AD=BM,則/8=38D；②若AC=BD,則,二砒；③AC-BD=2（MC-DN）；

?2MN=AB-CN.

其中正確的結論是（）

IIIIII

AMCDNB

A.①②③B.③④C.①②④D.①②③④

3.（2023秋?江蘇徐州?七年級校考期末）如圖，點"在線段/N的延長線上，且線段〃N=10,第一次操作:

分別取線段AM和/N的中點M、、N、；第二次操作：分別取線段AM,和AN,的中點/2，生；第三次操作:

分別取線段和/必的中點AG，做；…連續這樣操作2023次，則每次的兩個中點所形成的所有線段之

和+以憶+―-+/2023g23=（）

AMMN]M2N\M\NM

A-10+^TB-10+^Fc-10-^FD-

4.（2023秋?河南駐馬店?七年級統考期末）如圖，已知408=130。，以點。為頂點作直角NCO8,以點O

為端點作一條射線OZX通過折疊的方法，使OD與OC重合，點B落在點9處，OE所在的直線為折痕，

若NCOE=15。，則乙405'=（）.

A.30°B.25°C.20°D.15°

5.（2023秋?山西大同?七年級統考期末）在的內部作射線OC,射線OC把分成兩個角，分

別為ZAOC和ZBOC,若ZAOC=或ZBOC=,則稱射線OC為ZAOB的三等分線.若

ZAOB=60°,射線0c為的三等分線，則N/0C的度數為（）

A.20°B.40°C.20°或40°D.20°或30°

6.（2023春,山東青島,七年級統考開學考試）如圖，有兩根木條，一根48長為80cm,另一根CD長為130cm,

在它們的中點處各有一個小圓孔加、N（圓孔直徑忽略不計，M、N抽象成兩個點），將它們的一端重合，

放置在同一條直線上，此時兩根木條的小圓孔之間的距離兒W是.

M_______________N_______________

A|IBCIID

圖1圖2

7.（23-24七年級上?四川成都?階段練習）如圖所示，已知/B=12,C是線段上的一個點，M是C/的中

4AN

點，N為5c中點，且滿足ZC+,求=.

3AM-------

I????

AMCNB

8.（2023秋?福建福州?七年級校考期末）已知線段48和線段CD在同一直線上，線段43（/在左，3在右）

的長為0,長度小于的線段CD（。在左，C在右）在直線上移動，M為NC的中點，N為的中

點，線段跖V的長為6,則線段CD的長為（用a,6的式子表示）.

9.（2023秋?湖北武漢?七年級統考期末）如圖，點C,。在線段上，P,。分別是ND的中點，若

…尸C

AB=3CD,則礪=.

PCQD

A'-------------j-------—-------'B

10.（2023秋?廣東梅州?七年級校考階段練習）已知403=50。,由定點。引一條射線，使得ZBOC=30。,

0M、ON分別是/Z08和280C的平分線，貝l|/MON=度.

11.（2024?山東?七年級專題練習）如圖，在N/O8的內部有3條射線OC、OD、OE,若N/OC=70。，Z

BOE^-ZBOC,ZBOD=-ZAOB,則°.（用含”的代數式表示）

nn

12.（2023秋?福建福州?七年級校考期末）已知有理數a,6滿足：,-2N+（2-6）2=0.如圖，在數軸上,

點。是原點，點/所對應的數是a,線段3C在直線CM上運動（點2在點C的左側），BC=b.

O1A

下列結論：①a=4,b=2；②當點3與點。重合時，/C=3；

③當點C與點/重合時，若點尸是線段3c延長線上的點，則尸O+R4=2尸3；

④在線段3C運動過程中，若M為線段03的中點，N為線段/C的中點，則線段的長度不變.

所有結論正確的序號是.

13.（2023春?天津濱海新?七年級校考期中）如圖，。為直線48上一點，/CO。=90。，OE平分N/OC,

0G平分/80C,OF平6/BOD,下列結論：?ZEOG=90°；②NDOE與NBOF互補;

@ZAOC-ZBOD=9CP；?ZDOG=-ZAOC.請你把所有正確結論的序號填寫在橫線上______

2

14.（2023春?安徽合肥?七年級校考開學考試）平面內，乙108=120。，C為內部一點，射線平分

ZAOC，射線CW平分ZBOC,射線OD平分AMON,當AAOC-ZCOD=30°時,ZBOC的度數是.

15.（2023秋?河南新鄉?七年級統考期末）小明在學習了比較線段的長短時對下面一道題產生了探究的興趣:

如圖1,點C在線段48上，M,N分別是/C,3c的中點.若43=6,AC=2,求MN的長.

IIIII

AMCNB

圖1

iiiii

AMCNB

圖2

（1）根據題意，小明求得兒W=.

（2）小明在求解（1）的過程中，發現九W的長度具有一個特殊性質，于是他先將題中的條件一般化，并開始

深入探究.設=C是線段上任意一點（不與點A,3重合），小明提出了如下三個問題，請你幫

助小明解答.①如圖1，M,N分別是NC,3c的中點，則兒W=.

②如圖2,M,N分別是NC,3C的三等分點，即M=BN=；BC,求跖V的長.

③若M,N分別是ZC,8c的”（“22）等分點，即BN=-BC,則肱V=

nn

16.（2023秋?福建泉州?七年級校考期末）【概念與發現】

當點C在線段上，=時，我們稱〃為點C在線段上的“點值”，記作

例如，點C是的中點時，即則名］=（；反之，當勺］=:時，則有=

21ABj2\AB）22

因此，我們可以這樣理解：與"/。="/十'具有相同的含義.

（1）【理解與應用】如圖，點C在線段上.若/C=3,AB=4,則小空］=;若d%］=2,

IABJIAB）m

則條——■

ACB

（2）【拓展與延伸】已知線段NB=10cm,點尸以lcm/s的速度從點/出發，向點2運動.同時，點。以3cm/s

的速度從點3出發，先向點/方向運動，到達點/后立即按原速向點2方向返回.當尸，。其中一點先到

達終點時，兩點均停止運動.設運動時間為單位：s）.

①小王同學發現，當點。從點8向點N方向運動時,的值是個定值，求正的值;

3

②f為何值時，d

5

17.（2023秋?河北邢臺?七年級校聯考期末）已知ZAOB=NCOD=90P,OE平