PAGE1-第一講排列、組合與二項式定理1．(2024·云南一模)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,x)))10的二項綻開式中，x6的系數等于()A．－180 B．－eq\f(5,3)C.eq\f(5,3) D．180解析：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,x)))10的二項綻開式的通項公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)·(－2)r·x10－2r，令10－2r＝6，求得r＝2，可得x6的系數為Ceq\o\al(2,10)·(－2)2＝180，故選D.答案：D2．(2024·揭陽一模)某班星期一上午支配5節課，若數學2節，語文、物理、化學各1節，且物理、化學不相鄰，2節數學相鄰，則星期一上午不同課程支配種數為()A．6 B．12C．24 D．30解析：依據題意，分2步進行分析：①將兩節數學捆在一起與語文先進行排列有Aeq\o\al(2,2)種排法，②將物理、化學在第一步排列后的3個空隙中選兩個插進去有Aeq\o\al(2,3)種方法，依據乘法原理得不同課程支配種數為Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝12.故選B.答案：B3．(2024·和平區校級期末)(x＋1)6(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a11x11，則a1＋a2＋…＋a11＝()A．－64 B．－65C．64 D．65解析：∵(x＋1)6(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a11x11，令x＝0，可得a0＝1，再令x＝1,1＋a1＋a2＋…＋a11＝－64，∴a1＋a2＋…＋a11＝－65，故選B.答案：B4．(2024·西安模擬)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))(2x＋1)3綻開式中的常數項為()A．1 B．2C．3 D．7解析：∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))(2x＋1)3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))(8x3＋12x2＋6x＋1)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))(2x＋1)3綻開式中的常數項為1＋6＝7.故選D.答案：D5．(2024·江西贛州聯考)將標號為1,2,3,4,5,6的6個小球放入3個不同的盒子中．若每個盒子放2個，其中標號為1,2的小球放入同一盒子中，則不同的方法共有()A．12種 B．16種C．18種 D．36種解析：先將標號為1,2的小球放入盒子，有3種狀況；再將剩下的4個球平均放入剩下的2個盒子中，共有eq\f(C\o\al(2,4)·C\o\al(2,2),2！)·Aeq\o\al(2,2)＝6(種)狀況，所以不同的方法共有3×6＝18(種)．答案：C6．(2024·福建寧德聯考)某次運動會中，組委會預備在會議期間將A，B，C，D，E，F這六名工作人員安排到兩個不同的地點參加接待工作．若要求A，B必需在同一組，且每組至少2人，則不同的安排方法有()A．15種 B．18種C．20種 D．22種解析：先從兩個不同的地點選出一地點安排A，B兩人，有Ceq\o\al(1,2)＝2(種)狀況，再將剩余4人分入兩地有3種狀況，4人都去A，B外的另一地點，有1種狀況；有3人去A，B外的另一地點，有Ceq\o\al(3,4)＝4(種)狀況；有2人去A，B外的另一地點，有Ceq\o\al(2,4)＝6(種)狀況．綜上，共有2×(1＋4＋6)＝22(種)，故選D.答案：D7．(2024·泰安模擬)若(x－2)5－3x4＝a0＋a1(x－3)＋a2(x－3)2＋a3(x－3)3＋a4(x－3)4＋a5(x－3)5，則a3＝()A．－70 B．28C．－26 D．－28解析：令t＝x－3，則(x－2)5－3x4＝a0＋a1(x－3)＋a2(x－3)2＋a3(x－3)3＋a4(x－3)4＋a5(x－3)5，可化為(t＋1)5－3(t＋3)4＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4＋a5t5，則a3＝Ceq\o\al(3,5)－3·Ceq\o\al(3,4)·3＝10－36＝－26.故選C.答案：C8．(2024·廣東江門測試)從4臺甲型和5臺乙型電腦中隨意取出3臺，其中至少要有甲型和乙型電腦各一臺，則不同的取法有()A．140種 B．84種C．70種 D．35種解析：當選取1臺甲型電腦，2臺乙型電腦時，方法數有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,5)＝40(種)；當選取2臺甲型電腦，1臺乙型電腦時，方法數有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5)＝30(種)，故不同的取法共有70種．答案：C9．(2024·福建三明一模)某密碼鎖共設四個數位，每個數位的數字都可以是1,2,3,4中的隨意一個．現密碼破譯者得知：甲所設的四個數字有且僅有三個相同；乙所設的四個數字有兩個相同，另兩個也相同；丙所設的四個數字有且僅有兩個相同；丁所設的四個數字互不相同．則上述四人所設密碼最平安的是()A．甲 B．乙C．丙 D．丁解析：甲所設密碼共有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)＝48(種)不同設法，乙所設密碼共有eq\f(C\o\al(2,4)A\o\al(2,4),2！)＝36(種)不同設法，丙所設密碼共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,3)＝144(種)不同設法，丁所設密碼共有Aeq\o\al(4,4)＝24(種)不同設法，所以丙最平安，故選C.答案：C10．(2024·合肥二模)某部隊在一次軍演中要先后執行六項不同的任務，要求是：任務A必需排在前三項執行，且執行任務A之后需馬上執行任務E，任務B、任務C不能相鄰，則不同的執行方案共有()A．36種 B．44種C．48種 D．54種解析：依據題意，任務A必需排在前三項執行，分3種狀況探討：①若任務A排在第一位，則E排在其次位，將剩下的2項任務全排列，排好后有3個空位，將B、C支配在3個空位中，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝12種不同的執行方案；②若任務A排在其次位，則E排在第三位，BC的支配方法有4×Aeq\o\al(2,2)＝8種，將剩下的2項任務全排列支配在剩下位置，在Aeq\o\al(2,2)＝2種支配方法，則有8×2＝16種支配方法；③若任務A排在第三位，則E排在第四位，B、C的支配方法有4×Aeq\o\al(2,2)＝8種，將剩下的2項任務全排列支配在剩下位置，有Aeq\o\al(2,2)＝2種支配方法，則有8×2＝16種支配方法，則不同的執行方案共有12＋16＋16＝44種．故選B.答案：B11．(2024·博望區校級月考)某地興辦科技博覽會，有3個場館，現將24個志愿者名額安排給這3個場館，要求每個場館至少有一個名額且各場館名額互不相同的安排方法共有()A．222種 B．253種C．276種 D．268種解析：依據題意，將24個志愿者名額看成24個小球，原問題可以轉化為將24個小球分成3組，每組數目各不相同的問題，將24個小球排成一排，有23個空位，在其中任選2個，支配2個擋板，有Ceq\o\al(2,23)＝253種分組方法，又由在“每校至少有一個名額的分法”中“至少有兩個學校的名額數相同”的安排方法有(1,1,22)，(2,2,20)，(3,3,18)，(4,4,16)，(5,5,14)，(6,6,12)，(7,7,10)，(8,8,8)，(9,9,6)，(10,10,4)，(11,11,2)；共有10Ceq\o\al(1,3)＋1＝31種；則每校至少有一個名額且各校名額互不相同的安排方法共有253－31＝222種．答案：A12．(2024·福州四校聯考)在(1－x3)(2＋x)6的綻開式中，x5的系數是________(用數字作答)．解析：二項綻開式中，含x5的項是Ceq\o\al(5,6)2x5－x3Ceq\o\al(2,6)24x2＝－228x5，所以x5的系數是－228.答案：－22813．(2024·鄭州一模)由數字2,0,1,9組成沒有重復數字的四位偶數的個數為________．解析：依據所組成的沒有重復數字的四位偶數的個位是否為0進行分類計數：第一類，個位是0時，滿意題意的四位偶數的個數為Aeq\o\al(3,3)＝6；其次類，個位是2時，滿意題意的四位偶數的個數為Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,2)＝4.由分類加法計數原理得，滿意題意的四位偶數的個數為6＋4＝10.答案：1014．(2024·山東濟南模擬)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5的綻開式中各項系數的和為2，則該綻開式中含x4項的系數為________．解析：令x＝1，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5的綻開式中各項系數的和為1－a＝2，得a＝－1，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5綻開式中x4項的系數即是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5綻開式中的x3項與x5項系數的和．又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5綻開式的通項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(－1)r·25－r·x5－2r，令5－2r＝3，得r＝1，令5－2r＝5，得r＝0，將r＝1與r＝0分別代入通項，可得x3項與x5項的系數分別為－80與32，故原綻開式中x4項的系數為－80＋32＝－48.答案：－4815．(2024·洛陽模擬)某校有4個社團向高一學生招收新成員，現有3名同學，每人只選報1個社團，恰有2個社團沒有同學選報的報法有________種(用數字作答)．解析：法一：第一步，選2名同學報名某個社團，有Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(1,4)＝12種