專題28幾何綜合壓軸題（29題）（解析版）

一、單選題

1.（2024.四川巴中.中考真題）如圖，在VABC中，D是AC的中點，CE1AB,8。與CE交于點。，且

BE=CD.下列說法錯誤的是（）

A.3。的垂直平分線一定與48相交于點E

B.NBDC=3ZABD

C.當(dāng)E為AB中點時，VA2C是等邊三角形

D.當(dāng)E為AB中點時，=Z

【答案】D

【分析】連接DE，根據(jù)CE1AB,點。是AC的中點得OE=AD=C￡）=gAC,則座=2）石，進而得點。

在線段8。的垂直平分線上，由此可對選項A進行判斷；設(shè)NAaD=c,根據(jù)跳；=/）￡得ZEDB=Z4Br>=”,

ZAED=ZEDB+ZABD=2a,再根據(jù)0￡=&￡）得NA=NA￡D=2a,貝I]NBZ）C=NA+N/?）=3a,由止匕可對選

項B進行判斷；當(dāng)E為A8中點時，則CE是線段A8的垂直平分線，由此得AC=3C,然后

根據(jù)=CD=^-AC,BE=CD得AB=AC,由此可對選項C進行判斷；連接AO并延長交于

22

F,根據(jù)VABC是等邊三角形得/O8C=NOAC=30。，則。4=03,進而得08=2。尸，AF=3OF,由此

113

^S&OBC=-BCOF,SMBC=-BCAF=-BCOF,由此可對選項D進行判斷，綜上所述即可得出答案.

【詳解】解：連接DE,如圖1所示:

A

CELAB,點。是AC的中點,

DE為RtAAEC斜邊上的中線,

,\DE=AD=CD=-AC,

2

BE=CD,

/.BE=DE,

二點。在線段的垂直平分線上，

即線段8。的垂直平分線一定與相交于點E,故選項A正確，不符合題意;

設(shè)入的＞=1,

BE=DE，

NEDB=XABD=a,

ZAED=ZEDB+ZABD=2a,

DE=AD,

Z.A.=ZAED=2cr,

ZBDC=ZA+ZABD=3a,

即=故選B正確，不符合題意；

當(dāng)E為AB中點時，則2石==42,

2

CELAB,

：.CE是線段AB的垂直平分線，

AC=BC,

BE=-ABCD=-AC,BE=CD,

2f2

AB=AC,

AC=BC=AB,

ABC是等邊三角形，故選C正確，不符合題意;

連接A0,并延長交于尸，如圖2所示：

2

A

當(dāng)E為AB中點時，

,點。為AC的中點，

，根據(jù)三角形三條中線交于一點得：點/為BC的中點，

,當(dāng)E為A5中點時，VABC是等邊三角形，

.-.ZABC=ZBAC=60°,AFIBC,AF平分NOAC,8。平分/ABC,

ZOBC=ZOAC=30°,

OA=OB,

在RtZ\O5/中，OB=2OF,

,.OA=OB=2OF,

:.AF=OA+OF=3OF,

113

：SXOBC=—2BCOF7,2SMBC=_B2CAF=_7BCOF,

Si

.??盧=鼻，故選項D不正確，符合題意.

^AABCD

故選：D.

【點睛】此題主要考查了直角三角形斜邊上的中線，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，

等邊三角形的判定和性質(zhì)，理解直角三角形斜邊上的中線，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形

的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

2.（2024.山東濟南.中考真題）如圖，在正方形ABC。中，分別以點A和8為圓心，以大于（AB的長為半

徑作弧，兩弧相交于點E和作直線砂，再以點A為圓心，以AD的長為半徑作弧交直線所于點G（點

G在正方形ABCD內(nèi)部），連接DG并延長交3C于點K.若BK=2,則正方形ABC。的邊長為（）

Q3+A/5

D.6+1

,2

【答案】D

【分析】連接AG,設(shè)EF交AB于點H,正方形邊長為2光，由作圖知，AG=AD=2xf跖垂直平分A8,

得到==ZAHG=90°,由勾股定理得到G"=gx,證明A。GHBC,推出Z)G=GK,推出

GH=x+\,得到6%=%+1,即得2%=6+1.

【詳解】連接AG,設(shè)取交于點凡正方形邊長為2%,

由作圖知，AG=AD=2x,EF垂直平分A5,

AAH=BH=-AB=x,ZAHG=90。，

2

-，-GH=y/AG2-AH2=A/3X^

?.?ABAD=90°,

JAD//GH,

\9AD//BC,

：.ADGHBC,

?.D,G=AH=i1,

GKHB

：.DG=GK,

*BK=2,

.GH=^（AD+BK）=x+l,

?6x=x+1,

6+1

?x=-------

2

?2x—5/3+1.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了正方形和線段垂直平分線綜合.熟練掌握正方形性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，勾

股定理解直角三角形，平行線分線段成比例定理，梯形中位線性質(zhì)，是解決問題的關(guān)鍵.

3.（2024.安徽?中考真題）如圖，在Rt^ABC中，AC=BC=2,點。在的延長線上，S.CD=AB,則

的長是（）

A.^/TO-A/2B.V6-V2C.2A/2-2D.2>/2-V6

【答案】B

【分析】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)，勾股定理，過點。作。ELCB的延長

線于點E,則/3ED=90。，由NACB=90。，AC=BC=2,可得AB=2&，NA=NABC=45。，進而得

到8=20,ZDBE=45°,即得為等腰直角三角形，得到=設(shè)DE=BE=x,由勾股定理

得（2+才+苫2=（2⑹1求出x即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：過點。作DE，CB的延長線于點E,則/麗=90。，

VZACS=90°,AC=BC=2,

***AB=yl22+22=2^2，ZA=ZABC=45°,

CD=272,ZDBE=45°,

???V5DE為等腰直角三角形，

?*.DE=BE，

設(shè)DE=BE=x,貝!|CE=2+x,

在RtACDE中，CE~+DE1=CD2,

（2+4+/=（20『，

解得w=V^-i,馬=-石-1（舍去）,

DE=BE=6T，

4.（2024.湖北武漢.中考真題）如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于。，ZABC=60°,ABAC=ZCAD=45°,

AB+AD^2,貝U。的半徑是（）

「A/3

D.

2當(dāng)

【答案】A

【分析】延長A3至點E,使5石=4）,連接50,連接。。并延長交。于點R連接AF,即可證得

ADZEBC（SAS）f進而可求得AC=cos45O-AE=0，再利用圓周角定理得到NAFC=60。，結(jié)合三角

函數(shù)即可求解.

【詳解】解：延長至點E,使5￡=AZ）,連接50,連接。。并延長交，；。于點F連接AF,

C

???四邊形A5CD內(nèi)接于：O,

：.ZADC+ZABC=ZABC+ZCBE=180°

???ZADC=ZCBE

6

?：ZBAC=ZCAD=45°

；?NCBD=NCDB=45。,ZDAB=90°

；?BD是。的直徑，

??.ZDCB=90°

???△OCH是等腰直角三角形，

:.DC=BC

*.*BE=AD

???一ADC空EBC(SAS)

:?ZACD=/ECB,AC=CE,

:.AB+BE=AE=2

又??,NDCB=90。

：.ZACE=90°

???/XACE是等腰直角三角形

AC=cos45°-AE=V2

ZABC=60°

：.ZAFC=60°

丁ZFAC=9Q0

.??OF=OC=-CF=—

23

故選：A.

【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，圓周角定理，銳角三角函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)與判定等

知識點，熟練掌握圓周角定理以及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

5.（2024.山東濟南.中考真題）如圖1,VABC是等邊三角形，點。在邊上，BD=2,動點尸以每秒1

個單位長度的速度從點8出發(fā)，沿折線3C-C4勻速運動，到達(dá)點A后停止，連接。P.設(shè)點P的運動時間

為《s）,Dp］為y.當(dāng)動點尸沿勻速運動到點C時，V與/的函數(shù)圖象如圖2所示.有以下四個結(jié)論:

①AB=3；

②當(dāng)/=5時，y=l；

③當(dāng)4W”6時，l<y<3；

④動點尸沿BC-C4勻速運動時，兩個時刻4，?2a<幻分別對應(yīng)％和X，若4+/2=6,則%）必.其中

正確結(jié)論的序號是（）

A.①②③B,①②C.③④D.①②④

【答案】D

【分析】由圖知當(dāng)動點尸沿2C勻速運動到點C時，。尸2=7,作DELBC于點、E,利用解直角三角形和

勾股定理，即可得到2C,即可判斷①，當(dāng)f=5時，證明△ADP是等邊三角形，即可判斷②，當(dāng)4W6時，

且￡>P_LAC時，。尸最小，求出最小值即可判斷③，利用勾股定理分別表示出％和為進行比較，即可判斷

【詳解】解：由圖知當(dāng)動點P沿BC勻速運動到點C時，。尸=7,

作OEL3C于點E,

DE=BD-sin60。=6,BE=BD-cos600=1,

EP=-JDP2-DE2=2<

:.AB=BC=BE+EP=3,

故①正確；

當(dāng)才=5時，PC=5-3=2,AP=1=AD,

8

A

ZA=60°,

△4DP是等邊三角形,

:.DP=AP=AD^],

y=DP2=\,

故②正確;

當(dāng)4W/W6時，且。尸_LAC時，。尸最小,

AD=1,ZA=60°,

...DP=ADsin600=—

2f

33

???叱最小為“即y能取到“

故③錯誤;

動點P沿BC-C4勻速運動時,

%+/2=6,4<，

<3,t2>39t2=6-,

當(dāng)OW.Wl時，5<Z2<6,

53

當(dāng)￡>P_LAC時，CP=-,DP=-,

24

2

31i+—；

%=1+一一%

4211161116

1351

y-%=44----=—>0,

121616

?*-y>%；

同理，當(dāng)1<%<3時，3<r2<5,

—可=4+4,

92=13

H-------t,-tyH---------

161,16

,1351

X-%=4-----=——>0,

21616

M>%;

故④正確;

綜上所述，正確的有①②④,

故選：D.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，等邊三角形性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，涉及到動點問題、讀懂

函數(shù)圖象、正確理解題意，利用數(shù)形結(jié)合求解是解本題的關(guān)鍵.

二、填空題

6.（2024?河北?中考真題）如圖，VABC的面積為2,AD為邊上的中線，點A,G，C2,C3是線段CC《

的五等分點，點A,R,2是線段的四等分點，點A是線段8月的中點.

（1）的面積為

（2）△與QA的面積為

【答案】17

【分析】（1）根據(jù)三角形中線的性質(zhì)得以”"=SMCD=gsc=1，證明.AGR之,ACD（SAS）,根據(jù)全

10

等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；

(2)證明.A4〃WABD(SAS),得S△陽4=$△.=1,推出G、2、耳三點共線，得

G

S△期=S4ABp+SAACQ、=2,繼而得出4c4=4SAAB[CI=8,SAAgID3=3s△AB?[=3,證明Z\C3AAs/iCAf),

4

得S/XGAA=9SACAD=9,推出S^AC"!)，=12,最后代入SA4C4A=與+S^AB121s△m如即可.

【詳解】解：(1)連接用2、BA、BQ、Bg、C3D3,

：VABC的面積為2,AD為BC邊上的中線，

.,^AABD=^AACD=/^AABC=]?21,

?.?點A,G，c2,G是線段CC4的五等分點，

AC=ACX=qc2=c2G=GC4=1cc4,

???點A,R,。2是線段DQ的四等分點，

AD=AD1=Dp。=D1D3=；DD3,

???點A是線段8月的中點，

AB=AB[=；網(wǎng)，

在△AC]R和ACD中，

'AC,=AC

<NC]叫=ZCAD,

AZ)1=AD

：.ACQi-D(SAS),

**?SAACR=S/\ACD=1,Z.CXDXA=ACDA,

??.△AG2的面積為1,

故答案為：1；

(2)在A42和△AB。中，

AB}=AB

<NB]AR=/BAD,

ADl=AD

AB】D［安ABD(SAS),

**?S4ABR=S^ABD~1，NBRA=ABDA,

ZBDA+ZOM=1800,

.??ZBXDXA+ZCXDXA=180°,

???G、D］、用三點共線，

+

**?S^ABIG==1+1=2,

=

**?^AAB,C44s△陰G=4?28,

DD=△ABR

,**AR=X2D2D3,S=1,

**?=3s△A5Q=3x1=3,

在△473。3和；,ACD中，

ATAn

???絲1=3=嗎，ZCAR=ZC4D,

ACAD33

Z\C3A03s△CAO,

...sc3g=32=9,

S,CAD\ACJ

**?S^c3Az)3=9s△CAO=9x1=9,

x

,,S4AC4D3=W^^C3AD3=-9=12,

=

*'?^AB{C4D3S-C4D3+—SAAB^4=12+3—8=7

???△用0'A的面積為7,

故答案為：7.

12

H

【點睛】本題考查三角形中線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等分點的意

義，三角形的面積.掌握三角形中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.（2024?河南?中考真題）如圖，在RtZXABC中，ZACB=9Q°,CA=CB=3,線段CD繞點C在平面內(nèi)旋

轉(zhuǎn)，過點B作AD的垂線，交射線AD于點E.若CD=1,則AE的最大值為,最小值為.

【答案】2忘+1/1+2忘2A/2-1/-1+2A/2

【分析】根據(jù)題意得出點。在以點C為圓心，1為半徑的圓上，點E在以A8為直徑的圓上，根據(jù)

AE=AB-cosZBAE,得出當(dāng)cos/BAE最大時，AE最大，cos/BAE最小時，AE最小，根據(jù)當(dāng)AE與OC

相切于點。，且點。在VABC內(nèi)部時，-54E最小，AE最大，當(dāng)AE與；C相切于點Q,且點。在VABC

外部時，/BAE最大,AE最小，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可.

【詳解】解：：ZACB=90。，C4=CB=3,

ABAC=ZABC=-x90°=45°,

2

?..線段CO繞點C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，CD=1,

...點D在以點C為圓心，1為半徑的圓上，

*/BE±AE,

：.ZAEB=90°,

...點E在以AB為直徑的圓上，

在RtAABE中，AE^ABcosZBAE,

：48為定值，

...當(dāng)cos/BAE最大時，AE最大，cos/BAE最小時，AE最小，

.?.當(dāng)4區(qū)與〈C相切于點。，且點。在VABC內(nèi)部時，NBAE最小,AE最大，連接CO,CE,如圖所示：

:O!

\\ii

\、//

、\/

、、、//

、z

、、、、_____-J

則cc

???ZADC=ZCDE=90°,

AD=7AC2-CD2=732-l2=20，

AC=AC'

NCED=ZABC=45°,

???NCDE=90。,

為等腰直角三角形，

?.DE=CD=1,

?*-AE=AD+DE=2A/2+1，

即AE的最大值為20+1;

當(dāng)一M與二C相切于點。，且點。在VABC外部時，4AS最大，AE最小，連接CO,CE,如圖所示:

:\O1

\\，1

\\/

\、//

X、/Z

、、Z,

、_____

則CC

???/CDE=90。,

?*-AD=^AC2-CD-=732-12=2也，

:四邊形ABCE為圓內(nèi)接四邊形，

???/CEA=180。一ZABC=135°,

14

NCED=180°-ZCEA=45°,

,?NCDE=90。,

CDE為等腰直角三角形，

DE=CD=1,

AE=AD-DE=2&-b

即AE的最小值為20-1;

故答案為：20+1;2>/2-l.

【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，

解直角三角形的相關(guān)計算，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)，找出AE取最大值和最小值

時，點。的位置.

8.（2024?浙江?中考真題）如圖，在菱形A3。中，對角線AC,8。相交于點O,點線段與AE

BD3

關(guān)于過點。的直線/對稱，點8的對應(yīng)點8'在線段OC上，A舊交CD于點、E,則B'CE與四邊形。8'瓦>的

面積比為________

A'

、A

B'

【答案】1：3/；

【分析】此題考查了菱形的性質(zhì)，軸對稱性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上

知識點.

設(shè)AC=10a,BD=6a,首先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到。4=OC=；AC=5。，08=38。=3。，連接AD,

OE,直線/交BC于點R交AD于點G,得到點A"D,。三點共線，AD=AO—OD=2a,

SB，2a2

B'C=OC—OB'=2a,三3=市7=/=￡，然后證明出.A'EDaCEB'（AAS）,得到HE=CE,然后證

明出ODEW,OB'E（SSS）,得到S“E=S0B,E,進而求解即可.

ACS

【詳解】：四邊形ABCD是菱形，能

BD3

?,?設(shè)AC=10a,BD=6a

OA=OC=—AC=5a,OB=OD=—BD=3a

22

如圖所示，連接A'。，OE,直線/交BC于點E交A。于點G,

;線段AB與AE關(guān)于過點。的直線/對稱，點B的對應(yīng)點2'在線段OC上,

ZBOF=ZCOF=-ZBOB'=45°,AO=A'O=5a,OB'=OB=3a

2

Z.ZAOG=NDOG=45°

.?.點A，，D,。三點共線

AD^AO-OD^2a,B'C=OC—OB'=2a

.SCEB'_B'C_2a=2

''S.~OB'~3a~3

UnFLDR

：.A!D=B'C

,/CD//AB

：.ZCDO=ZABO

由對稱可得，ZA'B'O=ZABO

：.ZAB'O=ZCDO

：.ZA'DE=NCB'E

又：ZAED=NCEB'

：.AED^,CEB'(AAS)

：.NE=CE

"：A'B'=AB=CD

DE=B'E

又；OD=OB',OE=OB'

：.ODE^：.OB'E(SSS)

s0DE=sOB'E

16

qq??i

.2CEB'_°CEB'___

S四邊形OB'EDSOEB'+SQDE3+363

故答案為：g.

3

9.（2024.江蘇宿遷.中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A在直線y光上，且點A的橫坐標(biāo)為4,

直角三角板的直角頂點。落在工軸上，一條直角邊經(jīng)過點A,另一條直角邊與直線04交于點5,當(dāng)點C

在x軸上移動時，線段的最小值為.

【答案】V

【分析】利用一次函數(shù)求出點A的坐標(biāo)，利用勾股定理求出Q4,當(dāng)點C在x軸上移動時，作與49關(guān)

于AC對稱，且AQ交x軸于點。，由對稱性質(zhì)可知，AB'=AB,ZBAC'^ZDAC,當(dāng)M_Lx軸于點。時，

AB=AB'=AD+5'￡＞最短,記此時點C所在位置為C',作C'E，于點E,有DC=EC,設(shè)DC=EC'=m,

Ar\3

則OC'=OD-Z）C'=4—%,利用銳角三角函數(shù)sinNAO。=--=——=—建立等式求出加，證明

OCOA5

.CDB，sADC,再利用相似三角形性質(zhì)求出83,最后根據(jù)48=m，="＞+3'。求解，即可解題.

【詳解】解：點A在直線y=上，且點A的橫坐標(biāo)為4,

4

，點A的坐標(biāo)為（4,3）,

04=5,

當(dāng)點C在x軸上移動時，作與A9關(guān)于AC對稱，且A9交無軸于點D,

由對稱性質(zhì)可知，AB'=AB,

當(dāng)軸于點。時，/R=AB，=AD+3Z＞最短，記此時點C所在位置為C，,

由對稱性質(zhì)可知，NBAC=ADAC,

作于點E,有DC=EC,

設(shè)DC'=EC'=m,貝!JOC'=QD—OC'=4—機，

.…八ECAD3

OCOA5

m3

4-m5

3

解得根

2

3

經(jīng)檢驗m是方程的解，

2

ZAC'D+NDC'B'=90°,ADAC+ZAC'。=90°,

:.ZDC'B'=ZDAC,

/C'DB'=ZADC=90。,

CDB"ADC,

B'DDC

一記一而‘

3

.弛=2

丁一號

2

3

解得夕〃=

4

315

AB=AB'=3+-=—

故答案為：—.

4

【點睛】本題考查了軸對稱性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，相似三角形性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)，垂

線段最短，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對稱性質(zhì)和垂線段最短找出最短的情況.

10.(2024?湖北?中考真題)如圖，由三個全等的三角形(一ABE,8CF,「.C4D)與中間的小等邊三角形OEb

拼成一個大等邊三角形ABC.連接BD并延長交AC于點G,若AE=ED=2,貝U：

(1)NFD3的度數(shù)是；

(2)OG的長是_____.

BDC

18

【答案】30°立，

5

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形等知

識，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)利用三角形相似及=可得9=小，再利用三角形的外角性質(zhì)結(jié)合可求得NDM=3O。；

(2)作交3G的延長線于點H,利用直角三角形的性質(zhì)求得C〃=l,=證明一⑷％d.CHG,

利用相似三角形的性質(zhì)列式計算即可求解.

【詳解】W：AABE也△5CFN/\C4Z)(已矢口)，

:.AD=BE=CF,AE=BF=DC,

AE=ED=2,

.\AD=BE=4,

一OEF為等邊三角形，

:.EF=DF=DE=2,ZEFD=ZEDF=^)°,

：.BF=DF=DC=2,

ZFDB=ZFBD=-ZEFD=30°,ZADB=ZEDF+ZFDB=90°,

2

如圖，過點。作CH，5G的延長線于點H,

.\CH=CZ)xsin30o=2x-=l,

2

D//=C￡)xcos30°=2x—=,

2

ZADG=/CHG,ZAGD=ZCGH,

/.ADG^CHG,

,DGAD4-

-HG-CH-T，

44r~

:.DG=-DH=-43.

故答案為：30°,迪.

5

11.（2024?四川廣元?中考真題）如圖，在VABC中，AB=5,tan/C=2,則AC+好BC的最大值為

5

【答案】5x/2

【分析】過點8作MLAC,垂足為。，如圖所示，利用三角函數(shù)定義得到AC+且BC=AC+￡>C,延

5

長。C到E,使EC=CD=x,連接BE,如圖所示，從而確定AC+正BC=AC+DC=AC+CE=AE,

5

NE=45。,再由輔助圓-定弦定角模型得到點E在。上運動，AE是，：。的弦，求AC+好BC的最大值就

5

是求弦AE的最大值，即AE是直徑時，取到最大值，由圓周角定理及勾股定理求解即可得到答案.

【詳解】解：過點8作垂足為。，如圖所示:

tanZC=2,

.,.在Rt"CD中，設(shè)。C=x,則8D=2x,由勾股定理可得BCuG'尤,

DCx近日口百

—=-7^=—,BP—BC=DC,

BCV5x55

AC+~BC=AC+DC,

5

延長0c到使EC=CD=x,連接班，如圖所示:

AC+~BC=AC+DC=AC+CE=AE,

5

BDLDE,DE=2x=BD,

.?uBDE是等腰直角三角形，則N￡=45。，

在.AB石中，AB=5,NE=45。，由輔助圓-定弦定角模型，作人/睡的外接圓，如圖所示:

20

，由圓周角定理可知，點￡在＜。上運動，AE是。的弦，求AC+或BC的

5

最大值就是求弦AE的最大值，根據(jù)圓的性質(zhì)可知，當(dāng)弦A石過圓心。，即A石是直徑時，弦最大，如圖所

示:

ZABE=90°,

ZE=45°,

“E是等腰直角三角形，

AB=5,

:.BE=AB=5,則由勾股定理可得AE=4AB。+BE?=50，即AC+乎BC的最大值為5近，

故答案為：5A/2.

【點睛】本題考查動點最值問題，涉及解三角形、勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、圓的性質(zhì)、

圓周角定理、動點最值問題-定弦定角模型等知識，熟練掌握動點最值問題-定弦定角模型的解法是解決問

題的關(guān)鍵.

12.（2024?吉林長春?中考真題）如圖，A3是半圓的直徑，AC是一條弦，。是AC的中點，DE1AB于

點、E,交AC于點F，D8交AC于點G,連結(jié)入￡）.給出下面四個結(jié)論：

@ZABD=ZDAC；

?AF=FG；

③當(dāng)。G=2,GB=3時，F(xiàn)G=—；

2

④當(dāng)20=2"），AB=6時，尸G的面積是

上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號有.

【答案】①②③

【分析】如圖：連接DC,由圓周角定理可判定①；先說明NBDE=ZAGD、ZADE=ND4c可得DF=FG、

AF=FD,即AF=bG可判定②；先證明ADS可得絲，即八/"“=空，代入數(shù)據(jù)可得

AD=^10,然后運用勾股定理可得AG=JIZ，再結(jié)合AT=/G即可判定③；如圖：假設(shè)半圓的圓心為O,

連接ORCO,。。，易得NA8=NDOC=60。，從而證明KO。8。是等邊三角形，即ADCO是菱形,

然后得到〃4C=NQ4C=30。，再解直角三角形可得DG=2VL根據(jù)三角形面積公式可得S皿=6g,

最后根據(jù)三角形的中線將三角形平分即可判定④.

【詳解】解：如圖：連接OC,

A

???。是AC的中點,

AD=DC，

：.ZABD=ZDAC,即①正確；

A3是直徑，

：.ZADB=9Q°f

：.ZDAC+ZAGD=90°,

*：DEJ.AB

：.?BDE?ABD90?,

ZABD=ZDAC,

:?/BDE=ZAGD,

：.DF=FG,

■:?BDE?ABD90?,ZBDE+ZADE=9U。,

ZADE=ZABD,

zz

ZABD=ZDAC,

：.ZADE=ZDAC,

:.AF=FD,

???即②正確;

在△ADG和△及%,

[ZADG=ZBDA=90°

IZDAG=/DBA

：.ADG^BDA,

.ADGDADGD

>>=,即nn--------=

BDADDG+BGAD

-一。_2

即ADO

*2+3-AD=VT,

AG=^AD1+DG1=714,

?:AF=FG,

**?FG=—AG=2工,即③正確；

22

如圖：假設(shè)半圓的圓心為O,連接02CO,8,

?*BD=2AD，AB=6f。是AC的中點，

\AD=DC=-AB,

3

*.ZAOD=ZDOC=60°,

：OA=OD=OC,

??AOD,一8。是等邊三角形，

*.OA=AD=CD=OC=OD=61即ADCO是菱形，

\ZDAC=ZOAC=-ZDAO=30°,

2

：ZADB=90°f

?.tanZ￡>AC=tan30°=—,即且=空，解得：DG=2?

AD36

\SADG=；AD-DG=；X6X26=66,

：AF=FG

2Aoe=3百，即④錯誤.

故答案為：①②③.

【點睛】本題主要考查了圓周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、菱形的判定

與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識點，靈活運用相關(guān)知識成為解題的關(guān)鍵.

13.（2024?山東濟南?中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6,AD=2,E為邊AD的中點，點尸

在邊CD上，連接E尸，將』）EF沿E尸翻折，點。的對應(yīng)點為。夕，連接30.若3。=2,貝.

【答案】V3—\[2/—A/2+\/3

【分析】如圖：連接8E,延長FE交班的延長線于H,根據(jù)折疊的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，證明

RtHAE^RtEDE（ASA）,進而得到△班D為直角三角形，設(shè)皿F=a,則

ZAEH=/DEF=a,ZDED'=2a,證明_跳形為等腰三角形，求出AH,進而完成解答.

【詳解】解：如圖：連接BE,延長FE交54的延長線于H,

:矩形A2CD中AB=0,A￡>=2,E為邊4）的中點，,

AAE=DE=l,ZBAE=ZD=90°,

,將OEF沿E尸翻折，點。的對應(yīng)點為以,

24

:.ED=ED=1,NED'F=ND=90°,ZDEF=ZD'EF,

RtHAE^RXFDE（ASA）,

/.DF=AH,

,"BE=VAB2+AE1=>/2+l=>J3,

BD=2,

：.i2+（>^y=22,即。序+臺爐二臺以，

???△BED為直角三角形，

設(shè)ZDEF=a,貝|JZAE"=N￡>跖=a,ZDED'=2a,

：.ZAEB=90°-2a,ZAHE=90°-a,

：.ZHEB=ZAHE=90°-a,

他為等腰三角形，

/.BH=BE=也,

AH=BH-AB=6-yfi,

:.DF=AH=6-應(yīng).

故答案為：A/3-y/2.

【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理、

折疊的性質(zhì)等知識點，靈活運用相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

14.（2024?遼寧?中考真題）如圖，在VABC中，NABC=90。，ZACB=a（00<a<45°）.將線段C4繞點C

順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段CO,過點。作DEL3C,垂足為E.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,求證：AABC當(dāng)LCED；

(2)如圖2,NACD的平分線與A8的延長線相交于點尸，連接。尸，D尸的延長線與CB的延長線相交于點尸,

猜想PC與尸。的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

(3)如圖3,在(2)的條件下，將沿AF折疊，在必變化過程中，當(dāng)點P落在點E的位置時，連接ER.

①求證：點廠是PD的中點；

②若CD=20,求△CEF的面積.

【答案】(1)見詳解

Q)PC=PD

(3)30

【分析】(1)利用“AAS”即可證明；

(2)可知NA=90°—c,證明ACF^DCF,則NCDB=NA=90°—a,可得/3CD=90。—e,貝U

NBCD=NCDF,故尸C=PD；

(3)①翻折得FP=FE,根據(jù)等角的余角相等得到ZFED=NEDE,故FE=FD,則即點尸是

尸。中點；

②過點P作出〃。5交CD于點M,連接EM,設(shè)CE=?n,DE=CB=n,貝U3E=CB—CE=〃一加，由翻

折得PB=BE=w—m,故PE=2w-2m,因1b匕PC=2〃一機=尸。，在RtAPDE中，由勾股定理得：

(2"-根『=(2〃-2加7+",解得："=3加或"=機(舍，此時a=45°),在RSCDE中，由勾股定理得:

m2+(3m)2-202,解得：m2=40,則5.以==6。，由9BC,得到舁=黑=1,

S/\CEM=S/\CEF，

因此SACEM=-SACED=30,故S&CEF=30.

【詳解】(1)證明：如圖,

由題意得，CACD,ZACD=90°,

：.Zl+Z2=90°

zo

?：DE上BC,

：.ZDEC=90°,

???N1+NQ=9O。，

Z2=ZD,

/ABC=90。，

：.ZB=ZDEC,

：.ABC^.,CED(AAS)；

(2)猜想：PC=PD

證明：VZABC=90°,ZACB=a

：.ZA=90°-a,

???。/平分448,

ZACF=Z.DCF,

,:CA=CD,CF=CF,

：.ACFWDCF,

：.ZCDF=ZA=90°-a,

9

：ZACD=90°,ZACB=af

：.ZBCD=90°-a,

；./BCD=/CDF,

：.PC=PD；

(3)解：①由題意得">=莊，

???ZP=ZFEP,

丁ZDEC=90°,

???/PED=90。,

???/P+/FDE=90°,NFEP+NFED=90°,

:.NFED=NFDE,

???FE=FD,

：?FP=FD,即點尸是PD中點；

②過點/作RW〃CP交于點M,連接

?:AABC^ACED,

DE=CB,

設(shè)CE=m,DE=CB=n,

BE=CB—CE=n—m,

由翻折得==-機，

PE=2n-2m,

???PC=PE+CE=2n—m=PD,

在Rt△尸￡史中，由勾股定理得：（2〃一mJ=（2n-2m）2+n2,

整理得，3m2—4mn+n2=0,

解得：〃=3加或〃=加（舍，此時a=45。）,

在中，由勾股定理得：m2+（3m）2=202,

解得：m2=40

113o

SArnF-=—CE-DE=—mx3m=—m=60,

△CDE222

FMBC,

.DFDM

1

,?"^7-CM~，D&CEM-°/\CEF，

.?.點M為CO中點，

,,SACEM=5S^CKD=3°，

??S&CKF=30.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，翻折的性質(zhì)，勾股定理解三角形，平

行線分線段成比例定理，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

15.（2024?山東濰坊?中考真題）如圖，己知VABC內(nèi)接于亡0,A3是一。的直徑，NA4c的平分線交

于點￡）,過點。作DE工AC,交AC的延長線于點E,連接3DCD.

28

⑴求證：DE是I。的切線；

⑵若CE=1,sinZBAD=1,求：。的直徑.

【答案】（1）證明見解析；

⑵9.

【分析】（1）連接如，由角平分線可得44￡>=NE4￡>,又由。4=0D可得/QLD=/OD4,即得

ZODA=ZEAD,由得NE4D+Z4T>E=90。，進而可得N84+NADE=90。，即得OD人。E,即

可求證；

（2）A3是，：。的直徑可得/ZMS+/ABC+/D3c=90。，又由（1）知NE4D+NADC+/CDE=90。，

由ZBAD=/FAD,4DBC=ZADC,進而可得Z.DBC=Z.CDE,再根據(jù)NDBC=ZCAD,ZDCB=ZBAD,

ZCAD=ZBAD,可得/CDE=NDBC=NDCB=/BAD,得到3D=CD,sinZCDE=sinZBAD=1,解

RtACDE得至I]CD=BD=3,再解Rt^ABD即可求解；

本題考查了角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定，圓周角定理，三角函數(shù)，掌握圓的有關(guān)定

理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）證明：連接OD,

,/平分一朋C,

ZBAD=Z.EAD,

'：OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

r.ZODA=ZEAD,

DELAE,

：.NE=90°,

NEAD+ZADE=90°,

ZODA+ZADE=90°,

即NODE=90。,

C.OD1DE,

?「OD是O半徑，

；?DE是。的切線;

（2）解：:AB是。的直徑，

：.ZADB=90°f

：.ZDAB+ZABD=90°,

即/DAB+ZABC+NDBC=90°,

NEAD+ZADE=90°,

JZEAD+ZADC+ZCDE=90°,

:./DAB+ZABC+NDBC=/EAD+ZADC