重難點05不等式月考、期中、期末復習十三大題型匯總

題型解讀

1!^/滿分技巧/

技巧一?比較不等式的大小時，一般可采用以下幾個方法：

(1)作差比較法；若￡1-bN0,則a2b；

(2)利用作商比較法.當a>0,b>0,且第1時，a2b.

技巧二.不等式性質的判斷題

一般我們判斷此類問題主要采用兩種方法：

其一：按照性質進行判斷，此種方法要求我們對不等式性質有一個全面熟練的掌握。

其二：采用賦值法帶殊值法進行判斷，此種方法對于證明假命題非常適用；

技巧三.不等式的性質

(1)如果a>b,那么b<a,該性質稱為對稱性；

(2)如果a>b,b>c,那么a>c,該性質稱為傳遞性；

(3)如果a>b,則a+c>6+c,反之也成立，該性質稱為可加性；

(4)如果a>b,c>0,貝!]ac>be；如果a>6,c<0,貝！Jac<be；

(5)如果a>b,c>d,貝！]a+c>b+d；

(6)如果a>b>0,c>d>0,貝！Jac>bd；

(7)如果a>b>0,n>2,貝!>bn.

技巧四解一元二次不等式的常見方法

0圖象法：

①化不等式為標準形式：ax2+bx+c>0S>0)或ax2+bx+c<0(a>0)；

②求方程ax2+bx+c=0佃>。)的根,并畫出對應函數y=ax2+bx+c圖象的簡圖；

③由圖象得出不等式的解集.

0代數法：將所給不等式化為一般式后借助分解因式或配方求解.

2.方法歸納：數形結合，分類討論.

3.常見誤區：當二次項系數小于0時，需兩邊同乘-1，化為正的.

技巧五.含參一元二次不等式的解法有以下幾種：

1、當A=b2-4ac20時,二次三項式,ax2+bx+c=0有兩個實根，那么ax2+bx+c=0，總可分解為a(x-xi)(x-x2)

的形式。這樣，解一元二次不等式就可歸結為解兩個一元一次不等式組。一元二次不等式的解集，就是這

兩個一元一次不等式組的解集的交集。

2、用配方法解一元二次不等式。

3、通過一元二次函數圖象進行求解，二次函數圖象與X軸的兩個交點，然后根據題目所需求的"<0"或">0"

而推出答案。

4、數軸穿根:用根軸法解高次不等式時，就是先把不等式一端化為零，再對另一端分解因式，并求出它的零

點，把這些零點標在數軸上，再用一條光滑的曲線，從X軸的右端上方起，依次穿過這些零點。

5、這大于零的不等式的解對應這曲線在x軸上方部分的實數x得起值集合，小于零的這相反。這種方法叫

做序軸標根法。

技巧六.對含參數的一元二次不等式的討論，

一般可分為以下三種情形：(1)當含參數的一元二次不等式的二次項系數為常數，但不知道與之對

應的一元二次方程是否有解時需要對判別式進行討論。(2)當含參數的一元二次不等式的二

次項系數為常數，且與之對應的一元二次方程有兩解，但不知道兩個解的大小，因此需要對解的大

小進行比較。(3)當含參數的一元二次不等式的二次項系數含有參數時，首先要對二次項系數進行

討論，其次，有時要對判別式進行討論，有時還要對方程的解的大小進行比較。

技巧七.解含絕對值不等式的基本思路：

一是從定義出發，直接去掉絕對值符號；二是根據絕對值的定義通過分類討論，特別是對不等式中對參數

的討論去掉絕對值符號，將原不等式轉化為不含絕對值的不等式求解；三是數形結合，利用函數圖象求解；

四是將較復雜的絕對值不等式等價轉化為最簡單的絕對值不等式求解。

技巧八.基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：

(1)"一正二定三相等""一正"就是各項必須為正數；

(2)"二定"就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構

成積的因式的和轉化成定值；

(3)"三相等"是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是

所求的最值，這也是最容易發生錯誤的地方

A3*題型提分練

題型1等式與不等式性質

【例題1](2022秋?全國?高一期末)近來豬肉價格起伏較大，假設第一周、第二周的豬肉價格分別為a元

/斤、b元/斤，甲和乙購買豬肉的方式不同，甲每周購買20元錢的豬肉，乙每周購買6斤豬肉，甲、乙兩次

平均單價為分別記為僧],m2,則下列結論正確的是（）

.mr=m2B.m-L>m2

C.m2>m1D.血1，??12的大小無法確定

【變式1-1]1.（2023秋?安徽蚌埠?高一統考期末）已知0<%<1,則下列不等式成立的是（）

2222

A.%>X->X%B.->%>xXC.x>->xXD.->x>x

【變式1-1]2.（多選）（2023秋?湖北襄陽?高一宜城市第一中學校考階段練習）下列命題中，為真命題

的

是

+切2

A>bR<

見G-

a/7,4

11

若

DO貝H

a<<u->-

ab

【變式1-1】3.（多選）（2023秋?河北廊坊?高一校考期末）設。<6<0，則下列不等式中恒成立的是（）

2

K.ab>bB.a-<b-C.ai<ibD.—b<1

【變式1-1]4.（多選）（2023秋?江蘇淮安?高一統考期末）下列結論中正確的有（）

A.若a>b>0,貝！IM>b?

B.若a<h<0,貝!>ab>b2

C.若a>b>0,則@>-

i'~a+2匕b

D.若a>0,b>0,且a+b=1,則｝+[的最小值為4

【變式1-1]5.（2022秋?廣西百色?高一統考期末）已知實數a,b,c,其中a>6>1,則下列關系中恒成立

的是（）

.ab>b2B.ac2>be2

ii

C.CL-c>b—cD.aH—a—b

題型2比較大小

【例題2】（多選）（2021秋?重慶沙坪壩?高一重慶八中校考期末）十六世紀中葉，英國數學家雷科德在《礪

智石》一書中首先把"="作為等號使用，后來英國數學家哈利奧特首次使用和">"符號，并逐漸

被數學界接受，不等號的引入對不等式的發展影響深遠.若小融從家到學校往返的速度分別為a和6（0<a<

b）,其全程的平均速度為u,則下列選項正確的是（）

A.a<v<4abB.v=Vab

C.Vab<v<D.v=

2a+b

【變式2-1]1.（2021春?四川南充?高一統考期末）已知a力1且aeR,試比較出與1+a的大小.

【變式2-112.（2021春?黑龍江鶴崗?高一統考期末）已知a>0,b>0,試比較^與震的值的大小.

【變式2-1]3.（2022秋河北邯鄲?高一武安市第一中學校考期末）xeR,比較（％+1）（%2+1+1）與（久+

》（%2+%+1）的大小.

題型3代數式取值范圍

【例題31（2023秋?四川眉山?高一眉山市彭山區第一中學校考期末）已知1<x<3,-3<y<l，則x-3y

的取值范圍是（）

A.（0,12）B.（-2,10）C.（-2,12）D.（0,10）

【變式3-1]1.（2023秋?江蘇?高一校聯考期末）已知2Wa-633且3Wa+bW4,求4a-2b的取值范

圍（）

A.（9,13）B.[9,13]C.（-00,9）u（13,+00）D.（-00,9]U[13,+00）

【變式3-l】2.（2023秋?福建寧德?高一福建省霞浦第一中學校考期末圮知實數x,y滿足-4<%-y<-l,

—1W2x—y<5,則y的取值范圍是（）

A.{y|0<y<9}B.{y|-5<y<4]

C.{y|l<y<13}D.{y|0<y<13}

【變式3-1]3.（2021春廣西玉林?高一陸川中學校考期末）已知1VQV2VIV4,則蘇+b的取值范

圍為（）

A.（3,6）B.（2,6）C.（3,8）D.（4,8）

【變式3-1]4.（2021春?安徽六安?高一六安一中校考期末）已知a,S滿足爹安，貝必+30的

Ix、a十乙p_D

取值范圍是

A.[1,7]B.[-5,13]C.[-5,7]D.[1,13]

【變式3-1]5.（多選）（2023秋?廣東佛山?高一統考期末）已知14。42,3<建5,則（）

A.a+b的取值范圍為[4,7]B.b-a的取值范圍為[2,3]

C.ab的取值范圍為[3,10]D."的取值范圍為樂|]

題型4一元二次不等式

【例題4]（2023秋?河南新鄉?高一校聯考期末）已知集合4={小2一2%-8<0},B={x\x21},則

anB=（）

A.{x|l<%<2]B.[x|l<x<4]

C.{x|—2<x<4}D.{x\x>—2}

【變式4-1]1.（2023秋?江西吉安?高一井岡山大學附屬中學校考期末）已知全集為U=R,M=

{x|%2一%>0},N={x|U<o}，則有（）

A.MUN=RB.Mn/V=0

C.5=MD.CuN￡M

【變式4-1]2.（2022秋?云南曲靖?高一校考期末）已知a<0,則不等式/-2ax-3a2<0的解集

為

【變式4-1J3.（2022秋?江蘇揚州?高一期末港集合4={x\x-5爪+6>0}6={x]三|22}，則（CR4）U

B=

【變式4-1]4.（2022秋?上海浦東新?高一上海市進才中學校考期末）已知不等式a/一3%+6>4的解集

為{x|久<1或x>b].

⑴求a,b;

(2)解關于X的不等式a——(ac+b)x+be<0.

題型5分式、絕對值不等式

【例題5](2023秋?江蘇常州?高一常州市北郊高級中學校考期末)不等式=<0成立的充分不必要條件

%+5

可以是()

A.{x\x>6}B.{x|-5<x<6}

C.{x|—5<x<6}D.{%|—5<%<6]

【變式5-1]1.(2023秋?山東濰坊?高一統考期末)設尤eR,則"|x-1|<1"是"會<0"的()

X—5

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式5-112.(2015春?北京東城?高一統考期末)下列選項中，使》</成立的支的取值范圍是

A.(-8,—1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+oo)

【變式5-1]3.(2021秋?上海浦東新?高一上海市實驗學校校考期末)求下列不等式的解集：

(1)—>5

(2)|2x-3|<3x-2

【變式5-1]4.(2022春?四川成都?高一統考期末)解不等式：x>次二F

x-l

題型6高次不等式

【例題6】(2021春?陜西榆林?高一校考期末)不等式(尤-l)(x+1)。-3)>0的解集為()

A.(—1,1)u(3,+8)B.(1,3)C.(―8,—l)u(l,3)D.(3,+8)

1

【變式6-1]1.(2021秋?上海浦東新?高一上海市進才中學校考期末)已知石<%-1,則實數%取值范圍

為

【變式6-1】2.（2021秋?上海?高一格致中學校考期末）不等式一=<0的解集為

xz+2x—3

【變式6-1】3.（2020?浙江杭州?高一期末）設。eR,若x>0時均有[（a-l）x-1]（G一g-1）20,則

a

【變式6-1]4.（2023秋?河北保定?高一校考期末）已知集合力={x|（x+3）（x-l）2（x-2）3>0},B

%普川

Q)求集合A,B;

(2)求集合AnB.

題型7一次、絕對值、分式不等式與參數

【例題2023秋?江蘇無錫?高一統考期末）已知p:實數x滿足（x-a）（3a-x）>0，q：實數x滿足筌<0,

當a<0時，若q是p的充分條件,則實數a的取值范圍是（）

A.(-2,-1)B.[-2,-1)

C.[-2,-1]D.(-co,—2)u(—1,+co)

【變式7-1]1.（2022秋?重慶合川?高一重慶市合川中學校考期末）已知集合4=卜|言N2},B=

{x|0<x<a},若2￡B,則實數a的取值范圍是（）

A.[3,+oo)B.(3,+oo)C.(1,+8)D.(4,+oo)

【變式7-1]2.（2022秋?江蘇揚州?高一期末）關于%不等式ax+b<0的解集為{x|x>3},則關于x的不

等式含30的解集為

【變式7-1]3.（2021秋?上海浦東新?高一上海市建平中學校考期末）已知關于x的不等式黃>1在[2,5]

有實數解，則實數a的取值范圍為

【變式7-1]4.（2021春?四川眉山?高一統考期末）設關于，的不等式j沸:;誓令：：二<。的解集是一

些區間的并集，且這些區間的長度和（規定：區間（a,b）的長度為b-a）不小于12,則a的取值范圍為（）

A.a<-1或a>5B.a<-1或a>5

C.a<-2或a>3D.a<-2或a>3

【變式7-1]5.（2023秋?遼寧本溪?高一校考期末）若關于x的不等式a%+b<0的解集為（-2,+8）,則

關于的不等式。產+法-3a>0的解集為

題型8一元二次不等式與參數

【例題8]（2020春?安徽合肥?高一統考期末）若關于x的不等式/+Px+q<0的解集為口|2<%<3｝,

則關于x的不等式*q>0的解集是（）

X—ZX—O

A.（2,3）B.（-00,-2）U（4,+oo）

C.（—2,2）U（3,4）D.（—8,—2）U（2,3）U（4,+oo）

【變式8-1]1.（多選）（2023秋?遼寧葫蘆島?高一校考期末）已知函數y=ax2+bx-3,則下列結論正

確的是（）

A.關于%的不等式a-+ft%-3<0的解集可以是｛%|x>-3｝

B.關于%的不等式a/+b%-3<0的解集可以是｛%|x>2或％<1｝

C.函數y=ax2+bx-3的圖象與%軸有一個交點時，必有爐+12a=0

D.〃關于%的方程a/+.—3=0有一個正根和一個負根〃的充要條件是%>0〃

【變式8-1】2.（多選）（2023秋?河南鄭州?高一鄭州市第四十七高級中學校考期末）已知關于%的不等式

ax2+bx+c>0解集為｛%Ix<一3或%>4],則下列結論正確的有（）

A.a>0

B.不等式b%+c>。的解集為｛%Ix<-6]

C.a+h+c>0

D.不等式c——ft%+a<0的解集為｛%I%-[或%>]｝

【變式8-1]3.（多選）（2023秋?遼寧沈陽?高一統考期末）若關于x的方程答="1的解集中只含有一

個元素，則滿足條件的實數k可以為（）

A.—3B.—2C.0D.1

【變式8-1]4.（2023秋河北廊坊?高一校考期末）若不等式組+"（；二藍+lk<0的解集中所含

整數解只有-2,貝此的取值范圍是

【變式8-1]5.（2022秋?甘肅蘭州?高一校考期末）不等式（a-2）%2+2（a-2）%-4>0的解集為0,則實

數a的取值范圍是

【變式8-1]6.（2023秋?江蘇鹽城?高一鹽城市第一中學校聯考期末）若關于x的不等式1<kx2+x+k<3

的解集中只有一個元素，則實數k的取值集合為.

題型9基本不等式

【例題9】（2021春云南保山?高一統考期末）設犯的正數，且m+n=2,貝%+總勺最小值為（）

A.2B.-C.4D.-

22

【變式9-1】1.（2023秋?四川南充?高一校考階段練習）已知a>b>0,則2a+高+工的最小值為（）

A.4B.6C.3x3D.10

Ya2-b2

【變式9-112.（多選）（2021秋福建莆田?高一校考期末）若。>0,b>0,且a+b=4,則下列不等

式恒成立的是（）

22

A.a+/?>8B.—ab>-4

C.'ab22D.—aI—b41

【變式9-1]3.（2023春貴州畢節高一統考期末）已知%>0,則舊-4%-三的最大值為.

??X

22

【變式9-1]4.（2023秋?安徽亳州?高一校考階段練習）設a,b,C均為正數且a+b+c=1,則M+b+c

的最小值為（）

A.1B.3C.-D.2

3

【變式9-1]5.（2021春?四川達州?高一統考期末）若實數x,y滿足/+外=2則壬的取值范圍

x+y—z.

是.

【變式9-1]6.（2023秋訶北唐山?高一灤南縣第一中學校考期末）已知關于%的不等式：心_3%+2<0

的解集為{久I1<久<b},則函數y=（2a+b）x--~J~-（久>1）的最小值為

Djyx-ij

題型10一元二次不等式與恒成立

【例題101（2023秋?安徽馬鞍山?高一統考期末）已知對一切工￡[2,3],ye[3,6],不等式7^2一孫+y22o

恒成立，則實數m的取值范圍是（）

A.m<6B.—6<m<0

C.m>0D.0<m<6

【變式10-1】1.（2023秋?云南紅河?高一統考期末）不等式a——依+。+1>。對v%eR恒成立，則實

數a的取值范圍為（）

A.（0,+8）B.[0,+8）

C.（-00,-0U（0,+00）D.（-8,_§u[0,+00）

【變式10-1】2.（2021秋?廣東云浮?高一統考期末）若關于x的一元二次不等式2/-依+1>0對于一

O

切實數X都成立，則實數k滿足（）

A.[k\k<±V3）B.{k\k<-V3}C.（fc|-V3<k<V3}D.{k\k>75}

【變式10-1】3.（2023秋?廣東深圳?高一紅嶺中學校考期末）若對于任意爪e[-1,1],任意yeR，使得

不等式/+（3-m）x-6<|y-1|+|y-3|成立，則實數x的取值范圍是

【變式10-114.（2021秋?重慶開州?高一重慶市開州中學校考期末）若不等式2x-1>a（/—1）對滿足

-l<a<1的所有a都成立，則久的取值范圍是

【變式10-115.（2021秋?上海普陀?高一校考期末）若不等式⑷一1）/一①一1）久一1<0的解集為R,

則實數a的取值范圍是

題型11一元二次方程根的分布

【例題11X2023春?上海楊浦?高一復旦附中校考期末股方程/一2X+巾=0的兩個根為a,0且|a—例=

2,則實數m的值是

【變式11-1】1.（2023秋?四川成都?高一成都七中校考期末）已知一元二次方程/+x+a-2=0有一

個根比1大，另一個根比1小，則實數a的取值范圍是

【變式11-1】2.（2021秋?上海楊浦?高一上海市楊浦高級中學校考期末）若方程（x-2）（%2-4%+m）=0

的三個根可以作為一個三角形的三條邊的長，則實數小的取值范圍是

【變式11-1】3.（2023秋?甘肅白銀?高一統考期末）方程/-2皿+--1=0的一根在（0,1）內，

另一根在（2,3）內，則實數m的取值范圍是

題型12基本不等式與恒成立

【例題12]（2023秋?河北邯鄲?高一校考期末）已知久>2時，不等式x+^->m（m-2）恒成立，則實數

%—Z

m的取值范圍是（）

A.—2<m<4B.—2<m<4

C.—2<m<4D.—2<m<4

【變式12-1]1.（2023秋?吉林松原?高一校考期末）已知%>0,y>0且工+3=1,若x+y>病+8根恒

%y

成立，則實數m的取值范圍是（）

1

A.{x\x>-}B.{x\x<—3}}C.{x\x>1}D.{x|-9<%<1]

【變式12-1】2.（2022春?四川綿陽高一統考期末）若兩個正實數x,y滿足％+y=3，且不等式a+y>

m2-3m+5恒成立,則實數m的取值范圍為（）

A.{m|—4<m<1}B.{m\m<—1或m>4}

C.{m|—1<m<4}D.{m\m<0或TH>3}

【變式12-1】3.（2021春云南昆明?高一統考期末）已知不等式（x+y）（i+-）>16對任意正實數恒成

%y

立，則正實數a的最小值為（）

A.3B.5C.7D.9

【變式12-1]4.（2023秋?山東濟南?高一校考期末）若兩個正實數x,y滿足;+福=1,且不等式五+

7x7y

4招>m2-6nl恒成立，則實數m的取值范圍是.

題型13實際應用題

【例題13]（2023秋?四川涼山?高一統考期末）為迎接四川省第十六屆少數民族傳統運動會，州民族體育

場進行了改造翻新，在改造州民族體育場時需更新所有座椅，并要求座椅的使用年限為15年，已知每千套

座椅建造成本是8萬元，設每年的管理費用為y萬元與總座椅數x千套，兩者滿足關系式：y=^（0<%<

8）.15年的總維修費用為80萬元，記w為15年的總費用.（總費用=建造成本費用+使用管理費用+總維

修費用）.請問當設置多少套座椅時，15年的總費用w最