2025年數學中考復習函數綜合壓軸題練習

一、單選題

1.（2024?四川廣元?中考真題）如圖，已知拋物線好辦2+/+C過點C（0,-2）與無軸交點的橫坐標分別為

%,x2,且-1<為<0,2<x2<3,則下列結論：

①a-6+c<0；

②方程ox?+6x+c+2=0有兩個不相等的實數根；

③a+6>0；

三2

④

⑤"4ac>4".其中正確的結論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】本題考查的是二次函數的圖象與性質，熟練的利用數形結合的方法解題是關鍵；由當x=-1時，

y=a-b+c>Q,可判斷①，由函數的最小值><-2,可判斷②，由拋物線的對稱軸為直線￥=-二，且

2a

11o

-<---<-,可判斷③，由％=1時，y=a-b+c>0,當％=3時，y=9a+3b+c>0,可判斷④，由根

22a2--

與系數的關系可判斷⑤；

【詳解】解：①二.拋物線開口向上，一2<X2<3,

?,?當x=—l時，y=a-b+c>0f故①不符合題意；

②,?,拋物線>=a—+樂+°過點C（0,-2）,

???函數的最小值歹<-2,

*'-ax2++c=-2有兩個不相等的實數根；

???方程ax2+bx+c+2=0有兩個不相等的實數根；故②符合題意;

1

③???一1<再<0,2</<3,

???拋物線的對稱軸為直線x=-3,且!<一3<=,

2a22a2

<3,而Q>0,

a

???-3a<b<—a,

???Q+6V0,故③不符合題意；

④,?,拋物線》="2+fox+c過點。（0,-2）,

???c=-2,

???x=l時，y=a-b+c>0,

即3a-3b+3c>0,

當％=3時，y=9a+3b+c>0f

???12。+4c>0,

12Q>8,

故④符合題意；

⑤???一1<%<0,2<x2<3,

???/一再〉2,

bc

由根與系數的關系可得：石+%=-一，%/二—，

aa

.b2-4ac_1(Z)yc

4/4XtaJa

=；（再+%）2一工科2

2

=|[（^+^2）-4^2]

=:（X「X2）2>：X4=1

b2-^ac,

------—>1,

4/

■■b2-4ac>4a2,故⑤符合題意;

故選：C.

2.(2024?內蒙古赤峰?中考真題)如圖,正方形/BCD的頂點A,C在拋物線>=-/+4上，點。在V軸

上.若4C兩點的橫坐標分別為加，n(m>?>0),下列結論正確的是()

2

y/

箕

m

A.m+n=lB.m—n=lC.mn=1D.一=1

n

【答案】B

【分析】本題主要考查了二次函數的圖象與性質、正方形的性質、全等三角形的判定與性質，解題時要熟

練掌握并能靈活運用是關鍵.依據題意，連接NC、BD交于點、E,過點A作軸于點M,過點3

作3N1九W于點N,先證明AMVB包的頌AAS).可得AM=NB,DM=AN.點、A、C的橫坐標分別為

22mw+82

加、"，可得/(機，-機+4),C(M,-M+4).；~~)；M(0,-m+4),設。(0,6),貝|

B(m+n,-m2-n2+8—b),N(m+n,-m2+4),BN=-n2+4-Z?,AM=m，AN=n,DM=病一4+6.再由AM=NB,

DM=4N進而可以求解判斷即可.

【詳解】解：如圖，連接BD交于點、E,過點A作軸于點過點、B作BN1MN于點、N,

四邊形/5C。是正方形,

「?/C、5。互相平分，AB=AD,ABAD=90°,

ZBAN+ZDAM=90°,ADAM+ZADM=90°,

/BAN=ZADM.

ABNA=ZAMD=90°,BA=AD,

.△ANB均DMA(AAS).

/.AM=NB,DM=AN.

??,點A、。的橫坐標分別為加、n,

一加2+4),C(〃，—/+4).

+w-m2-n2+8,一八八

..￡(2，--------------)9M(0,—m2+4),

3

設￡)(0,6),貝5(冽+%一"一〃?+8—6),N(m+n,-m2+4),

：.BN=-n2+4-Z),AM-m,AN=n,DM=m2-4+b.

又AM=NB,DM=AN,

.?.一〃2+4—6=加,n-n^-4+b.

/.b=—n2-m+4.

/.n=m2-4一〃2-m+4.

/.(m+n)(m-ri)=m+n.

???點A、。在V軸的同側，且點A在點C的右側，

:.m+n^0,

：.m—n=\.

故選：B.

3.(2024?山東濟南?中考真題)如圖1,△4BC是等邊三角形，點。在邊上，BD=2,動點尸以每秒1

個單位長度的速度從點8出發，沿折線3C-C4勻速運動，到達點A后停止，連接。尸.設點P的運動時

間為[s),DP?為丫.當動點P沿3c勻速運動到點C時，了與/的函數圖象如圖2所示.有以下四個結論:

①48=3；

②當/=5時，y=l；

③當4W"6時，1"43；

④動點P沿8C-C4勻速運動時，兩個時刻4，(2((!<4)分另U對應必和%，若4+/2=6,貝!].%>%.其中

正確結論的序號是()

D.①②④

【答案】D

【分析】由圖知當動點尸沿3c勻速運動到點C時，DP2=7,作。于點￡,利用解直角三角形和

勾股定理，即可得到BC,即可判斷①，當"5時,證明△的是等邊三角形，即可判斷②，當4VAV6

4

時，且小，/C時，公六最小，求出最小值即可判斷③，利用勾股定理分別表示出必和力進行比較，即可

判斷④.

【詳解】解：由圖知當動點尸沿3c勻速運動到點C時，DP2=1,

作DELBC于點E,

.-.￡)￡,=sin60°=A/3,BE=BD-cos60°=1,

EP=yiDP--DE-=2，

AB=BC=BE+EP=3,

故①正確；

當，=5時，PC=5-3=2,AP=\=AD,

.1△AD尸是等邊二角形，

DP=AP=AD=1,

：.y=DP2=1,

故②正確；

當4V/V6時，且。尸_L/C時，八？2最小,

5

A

1,N/=60。，

:.DP=AD-sm60°=—

2

33

“產最小為"即能取到“

故③錯誤;

動點、P沿BC-CA勻速運動時，

vtx+t2=6,tx<t29

4<3,%2>3,t2=6—11,

當OWaWl時，5<Z2<6,

%=

53

當。尸J_4C時，CP=—,DP=一,

24

2

1i+2=i2

%=I+一一4

21I161116

1351

/.V,-v=44-----=—>0M,

121616

同理，當1<4<3時，3<4<5,

乂二I="2_4+4,

22

6-39213

%=I+H......-t,—t,H-----,

161116

,1351

y,~-4-----二—〉0,

121616

故④正確；

綜上所述，正確的有①②④,

6

故選：D.

【點睛】本題考查了二次函數綜合，等邊三角形性質，解直角三角形，勾股定理，涉及到動點問題、讀懂

函數圖象、正確理解題意，利用數形結合求解是解本題的關鍵.

二、填空題

4.（2024?湖北武漢?中考真題）拋物線y="2+6x+c（a,b,c是常數，a<0）經過（-覃），（私1）兩點,

且0<a<1.下列四個結論：

①6>0;

②若0<%<1,貝！］a（x-l）"+6（x-l）+c>1；

③若。=-1,則關于x的一元二次方程辦2+瓜+0=2無實數解；

④點4（項，M），3（工2，%）在拋物線上，若%>馬，總有%<%,則。<加4）.

其中正確的是（填寫序號）.

【答案】②③④

【分析】本題考查了二次函數的性質，根據題意可得拋物線對稱軸-15<—11+3yyi<0,即可判斷①，根據

（—1,1）,（%,1）兩點之間的距離大于1,即可判斷②，根據拋物線經過（一1,1）得出c=b+2,代入頂點縱坐

標，求得縱坐標的最大值即可判斷③，根據④可得拋物線的對稱軸-5<一解不等式，即可求

解.

【詳解】解：:了=ox?+6x+c（a,b,c是常數，a<0）經過（一1,1）,（加/）兩點，_@.O<m<1.

4工4戶,生土〃4b—1+m1—1+加

???對稱軸為直線x=—=—-—，――<--—<0,

2a222

,*'x-----<0,a<0

2a

.?.Z?<0,故①錯誤，

0<m<1

即（一1,1）,（九1）兩點之間的距離大于1

又4<0

???x二加一1時，V>1

???若0cxe1,貝!|〃（%-1）2+6（%-1）+0〉1,故②正確；

7

③由①可得一；<苫^<0,

—<—<0,即一1<6<0,

22

當。=-1時，拋物線解析式為y=-%2+樂+。

設頂點縱坐標為t=4"°一〃=-4c

4。-4

,??拋物線》=一一+bx+c（Q,b,。是常數，a<0）經過（—1,1）,

???一1-6+。=1

：,c=b+2

—4。—b?/J?+4。1-2127c1/,_\21

t---------------=-b+c——h7+6+2=—（b+2）+1

-44444V7

v-I<Z><0,!〉0,對稱軸為直線b=-2,

4

.?.當6=0時，，取得最大值為2,而6<0,

???關于x的一元二次方程"+bx+c=2無解，故③正確；

④??,”（），拋物線開口向下，點8（%2）2）在拋物線上，演+工2>-；，%>%2，總有為<%，

V7石+工2I

又1=_4"^>一:，

24

?,?點離X=-;較遠，

.占1—1+加1

???對稱軸_1<-T—<--

224

解得：o<加工J,故④正確.

故答案為：②③④.

5.（2024?江蘇宿遷?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點/在直線〉上，且點4的橫坐標為4,

直角三角板的直角頂點。落在x軸上，一條直角邊經過點4另一條直角邊與直線04交于點5,當點C

在入軸上移動時，線段43的最小值為.

8

【分析】利用一次函數求出點/的坐標，利用勾股定理求出04,當點C在x軸上移動時，作與關

于NC對稱，且/夕交x軸于點。，由對稱性質可知，AB'=AB,ABAC=ADAC,當NQ_Lx軸于點。

時，AB=AB'=AD+B'D^,記此時點C所在位置為C',作C'EL/2于點E,有DC'=EC',設

DC'=EC'=m,則。C'=0O-DC'=4-加，利用銳角三角函數sin//。。=/方'建立等式求出

m,證明AC'DB'SAADC',再利用相似三角形性質求出夕。，最后根據AB=力夕=AD+8N＞求解，即可解

題.

3

【詳解】解：???點4在直線上，且點4的橫坐標為4,

4

，點/的坐標為（4,3）,

0A=5,

當點。在x軸上移動時，作45與Z9關于4。對稱，且交工軸于點。,

由對稱性質可知，AB'=AB,

當軸于點。時，AB=4B'=AD+B'D最短,記此時點。所在位置為C',

由對稱性質可知，ABAC=ADAC,

作于點￡,有DC'=EC',

設DC=EC'=m,則0C'=。。一。。'=4—加，

FC1'AD_3

sinZAOD=-

OCOA~5

m3

/.------=:

4-m5

3

解得W7=萬，

3

經檢驗機=5是方程的解,

■1-ZAC'D+NDCB'=90°,ADAC+ZAC'D=90°,

ZDC'B'=ZDAC,

■：ZC'DB'=ZADC=90°,

:.AC'DB'SAADC',

9

5

。

3

-

獨2

-

3-3

2-

3

解得=

4

315

AB=AB'=3H—=—.

44

故答案為：—.

4

【點睛】本題考查了軸對稱性質，勾股定理，銳角三角函數，相似三角形性質和判定，角平分線性質，垂

線段最短，一次函數圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是根據軸對稱性質和垂線段最短找出最短的情況.

6.（2024?黑龍江大慶?中考真題）定義：若一個函數圖象上存在縱坐標是橫坐標2倍的點，則把該函數稱

為“倍值函數”，該點稱為“倍值點”.例如：“倍值函數”＞=3尤+1,其“倍值點”為（-1，-2）.下列說法不正

確的序號為.

①函數V=2x+4是“倍值函數”；

Q

②函數V=：的圖象上的“倍值點”是（2,4）和（-2,-4）；

14

③若關于x的函數＞=（冽-1）%2+mx+-m的圖象上有兩個“倍值點”，則m的取值范圍是加＜§；

④若關于尤的函數了=/+（優-4+2卜+；-：的圖象上存在唯一的“倍值點”，且當-1W機W3時，”的最

小值為左，則左的值為上5.

2

【答案】①③④

【分析】本題考查了新定義問題，二次函數的圖象與系數的關系，二次函數圖象上點的坐標特征，二次函

數的性質，二次函數的最值問題.根據“倍值函數”的定義，逐一判斷即可.

【詳解】解：①函數y=2x+4中，令y=2x,貝l]2x=2x+4,無解，故函數y=2x+4不是“倍值函數”，故①

說法錯誤；

OQ

②函數y=—中，令了=2x,則2x=—，

解得x=2或％=-2,

經檢驗X=2或X=-2都是原方程的解，

故函數＞的圖象上的“倍值點”是（2,4）和（-2,-4）,故②說法正確；

10

③在y=（〃?T）x2+mx+-m中，

4

令y=2x,貝12x=（加一I）/+機x+［加，

整理得（加一1），+（加一2）%+；冽=0,

???關于x的函數》=（冽-1）/+加x+；次的圖象上有兩個“倍值點”,

21

△=（m-2）-4（加一1）X］加>0且加一1w0,

4

解得加<1且加71,故③說法錯誤;

/7Hk,

④在y=x2+（加-左+2）］+1一'中，

=

y2x;貝”2%=12+（加一+2^x+~一~

nk

整理得f+（加-左）x-\-----=0,

42

,??該函數的圖象上存在唯一的“倍值點”,

nk

△:=（加一女）2-4x=0,

4-2

整理得〃=（加一左『+2左，

???對稱軸為冽=k,此時n的最小值為2k,

根據題意分類討論，

-1<A;<3

解得k=0；

"min=2k=k

k>3

無解;

"mm=（3H+2A=上

k<-l

2解得k二（舍去）,

n=（-l-后）+2后=后三

1m0u"

綜上」的值為°或￥'故④說法錯誤;

故答案為：①③④.

7.（2024?四川巴中?中考真題）若二次函數歹="2+瓜+。（〃〉（））的圖象向右平移1個單位長度后關于歹軸

對稱.則下列說法正確的序號為.（少選得1分，錯選得0分，選全得滿分）

①2=2

a

11

35

②當］WaV；時，代數式力+/一56+8的最小值為3

③對于任意實數加，不等式a加2+Zw?-a+b20一定成立

④PQ：i,yi),QQ：2,y2)為該二次函數圖象上任意兩點，且再<龍2.當西+尤2+2>。時，一定有必<為

【答案】①③④

【分析】本題考查的是二次函數的圖象與性質，拋物線的平移，拋物線的增減性的應用，利用的應用二次

函數的性質是解本題的關鍵.

由二次函數了=ax2+6x+c(a>0)的圖象向右平移1個單位長度后關于y軸對稱.可得-3+1=0,可得①

2a-

35

符合題意；由6=2a,可得/+/_5方+8=5(。-1r9+3,^-<a<-,可得②不符合題意；由對稱軸為

直線x=_l,結合。>0,可得③符合題意；分三種情況分析④當為<-1<%時，當-1<再<工2時，滿足

Xj+x2+2>0,當再<乙<-1時，不滿足占+工2+2>0,不符合題意，舍去，可得④符合題意；

【詳解】解：???二次函數了="2+6x+c(a>0)的圖象的對稱軸為直線x=-《，

而二次函數V=ax1+6x+c(a>0)的圖象向右平移1個單位長度后關于了軸對稱.

--—+1=0,

2a

??--=2,故①符合題意；

a

?*,b—2cl,

???a2+b2-56+8

=5。2_10。+8,

=5(a-l)2+3,

22

???當。3、時，17q2+b2_5b+8取最小值?，故②不符合題意；

■,---+1=0,

2a

???對稱軸為直線x=-l,

<2>0,

當x=—l時，函數取最小值。一6+。,

當％=加時，函數值為Q加2+6加+。，

???am2+bm+c>a—b+c，

12

???對于任意實數加，不等式a/+6加一a+620一定成立，故③符合題意；

當再<一1<%2時，

v%1+x2+2>0,

%2+1〉—1一再，

???%<%，

當_]<再<%時，滿足%+%+2〉0,

Xj+1<x2+1,

?,?%<%,

當王</<-1時，不滿足國+了2+2>0,不符合題意，舍去，故④符合題意;

綜上：符合題意的有①③④；

故答案為：①③④.

三、解答題

8.(2024?江蘇常州?中考真題)將邊長均為6cm的等邊三角形紙片48C、DE尸疊放在一起，使點￡、8分

別在邊/C、。尸上(端點除外)，MB、E尸相交于點G,邊BC、相交于點

(1)如圖1,當E是邊NC的中點時，兩張紙片重疊部分的形狀是；

(2)如圖2,若EF〃:BC,求兩張紙片重疊部分的面積的最大值；

(3)如圖3,當AE>EC,時，4E與必有怎樣的數量關系？試說明理由.

【答案】⑴菱形

力班2

(2)-----cm

2

⑶AE=BF,理由見解析

13

【分析】（1）連接BE,CD,由等邊三角形的性質可得//C5=/EDE=60。，則3、D、C、E四點共圓,

由三線合一定理得到/8EC=90。，則2C為過反D、C、E的圓的直徑，再由。￡=8C=6cm,得到OE

為過5、D、C、E的圓的直徑，則點H為圓心，據此可證明NG￡5=NE8"=NG2E=N8E//=3O。，推

出四邊形3HEG是平行四邊形，進而可證明四邊形8HEG是菱形，即兩張紙片重疊部分的形狀是菱形；

（2）由等邊三角形的性質得到N4BC=/D跖=/C=60。，AC=BC=6cm,則由平行線的性質可推出

ZABC=ZCHE,進而可證明四邊形5HEG是平行四邊形，再證明△￡〃（？是等邊三角形，則可設

EH=CH=2xcm,貝i]8〃=（6-2x）cm,HT=^CH=xcm,由勾股定理得到

22

ET=VEH—HT=VSxcm>可得S重疊=S四邊形H■—>則當》=萬■時，StA

有最大值，最大值為生8cm°；

2

（3）過點3作于過點￡作及V_L。尸于N,連接BE,則4W=FN=尸=工/C=3cm,

22

EF=AB=6cm,BE=BE,證明EN=8Af,進而可證明電RtA〃E2（HL）,得至=則

FN+BN=AM+ME,BPAE=BF.

【詳解】（1）解：如圖所示，連接BE,CD

■:AABC,△￡）￡「都是等邊三角形，

ZACB=NEDF=60°,

：.B、D、C、E四點共圓，

?點￡是NC的中點，

："BEC=90°,

??.BC為過B、D、C、￡的圓的直徑，

又DE=BC=6cm,

??.DE為過B、D、。、E的圓的直徑，

???點H為圓心，

??.EH=BH,

??.NHBE=ZHEB=30°,

:?NGEB=ZEBH=/GBE=NBEH=30°,

：.BG//EH,BH//EG,

???四邊形BHEG是平行四邊形，

又?:EH=BH,

14

???四邊形是菱形，

???兩張紙片重疊部分的形狀是菱形;

圖1

(2)解：???△/8C,ADE尸都是等邊三角形，

NABC=ZDEF=ZC=60°,AC=BC=6cm,

???EF//BC,

ACHE=ZDEF=60°,

:./ABC=NCHE,

BG//EH,

???四邊形BHEG是平行四邊形，

■：ZC=ZCHE=60°,

??.△EHC是等邊三角形，

過點E作ET1HC,

.,.設￡7/=CH=2xcm,則3〃=(6-2x)cm,HT==xcm,

ET=ylEH2-HT2=V3xcm，

S重疊=S*形BHEG=BH-ET=6x(6-2x)

-2>/3<0,

二當x時，S重疊有最大值，最大值為蛀c/;

22

15

A

圖2

(3)解：AE=BF,理由如下：

如圖所示，過點8作8Ml4c于M,過點￡作EN_LDF于N,連接BE,

???△48C,ADEF都是邊長為6cm的等邊三角形，

AM=FN=-DF=-AC=3cm,EF=AB=6cm,BE=BE

22

由勾股定理可得NE=y)EF2-FN2=36cm，BM=AB2-AM1=36cm，

EN=BM,

又：BE=BE,

之RtAAffiB(HL),

：.NB=ME,

:.FN+BN=AM+ME,AE=BF.

圖3

【點睛】本題主要考查了二次函數的應用，等邊三角形的性質與判定，平行四邊形的性質與判定，全等三

角形的性質與判定，勾股定理，四點共圓，正確作出輔助線是解題的關鍵.

9.(2024?四川資陽?中考真題)已知二次函數與一反的圖像均過點4(4,0)和坐標原

點。，這兩個函數在04x44時形成的封閉圖像如圖所示，P為線段。/的中點，過點尸且與x軸不重合的

直線與封閉圖像交于8,C兩點.給出下列結論：

16

①6=2；

@PB=PC；

③以0,A,B,C為頂點的四邊形可以為正方形；

④若點5的橫坐標為1，點。在V軸上（。，B,C三點不共線），則△BC。周長的最小值為5+JW.

其中，所有正確結論的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】根據題意可得兩個函數的對稱軸均為直線x=2,根據對稱軸公式即可求出6,可判斷①正確；

過點8作ADLx交x軸于點。，過點C作CE,尤交x軸于點E,證明也可得PB=PC,可

判斷②正確；當點3、C分別在兩個函數的頂點上時，BCL0A,點、B、C的橫坐標均為2,求出8c的

長度，得到3c=04,可判斷③正確；作點8關于y軸的對稱點夕，連接be交了軸于點。，此時△BC。

周長的最小，小值為夕C+5C,即可判斷④.

【詳解】解：①???二次函數y=-gx2+樂與了二3/一樂的圖像均過點/（4,0）和坐標原點。，p為線段04

的中點，

P（2,0）,兩個函數的對稱軸均為直線x=2,

解得：b=2,故①正確；

②如圖，過點3作班），x交無軸于點。，過點C作CELx交無軸于點E,

17

NCEP=NBDP=9G0,

由函數的對稱性可知尸E=DP,

在和△BOP中,

NCEP=NBDP

<EP=DP

/EPC=ZDPB

ACE尸父ABO尸(ASA),

：.PB=PC,故正確②；

③當點8、C分別在兩個函數的頂點上時，BC1OA,點、B、C的橫坐標均為2,

由①可知兩個函數的解析式分別為V=-：/+2x,y=^x2-2x,

.?.8(2,2),C(2-2),

5C=2-(-2)=4,

???點1(4,0),

1.OA=4,

BC=OA,

由???BC10Af

.,.此時以O,A,B,C為頂點的四邊形為正方形，故③正確；

④作點3關于V軸的對稱點夕，連接EC交V軸于點。，此時△5C0周長的最小，最小值為

BQ+CQ+BC=B,Q+CQ+BC=B,C+BC,

點3的橫坐標為1,

2

33

=V13,fi'C=(-1-3)2+—+—=5，

22

△BC。周長的最小值為3'C+3C=5+Vn,故正確④；

故選：D.

【點睛】本題是二次函數的綜合題，涉及二次函數的圖像與性質，全等三角形的判定與性質，正方形的判

定，對稱中的最值問題等知識，解題的關鍵是靈活運用這些知識.

10.（2024?江蘇常州?中考真題）在平面直角坐標系芯帆中，二次函數了=-2+加+3的圖像與x軸相交

于點/、B,與y軸相交于點C

備用國

（1）OC=；

（2）如圖，已知點/的坐標是（T,。）.

①當IWXWM,且加＞1時，y的最大值和最小值分別是s、t,s-t=2,求m的值;

②連接NC,尸是該二次函數的圖像上位于y軸右側的一點（點3除外），過點尸作軸，垂足為

D.作/DPQ=/4C0,射線PQ交y軸于點0,連接。0、PC.若DQ=PC,求點P的橫坐標.

19

【答案】（1）3

⑵①亞+1;②1或支產

【分析】（1）當％=0時，V=3,即。。=3；

（2）①先求出解析式為、=-爐+2%+3,可知對稱軸為直線：x=l,當14x0加，且加＞1時，y隨著x的

增大而減小，故當x=l,s=4,當工=機時，t=-m2+2m+3,由s-/=2得，4+m2-2m-3=2,解得

_AC）1

m=l+V2;②在RM4C。中，可求tan/ZCO=而=§,由題意得，DP//CQ,DQ=PC,四邊形。尸C。

為平行四邊形或等腰梯形，當點P在x軸上方，四邊形。P。。為平行四邊形時，則尸。=。。，則

tanZ.DPQ-tanZ.ACO=tanZ1=,設FD=k,OF=n,貝|PZ）=3左,00=3〃，貝！J3左=3+3〃，故〃二女+1,

則尸（2k+1,3左），將點尸（2左+1,3左）代入y=--+2%+3,得一（2左+1）2+2（2左+1）+3=3左，解得左=；,故

13

4=1*2+1=；；當四邊形。PC。為等腰梯形時，則PC=。。，過點。作尸￡，y軸于點E,則C￡=0O,

PE1

由QC+C￡=℃+QO,得0￡=OC=3,則后=彳，設PE=p,則QE=3p,故3p=3,解得〃=1,即

QE3

Xp=l；當點P在x軸下方拋物線上時，此時四邊形。PC。為平行四邊形，則黑=第=；，設

OG=e,DG=g,則OQ=3e,DP=3g=QC,而O0-OC=CQ,故3e-3=3g,即g=e-l,可得

P（2e-1,3-3e）,將點尸代入尸+2x+3,^-（2e-l）2+2（2e-l）+3=3-3e,解得e="+"或

8

e="一后（舍），因此「=2e-l=7+4,綜上：點尸的橫坐標為1或;或2±運.

【詳解】（1）解：當x=0時，y=3,即0c=3；

（2）解：①將點A代入y=—x2+Z）x+3

得，-1-6+3=0,

解得：b=2,

???解析式為：y=-x2+2x+3,

而y——+2x+3=—（%—1）~+4,

???對稱軸為直線：％=1,

當14x4加，且加＞1時，

.,少隨著%的增大而減小，

二當％=1,s=—l+2+3=4,當％=用時,t=—m2+2m+3,

由s—%=2得，4+機2—2加一3=2,

zu

解得：加=1+a或加=1-血（舍）

???加=1+V2;

A01

②在RM4C0中，tanZACO=-=-f

由題意得，DP//CQ,DQ=PC,

???四邊形DPCQ為平行四邊形或等腰梯形，

當點尸在工軸上方，四邊形。尸。。為平行四邊形時，則尸。二。。,

??.Nl=ZDPQ,

v/DPQ=/ACO,

：.tanZDPQ=tan/ACO=tanZ1=j,

?O?-F...F.D.—1

?O0PD3'

.,.設FZ）=k,OF=n,則PD=3k,OQ=3n,

*'-3左=3+3〃,

???〃=女+1,

.?.尸（2無+1,3無）,

將點P（2上+1,3后）代入.V=T2+2X+3,

得：一（2左+17+2（2左+1）+3=3左，

解得：k=;或k=—l（舍），

1.3

x=-x2+1——；

尸p42

當四邊形。尸。。為等腰梯形時，則PC=8,過點尸作尸軸于點￡,

21

PE=DO,

???Rt△尸CE之RtZS。。。，

；.CE=QO,

：.QC+CE=QC+QO9

:.QE=OC=3,

八

???tanZ1=—1,

3

PE

：，QE=39

.?.設PE=p,則。E=3p,

：.3p=3,

???p=1,

即馬=1；

當點。在X軸下方拋物線上時，此時四邊形。尸。。為平行四邊形，則。P=OC,

22

??麗一記一§,

設OG=e,DG=g,

.-.OQ=3e,DP=3g=QCf

OQ-OC=CQf

3e—3=3g,

.??g=e-l,

???P(2e-1,3-3e),

將點P代入y=--+2x+3,

得：-(2e-lY+2(2e-l)+3=3-3e,

解得：e=或e=3,

88

而當e="一4時,g=e-l<0,故舍，

8

,,7+773

,,Xp—2e-1=----------,

「4

綜上：點p的橫坐標為1或I■或

24

【點睛】本題考查了二次函數的綜合問題，待定系數法求函數解析式，二次函數的圖像與性質，圖像與坐

23

標軸的交點，平行四邊形的性質，等腰梯形的性質等，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

11.（2024?北京?中考真題）小云有一個圓柱形水杯（記為1號杯），在科技活動中，小云用所學數學知識

和人工智能軟件設計了一個新水杯，并將其制作出來，新水杯（記為2號杯）示意圖如下，

當1號杯和2號杯中都有，mL水時，小云分別記錄了1號杯的水面高度4（單位：cm）和2號杯的水面

高度飽（單位：cm）,部分數據如下:

K/mL040100200300400500

4/cm02.55.07.510.012.5

力2/cm02.84.87.28.910.511.8

（1）補全表格（結果保留小數點后一位）;

（2）通過分析數據，發現可以用函數刻畫用與修，色與廠之間的關系.在給出的平面直角坐標系中，畫出這

兩個函數的圖象;

Ah/cm

13—廣丁

1-2—4

MT

10-

9-

6---r--T

—!—t

⑹-1

—T-T

；4—!——：

：2—

:]---!--t

OLWOJ3Q0L400J5QO：FTmL

（3）根據以上數據與函數圖象，解決下列問題：

①當1號杯和2號杯中都有320mL水時，2號杯的水面高度與1號杯的水面高度的差約為cm

（結果保留小數點后一位）；

24

②在①的條件下，將2號杯中的一都分水倒入1號杯中，當兩個水杯的水面高度相同時，其水面高度約

為cm(結果保留小數點后一位).

【答案】(1)1.0

(2)見詳解

(3)1.2,8.5

【分析】本題考查了函數的圖像與性質，描點法畫函數圖像，求一次函數解析式，已知函數值求自變量,

正確理解題意，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

(1)設憶與用的函數關系式為：廠=協(左*0),由表格數據得：100=2.5左，則可求憶=40%,代入憶=40

即可求解；

(2)畫色與廠之間的關系圖象時，描點，連線即可，畫用與，的關系圖像時，由于廠=40%是正比例函

數，故只需描出兩點即可；

320

(3)①當/=320ml時，hx=—=8cm,由圖象可知高度差CDa1.2cm；②在憶=320ml左右兩側找到等

距的體積所對應的高度相同，大致為8.5cm.

【詳解】⑴解：由題意得，設廠與4的函數關系式為：/=俏(入0),

由表格數據得：100=2.54，

解得：上=40,

展40%,

.?.當憶=40時，404=40,

hi=1.0cm；

(2)解：如圖所示，即為所畫圖像，

25

(3)解：①當V=320ml時，h}=—=8cm,由圖象可知高度差CDa1.2cm,

故答案為：1.2；

②由圖象可知當兩個水杯的水面高度相同時，估算高度約為8.5cm,

故答案為：8.5.

12.(2024?吉林?中考真題)小明利用一次函數和二次函數知識，設計了一個計算程序，其程序框圖如圖

(1)所示，輸入x的值為-2時，輸出y的值為1；輸入x的值為2時，輸出了的值為3；輸入x的值為3

時，輸出y的值為6.

26

開始

(ffil)(圖2)

(1)直接寫出左，a,b的值.

⑵小明在平面直角坐標系中畫出了關于x的函數圖像，如圖(2).

I.當y隨尤的增大而增大時，求x的取值范圍.

H.若關于x的方程g?+6