專題23實際應用之隧道問題

例1：（2024秋?中山市校級月考）

1.九（1）班數學課題學習小組，為了研究學習二次函數問題，他們經歷了實踐——應用

探究的過程

（1）實踐：他們對一條公路上橫截面為拋物線的單向雙車道的隧道進行測量，測得隧道的

路面寬為10米，隧道頂部最高處距地面6.25米，并畫出了隧道截面圖，建立了如圖1所示

的直角坐標系，請你求出拋物線的解析式

（2）應用：按規定機動車輛通過隧道時，車頂部與隧道頂部在豎起方向上的高度差至少為

0.5米，為了確保安全，問該隧道能否讓最寬3米，最高3.5米的兩輛車居中并列行駛（不

考慮兩車之間的空隙）？

（3）探究：該課題學習小組為進一步探究拋物線的有關知識，他們借助上述拋物線模型,

提出了以下兩個問題，請予解答:

①如圖2,在拋物線內作矩形4BCD,使頂點C、。落在拋物線上，頂點/、2落在x軸上,

設矩形/BCD的周長為為/,求/的最大值

②如圖3,過原點作一條直線尸，交拋物線于交拋物線的對稱軸于N,尸為直線。M

上一動點，過點尸作x軸的垂線交拋物線于點。，問在直線上是否存在點尸，使以點

尸、N、。為頂點的三角形為等腰直角三角形？若存在，求出點尸的坐標，若不存在，請說

明理由

圖1

對應練習:

（2024?通榆縣一模）

2.如圖，一個橫截面為拋物線的隧道，其底部的寬為8m,拱高為4m.該隧道為雙向

車道，且兩車之間有0.4m的隔離帶，一輛寬為2m的貨車要安全通過這條隧道，需保持其頂

部隧道有不少于0.5m的空隙，則該貨車能夠安全通行的最大高度是m.

試卷第1頁，共14頁

（2022秋?鎮原縣期中）

3.有一輛載有長方體形狀集裝箱的貨車想通過橫截面為拋物線的隧道，如圖所示，已知隧

道的底部寬：為4m,高OC為3.2m,集裝箱的寬與貨車的寬都是2.4m,集裝箱頂部離

地面2.1m,這輛貨車通過這個隧道（填“能”或“不能”）.

4.某隧道的內拱橫截面的輪廓線是一條拋物線，隧道地面寬為16米，頂端離地面的高度為

8米，當車輛寬度為10米時，車輛應限高在米內，才能確保隧道內行車安全.

（2023秋?農安縣期末）

5.如圖，有一個橫截面邊緣為拋物線的水泥門洞，門洞內的地面寬度為8加，兩側離地面4加

高處各有一盞燈，兩燈間的水平距離為6〃z,則這個門洞的高度為加.（精確到

（2024秋?平山縣期中）

6.如圖是某隧道截面，由部分拋物線和矩形構成，以矩形的頂點N為坐標原點，42所在

直線為x軸，豎直方向為y軸，建立平面直角坐標系，拋物線的解析式為y=-工f+2x+c,

頂點為尸，且40=2m.點C的坐標為.

試卷第2頁，共14頁

7.山西是一個多山的省份，大部分地區平均海拔在1000米以上，全省面積中80%以上是

山地和丘陵在公路建設中，過去的普遍做法是盤山繞行或深填高挖，現在則多沿著山腳打隧

道而過.如圖，已知某隧道的截面是拋物線形，且該拋物線的解析式為＞=-《，+8,為增

加照明度，在該拋物線上距地面高為6米的點E,尸處要安裝兩盞燈，則這兩盞燈的水

平距離E尸是米.

8.如圖，一輛寬為2米的貨車要通過跨度為8米，拱高為4米的單行拋物線隧道（從正中

通過），拋物線滿足表達式y=-；N+4.保證安全，車頂離隧道的頂部至少要有0.5米的距

離，求貨車的限高應是多少.

9.如圖，隧道的截面由拋物線和長方形構成，長方形的長為16m,寬為6m,拋物線的最高

點C離地面工4的距離為8m.

試卷第3頁，共14頁

(1)按如圖所示的直角坐標系，求該拋物線的函數表達式.

(2)一大型汽車裝載某大型設備后，高為7m,寬為4m,如果該隧道內設雙向行車道，那么

這輛貨車能否安全通過?

(2013?武漢模擬)

10.有一拋物線形隧道跨度為8米，拱高為4米.

(1)建立適當的平面直角坐標系，使隧道的頂端坐標為(0,4)；隧道的地面所在直線為x軸，

求出此坐標系中拋物線形隧道對應的函數關系式；

(2)一輛裝滿貨后寬度為2米的貨車要通過隧道，為保證通車安全，車要從正中通過，車頂

離隧道頂部至少要有0.5米的距離，試求貨車安全行駛裝貨的最大高度為多少米？

(2024?安康一模)

11.某山體的隧道截面近似于拋物線，隧道最高點A距離地面5m,隧道地面MN寬8m.如

圖，以為x軸，初為坐標原點構建平面直角坐標系.

(1)求拋物線的函數表達式.

(2)現要在拋物線型隧道內安裝一個矩形屏，乙￡。屏長為2m,寬為50cm,若矩形工即

屏的兩個頂點在拋物線上且長邊需平行于求［即屏底邊距離地面的最大高度.

(2017秋?蜀山區校級期中)

試卷第4頁，共14頁

12.有一輛載有長方體形狀集裝箱的貨車想通橫截面為拋物線的隧道，如圖所示，已知隧道

底部寬為4m,高。。為3.2m,集裝箱的寬與貨車的寬都是2.4m,集裝箱頂部離地面

2.1m.這輛貨車能通過這個隧道嗎？請說明理由.

13.（1）一輛寬2m的貨車要通過跨度為8m、拱高為4m的單行拋物線隧道（從正中通過）,

為了保證安全，車頂離隧道頂部至少要0.5m的距離，貨車的限高為多少？

（2）若將（1）中的單行道改為雙行道，即貨車必須從隧道中線的右側通過，貨車的限高應

14.如圖是大廣高速路上單向雙車道某隧道的橫截面，其形狀是拋物線型，有關尺寸如圖所

示，現有一輛車身寬為2.5m的貨車準備裝一批貨物途過此隧道前往某地，（根據高速公路管

理規定：機動車在通過隧道時只能在一條道上行駛）.

（1）建立適當的平面直角坐標系并求出此拋物線的解析式；

（2）這輛貨車滿載貨物時限高為多少？

（2024秋?福州期中）

15.施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道，其最高點P距離地面高度為8米，寬度

為16米.現以點。為原點，O河所在直線為x軸建立直角坐標系（如圖所示）.

試卷第5頁，共14頁

(1)求出這條拋物線的函數解析式，并寫出自變量X的取值范圍；

(2)隧道下的公路是單向雙車道，車輛并行時，安全平行間距為2米，該雙車道能否同時并行

兩輛寬2.5米、高5米的特種車輛？請通過計算說明；

(2024秋?大連期中)

16.如圖，一條單向通行且一排道的隧道，它的截面由拋物線和長方形構成.在長方形。CA4

中，OC長為6tn,/。長為2m,隧道最高點尸位于AS的中央且距地面5m,以OC為x軸,

OA為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系.

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)若一輛貨車高4m,寬3m,這輛貨車能否從該條隧道通過？為什么？

(2024秋?蘇州期中)

17.

試卷第6頁，共14頁

貨車司機長時間在隧道內行車容易疲勞駕駛，

為了安全，擬在隧道頂部安裝上下長度為

20cm的警示燈帶，沿拋物線安裝.（如圖隧道頂剪/燈帶’

素20cm

2）.為了實效，相鄰兩條燈帶的水平間距均為/

利安全距離

0.8m（燈帶寬度可忽略）；普通貨車的高度大

2/

約為2.5m（載貨后高度），貨車頂部與警示燈貨車

帶底部的距離應不少于50cm.燈帶安裝好后

圖2

成軸對稱分布.

問題解決

任

在圖1中建立合適的直角坐標系，求拋

務確定隧道形狀

物線的函數表達式.

1

任在你建立的坐標系中，在安全的前提下，

務探究安裝范圍確定燈帶安裝點的橫、縱坐標的取值范

2圍.

任求出同一個橫截面下，最多能安裝幾條

務擬定設計方案燈帶，并根據你所建立的坐標系，求出

3最右邊一條燈帶安裝點的橫坐標.

（2024秋?昭通月考）

18.近年來，云南在公路與隧道建設方面成績顯著，已建成通車的公路隧道數量及長度均居

全國第一.現有一座隧道的截面由拋物線和長方形構成.在長方形OC8N中，OC長為6m,

長為2m,隧道最高點尸位于48的中央且距地面5m,以OC為x軸，0/為了軸建立如

圖所示的坐標系，若一輛貨車高4m,寬3m,能否從隧道通過？為什么？

試卷第7頁，共14頁

(2024秋?杭州月考)

19.施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道，其高度為6米，寬度為12米，現

在。點為原點，加所在直線為x軸建立直角坐標系(如圖所示).

(1)求出這條拋物線的函數解析式；

(2)施工隊計劃在隧道門口搭建一個矩形“腳手架”/BCD,使A、。點在拋物線上，B、C

點在地面0河上，設A的橫坐標為求48=,AD=.(用含/的代數式

表示)

(3)為了籌備材料，需求出“腳手架”三根木桿/8、AD.DC的長度之和的最大值是多少？

(2023秋?萊西市校級期中)

20.如圖，有一條雙向隧道，其橫斷面由拋物線和矩形48co的三邊組成，隧道的最大高度

為4.9米；/3=10米，2C=2.4米，

(1)在如圖所示的坐標系中，求拋物線的解析式.

(2)若有一輛高為4米，寬為2米裝有集裝箱的汽車要通過隧道，則汽車靠近隧道的一側離

開隧道壁根米，才不會碰到隧道的頂部，又不違反交通規則，問加的取值范圍是多少？

(2024秋?東港區校級月考)

21.如圖，隧道的截面由拋物線DEC和矩形ABC。構成，矩形的長為4m,寬BC為

3m,以。C所在的直線為x軸，線段CA的中垂線為了軸，建立平面直角坐標系，》軸是拋

物線的對稱軸，最高點￡到地面的距離為4m.

試卷第8頁，共14頁

(1)求出拋物線的解析式；

(2)在距離地面高處，隧道的寬度是多少？

(3)如果該隧道為單行道(只能朝一個方向行駛)，現有一輛貨運卡車高3.4m、寬2.4m,這

輛貨運卡車能否通過該隧道？通過計算說明你的結論.

(2023秋?滁州校級月考)

22.如圖1,某高速路有一段隧道，隧道的橫截面如圖2,橫截面的上邊緣是一段拋物線，

以拋物線的對稱軸作為丁軸，以水平地面作為x軸建立平面直角坐標系.已知該拋物線的頂

點坐標為C(0,6),拋物線與x軸的交點分別為點A和點8,拋物線的表達式為

⑴求N8的長；

(2)若每個隧道都是雙向車道，中間是實線(車輛不能壓實線，實線的寬度忽略不計)，現有

一輛高4m,寬3m的貨車次通過此隧道，請你判斷該貨車能否通過該隧道，并說明理由.

23.鄂西某高速公路上的一特長隧道是鄂西內設計施工難度最大、風險最高的公路隧道之

一.如圖是隧道施工時的截面圖，其輪廓線可近似看作拋物線的一部分，按照如圖所示的方

式建立平面直角坐標系，已知其跨度ON為16米，且拋物線過點(4,4.5).

(1)求拋物線對應的函數解析式;

試卷第9頁，共14頁

(2)若兩輛車在該隧道內并排行駛時，需沿中心黃線兩側行駛并間隔2.4米(中心線寬度不

計)，則兩輛寬為2.4米，高為2.6米的貨車是否能并排行駛？請判斷并說明理由.

(2024?龍亭區一模)

24.現要修建一條隧道，其截面為拋物線型，如圖所示，線段表示水平的路面，以。為

坐標原點，以所在的直線為x軸，以過點。作垂直于x軸的直線為了軸，建立平面直角

坐標系.根據設計要求OE=12m,該拋物線的頂點產到OE的距離為9m.

(1)求滿足設計要求的拋物線的函數解析式；

⑵現需在這一隧道內壁的同樣高度的42處安裝上照明燈，如圖所示，若要求42兩個

照明燈之間的水平距離為8m,求出此時4、8兩個照明燈距離地面的高度.

(2024?平頂山三模)

25.小明發現有一處隧道的截面由拋物線的一部分和矩形構成，他對此展開研究：測得矩形

的寬為OC=2m,長為。4=8m,最高處點P到地面的距離尸。為6m,建立如圖所示的平面

直角坐標系，并設拋物線的表達式為y=a{x-hy+k,其中y(m)表示拋物線上任一點到

地面0/的高度，x(m)表示拋物線上任一點到隧道一邊0c的距離.

(1)求拋物線的解析式.

(2)為了保障貨車在道路上的通行能力及行車安全，根據我國交通運輸部的相關規定，普通

貨車的寬度應在2m-2.55m之間，高度應在3.8m-4.2m之間，小明發現隧道為單行道，一

貨車EFGH沿隧道中線行駛，寬FG為2.4m,貨車的最高處與隧道上部的豎直距離DE約為

1.3m,通過計算，判斷這輛貨車的高度是否符合規定.

(2024?柘城縣校級模擬)

試卷第10頁，共14頁

26.如圖1,在物體運動的速度v關于時間/的函數圖象中，函數圖象與橫軸以及直線

f=*f=芍所圍成的圖形（陰影部分）面積等于物體從4到這個時間段的運動路程.現

某車以30m/s的速度駛向隧道，到達限速標志位置（隧道前500m）時開始減速，從開始減

速到車頭進入隧道用了20s,其速度v關于時間f的函數圖象如圖2所示，4和灰是兩次雷

達測速的時刻，已知第一次雷達測速儀閃光時，車速已經降到了25m/s,第二次雷達測速儀

閃光時，車速已經降到了22m/s,則下列說法不正確的是（）

圖1圖2

［雷達測速儀安裝在車輛前進方向的路上，根據短時間的兩次測速（均有閃光提示），測出

兩個時刻車輛和測速儀之間的距離，再用距離差除以兩次測速的時間差，算出這段路程的平

均車速］

A.該車進入隧道時的速度為20m/s

B.%=12s

C.「16s

D.472時間段內該車的平均速度為23.5向$

（2024?盤州市一模）

27.如圖①，桐梓隧道位于遵義市桐梓縣境內，是貴州省高速公路第一長隧道.如圖②是

桐梓隧道的部分截面，圖③是其截面簡化示意圖，由矩形/BCD和拋物線的一部分CED構

成，矩形4B8的邊/3=12m,AD=2m,拋物線的最高點E離地面8m.以N8的中點為

原點、48所在直線為x軸.建立平面直角坐標系xQy.

試卷第11頁，共14頁

(1)求拋物線的解析式，并注明自變量的取值范圍；

(2)為了行駛安全，現要在隧道洞口處貼上黃黑立面標記.已知將該拋物線向上平移hn所掃

過的區域即為貼黃黑立面標記的區域，則貼黃黑立面標記的區域的面積為m2;

(3)該隧道為單向雙車道，且規定車輛必須在距離隧道邊緣大于等于2m范圍內行駛，并保持

車輛頂部與隧道有不少于g7的空隙，請利用二次函數的知識確定該隧道車輛的限制高度.

28.九(1)班數學課題學習小組，為了研究學習二次函數問題，他們經歷了實踐到應用的

(1)實踐：他們對一條公路上橫截面為拋物線的單向雙車道的隧道進行測量，測得一隧道的

路面寬為10m.隧道頂部最高處距地面6.25m,并畫出了隧道截面圖.建立了如圖所示的直

角坐標系，請你求出拋物線的解析式；

(2)應用：按規定機動車輛通過隧道時，車頂部與隧道頂部在豎直方向上的高度差至少為

0.5m.為了確保安全，問該隧道能否讓最寬3m,最高3.5m的兩輛廂式貨車居中并列行駛

(兩車并列行駛時不考慮兩車間的空隙)？并說明理由.

(2024?西安校級模擬)

29.如圖①，是某高速公路正在修建的隧道.圖②是其中一個隧道截面示意圖，由矩形04cB

和拋物線的一部分CD8構成，矩形CMC8的邊O/=12m,AC=2m,拋物線的最高點。離

地面8m.

試卷第12頁，共14頁

(1)以點。為原點、04所在直線為X軸，建立平面直角坐標系》切.求拋物線的表達式；

(2)為了行駛安全，現要在隧道洞口處貼上黃黑立面標記.已知將該拋物線向上平移1m所掃

過的區域即為貼黃黑立面標記的區域，則貼黃黑立面標記的區域的面積為_n?；

(3)該隧道為單向雙車道，且規定車輛必須在距離隧道邊緣大于等于2m范圍內行駛，并保持

車輛頂部與隧道有不少于;m的空隙，請利用二次函數的知識確定該隧道車輛的限制高度.

(2024秋?大連期中)

30.如圖，一條單向通行且一排道的隧道，它的截面由拋物線和長方形構成.在長方形。CA4

中，OC長為6m,4。長為2m,隧道最高點尸位于48的中央且距地面5m,以OC為x軸,

04為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系.

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)若一輛貨車高4m,寬3m,這輛貨車能否從該條隧道通過？為什么？

(2024秋?紅塔區校級月考)

31.如圖，某市一條高速公路的隧道口在平面直角坐標系上的示意圖，隧道的截面由拋物線

和長方形構成，長方形的長是16加，寬是6根，隧道頂距地面8加.

(1)求出隧道上部拋物線的解析式;

試卷第13頁，共14頁

(2)現有一大型運貨汽車，裝載某大型設備后，其寬為4機，車載大型設備的頂站與路面的距

離均為7加，它能否完全通過這個隧道？請說明理由.

(3)如果該隧道內設雙行道，那么這輛運貨汽車沿隧道中線右側行駛能否完全通過這個隧道？

說明理由.

試卷第14頁，共14頁

1.(1)y=-0.25(x-5)2+6.25；(2)隧道能讓最寬3加,最高3.5加的兩輛廂式貨車居中并列

行駛；理由見解析；(3)(I)20.5；(IDP點的坐標為：(5-返5-行)或(5+亞5+行)

或(4,4)或(10,10).

【詳解】解：(1)根據坐標系可知此函數頂點坐標為(5,6.25),且圖象過(10,0)點，

代入頂點式得：y=a(x-5)2+6.25,

:0=。(10-5)2+6.25,解得：a=-0.25,

?>?,y=-0.25(x-5)2+6.25；

(2)當最寬3加，最高3.5〃?的兩輛廂式貨車居中并列行駛時，

???10-3x2=4,4+2=2,

；.x=2代入解析式得：y=-0.25(2-5)2+6.25；y=4,4-3.5=0.5,

???隧道能讓最寬3m,最高3.5m的兩輛廂式貨車居中并列行駛；

(3)I.假設NO=x,可得4B=10-2x,.-.AD=-0.25(x-5)2+6.25；

矩形4BCD的周長為I為：

/=2卜0.25(x-5)2+6.25]+2(10-2x)=-0.5x2+x+20,

???/的取大值為：4ac-b_y2)_9n.

4。-2

〃當以尸、N、。為頂點的三角形是等腰直角三角形，

??,尸在尸x的圖象上，過尸點作x軸的垂線交拋物線于點Q.

.??4PO4=tOP4=45。,

???0點的縱坐標為5,

-5=~m2+10m4,

答案第1頁，共25頁

解得：m=5±V5,

所以P（5-技5-6）或（5+百5+6）

當乙匕N。3=90°時，過點色作03K小對稱軸，

當△N03&為等腰直角三角形時，△川尸3。3為等腰直角三角形,

0點在0M的上方時，

尸3。3=2。3&,PSQ3=~~X2+~X~X>Q3Kj=5-X,

0點在。M的下方時，

P4。4=2。4K2,P404=---^2,Q4K2=X-5,

P3（4,4）,P4（10,10）

???使以P、N、。為頂點的三角形是等腰直角三角形，P點的坐標為：

（5,5-或（5+6,5+6）或（4,4）或（10,10）.

2.2.29.

【分析】本題考查二次函數的應用.建立坐標系，利用待定系數法求得該拋物線對應的函數

解析式；求出x=2.2時，y的值，根據貨車頂部與隧道間有不少于0.5m的空隙即可求解.

【詳解】解：建立如圖的平面直角坐標系，

答案第2頁，共25頁

8(4,0),拋物線頂點坐標(0,4),

設拋物線的解析式為：y=ax2+k,

[16Q+左=0

依題意得：，)，

[K=4

解得v”4,

左=4

?,?拋物線的解析式為：y=-^x2+4.

v2d——=2.2,

2

1°

當x=2.2時，y=——X2.22+4=2.79,

"4

當y=2.79時，2.79-0.5=2.29（m）.

故答案為：2.29.

3.不能

【分析】以。點為原點所在直線為x軸，建立直角坐標系，利用待定系數法求出函數解

析式，繼而求得x=1.2時y的值，據此即可判斷.

【詳解】解：如圖，以。點為原點為x軸，建立直角坐標系,

根據題意知點4-2,0)、夙2,0)、C(0,3.2),

設拋物線解析式為＞=a(x+2)(x-2),

將(0,3.2)代入，得：-4a=3.2,

解得：a=—0.8,

則拋物線解析式為y=-0.8x2+3.2,

答案第3頁，共25頁

當x=1.2時，y=2.048<2.1,

所以貨車不能通過隧道.

故答案為：不能.

【點睛】本題考查二次函數的應用，涉及了待定系數法求二次函數解析式得知識，解答本題

的關鍵是建立直角坐標系，將實際問題轉化為數學模型.

39

4.——

8

【分析】本題考查了二次函數的應用.正確的建立坐標系，利用待定系數法求得函數解析式,

利用二次函數的性質解答即可.

【詳解】解：建立如圖所示的坐標系，虛線矩形為車輛最大通行時的位置，

設拋物線的頂點為。，由題意得，點頂點。(8,8),

設拋物線的表達式為>=a(x-8『+8,

將點(0,0)點入上式得：O=a(O-8y+8,解得a=

O

1

故拋物線的表達式為y=q(X-8)29+8,

O

設車輛的最右端為點4(13,0),

將點/的橫坐標代入拋物線的表達式得：J^=--(13-8)2+8=^(米)，

OO

39

故答案為：--.

O

5.9.1

【分析】建立直角坐標系，得到二次函數，門洞高度即為二次函數的頂點的縱坐標

【詳解】如圖，以地面為x軸，門洞中點為O點，畫出y軸，建立直角坐標系

由題意可知各點坐標為A(-4,0)B(4,0)D(-3,4)

設拋物線解析式為y=ax2+c(a#0)把B、D兩點帶入解析式

46464

可得解析式為y=+亍，則C(0,y)

答案第4頁，共25頁

所以門洞高度為亍mu9.1m

【點睛】本題考查二次函數的簡單應用，能夠建立直角坐標系解出二次函數解析式是本題關

鍵

6.（8,2）

【分析】本題考查了二次函數的應用、矩形的性質，熟練掌握二次函數的性質是解題關

鍵.先根據矩形的性質可得=從而可得點。與點。關于拋物線的對稱軸對稱，且

點C的縱坐標與點。的縱坐標相等，即為2,再求出拋物線的對稱軸，根據對稱性可求出點

。的橫坐標，由此即可得.

【詳解】解:由題意可知，0（0,2）,

?.?在矩形48CZ）中，AD=BC,

.??點C與點。關于拋物線的對稱軸對稱，且點C的縱坐標與點。的縱坐標相等，即為2,

119

,?,拋物線V=-1/+2》+。=-^（》-4）~+c+4的對稱軸是直線x=4,

二點C的橫坐標為4x2-0=8,

.??點C的坐標為（8,2）,

故答案為：（8,2）.

7.4石

【分析】令＞=6得到-、/+8=6,求得方程的兩個根，計算兩根之間的距離即可.

本題考查了根據函數值求自變量的值，兩根之間的距離計算，熟練掌握函數的性質是解題的

關鍵.

【詳解】解：令了=6,

答案第5頁，共25頁

10

解得芯=2A/5,X2=-2A/5,

故￡尸=玉_々=2石-卜2灼二4病,

故答案為：4后.

8.3.25m

【分析】根據題意，貨車的寬度為2米，從正中通過，則當無=1或x=—1時，貨車車頂離

隧道頂部最近，據此將x=l代入解析式即可求得頂部與底部的距離減去限高，即可求得貨

車的限高.

【詳解】根據題意可得，當x=l或x=—1時，貨車車頂離隧道頂部最近.

當元=1時，y=—7+4=3y,

44

3

???貨車的限局為3--0.5=3.25m.

4

【點睛】本題考查了二次函數的應用，求得當x=l或x=—1時，貨車車頂離隧道頂部最近

是解題的關鍵.

1,

9.⑴y=一豆尤+8

(2)這輛貨車能安全通過

【分析】本題考查了利用待定系數法確定二次函數解析式和二次函數在實際生活中的應用,

掌握待定系數法求解析式是解題的關鍵.

(1)用待定系數法求出函數解析式即可；

(2)把苫=±4代入求出函數值和車的高度作比較即可解題.

【詳解】(1)解：由題意得：設該拋物線的表達式為>=a/+8,又知拋物線過點耳(8,6),

所以6=64。+8,

解得a=--，

1,

V=-----x+8；

32

(2)根據題意，把x=±4代入解析式，得歹=7.5m.

v7.5m>7m,

.?.這輛貨車能安全通過.

答案第6頁，共25頁

124

10.⑴尸——X2+4

4

⑵1/3(米)

【分析】本題考查了二次函數的實際應用，正確理解題意是解題的關鍵.

(1)建立坐標系，運用待定系數法求解即可；

(2)根據車的寬度為2米，求出x=l時的函數值，再根據限高求出可裝貨物的最大高度即

可.

【詳解】(1)解：建立平面直角坐標系如圖所示：

???隧道跨度為8米，隧道的頂端坐標為(0,4),

以、8兩點關于y軸對稱，

.-.OA=O￡=-AB=-x8=4,

22

二點B的坐標為(4,0),

設拋物線的頂點式為y=ax?+4,

把點8坐標代入得，16a+4=0,

解得a=一:，

4

?,?拋物線的解析式為V=-!/+4；

4

(2)解：???車的寬度為2米，車從正中通過,

貨車安全行駛裝貨的最大高度為一米.

4

5,

11.(l)j^=-—(x-4)-+5

(2)4.1875m

【分析】本題考查了二次函數的實際應用.

(1)根據坐標系確定A點坐標為(4,5),M(0,0),N(8,0),再利用待定系數法求解即可;

答案第7頁，共25頁

（2）由題意可知，由拋物線和矩形的軸對稱性質確定點C的橫坐標為3,由此確定點C的

縱坐標為4.6875,由此確定屏底邊距離地面的最大高度.

【詳解】（1）解：根據題意，A為拋物線的頂點，A點坐標為（4,5）,“（0,0）,N（8,0）

設拋物線解析式為y=a（x-盯+5,

把“（0,0）代入解析式得：16a+5=0,

解得。=-±，

16

???拋物線的函數表達式為y=-三（x-4）2+5；

16

（2）解：如圖所示：

由題意可知，EF//MN,CD=EF=2m,CE=DF=50cm=0.5m,

由（1）知，拋物線的對稱軸為直線x=4,

???點。的橫坐標為4-1=3,

5、

??.當x=3時，y=——x（3—4）2+5=4.6875,

16

4.6875-0.5=4.1875（m）,

LED屏底邊距離地面的最大高度為4.1875m.

12.貨車不能通過隧道.

【分析】以。點為原點N2為x軸，建立直角坐標系，利用待定系數法求出函數解析式，繼

而求得x=1.2時了的值，據此即可判斷.

【詳解】解：如圖，以。點為原點為x軸，建立直角坐標系，

答案第8頁，共25頁

根據題意知點/(-2,0)、3(2,0)、C(0,3.2),

設拋物線解析式為J=a(x+2)(x-2),

將(0,3.2)代入,得：-4a=3.2,

解得：a=—0.8,

則拋物線解析式為>=-0.8x2+3.2,

當x=1.2時，y=2.048<2.1,

所以貨車不能通過隧道.

【點睛】本題考查了二次函數的應用，涉及了待定系數法求二次函數解析式得知識，解題的

關鍵是建立直角坐標系，將實際問題轉化為數學模型.

13

13.(1)—m；(2)2.5m

4

【分析】本題考查了二次函數的應用，主要利用了二次函數的圖象的對稱性，待定系數法求

二次函數解析式，以及求二次函數值等知識.

(1)根據跨度求出點B的坐標，然后設拋物線頂點式形式了="2+4,然后把點8的坐標代

入求出〃的值，即可得解；再根據車的寬度為2,求出x=l時的函數值，再根據限高求出可

裝貨物的最大高度即可;

(2)利用x=2時，代入表達式求出了的值，進而得出答案.

【詳解】解：(1)建立平面直角坐標系，如圖所示:

,??隧道跨度為8米，隧道的頂端坐標為(0,4),

答案第9頁，共25頁

：.OA=OB=-AB=-x.?,=A,

22

???點3的坐標為（4,0）,

設拋物線頂點式為了=?^+4,

把點B（4,0）坐標代入得16。+4=0,解得。

4

「?拋物線解析式為歹=-!*+4（—4<x<4）,

丁車的寬度為2m,車從正中通過，

115

x=l時，y=—x19"+4=——,

44

貨車安全行駛裝貨的最大高15度1為：13（米），即貨車的限高為1?3m；

4244

（2）若將（1）中的單行道改為雙行道，即貨車必須從隧道中線的右側通過，如圖所示:

由題意可得：當元=2時，^=--^X22+4=3,

故貨車限高為3-05=2.5（米）.

14.⑴圖見解析，y=Y（-54x45）；

（2）4.5m.

【分析】本題主要考查了二次函數的應用，解題時要熟練掌握并能靈活運用二次函數的性質

是關鍵.

（1）依據同意，以拋物線的頂點為坐標原點，對稱軸為》軸，建立直角坐標系，依據拋物

線經過8（5,-6）,即可得到該拋物線的解析式；

（2）依據題意，由車身寬為2.5m,從而可令x=2.5,則y=-2xZS=-1.5,進而可以判

斷得解.

【詳解】（1）解：如圖，以拋物線的頂點為坐標原點，對稱軸為了軸，建立直角坐標系，

答案第10頁，共25頁

則0（0,0）,5（5,-6）,

設拋物線的解析式為>=依2,

???拋物線經過（5,-6）,

**?—6=25。，

6

/.ci------,

25

???拋物線的解析式為k->（-5VXW5）；

（2）解：由題意，

??,車身寬為2.5m,

...令X=2.5,貝Uy=_^X2.52=—1.5,

???點。到CD距離為1.5m,

??.這輛貨車滿載貨物時限高為6-1.5=4.5m.

15.（l）y=--x2+2x（0<x<16）

8

（2）能同時并行兩輛寬2.5米、高5米的特種車輛

【分析】本題考查了待定系數法求拋物線的解析式，二次函數的實際應用.

（1）根據題意，可得點M及拋物線頂點尸的坐標，待定系數法求解析式即可求解；

（2）由題知，當x=g時，>=舞，而要>5,即可得出結論.

【詳解】（1）解：依題意：拋物線形的公路隧道，其高度為8米，寬度為16米，現在。

點為原點，

.?.點M（16,0）,頂點P（8,8）,

設拋物線的解析式為y=ox?+區，

/、/、[64。+86=8

把點M（16,0）,點P（8,8）代入得：,

[236。+16。—U

答案第11頁，共25頁

1

a——

解得,8,

b=2

???拋物線的解析式為y=-^x2+2x,

O

■.-OM=16,M(16,0),

???自變量x的取值范圍為：04x416.

(2)解：當x=8_2.5_l=2時，j；=-lxf-Y+2x-=—>5,

28232

故能同時并行兩輛寬2.5米、高5米的特種車輛.

1,

16.(1)y=-+2x+2

(2)該貨車能通過，原因見解析

【分析】本題考查二次函數的實際應用，正確的列出函數解析式，是解題的關鍵：

(1)根據題意，求出4尸兩點坐標，待定系數法求出函數解析式即可；

(2)求出y=4時的自變量的值，求出兩點間的距離與貨車的寬進行比較即可.

【詳解】(1)解：由題意得，點/(0,2),拋物線的頂點坐標為尸(3,5),

設拋物線的表達式為尸。(A3)，5,

?.?點4(0,2)在拋物線上，

.'.2=a(0-3)2+5,

解得。=-；，

.-.>>=-1(X-3)2+5=-1X2+2X+2；

(2)這輛貨車能從這條隧道通過.

根據題意得，令歹=4,則4=一;(X—3)2+5,

/.玉=3+VJ,x2=3—V3,

xx-x2=2V3>3,

??.該貨車能通過.

17.任務1：片-任務2：-3-43,歹"1.8；任務3：最多掛8條燈帶，最右邊

答案第12頁，共25頁

一條燈帶的橫坐標為2.8.

【分析】任務1：以拋物線的定點為原點建立平面直角坐標系，利用待定系數法可得拋物線

的函數表達式；

任務2：根據普通貨車的高度大約為2.5m,貨車頂部與警示燈帶底部的距離應不少于

50cm,貨車頂部與警示燈帶底部的距離應不少于50cm,計算懸掛點的縱坐標的最小值是

3.2m；

任務3：畫出數軸，利用數形結合解答..

【詳解】解：【任務1】以拱頂為原點，建立如圖1所示的直角坐標系，則頂點為(0,0),且

過點8(5,-5),

設拋物線的解析式為：了="2,

把點8(5,-5)代入得：25°=-5,

1

?'Q=一9

???拋物線的函數表達式為：y=~^x^

【任務2】

???普通貨車的高度大約為2.5m,燈帶底部距離貨車頂部不小于0.5m,燈帶長0.2m,

???當安裝點的縱坐標了2-5+2.5+0.5+0.2=-1.8,即安裝點的縱坐標的最小值是-1.8m,

當y=—1.8時，_,工2=_18,

???x=±3,

二安裝點的橫坐標的取值范圍是：-3<.r<3；

【任務3】

如圖2,

-I2I._8_-_2I_.0___-1I.2-0i.4ll0_._4__1|_.2___2|_.0___2I.i8?x

-303

???若頂點一側懸掛5條燈帶時,0.4+0.8x(5-l)>3,

若頂點一側懸掛4條燈帶時，04+0.8x(4-1)<3,

答案第13頁，共25頁

???頂點一側最多懸掛4條燈帶，

???燈帶掛滿后成軸對稱分布，

???共可掛8條燈帶，

???最右邊一條燈帶的橫坐標為：0.4+3x0.8=2.8.

【點睛】本題考查了二次函數的應用，熟練掌握不同坐標系中求解析式，能把實際問題轉化

為拋物線是解題的關鍵.

18.能，理由見解析

【分析】本題主要考查了二次函數的應用，理解題意，確定拋物線解析式為解題關鍵.設拋

物線的方程為了="尤-37+5,利用待定系數法解得該拋物線解析式，令y=4,解得x的

值，即可獲得答案.

【詳解】解：由題意可知拋物線的頂點坐標（3,5）,設拋物線的方程為y=a（x-3y+5,

又?.?點/（0,2）在拋物線上，

91

二可有2=°（0-3）~+5,解得

10

???該拋物線的解析式為y=-］（x-3）~+5,

1?

令V=4,則有4=-§（工-3）-+5,

解得再=3+G,x2=3—,

xx-x2=243>3,

???該貨車可以通過.

1

19.（1）>=—x?+2x

6

1

（2）—t9+21,12—2z

6

⑶15

【分析】本題考查了二次函數的應用、矩形的性質，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此

答案第14頁，共25頁

題的關鍵.

(1)由題意得M(12,0),P(6,6),再利用待定系數法求解即可；

(2)由題意得出+即可得出=l由二次函數的性質求出

D\\2-t,--t2+2t^,即可得出40的長；

(3)由矩形的性質可得。。=/3=-9/+2人表示出N2+ND+B。，結合二次函數的性質

6

即可得解.

【詳解】(1)解：由題意得M(12,0),尸(6,6),

?.?頂點坐標尸(6,6),

???設拋物線的解析式為y=a(x-6)2+6(a/0),

將河(12,0)代入解析式得出°乂(12-6)2+6=0,

解得：。=-3，

6

11

72

???拋物線的解析式為y=-l(x-6)-+6,gpj=--x+2x;

(2)解：設A的橫坐標為,,貝

?.?四邊形/BCD為矩形，

1

A,B=—t9+2t,

6

?-?^=--1(x-6)2+6,

???拋物線的對稱軸為直線x=6,

???點D的橫坐標為6-/+6=12-Z,即+2/1,

***AD=12—，一，=12—2f；

(3)解：???四邊形ABC。為矩形,

1,

CD=AB=t2+2t,

6

.-.AB+AD+CD=--t2+2t+12-2t+\--t2+2.t\=--t2+2t+12=--(t-3Y+15,

6(6133V7

.---<0

3

.?.當t=3時，43+NO+CD的值最大，為15.

答案第15頁，共25頁

20.(1)y=-0.l(x-5)2+2.5

(2)2<m<3

【分析】本題主要考查二次函數的應用，包括待定系數法求解析式等知識；

(1)設拋物線解析式為歹="2+反，根據題意解出〃、b,拋物線頂點坐標為(5,2.5)且過

。0,0)點，設拋物線的解析式為y=a(x-5)2+2.5,可求出〃的值，確定表達式.

(2)由(1)得拋物線解析式，若汽車的右側離開隧道右壁不至于碰到隧道的頂部,則令夕=L6,

解得x,然后根據題意得解；

靈活運用二次函數性質解決實際問題是解題的關鍵.

【詳解】(1)解：設拋物線解析式為>=辦2+外，

由題意知，隧道的最大高度為4.9米；43=10米，8c=2.4米，

由題意可知，拋物線的頂點坐標為(5,2.5),且過(10,0)點，

則有4,

[100。+106=0

a=—0.1,b=1,

???拋物線的解析式為y--0.1(x-5)2+2.5,

(2)由題意得，y=-0.1(x-5)2+2.5

當y=4-24=1.6時，-0.1(X-5)2+2.5=1.6,

..X]=2,x,=8.

當x=2或8時，集裝箱剛好碰到隧道的頂部，此時加=2,

當機=3時，此時剛好違反交通規則，

???汽車靠近隧道的一側離開隧道壁心米，才不會碰到隧道的頂部，又不違反交通規則，

2Vm<3

,加的取值范圍是2<沉<3.

1,

21.(l)y=--x2+l

⑵2月m

(3)能,說明見解析

【分析】本題考查了二次函數的應用，解題的關鍵是：

答案第16頁，共25頁

(1)根據題意可以設出拋物線的頂點式，然后根據題目中的信息可以求得拋物線的解析式;

13|

(2)把了=丁-3=:代入解析式，即可求得；

(3)根據題意可以求得當x=1.2時的y的值然后與3.4比較，即可解答本題.

【詳解】⑴解:根據題意，得點。(-2,0),C(2,0),￡(0,1).

設拋物線的解析式為y=?2+1.

把點。(-2,0)代入＞=辦2+1,得4a+l=0.

解得“=二.

4

?.?拋物線的解析式為歹=-+1.

(2)解：在尸一中，令尸:一3=；得;=_；尤2+].

44444

解得再=V3,x2=-.

他-(-6)=2^3(m),

13

在距離地面彳m高處，隧道的寬度是2百m.

(3)解：這輛貨運卡車能通過該隧道.

2.4+2=1.2(m).

將x=1.2代入〉=一~-x2+1,得＞=0.64.

4

???3+0.64=3.64＞3.4,

這輛貨運卡車能通過該隧道.

22.(l)12m

⑵高4m,寬3m的貨車能通過該隧道，理由見解析

【分析】本題考查了二次函數的應用，二次函數解析式，拋物線與x軸的交點坐標.