由線段關系產生的函數關系問題

L如圖1拋物線y=ax2+bx{a<0)經過點E(10,0)矩形ABCD的邊AB在線段OE上(點A在點B的左邊),

點C、D在拋物線上.設A(t,0),當t=2時,AD=4.

⑴求拋物線的函數表達式；

(2)當t為何值時，矩形ABCD的周長有最大值？最大值是多少?

(3)保持t=2時的矩形ABCD不動，向右平移拋物線，當平移后的拋物線與矩形的邊有兩個交點G、H,且直線

GH平分矩形的面積時，求拋物線平移的距離.

2.如圖1,拋物線.y=ax2+bx-3經過A(l,0)、B(-3,0)兩點，直線AD交拋物線于點D,點D的橫坐標為-2,

點P(m,n)是線段AD上的動點.

(1)求直線AD及拋物線的解析式；

⑵過點P的直線垂直于x軸，交拋物線于點Q,求線段PQ的長度1與m的關系式，m為何值時，PQ最

長?

(3)在平面內是否存在整點(橫坐標、縱坐標都為整數)R，使得以P、Q、D、R為頂點的四邊形是平行四邊形？若

存在，直接寫出點R的坐標；若不存在，請說明理由.

圖1

3如圖,在梯形ABCD中,AD〃BC,AB=CD,AD=5,BC=15,cos/ABC=亮E為射線CD上任意一點(點E與點C

不重合)，過點A作AF//BE，與射線CD相較于點F.聯結BF，與直線AD相較于點G(點G與點A、D都不重合).

設CE=x喘=y.

⑴求AB的長;

(2)當點G在線段AD上時，求y關于x的函數解析式，并寫出函數的定義域；

s

⑶如果產經=|,求線段CE的長.

SWABCD

備川圖

4如圖在四邊形ABCD中，已知AB=2,CD=3,P是對角線BD上的一個點，PE\\AB^AD于E,PF||CD交

BC于F.設PE=x,PF=y,求y關于x的函數關系式.

5如圖在平面直角坐標系中點A的坐標為(0,4)點B是x軸上的一個動點AB平分/OAC,且4ABC=90°.

設點C的坐標為(x,y),求y關于x的函數關系式

6.如圖，在矩形ABCD中，AB=9,BC=15.將點B翻折到AD邊上的點M處，折痕與AB相交于點E,與

BC相交于點F.如果.AM=x,BE=y,,求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍.

7如圖,在梯形ABCD中,.AD\\BC,Z.B=90°,AD=4,AB=6,BC=10,點E是AB邊上的一個動點，EF〃BC

交DC于F.以EF為斜邊在EF的下方作等腰直角三角形EFG,射線EG、FG分別與邊BC交于點M、N.如果EF=x,

MN=y，求y關于x的函數關系式.

BNMC

8.如圖，在邊長為5的菱形ABCD中，cosa=|,點P為邊AB上一點，以A為圓心、AP為半徑的。A與邊

AD交于點E.設AP=x,CE=y，求y關于x的函數關系式及定義域.

9如圖，在AABC中,AB=AC=6,BC=4,G)B與邊AB相交于點D,與邊BC相交于點E,設。B的半徑為x.

⑴當0B與直線AC相切時，求x的值；

⑵設DC的長為y,求y關于x的函數解析式，并寫出定義域.

10在R3ABC中,NACB=9(T,BC=30,AB=50點P是AB邊上任意一點，直線PELAB與邊AC或BC相交于

E.點M在線段AP上點N在線段BP上,EM=EN,sinZEMP=g.

(1)如圖1,當點E與點C重合時，求CM的長；

(2)如圖2,當點E在邊AC上時點E不與點A、C重合，設AP=x,BN=y，求y關于x的函數關系式，并寫出函數的

定義域；

⑶若AAMES^ENB(AAME的頂點A、M、E分別與AENB的頂點E、N、B對應)，求AP的長.

A

B

圖1圖2備用圖

11如圖1,在RtAABC中,NACB=90。.半徑為1的圓A與邊AB相交于點D二與邊AC相交于點E,連結DE并

延長，與線段BC的延長線交于點P.

⑴當/B=30。時，連結AP,若AAEP與ABDP相似，求CE的長；

(2)若CE=2,BD=BC,求/BPD的正切值；'CP

圖】

(3)若tan乙BPD=:，設CE=x,AABC的周長為y,求y關于x的函數關系式.

RCPBCP

圖2(備用)圖3(備用)

1.滿分解答

(1)因為拋物線與X軸交于0、E(10,0)兩點設y=ax(x-10).

代入點D(2,4%得4=-16a.

解得a=一;.所以y=一，(X-10)=-i%2+1%.

444/

⑵由OE=10,OA=BE=L得AB=10-2t.

當x=t時，AD=-^-t2+11.

所以矩形ABCD的周長=2(-if2+11+10-2t)=-Jt2+t+20.

\4Z/Z

當t=l時，矩形ABCD的周長取得最大值，最大值為藍(如圖2所示).

(3)已知A(2,0),B(8,0),C(8,4),D(2,4),所以矩形的對稱中心為Q(5,2).

先說理：平分矩形ABCD的直線,一定經過矩形ABCD的對稱中心Q(5,2).

再分類討論：

①如圖3,如果經過點Q的直線與DC相交于點G,那么點H一定在AB上.

所以GH是由DO向右平移得到的.

線段DO的中點是P(l,2).由P(l,2)到Q(5,2).向右平移了4個單位.

所以拋物線向右平移了4個單位.

②經過點Q的直線如果與AD相交于點G,那么點H一定在BC上.而事實上，此時拋物線與矩形的邊的另

一個交點在DC上(如圖4所示).

③如圖5，經過點Q的直線如果與BC相交于點G,那么點H一定在AD上.而事實上，此時拋物線與矩形的

邊的另一^T-交點在AB上(如圖5所示).

考點伸展

在本題情景下，當t為何值時，AODE是直角三角形?

只存在乙ODE=90。的情況,此時DA2=0A-AE.

解方程卜一(t-10)]2=t(10一t),整理，得嚴—lot+16=0.

解得t=2,或t=8(點A在點B的右邊，不符合題意，舍去)

2.滿分解答

⑴因為拋物線與x軸交于A(1,O\B(-3,0)兩點，所以y=a(x-l)(x+3).

對照y=ax2+bx-3,根據常數項相等彳導-3a=-3.所以a=l.

所以拋物線的解析式為.y=(x-1)(%+3)=x2+2x-3.

當x=-2時,y=(x-l)(x+3)=-3.所以D(-2,-3).

由A(1,O)、D(-2,-3入得直線AD的解析式為y=x--l.

(2)由P(m,m-1)、Q(m,m2+2m-3)得I=PQ=(m—1)—(m2+2m—3).

整理，得I=PQ=—m2—m+2.

當zn=-:時，1取得最大值，最大值I=-m2-m+2=--1+;+2=2.

這是一個典型結論：當點P是AD的中點時，PQ最大.

(3)符合條件的點R有6個(-2,-5),(-2,-2),(-2,-4),(0,-3),(2,-1).

考點伸展

第⑶題可以這樣思考：PQ是豎直的，點D(-2,-3)是整點，因此當PQ為整數時，點D上下平移得到的點R就

是整點.

由(2)知，PQ的最大值為；,所以PQ的正整數值為2或1.

先討論PQ=l=~m2-m+2=2此時m=-l,或m=0.,

①如圖2,當P(-l,-2)、Q(-l,-4)sD(-2,-3)時,PQ=2,D、P兩點間的水平距離、豎直距離都是1.

將點D(-2,-3)向上平移2個單位得到點Ri(-2,-l)將點D(-2,-3)向下平移2個單位得到點R2(-2,-5)將點Q(-l,

-4)先向右平移1個單位，再向上平移1個單位得到點R3(0,-3).

②如圖3,當P(0,-l)、Q(0,-3)、D(-2,-3)時，點R的坐標為(-2,-1)(2,-5)或(2,-1).

再討論PQ=I=-m2-m+2=1,此時m的值不是整數.

如圖4,因為點P不是整點，所以經過平移得到的點R3也不是整點.

將點D(-2,-3)向上平移1個單位得到點Ri(-2,-2);將點D(-2,-3)向下平移1個單位得到點R2(-2--4).

綜上所述，符合條件的點R有6個：（（—2，—1）,（-2，-5）,（—2，—2）,（—2，—4）,（0,—3）,（2，—1）.

3滿分解答

(1)如圖2,作AMXBC于M,作DN_LBC于N,那么MN=AD=5,BM=CN=5.在RtAABM中，cos^ABC=—

AB

⑵第一步，如圖3,由鬻=y,得笠=y+1.所以DG=缶=言

第二步如圖3,由AF〃:BE得/AFD=/BEC.

由AD〃:BC得/ADF=NC.

所以△AFDs^BEC.所以岸=祭=卷=/所以FD=lEC=lx-

1_5_

第三步.由GD〃BC得霽=*所以鼠=詈.整理，得y=上

FCBC-x+1315,

3

定義域是0<x<F，x=F的幾何意義就是點E與點K重合.

（3）等腰梯形ABCD的高AM=12,等腰梯形ABCD的面積=120.

S

如果s儂族叼=|,那么梯形ABEF的面積=80.

四邊形ABCD

由器=(毋=河殳

(J=S"FD=m,,SABEC=9m.

①如圖4,當點E在點F下方時，S梯形ABEF=S梯形ABCD-SABEC+SABFD.

所以80=120-9m+m.解得m=5.此時SABEC=9m=45.

作EH±BC于H.

由SBEC=|BC-EH=|X15EH=45彳導EH=6.

止匕時由cosZ-C=三彳導sinz.C=—=上所以EC=—x6=—.

13EC13122

②如圖5,當點E在點F上方時，S梯形ABEF=SBELSBFD-S

所以80=9m-m-120.角軍得m=25.1t匕時SABEC=9m=225.

所以SBEC=1x15EH=225彳導EH=30.

止匕時由sinzC=—=工彳導EC=—x30=—.

EC13122

4.滿分解答

由PE|田4得—=-.4PF||D&得竺=更.

11BADB11DCBD

兩式相加，得詈+*=1,即5+”1.于是得到y=—|x+3.

DADCZoZ

5滿分解答

求點B的坐標有兩種方法.如圖1,可以證明B是CD的中點.如圖2,可以證明AAOB三△AFBqBCEgABCF,

因此OB=FB=EB,從而得到B是OE的中點

求y與x的關系式，可以證明△AOB-ABOD,,也可以證明△AOBBEC.

由4:-%=-%:v=—x2.

22JJ16

6滿分解答

如圖1,在Rt△4EM中,AM=x,EM=EB=y,AE=9-y.

由勾股定理得y2=%2+(9-斤.整理，得y=2久2+9的取值范圍是3<x<9.

IoZ

如圖2,x=9.如圖3,x=3.

圖1圖2圖3

7滿分解答

⑴如圖1,作DHLBC,垂足為H.

在RtADCH中,DH=6,CH=10-4=6,所以/C=45。.

如圖2,延長FD、FG分別與直線AB交于點P、Q,那么AFPQ是等腰直角三角形.

所以EF=EP=EQ=x.

等腰直角三角形PBC的直角邊BP=BC=10.

如圖3,等腰直角三角形BEM的直角邊BE=BM=10-x.

如圖4,等腰直角三角形BNQ的直角邊BQ=BN=2x-10.

①如圖3,當G在BC上方時，由BE=BM=BN+MN彳導10-x=2x-10+y.整理得y=20-3x.

②如圖5,當G在BC的下方時而BE=BM=BN-MN得10-x=2x-10-y.整理得y=3x-20.

③如圖6,當G落在BC上時,可以由EF=2BE得x=2(10-2x).此時%=y.

【解法二】如圖7,作GQLBC于Q,GQ交EF于P.作FHLBC于H.

在等腰直角三角形FCH中,FH=CH=BC-EF=10-x.

在等腰直角三角形GMN中，GQ=lMN=ly.

在等腰直角三角形GEF中，GP=|FF=|x.

①如圖7,當G在BC上方時，由GP+GQ=FH,得|x+|y=10-%.整理，得y=20—3x.(4<x<§).

②如圖8,當G在BC的下方時，由GP-GQ=FH得|x-|y=10-%.整理，得y=3x-20.借WxW10).

8滿分解答

如圖1,過點C作AD的垂線，垂足為H.

在RSCDH中，CD=5,cos4CDH=|,所以DH=3,CH=4.

在RtACEH中,EH=ED+DH=5-x+3=8-x,CH=4,由勾股定理得（CE2=EH2+CH2=（8-x）2+42=%2-16%+

80.

所以y=CE=一16.+80.定義域是0<x<5.

也可以這樣構造直角三角形：

如圖2,過點E作x軸的垂線交CD的延長線于G,交AB于N.

在RtADEG中，DE=5-x,coszEDG=|,所以DG=3-|x,EG=4-^x.

在RtAECG中，CG=CD+DG=8一|居由CE2=EG2+CG2,^

2222

CE=（4一+,-|x）=%-16%+80于是y=CE=V%-16%+80.

9滿分解答

(1)如圖1,作AQLBC于Q.作BHLAC于H,那么。B與AC相切于點H.

在RSACQ中,AC=6,CQ=2,所以AQ=4&,sin“=手

在RtABCH中，BH=BC-sinzC=4x(=苧.所以x=竽如圖2).

(2)如圖3,作DMJ_BC于M.

在RtABDM中,BD=x，所以DM=BD-sinzS=~x,BM=|x.

在RtADCM中，CN=4一梟，由勾股定理，得DC2=DM2+CM2.

所以DC?=(半%)+(4—=x2—|x+16.

所以y=DC=-|x+16=-24尤+144定義域是0<x<4.

第⑵題也可以這樣構造輔助線：如圖4,作CKXAB于K.

在RSBCK中,BC=4,所以BK.CK=第

22

在RtADCK中,C2=CK2+DK2=+(%-0=/一"+16

10.滿分解答

(1)在R3ABC中,BC=30,AB=50,所以.AC=40,sin/A=|,tanz/l=

在RtAACP中,CP=AC-sinzA=40x|=24.

在RtACMP中，因為sinzCMP=黑=||，所以CM=||CP=￡X24=26.

在中，EP=AP-tanZ-A=-x.

(2)RtAAEP4

在1RtAEMP中，因為sin4EMP=—=工，所以tan/EMP=—=—.

i，i~EM13〃"八MP5

Mn“Pr?=—5lEcP=—5x-3x=—5x,ELHM,=—1E3P_=—1x3-%3=-13x

M12124161212416

已知EM=EN,PEJ_AB,所以MP=NP=—x.

16

__r21

于是y=BN=AB-AP-NP=50-X--X=5Q--x.

1616

定義域為0<x<32.

513

⑶①如圖1,當E在AC上時油黑=黑，一不=吊.

MENB—x50——X

16