專題02三角形中的倒角模型之燕尾（飛鏢）型、風箏模型

近年來各地考試中常出現一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算（內角和

定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關系，求出所需的角。本專題就燕尾（飛鏢）型、風

箏（鷹爪）、翻角模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。

大家在掌握幾何模型時，多數同學會注重模型結論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導致本末倒

置。要知道數學題目的考察不是一成不變的，學數學更不能死記硬背，要在理解的基礎之上再記憶，這樣

才能做到對于所學知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發我們解決問題的關鍵就是基于己有知識、方法

的思路的適當延伸、拓展，所以學生在學習幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中

提煉識別幾何模型；②記住結論，但更為關鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因

為多數題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎要求，因為題目的多變性，若想在幾

何學習中突出，還需做到的是，在平時的學習過程中通過大題量的訓練，深刻認識幾何模型，認真理解每

一個題型，做到活學活用！

目錄導航］

例題講模型

........................................................................................................................................................1

模型L飛鏢模型（燕尾）模型.................................................................1

模型2.風箏（鷹爪）模型....................................................................5

模型3.角內（外）翻模型....................................................................7

例題講模型］

模型1.飛鏢模型（燕尾）模型

模型解讀

飛鏢（燕尾）模型看起來特別簡單，在復雜幾何圖形倒角時往往有巧妙的作用。因為模型像飛

鏢（回旋鏢）或燕尾，所以我們稱為飛鏢（燕尾）模型。

模型證明

基本模型：條件：如圖1,凹四邊形ABCD；結論：?ZBCD=ZA+ZB+ZD@AB+AD>BC+CD.

證明：連接AC并延長至點尸；在AABC中，/BCP=/BAC+/B；在△AC。中，ZDCP=ZCAD+ZD；

XzBAD=ZBAC+ZDAC,ZBCD=ZBCP+ZDCP；：.ZBAD+ZB+ZD=ZBCDo

延長BC交A。于點P；在AAB。中，AB+AQ>BC+CQ；在AO)。中，CQ+QD>CD。

即：AB+AQ+CQ+QD>BC+CQ+CD,HAB+AD>BC+CDo

拓展模型1：條件：如圖2,8。平分/ABC,。。平分/ADC；結論：ZO=1(ZA+ZC)O

2

證明：泮。平分NABC,。。平分/AOC；AZABO=-ZABC；ZADO^-ZADC；

22

根據飛鏢模型：ZBOD=ZABO+ZADO+ZA=1-ZABC+LZADC+ZA；ZBCD=ZABC+ZADC+ZA；

22

/.2ZB0D=ZABC+ZADC+2ZA=ZBCD+ZA；即N0=L(NA+NC)。

2

拓展模型2：條件：如圖3,AO平分CO平分/BCD；結論：ZO=1(ZD-ZB)o

2

證明：根據飛鏢模型：NDCB=/D+/B+NDAB，:.NDCB-/DAB=ND+/B,

平分NZMB,CO平分NBCD,:.NDCO=gNDCB,ZDAO=^ZDAB,

：.ZDCO-ZDAO=^(NDCB-/DAB)=1(ZD+ZB),

VZDEA=ZOEC,：.ZD+ZDAO=ZO+ZDCO,：.ZD-ZO=ZDCO-ZDAO,

：.ZD-ZO=^CZD+ZB)，即/。=；(ZD-ZB)

模型運用

例1.（2023?福建南平?八年級校考階段練習）請閱讀下列材料，并完成相應的任務：有趣的“飛鏢圖”.

如圖，這種形似飛鏢的四邊形，可以形象地稱它為“飛鏢圖”.當我們仔細觀察后發現，它實際上就是凹四邊

形.那么它具有哪些性質呢？又將怎樣應用呢?下面我們進行認識與探究：凹四邊形通俗地說，就是一個角

"凹’’逃去的四邊形，其性質有：凹四邊形中最大內角外面的角等于其余三個內角之和.

（即如圖1,NADB=/A+/B+NC）理由如下：

方法一：如圖2,連結AB,則在AABC中，ZC+ZCAB+ZCBA=180°,

即/l+/2+N3+N4+NC=180°,

又：在△48。中，Zl+Z2+ZADB=180°,

ZADB=Z3+Z4+ZC,即

方法二：如圖3,連結。并延長至F

VZ1和/3分別是AACO和的一個外角，.........

大家在探究的過程中，還發現有很多方法可以證明這一結論.

任務：（1）填空：“方法一”主要依據的一個數學定理是;

（2）探索及應用：根據“方法二”中輔助線的添加方式，寫出該證明過程的剩余部分.

例2.（2023?湖北?八年級專題練習）在社會實踐手工課上，小茗同學設計了一個形狀如圖所示的零件，如果

ZA=52°,ZB=25°,/C=30。,ND=35。,NE=72。，那么NF的度數是（）.

D

A.72°B.70°C.65°D.60°

例3.（2023?福建三明?八年級統考期末）如圖1所示的圖形，像我們常見的符號一箭號.我們不妨把這樣

圖形叫做“箭頭四角形

圖1圖2圖3

探究：（1）觀察“箭頭四角形"，試探究。與NA、/、NC之間的關系，并說明理由；

應用：（2）請你直接利用以上結論，解決以下兩個問題：

①如圖2,把一塊三角尺屹放置在AABC上，使三角尺的兩條直角邊XY.XZ恰好經過點8、C,若NA=60。,

則NABX+NACX=；②如圖。3,NABE、—ACE的2等分線（即角平分線）BF、CF相交于

點、F,若Zfl4c=60。，ZBEC=130°,求bC的度數；

拓展：（3）如圖4,BO,,CQ分別是NAB。、ZACO的2020等分線（7=1,2,3,…,2018,2019）,它們的交點

從上到下依次為。1、a、°3.........O2oi9.已知/BOC=m°,ZBAC=n°,則NBQ000c=_度.

例4.（2023?廣東?八年級期中）如圖，在三角形ABC中，AB>AC>BC,為三角形內任意一點，連結AP,

并延長交BC于點。.求證：(1)AB+AC>AD+BC；(2)AB+AC>AP+BP+CP.

BDC

模型2.風箏（鷹爪）模型

模型解讀

A

模型證明

1）鷹爪模型：結論：ZA+ZO=Z1+Z2；

證明：是三角形A8。的外角，：.Zl=ZBAO+ZBOA；同理，Z2=ZCAO+ZCOA；

：.Zl+Z2,=ZBA0+ZB0A+ZCA0+ZC0A=ZBA0+ZCA0+ZB0A+ZC0A=ZBAC+ZB0C=ZA+Z0o

2）鷹爪模型（變形）：結論：ZA+ZO=Z2-Zlo

證明：是三角形A3。的外角，：.Z1=ZBAO+ZBOA；同理，Z2=ZDA0+ZD0A；

：.Z2-Z1=ZDAO+ZDOA-CZBAO+ZBOA^>=（ZDAO-ZBAO）+CZDOA-ZBOA）

=ZBAD+ZBOD=ZA+ZOo

模型運用

例1.（2023?四川綿陽?八年級校考階段練習）如圖，四邊形48。中，Nl、N2、/3分別為NA、NB、ZC

的外角?判斷下列大小關系何者正確？（）

A.Z1+Z3=ZABC+ZDB.Z1+Z3<ZABC+ZDC.N1+N2+N3=360。D.Zl+Z2+Z3>360°

例2.（2023?江蘇連云港?七年級?？茧A段練習）【問題情境】已知NA,在-A的兩邊上分別取點以C,在

NA的內部取一點。，連接03、OC.設NOA4=N1,1OCA?2,探索NBOC與—A、Nl、N2之間

的數量關系.

圖1圖2圖3

【初步感知】如圖1,當點。在AABC的邊3c上時，ZBOC=180°,此時NA+/1+N2=18O。，則N3OC與

NA、Nl、N2之間的數量關系是/BOC=NA+N1+N2.

【問題再探】（1）如圖2,當點。在AABC的內部時，請寫出N3OC與—A、Nl、N2之間的數量關系并

說明理由；（2）如圖3,當點。在AMC的外部時，/3OC與—A、Nl、N2之間的數量關系是；

【拓展延伸】（1）如圖4,N1、/2的外角平分線相交于點P.

①若ZA=50。，ZBOC=100°,則NP=°；②若？BOC4?A且N尸=30°,則ZA=°；

③直接寫出N30C與NA、2尸之間的數量關系；

（2）如圖5,N1的平分線與N2的外角平分線相交于點。，則/。=（用N3OC、/A表示）.

例3.（23-24七年級下?山東聊城?期末）如圖，在AABC中，NA=80。，點。、E是AABC邊AC、AB上的

點;，點尸是平面內一動點.令NPDC=N1,NPEB=N2,NDPE=Na.

（1）若點尸在線段8C上，如圖1所示，Zcr=50°,求N1+N2的值；

⑵若點尸在邊5c上運動，如圖2所示，則/a、Nl、N2之間的關系；

（3）若點尸運動到邊CB的延長線上，如圖3所示，則/a、Nl、N2之間有何關系？猜想并說明理由;

⑷若點尸運動到44BC外，如圖4所示，則請表示Na、Nl、N2之間的關系，并說明理由.

模型3.角內（外）翻模型

模型解讀

圖3圖4

模型證明

條件：如圖3,將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當點C落在四邊形ABFE內部時，

結論：2/C=Nl+N2；

證明：是三角形CC'E的外角，：./l=/ECC*/ECC；同理，Z2=ZFCC,+ZFC,C；

Zl+Z2=ZECC'+ZECC+ZFCC+ZFC'C=ZECC+ZFCC+ZECC+ZFC'C=ZECF+NFCE=2ZC。

條件：如圖4,將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當點C落在四邊形ABFE外部時，

結論：2NC=/2-/l。

證明：是三角形。。￡的外角，：./l=/ECC*/ECC同理，Z2=ZFCC,+ZFC,C；

Z2-Z1=ZFCC'+ZFC'C-QECC&/ECC）=（FCC,-ZECC,）+QFCC-NEC'C）

=AEC'F+4FCE=2ZC。

模型運用

例L（23-24八年級上?廣西南寧?期中）如圖，在折紙活動中，小李制作了一張VABC的紙片，點。，E分

別在邊力B,AC上，將VABC沿著0E折疊壓平，A與A重合，若Nl+N2=130。，則ZA=.

例2.（23-24八年級下.山東德州?開學考試）如圖，把VABC紙片沿DE折疊，當點A落在四邊形BCED的

外面時，此時測得4=112。，ZA=40°,則/2的度數為（）

A.32°B.33°C.34°D.36°

例3.（2023春?江蘇宿遷?七年級?？计谥校?）如圖1,將"LBC紙片沿DE折疊，使點A落在四邊形3CDE

內點A的位置.則/A、NA'DC、NA'￡B之間的數量關系為：；

（2）如圖2,若將（1）中“點A落在四邊形BCDE內點A的位置”變為“點A落在四邊形3CDE外點A的位

置”，則此時NAZA'DC、NAM之間的數量關系為：；

（3）如圖3,將四邊形紙片ABCD（ZC=90°,AB^CD不平行）沿EF折疊成圖3的形狀,若川EC=115°,

ZA'FB=45°,求/ABC的度數；

（4）在圖3中作出/DEC、/A'EB的平分線EG、FH,試判斷射線EG、FH的位置關系，當點E在。C邊上

向點C移動時（不與點C重合），ZD'EC.NA'EB的大小隨之改變（其它條件不變），上述EG,尸〃的位置

關系改變嗎？為什么？

圖2圖3

習題練模型

1.（2024.山東七年級期中）如圖，把A48C紙片沿QE折疊，當A落在四邊形BCDE內時，則NA與21+

Z2之間有始終不變的關系是（）

A.ZA=Z1+Z2B.2ZA=Z1+Z2C.3A=Z1+Z2D.3ZA=2(Z1+Z2)

2.（2023?河南?八年級假期作業）如圖，在AABC中，ZA=20°,,ABC與/ACS的角平分線交于2,ZABD,

與ZACDt的角平分線交于點A,依此類推，ZABD,與ZACD,的角平分線交于點D5,則NBD5c的度數是（）

3.（2023?廣東廣州?八年級統考期中）如圖，Zl,Z2,Z3,N4滿足的關系式是（）

A.Z1+Z2=Z3+Z4B.Z1+Z2=Z4-Z3C.Z1+Z4=Z2+Z3D.Z1+Z4=Z2-Z3

4.（2023春?河南洛陽?七年級統考期末）如圖，在五邊形ABCDE中，若去掉一個30。的角后得到一個六邊形

BCDEMN,則N1+N2的度數為（）

A.100°B.105°C.200°D.210°

5.（2024.江蘇.模擬預測）如圖，將四邊形紙片ABCD沿MN折疊，使點A落在四邊形CDMN外點4的位置,

點8落在四邊形CDMN內點？的位置，若？。90?,Z2-Z1=36°,則NC等于（）

A.36°B.54°C.60°D.72°

6.（2023?福建三明?八年級統考期末）如圖AABC中，將邊BC沿虛線翻折，若/1+/2=110。，則NA的度

7.（2023春?山東濰坊?七年級統考期末）在AABC中，ZB=40°,ZC=75°,將26、/C按照如圖所示折

疊，若NAD3'=35°,則4+N2+N3=°

8.（2023?河北保定?統考模擬預測）如圖，用鐵絲折成一個四邊形ABCZX點C在直線8。的上方），且NA=70。,

ZBCD=120°,若使NABC、NAOC平分線的夾角NE的度數為100°,可保持NA不變，將NBCD（填

‘增大"或‘減小”）

A

9.(2023春?江蘇?七年級專題練習)如圖，8E是—ABD的平分線，CF是NACD的平分線，BE與CF交于

G,若N3DC=140。，ZBGC=UO°,貝lJZA=

10.(2023?重慶?八年級統考期末)已知，如圖，P,。為三角形ABC內兩點，B,P,Q,C構成凸四邊形.

求證：AB+AC>BP+PQ+QC.

11.(2023春?福建福州?七年級?？计谀?如圖①，凹四邊形ABCD形似圓規，這樣的四邊形稱為“規形”，

(1)如圖①，在規形ABCD中，若NA=80。，ZBDC=130°,ZACD=30°,則°；

(2)如圖②，將AABC沿DE,EF翻折，使其頂點A,8均落在點。處，若NCDO+NCFO=72°,則ZC=°

(3)如圖③，在規形ABCD中，ZBAC.ZBQC的角平分線AE、DE交于點、E,且4>NC,試探究

/C,2E之間的數量關系，并說明理由.

圖①圖②圖③

12.（2023?北京?一模）在課外活動中，我們要研究一種凹四邊形一燕尾四邊形的性質.

定義1：把四邊形的某些邊向兩方延長，其他各邊有不在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凹四邊

形（如圖1）.

（1）根據凹四邊形的定義，下列四邊形是凹四邊形的是（填寫序號）

定義2：兩組鄰邊分別相等的凹四邊形叫做燕尾四邊形（如圖2）.

特別地，有三邊相等的凹四邊形不屬于燕尾四邊形.

小潔根據學習平行四邊形、菱形、矩形、正方形的經驗，對燕尾四邊形的性質進行了探究.

下面是小潔的探究過程，請補充完整：（2）通過觀察、測量、折疊等操作活動，寫出兩條對燕尾四邊形性

質的猜想，并選取其中的一條猜想加以證明；（3）如圖2,在燕尾四邊形ABC。中，AB=AD=6,BC=DC=4,

ZBCD=120°,求燕尾四邊形ABC。的面積(直接寫出結果).

13.(2023春?福建福州?七年級?？计谀?如圖①，凹四邊形ABCD形似圓規，這樣的四邊形稱為“規形”,

圖①圖②圖③

(1)如圖①，在規形ABCD中，若NA=80。，ZBDC=130°,ZACD=3O。，則NABD=

(2)如圖②,將MBC沿DE,EF翻折，使其頂點A,B均落在點。處，若ZCDO+ZCFO=72°,則ZC=

(3)如圖③，在規形ABCD中，/BAC、ZBOC的角平分線AE、DE交于點、E,且NB>NC,試探究

ZC,-E之間的數量關系，并說明理由.

14.(2023?河北?八年級專題練習)如圖①所示是一個飛鏢圖案，連接A8,BC,我們把四邊形ABCD叫做“飛

鏢模型”.

(1)求證：NADC=ND4B+ZOCB+NABC；(2)如圖②所示是一個變形的飛鏢圖案，CE與BF交于點

D,若NEER=120。，求上4+々+"+?+/石+/尸的度數.

c

E.A

圖①圖②

15.（2023春?江蘇連云港?七年級校聯考階段練習）我們在小學已經學習了“三角形內角和等于180?！?在三

（1）如圖1,當點C落在邊8C上時，若/ADC'=58。，則/C=,可以發現/ADC'與—C的數量關系

是；（2）如圖2,當點C落在AABC內部時，且/BEC'=42。，ZADC'=20°,求—C的度數；（3）如圖

3,當點C落在AABC外部時，若設/3EC的度數為無，/ADC的度數為》請求出NC與x,y之間的數量

關系.

16.（2024.江蘇揚州?七年級?？计谀┤鐖D①，把AABC紙片沿OE折疊，使點A落在四邊形3CE。內部點

4的位置，通過計算我們知道：244=/1+/2.請你繼續探索：

⑴如果把AABC紙片沿OE折疊，使點A落在四邊形BCED的外部點A的位置，如圖②，此時,A與/1、Z2

之間存在什么樣的關系？（2）如果把四邊形A8C￡＞沿時折疊，使點A、。落在四邊形BCPE的內部4、D的

位置，如圖③，你能求出NA、〃、N1與N2之間的關系嗎？（直接寫出關系式即可）

17.（2024?江蘇?七年級統考期中）【概念學習】在平面中，我們把大于180。且小于360。的角稱為優角，如果

兩個角相加等于360。，那么稱這兩個角互為組角，簡稱互組.

（1）若Nl、N2互為組角，且4=135。，則N2=°；

【理解運用】習慣上，我們把有一個內角大于180。的四邊形俗稱為鏢形.

（2）如圖①，在鏢形ABCD中，優角/BCD與鈍角/BCD互為組角，試探索內角NA、/B、/D與鈍角

NBCD之間的數量關系，并說明理由；

【拓展延伸】（3）如圖②，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=；（用含a的代數式表示）

（4）如圖③，已知四邊形ABC。中，延長AZK交于點。，延長A3、DC交于P,ZAPD,—AQ8的

平分線交于點M，NA+/QCP=180。；①寫出圖中一對互組的角（兩個平角除外）；

②直接運用（2）中的結論，試說明：PM±QM.

⑸如圖④，BO：、C。,分別為/AB。，NACO的2019等分線（:1,2,3,…,2017,2018）.它們的交點從上

到下依次為Q，。2，03,!?2018.已知/BOC=〃?。，NBAC=n。,則/臺。。?。=°.（用含加、

”的代數式表示）

A

18.(2023?云南保山?八年級校考期中)已知：點。是AABC所在平面內一點，連接A。、CD.

(1)如圖1,若/A=28。，ZB=72°,ZC=11°,求/AOC；(2)如圖2,若存在一點P,使得PB平分/

ABC,同時產。平分NAOC,探究/A,/P,NC的關系并證明；(3)如圖3,在(2)的條件下，將點。

移至/ABC的外部，其它條件不變，探究/A,ZP,/C的關系并證明.

19.(2023春?江蘇泰州?七年級校聯考期中)已知，在“1BC中，Zfi4c=/4BC,點。在上，過點。的一

條直線與直線AC、BC分別交于點E、F.(1)如圖1,NR4c=70。，貝|NCFE+/EEC=°.

(2)如圖2,猜想Z5AC、NFEC、/CPE之間的數量關系，并加以證明；

(3)如圖3,直接寫出,BAC、NFEC、/CFE之間的數量關系.

20.（23-24八年級下?貴州銅仁?期中）（1）如圖1,已知VA3C為直角三角形,=90°,若沿圖中虛線剪

去NC,貝I]Nl+N2=

（2）如圖2,已知VABC中，ZA=45°,剪去2后成四邊形，則Nl+N2=—

（3）如圖3,當NA=cr時，將2A折成如圖3形狀，試求N1+N2的度數（用含的式子表不）.

專題02三角形中的倒角模型之燕尾（飛鏢）型、風箏模型

近年來各地考試中常出現一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算（內角和

定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關系，求出所需的角。本專題就燕尾（飛鏢）型、風

箏（鷹爪）、翻角模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。

大家在掌握幾何模型時，多數同學會注重模型結論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導致本末倒

置。要知道數學題目的考察不是一成不變的，學數學更不能死記硬背，要在理解的基礎之上再記憶，這樣

才能做到對于所學知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發我們解決問題的關鍵就是基于己有知識、方法

的思路的適當延伸、拓展，所以學生在學習幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中

提煉識別幾何模型；②記住結論，但更為關鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因

為多數題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎要求，因為題目的多變性，若想在幾

何學習中突出，還需做到的是，在平時的學習過程中通過大題量的訓練，深刻認識幾何模型，認真理解每

一個題型，做到活學活用！

目錄導航］

例題講模型

.........................................................................................................................................18

模型L飛鏢模型（燕尾）模型................................................................18

模型2.風箏（鷹爪）模型....................................................................24

模型3.角內（外）翻模型....................................................................28

例題講模型］

模型1.飛鏢模型（燕尾）模型

模型解讀

飛鏢（燕尾）模型看起來特別簡單，在復雜幾何圖形倒角時往往有巧妙的作用。因為模型像飛

鏢（回旋鏢）或燕尾，所以我們稱為飛鏢（燕尾）模型。

模型證明

基本模型：條件：如圖1,凹四邊形ABCD；結論：?ZBCD=ZA+ZB+ZD@AB+AD>BC+CD.

證明：連接AC并延長至點尸；在AABC中，/BCP=/BAC+/B；在△AC。中，ZDCP=ZCAD+ZD；

XzBAD=ZBAC+ZDAC,ZBCD=ZBCP+ZDCP；：.ZBAD+ZB+ZD=ZBCDo

延長BC交A。于點P；在AAB。中，AB+AQ>BC+CQ；在AO)。中，CQ+QD>CD。

即：AB+AQ+CQ+QD>BC+CQ+CD,HAB+AD>BC+CDo

拓展模型1：條件：如圖2,8。平分/ABC,。。平分/ADC；結論：ZO=1(ZA+ZC)O

2

證明：泮。平分NABC,。。平分/AOC；AZABO=-ZABC；ZADO^-ZADC；

22

根據飛鏢模型：ZBOD=ZABO+ZADO+ZA=1-ZABC+LZADC+ZA；ZBCD=ZABC+ZADC+ZA；

22

/.2ZB0D=ZABC+ZADC+2ZA=ZBCD+ZA；即N0=L(NA+NC)。

2

拓展模型2：條件：如圖3,AO平分CO平分/BCD；結論：ZO=1(ZD-ZB)o

2

證明：根據飛鏢模型：NDCB=/D+/B+NDAB，:.NDCB-/DAB=ND+/B,

平分NZMB,CO平分NBCD,:.NDCO=gNDCB,ZDAO=^ZDAB,

：.ZDCO-ZDAO=^(NDCB-/DAB)=1(ZD+ZB),

VZDEA=ZOEC,：.ZD+ZDAO=ZO+ZDCO,：.ZD-ZO=ZDCO-ZDAO,

：.ZD-ZO=^CZD+ZB)，即/。=；(ZD-ZB)

模型運用

例1.（2023?福建南平?八年級?？茧A段練習）請閱讀下列材料，并完成相應的任務：有趣的“飛鏢圖”.

如圖，這種形似飛鏢的四邊形，可以形象地稱它為“飛鏢圖”.當我們仔細觀察后發現，它實際上就是凹四邊

形.那么它具有哪些性質呢？又將怎樣應用呢?下面我們進行認識與探究：凹四邊形通俗地說，就是一個角

"凹’’逃去的四邊形，其性質有：凹四邊形中最大內角外面的角等于其余三個內角之和.

（即如圖1,NADB=/A+/B+NC）理由如下：

方法一：如圖2,連結AB,則在AABC中，ZC+ZCAB+ZCBA=180°,

即/l+/2+N3+N4+NC=180°,

又：在△48。中，Zl+Z2+ZADB=180°,

ZADB=Z3+Z4+ZC,即

方法二：如圖3,連結。并延長至F

VZ1和/3分別是AACO和的一個外角，.........

大家在探究的過程中，還發現有很多方法可以證明這一結論.

任務：（1）填空：“方法一”主要依據的一個數學定理是;

（2）探索及應用：根據“方法二”中輔助線的添加方式，寫出該證明過程的剩余部分.

【答案】（1）三角形的內角和定理（2）見解析

【分析】（1）根據解題過程作答即可；（2）連結C。并延長至凡由三角形外角的性質即可證明.

【詳解】（1）由解題過程可得，“方法一”主要依據的一個數學定理是三角形的內角和定理，

故答案為：三角形的內角和定理；

（2）連結CD并延長至尸，和/3分別是“C。和△BCO的一個外角，

Zl=Z2+ZA,Z3=Z4+ZB,.-.Z1+Z3=Z2+ZA+Z4+ZB,ZADB=ZA+ZACB+ZB.

【點睛】本題考查了三角形的內角和定理和三角形外角的性質，準確理解題意，熟練掌握知識點是解題的

關鍵.

例2.（2023?湖北?八年級專題練習）在社會實踐手工課上，小茗同學設計了一個形狀如圖所示的零件，如果

ZA=52°,ZB=25°,ZC=30°,ZD=35°,ZE=72°,那么/尸的度數是（）.

A

【答案】B

【分析】延長BE交CF的延長線于0,連接AO,根據三角形內角和定理求出/BOC,再利用鄰補角的性質

求出/QEO,再根據四邊形的內角和求出/DHO,根據鄰補角的性質即可求出的度數.

【詳解】延長BE交CF的延長線于。，連接A。，如圖，

,/ZOAB+ZB+ZAOB=180°,/.ZAOB=180°-ZB-ZOAB,

同理得440。=180°-/。4。-",：ZAOB+ZAOC+ZBOC=360°,

o

/.ZBOC=360O-ZAOB-ZAOC=360°-(180-ZJB-ZOAB)-(180°-ZOAC-ZC)

=NB+NC+ABAC=107°,

?/ABED=72°,ZDEO=180°-ABED=108°,

ZDFO=360°-ZD-ZDEO-Z.EOF=360o-35°-108o-107°=110°,

“P。=180°—/0尸0=180°—110°=70°,故選：B.

【點睛】本題考查三角形內角和定理，多邊形內角和，三角形的外角的性質，鄰補角的性質，解題關鍵是

會添加輔助線，將已知條件聯系起來進行求解.三角形外角的性質：三角形的一個外角等于與它不相鄰的

兩個內角的和；鄰補角性質：鄰補角互補；多邊形內角和：180。("-2).

例3.(2023?福建三明?八年級統考期末)如圖1所示的圖形，像我們常見的符號一箭號.我們不妨把這樣

圖形叫做“箭頭四角形

AA

AA

探究：（1）觀察“箭頭四角形"，試探究N3DC與NA、NB、NC之間的關系，并說明理由;

應用：（2）請你直接利用以上結論，解決以下兩個問題:

①如圖2,把一塊三角尺屹放置在AABC上，使三角尺的兩條直角邊XF、XZ恰好經過點8、C,若NA=60。,

則NABX+NACX=；②如圖。3,NABE、/ACE的2等分線（即角平分線）BF、C尸相交于

點尸，若Zfi4c=60。，ZBEC=130°,求/3PC的度數；

拓展：（3）如圖4,BOt,C。,分別是ZABO、ZACO的2020等分線（7=1,2,3,…,2018,2019）,它們的交點

從上到下依次為。1、。2、U、…、O2oi9.已知々OC=〃7°,ZBAC=n°,則NBOMOC一度.

【答案】（1）ZBDC=ZA+ZB+ZC,理由見詳解；（2）①30；②95。；（3）——~-

【分析】⑴連接AD并延長至點E,利用三角形外角的性質得出NBDE=ZBAD+ZB,ZCDE=ZCAD+ZC,

左右兩邊相加即可得出結論；（2）①直接利用（1）中的結論有NBXC=NA+NABX+NACX,再把已知的

角度代入即可求出答案；②先根據/班。=/胡。+//腔+44小求出//睡+44小，然后結合角平分線

的定義再利用NBFC=ABAC+ZABF+ZACF=ABAC+-（/ABE+ZACE）即可求解；

2

（3）先根據N3OC=N3AC+NABO+NACO求出Z4BO+NACO,再求出NAB。。。。+/ACO］。。。的度數，最

后利用ZBO1000C=ZBAC+ZABO1000+ZACO1000求解即可.

【詳解】（1）如圖，連接AD并延長至點E,丫NBDE=NBAD+NB,NCDE=NCAD+NC,

又,/NBDC=ZBDE+ZCDE,ABAC=ABAD+ACAD,：.ZBDC=ABAC+ZB+ZC

（2）①由（1）可知NBXC=NA+/ABX+NACX

VZA=60°,ZBXC=90°ZABX+ZACX=NBXC-ZA=90°-60°=30°

②由（1）可知/BECu/fiAC+ZABE+ZACE1

ZBAC=600,ZBEC=130°AABE+ZACE=ZBEC-ZBAC=130°-60°=70°

?.?3/平分/ABE,CF平分NACEABF=-ABE,ACF=-ACE

22

NBFC=ABAC+ZABF+ZACF=ABAC+1(NABE+ZACE)=95°

(3)由(1)可知4OC=NBAC+ZABO+ZACO

"?ZBOC=m°,ABAC=“°/.ZABO+ZACO=ZBOC-ABAC=m°-n°

,?BO,,CO,分別是ZAB。、NACO的2020等分線d=1,2,3,…,2018,2019)

.,.?,.m°-n°50m°-50n°

,,NABDQooo+NACOiooo=2020X1°°°=

50m°+51〃°

???^BOlW0C=ABAC+ZABOim+ZACOI000=———

【點睛】本題考查三角形外角的性質，角平分線的定義，掌握三角形外角的性質和角平分線的定義是解題

的關鍵.

例4.(2023?廣東?八年級期中)如圖，在三角形A8C中，AB>AC>BC,為三角形內任意一點，連結A尸,

并延長交BC于點D求證：(1)AB+AC>AD+BC；(2)AB+AC>AP+BP+CP.

【詳解】(1)VAB>AC,：.ZABD<ZACD,VZADB>ZACD,：.ZADB>ZABD,：.AB>AD

'：AC>BC,：.AB+AC>AD+BC

(2)過點尸作EF〃3C,交AB、AC于E、F,則N/4EF=NABC,ZAFE^ZACB

由(1)知AE+AF>AP+EF

VBE+EP>BP,CF+FP>CP：.(AE+BE)+(AF+CF)+(EP+FP)>AP+BP+CP+EF

即AB+AC>AP+BP+CP(幾何證明中后一問常常要用到前一問的結論)

模型2.風箏（鷹爪）模型

模型解讀

A

模型證明

1）鷹爪模型：結論：ZA+ZO=Z1+Z2；

證明：是三角形A8。的外角，：.Zl=ZBAO+ZBOA；同理，Z2=ZCAO+ZCOA；

：.Zl+Z2,=ZBA0+ZB0A+ZCA0+ZC0A=ZBA0+ZCA0+ZB0A+ZC0A=ZBAC+ZB0C=ZA+Z0o

2）鷹爪模型（變形）：結論：ZA+ZO=Z2-Zlo

證明：是三角形A3。的外角，：.Z1=ZBAO+ZBOA；同理，Z2=ZDA0+ZD0A；

：.Z2-Z1=ZDAO+ZDOA-CZBAO+ZBOA^>=（ZDAO-ZBAO）+CZDOA-ZBOA）

=ZBAD+ZBOD=ZA+ZOo

模型運用

例1.（2023?四川綿陽?八年級校考階段練習）如圖，四邊形48。中，Nl、N2、/3分別為NA、NB、ZC

的外角?判斷下列大小關系何者正確？（）

A.Z1+Z3=ZABC+ZDB.Z1+Z3<ZABC+ZDC.N1+N2+N3=360。D.Zl+Z2+Z3>360°

【答案】A

【分析】根據多邊形的外角和是360。及三角形的外角定理求解判斷即可.

【詳解】解：如圖，連結2D延長AD到4

?/Z1=ZABD+ZADB,Z3=ZDBC+ZBDC,

Z1+Z^ZABD+ZADB+ZDBC+ZBDC=ZABC+ZADC,

故選項A正確，符合題意；B不正確，不符合題意;

,多邊形的外角和是360°,Z1+Z2+Z3+ZEDC=360°Zl+Z2+Z3<360°

故選項C不正確，不符合題意；選項。不正確，不符合題意.故選：A.

【點睛】此題考查了多邊形的內角與外角，熟記多邊形的外角和是360。是解題的基礎.

例2.（2023?江蘇連云港?七年級?？茧A段練習）【問題情境】已知1A,在，A的兩邊上分別取點2、C,在

NA的內部取一點。，連接。3、OC.設NOA4=NL?OCA?2,探索NBOC與NA、Nl、N2之間

圖1圖2圖3

【初步感知】如圖1,當點。在AABC的邊8C上時，ZBOC=180°,此時NA+Nl+/2=180。，則N30C與

NA、Nl、N2之間的數量關系是N3OC=/A+N1+N2.

【問題再探】（1）如圖2,當點。在&4BC的內部時，請寫出N3OC與/A、Nl、N2之間的數量關系并

說明理由；（2）如圖3,當點。在AABC的外部時，/BOC與NA、/I、N2之間的數量關系是；

【拓展延伸】（1）如圖4,Nl、N2的外角平分線相交于點P.

①若NA=50°,ZBC>C=100°,則NP=°；②若？BOC4?A且NP=30。，貝U/A=°；

③直接寫出N3OC與NA、IP之間的數量關系；

（2）如圖5,N1的平分線與N2的外角平分線相交于點。，則/。=（用N3OC、-A表示）.

圖4圖5

【答案】［問題再探］(1)結論：ZBOC=ZBAC+Z1+Z2.證明見解析；(2)NBOC+NBAC+N1+N2=360。；

［拓展延伸］(1)①25；②20；@ZBOC=ZA+2ZP；(2)|(180°+ZA-ZBOC)

【分析】［問題再探］(1)如圖2中，結論：ZBOC=ZBAC+Z.1+Z2.連接49,延長A。到廠.利用三角

形的外角的性質解決問題即可.(2)利用四邊形內角和定理解決問題即可.

［拓展延伸］(1)①求出Nl+/2=210。，再利用結論，構建關系式即可解決問題.

②根據Zl+Z2=360°-5ZA=360°-2(4ZA-30°),可得結論.

③根據Nl+N2=360。-ZA-NBOC=360°-2(/BOC-NP),可得結論.

(2)結論：ZBOC+ZQ-ZA=180°.ZABQ=ZOBQ=x,ZACQ=y.構建方程組求解即可.

【詳解】解：［問題再探］(1)如圖2中，結論：ZBOC=ABAC+Zl+Z2.

理由：連接AO,延長A。到產.

■.■ZBOF=ZBAF+Zl,ZFOC=ZFAC+Z2,

Z.BOC=NBOF+ZFOC=NBAF+Z1+ZFAC+Z2=ABAC+Z1+Z2.

(2)如圖3中，結論：ZBOC+ABAC+Zl+Z2=360°.

理由：連接AO.?/Zl+ZBAO+ZBOA=180°,Z2+ZCAO+ZAOC=180°,

Z1+ZBAO+ZBOA+Z2+ZCAO+ZAOC=360°,ZBOC+ABAC+Z.1+Z2=360°.

［拓展延伸］①如圖4中，VZA=50°,ZBOC=100°,Zl+Z2=360°-50°-100°=210°,

???4、N2的外角平分線相交于點尸，.?./尸20+/尸。。=：(360。-210。)=75。，

ZP=ZBOC-ZPBO-ZPCO=100°-75°=25°,故答案為：25.

@-.-ZBOC=4ZA,ZP=30°,Zl+Z2=360°-5ZA=360°-2(4ZA-30°),.-.ZA=2O0,故答案為：20.

(§)?.?Zl+Z2=360°-NA-ZBOC=360°-2(ZBOC-ZP),ZBOC=ZA+2ZP.

(2)如圖5中，結論：2ZQ=1SO°+ZA-ZBOC.理由：ZABQ=ZOBQ=x,ZACQ=y.

ZA+x=ZQ+y@

則有②一①可得，2ZQ=180°+ZA-ZBOC,

NQ+x+ZBOC+N2+y=360。②

即/。=；(180。+/4-/20。)，故答案為：1(180°+ZA-ZBOC).

【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了三角形內角和定理，三角形的外角的性質，角平分線的定義等

知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，把四邊形轉化為三角形解決，學會利用參數構建方程組解決問

題，屬于中考壓軸題.

例3.(23-24七年級下?山東聊城?期末)如圖，在AABC中，ZA=80°,點。、E是“LBC邊AC、AB上的

點，點尸是平面內一動點.令/PDC=AZPEB=N2,ZDPE=Za.

(1)若點尸在線段BC上，如圖1所示，Zcr=50°,求N1+N2的值；

(2)若點尸在邊8