重難點01相交線與平行線熱考模型

（10種模型匯總+專題訓(xùn)練+10種模型解析）

【題型匯總】

題型01三線八角的識別

己知圖示結(jié)論（性質(zhì)）

E1）同位角有4組，如：N1與N5、/2與/6、N3與/

直線AB、CD被直線7、/4與/8；

EF所截，且AB與CD2）內(nèi)錯角有2組，如：N3與/5、N6與N8；

不平行3）同旁內(nèi)角有2組，如：N3與N6、N4與N5；

4）對頂角有4組，如：N1與/3、N2與/4、N5與/

7、/6與/8.

F

E1）同位角相等：/1=/5、/2=/6、/3=/7、Z4=Z8；

2）內(nèi)錯角相等：N3=N5、Z6=Z8；

直線AB、CD被直線

一53）同旁內(nèi)角互補：Z3+Z6=180°、Z4+Z5=180°；

EF所截，且AB〃CD4）對頂角相等：/1=/3、/2=/4、/5=/7、Z6=Z

8.

F

解題方法：運用平行線的性質(zhì)計算角的度數(shù)，要正確地辨認同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，同時結(jié)合平行線

的性質(zhì)及其他有關(guān)角的性質(zhì)、定義進行計算.

1.（2024七年級上.全國.專題練習(xí)）分別指出下列圖中的同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角.

1

2.（23-24七年級下.全國?假期作業(yè)）如圖，在用數(shù)字表示的角中，哪些是同位角？哪些是內(nèi)錯角？哪些是

同旁內(nèi)角？

題型02豬蹄模型

豬蹄模型豬蹄模型-進階（又稱“鋸齒”模型）

條件AB〃DEa〃b

圖示ABAB

一a今

*A2,^.A

上3

DE

DE

----b-

結(jié)論NB+NE=NBCEZB+ZCMN+ZE=ZBCM+ZMNE

左拐角之和=右拐角之和

輔助線作法：過拐點作平行線，有多少拐點就作多少平行線.

【補充】選、填題結(jié)論直接套用，解答題需寫過程.

3.（2024七年級上?全國?專題練習(xí)）（1）如圖①，ABIICD，試問-2與乙1+乙3的關(guān)系是什么？并說明理

由；

（2）如圖②，ABIICD-試問乙2?乙4與乙1+23+d的關(guān)系是什么？請直接寫出結(jié)論；

（3）如圖③，AB0CD＜試問“+￡4+〃與￡1+/3+￡5+47的關(guān)系是什么？請直接寫出結(jié)論.

4.（2024七年級上.全國.專題練習(xí)）如圖，已知直線［,|上，直線b和直線1】、12分別交于點C和點D,P為直

線k上一點，A、B分別是直線11、I2上的定點.設(shè)ZTAP=L1，LDBP=^3.

2

A

（1）若P點在線段CD（C、D兩點除外）上）運動時，問上1、Z243之間的關(guān)系是什么？說明理由.

（2）在的前提下，若P點在線段CD之外時，41、d43之間的關(guān)系又怎樣？

5.（2024七年級上.全國.專題練習(xí)）綜合與探究：

已知ABICD，E,F分別是AB,CD上的點，點P在AB,CD之間，連接PE，PF.

（2）如圖2,"EP與vCFP的平分線交于點Q，猜想"PF與Q0F之間有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

（3）如圖3,UEP與tCFP的平分線交于點Q，猜想乙EPF與M0F之間有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

6.（23-24七年級上?湖南衡陽?期末）【模型發(fā)現(xiàn)】某校七年級數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在活動中發(fā)現(xiàn)：如圖1

的幾何圖形，很像小豬的豬蹄，于是大家就把這個圖形形象的稱為“豬蹄模型”，“豬蹄模型”中蘊含著角的數(shù)

量關(guān)系.

（RID（圖2）（圖3）

（1）如圖1,48IICD，M是AB、CD之間的一點，連接BM,DM,則有西+少=乙BMP請你證明這個結(jié)論.

⑵【運用】如圖2,48IICD，M、N是AB、CD之間的兩點，且2乙"=3乙、'，請你利用（1）中“豬蹄模型”

的結(jié)論，找出上8、K、三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（3）【延伸】如圖3,UIQ,點E、F分別在AB、CD上，EN、FG分別平分和"FM，且ENIMG如

果eEMF二a，那么OfGF等于多少？（用含偽的代數(shù)式表示，請直接寫出結(jié)論，無需證明）

題型03鉛筆頭模型

鉛筆頭模型鉛筆頭模型-進階

條件AB/7DEAB/7DEa〃b

3

(3)觀察圖(3)和(4),已知A8IICD

8.(21-22七年級下?山東濟寧?期中)如圖,析ICD，點E為兩直線之間的一點.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,若48#E=35?，LDCE^20,-則UEC=______；

(2)如圖2,試說明，乙54E+乙4EC+乙EC。=360'；

(3)如圖3,若zB'E的平分線與WCE的平分線相交于點R判斷乙4EC與UFC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

9.(2024七年級上?全國?專題練習(xí))⑴如圖①，貝必4,十乙1=；

如圖②，小，則“+認=，請你說明理由；

(2)如圖③,M/JML，則認+〃+U,+3=；

(3)利用上述結(jié)論解決問題：如圖④，41KD，和4M的平分線相交于點ELE-130,-求4FD

的度數(shù).

4

10.（23-24七年級下?山西運城?期中）綜合與實踐

【問題情境】在數(shù)學(xué)活動課上探索了平行線中的“拐點”問題.歸納模型：若uim，如圖①“M”型和如圖②

鉛筆型.試猜想乙5AE，rDCE，dEC之間的數(shù)量關(guān)系.

【獨立思考】

（1）如圖①血E，zDCE，乙4EC之間的數(shù)量關(guān)系是.

（2）如圖②MAE，2DCE，乙4EC之間的數(shù)量關(guān)系是.

【問題遷移】

（3）如圖③，4BIICD，AN,CN分別是KBAM，乙DCM的角平分線，探索二4MC，UNC之間的數(shù)量關(guān)系是

（4）如圖④，加ta）,AP、CP分別是乙5AO、2DC0的角平分線,探索乙r0C、IPC之間的數(shù)量關(guān)系是

【聯(lián)想拓展】如圖⑤，已知直線AB,將一個含30'的直角三角板QCP,使頂點P落在直線AB上，過點Q作直線

MN,且滿足乙YQC+LBPC=90s.

（5）請你探索直線MN與AB具有怎樣的位置關(guān)系，并說明理由.

7.（20-21七年級下?廣東東莞?期中）（1）如圖（1）4BIICD，猜想rBP。與zB、zD的關(guān)系，說出理由.

（2）觀察圖（2）,已知48IICD，猜想圖中的與45、4。的關(guān)系，并說明理由.

（3）觀察圖（3）和（4）,已知二8IICD，猜想圖中的LSPD與M、zD的關(guān)系，不需要說明理由.

8.（21-22七年級下?山東濟寧?期中）如圖，ABIICD，點E為兩直線之間的一點.

5

圖1圖2圖3

⑴如圖1,若￡8#E=35?，LDCE-20,)貝此4EC=______；

(2)如圖2,試說明，+cAEC+^ECD=360'；

(3)如圖3,若乙8/E的平分線與cDCE的平分線相交于點R判斷UEC與"FC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

9.(2024七年級上?全國?專題練習(xí))⑴如圖①，則一，+乙八二；

如圖②，M4IIA',4a-貝kJ+一■!.，=』,二，請你說明理由；

(2)如圖③，MA,INA^則+Un+〃1=

(3)利用上述結(jié)論解決問題：如圖④，A8IICD，dBE和tCDE的平分線相交于點R"=130'，求乙8FD

的度數(shù).

10.(23-24七年級下?山西運城?期中)綜合與實踐

【問題情境】在數(shù)學(xué)活動課上探索了平行線中的“拐點”問題.歸納模型：若4MCD，如圖①“M”型和如圖②

鉛筆型.試猜想乙B4E，乙DCE，UEC之間的數(shù)量關(guān)系.

【獨立思考】

(1)如圖①2DCE，乙4EC之間的數(shù)量關(guān)系是.

(2)如圖②血E，￡DCE，dEC之間的數(shù)量關(guān)系是.

【問題遷移】

(3)如圖③，柿IICD，AN,CN分別是乙BAM，乙DCM的角平分線，探索乙4MC，d.YC之間的數(shù)量關(guān)系是

(4)如圖④,.IIC。，AP、CP分別是￡5￡0、,DCO的角平分線，探索,A。C、dPC之間的數(shù)量關(guān)系是

6

ABAB

【聯(lián)想拓展】如圖⑤,已知直線AB,將一個含30'的直角三角板QCP,使頂點P落在直線AB上，過點Q作直線

MN,且滿足乙Y0C+dPC=川丁.

（5）請你探索直線MN與AB具有怎樣的位置關(guān)系，并說明理由.

⑴A=60°,〃，=150?，求乙r的度數(shù)；

（2）猜想力,，y.〃三者之間的關(guān)系并加以說明.

12.（2024七年級上?全國?專題練習(xí)）如圖，4BIICD，cB=71，cBCE=20°，乙CEF=B0,-請判斷AB與

EF的位置關(guān)系，并說明理由.

7

AB

L/EF

CD

13.（2024七年級上.全國?專題練習(xí)）如圖a,-.8IICD>猜想乙8P。與上8、乙D的關(guān)系，并說明理由.

CD

b

⑴填空：

解：猜想ap。+"+A）=36<r理由：過點P作EFUAB，如圖e所示，所以“+”25=180"

（①）.因為,;8IICD，EFIIAB'所以EFIICD（如果兩條直線都和第三條直線平行，那么

②）,所以4EPD+LD=180：（③）,所以

LB+"PE+zfPD+zD=?，即d+￡BPD+ZD=360,；

（2）依照上面的解題方法，觀察圖b,已知4BICD，猜想圖中的乙8P。與西、cD的關(guān)系，并說明理由；

⑶觀察圖c和圖d,已知二8IICD，猜想圖中的乙5PD與乙B、上。的關(guān)系，不需要說明理由.

14.（23-24七年級下?廣東韶關(guān)?期中）【探究學(xué)習(xí)】小學(xué)階段，我們可以通過“拼”角、“折”角，觀察得到三

角形內(nèi)角和為180擄.現(xiàn)在我們學(xué)習(xí)了平行線的性質(zhì)，就可以證明此結(jié)論的正確性了.

（1）如圖1,過3/48。的頂點A作BC的平行線ED,請你證明三角形的內(nèi)角和為180擄；

E_____A_____D~、AB

,A?

【解題反思】平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能.

【遷移應(yīng)用】（2）健康騎行越來越受到老百姓的喜歡，自行車的示意圖如圖2,其中4B1CD.

①若上匕；8=60‘，LECD40貝UdEC的度數(shù)為；

②若AEIBD，"EC=80、求U8D-eECD的度數(shù).

⑶如圖3,若.;8IIC。，點尸在AB、CD外部，請直接寫出乙9、乙D、之間的關(guān)系.

15.（23-24七年級下?內(nèi)蒙古巴彥淖爾?階段練習(xí)）【感知探究】

如圖①，已知A5ICD，點又在AB上，點N在CD上，求證：乙AME+乙￡十4CNE=360'

8

圖①

【類比遷移】

如圖②，^BMF.”NF的數(shù)量關(guān)系為（不需要證明）

如圖③，已知ABIIDE，/JAC=120\zD=W，則UCD=

圖③

【拓展延申】

如圖④，已知46NCD，AF.CF分另iJ平分ABAE和乙DCE，探究UEC,UFC之間的關(guān)系，并說明理由

9

結(jié)論ZBCD+ZD-ZB=180°ZBCD+ZB-ZD=180°

16.（2024七年級上?全國?專題練習(xí)）生活情境?山路“公路村村通”的政策讓公路修到了山里，蜿蜒的盤山

公路連接了山里與外面的世界，數(shù)學(xué)活動課上，老師把山路抽象成圖2的樣子，并提出了一個問題：

在圖2中，XBIICD-=12S'>LPQC-6S'-rC-145,-求乙BP0的度數(shù)?

17.（23-24七年級下?遼寧營口?階段練習(xí)）如圖，AB||DC,點E在直線AB,DC之間，連接DE,BE.

DC

二

4B

（1）寫出UBE，rSED.乙EDC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

⑵若z￡DC=21?，LBED=求乙B的度數(shù)；

18.（22-23六年級下?山東煙臺?期末）課題學(xué)習(xí)：平行線的“等角轉(zhuǎn)化”功能.

（1）閱讀理解：如圖，已知點A是BC外一點，連接AB、AC,求48+/84。，+4:的度數(shù).閱讀并補充下面推

理過程.

解：過點A作EDIBC，所以zJ=，ZJC

又因為++d)AC=180'，

所以d+zftiC+a=180L

?一I)

B1-------------Y,

解題反思：從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將MAC、zB、4C“湊”在一起,

得出角之間的關(guān)系，使問題得以解決.

10

（2）方法運用：如圖1,已知ABIICD，求d4一BPD-LD的度數(shù)；

（3）深化拓展：已知直線A5IICD，點P為平面內(nèi)一點，連接PA、PD.

①如圖2,已知乙4=5寸，乙。=140,，請直接寫出乙HPD的度數(shù)；

②如圖3,請判斷乙PAB、4CDP之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

B

圖1圖2圖3

19.（21-22八年級上?黑龍江哈爾濱?期中）已知直線A8IICD，P為平面內(nèi)一點，連接PA、PD.

⑴如圖1,已知u=5（rJ）=is'y,求uro的度數(shù);

（2）如圖2,判斷乙P4B、LCDP、4PD之間的數(shù)量關(guān)系為一.

（3）如圖3,在（2）的條件下，4P1PD-DN平分“DC，若=HD，求MVD的度數(shù).

題型06平行平分三等角

解題大招：平行平分得三等角.

20.~~（24-25七年級上?全國?期末）如圖，ABICD，直線EF分別與直線AB,CD交于點E,F,點G在CD上,

EG平分LBEF.若乙EGC=58°，求乙EFD的度數(shù).

21.（24-25八年級上?湖北宜昌?階段練習(xí)）如圖，CD是4的角平分線，DEIIBC，UED=70'，求&DC

的度數(shù).

22.（2024七年級上?全國?專題練習(xí)）如圖，￡創(chuàng)CD，三角形EFG的頂點RG分別落在直線AB,CD上，GE交

11

AB于點”，GE平分在GD，若z￡FG=90'，空=35"求ziffFB的度數(shù).

記住三句話：①折疊前后對應(yīng)角，對應(yīng)邊相等.

②折疊不改變原先的平行關(guān)系.

③以折線為對稱軸.

23.(23-24m,rlDIIBC.AB\\CD>LADC=9O'?r2-20'.

將長方形ABCD沿著直線BD折疊，使點C落在C'處，BC交AD于點E,求上4的度數(shù).

24.(23-24七年級下?山東荷澤?期末)已知：在圖1一圖6中，A8IICD，點E，點F,點G與AB,CD在同一平

面內(nèi).

(1)探究與表達請直接寫出：

E圖2中乙E，d，乙C的數(shù)量關(guān)系;

③圖3中小,乙4,乙D的數(shù)量關(guān)系:

④圖4中4，乙4，”的數(shù)量關(guān)系;

⑤圖5中心E，“，上。的數(shù)量關(guān)系;

12

⑥圖6中d，d，tE，乙G，4的數(shù)量關(guān)系；

（2）推導(dǎo)與應(yīng)用如圖7,將長方形紙片沿EF折疊，已知心=￡6-35；求上2的度數(shù).

圖7

25.（23-24七年級下?湖北武漢?期末）數(shù)學(xué)活動課上，老師帶領(lǐng)學(xué)生們進行了折紙的系列綜合實踐活動：

K活動素材X如圖，長方形紙片IICD.ADHSCJ.

K活動IX如圖1,將長方形紙片ABCD進行折疊，第1次EF折疊，折疊后EB與CD交于點G,在探究過程

中，同學(xué)們通過測量發(fā)現(xiàn)乙1與tGFE的度數(shù)總是相等的；

（活動2』如圖2,在活動1的基礎(chǔ)上，將長方形紙片ABCD進一步折疊，第2次沿MN折疊，且

同學(xué)們通過研究發(fā)現(xiàn),1與〃之間也存在一定的數(shù)量關(guān)系；

K活動3》如圖3,在活動2的基礎(chǔ)上，作cGFX的平分線FR,并反向延長與d.VC的平分線交于點。，與

匕1之間是否也存在確定的數(shù)量關(guān)系呢？

K任務(wù)13求證：LGEF="FE；

K任務(wù)2D若zl=2S",求〃的度數(shù)；

（任務(wù)3可請畫出點Q,并直接寫出二。與之間的數(shù)量關(guān)系.

B

NMN

E

素材圖圖1圖2圖3

26.（23-24七年級下?福建三明?期中）綜合與實踐:

七年級下冊第二章我們學(xué)習(xí)了平行線的性質(zhì)與判定,今天我們繼續(xù)探究：折紙中的數(shù)學(xué)一長方形紙條的折

疊與平行線

儲、——人—肯f

圖1圖2

（1）知識初探

如圖1,長方形紙條ABCD中，AB\\CD>4DIBC，LA二-3二sC二-900.將長方形紙條沿直線EF折疊,

13

點A落在A'處，點。落在D'處，A'E交CD于點G.

①若UEF=40‘，求乙TGC的度數(shù).

②試猜想MEF和d'GC之間的數(shù)量關(guān)系，并進行說明.

(2)類比再探

如圖2,在圖1的基礎(chǔ)上將LCGE對折，點C落在直線GE上的C'處.點B落在B'處，得到折痕GH,點A'、G、

E、C'在同一條直線上，則折痕EF與GH有怎樣的位置關(guān)系?請說明理由.

27.(23-24七年級下?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí))數(shù)學(xué)活動課上，琳琳同學(xué)將一張長方形紙條ABCD沿BE折疊,

點A落在點F處.

圖3

(1)如圖1,她通過測量發(fā)現(xiàn)：rDEF+NCSF=乙4，請你證明她的結(jié)論；

(2)如圖2,點M在AD上，點N在BC上，連接MN,.”：門|EF，將四邊形MDCN沿MN所在直線折疊得到MHGN,

MN交BC于R,點D的對應(yīng)點落在點H處，點C的對應(yīng)點落在點G處.她通過測量發(fā)現(xiàn)：rf.YC=46ABE＞請

你證明她的結(jié)論.

(3)如圖3,在(2)的條件下，將四邊形MHGN沿RN向上折疊得到四邊形RPQN,點H的對應(yīng)點恰好落到AD上

的點P處，點G落到點Q處，猜想“8F，&W。與4RN的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

題型08三角板拼接模型

常見的三角板與三角板(平行)拼接模型:

【提示】根據(jù)平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和進行角度計算，計算線段長時會用到特殊角的三角函數(shù)值.

28.(23-24七年級下?山東臨沂?期中)在數(shù)學(xué)綜合與實踐活動中，數(shù)學(xué)興趣小組的活動主題是《關(guān)于三角

14

板的數(shù)學(xué)思考》.已知：￡ACB=z￡ED=90*>4以B=60°，UBC=30°，^￡CD=zffDC=45'

(1)李華將一副三角板按如圖1所示的方式放置，使點E落在AB上，且4BIIC。，求乙4CE的度數(shù)；

(2)如圖2,張明將一個三角板ABC放在一組直線MN與PQ之間，并使頂點B在直線MN上，頂點C在直線PQ上,

現(xiàn)測得dGl=3S"，一"84=”’，請判斷直線MN,PQ是否平行，并說明理由；

(3)現(xiàn)將三角板ABC按圖3方式擺放，仍然使頂點2在直線MN上，頂點C在直線PQ上，若請直接

寫出乙PC4與乙HBC之間的關(guān)系式?

29.(23-24七年級下?四川樂山?期末)將一副三角板按如圖放置，其中點B、C、D在同一直線上，

乙ACB=乙E-90%d=30'，乙D=45'.

(1)若，3、CE相交于點F,求乙4FC的度數(shù)；

⑵將圖中的二ABC繞點C以每秒5擄的速度順時針旋轉(zhuǎn)得乙孑夕。設(shè)運動時間為t秒.當t為何值時，A'B'與

CD第一次平行；

(3)乙ABC繞點C以每秒5擄的速度順時針旋轉(zhuǎn)的同時，△CDE繞點C以每秒4擄的速度逆時針旋轉(zhuǎn)

a(。：<av1800)得3。。巧’，旋轉(zhuǎn)過程中若射線CB'、CD'、CE'中的兩條射線組成的角恰好被第三條射線平

分，設(shè)運動時間為t秒，請求出滿足條件的t值.

30.(2024七年級上?全國?專題練習(xí))將一副三角板中的兩塊直角三角板的直角頂點C按如圖方式疊放在一

起,友情提示：LA=6V，d)=30'，LE=LB=45，

⑴①若乙DCE=45’，則UC8的度數(shù)為?

②若乙4cB=140'-則4OCE的度數(shù)為.

⑵由(1)猜想與乙DCE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)若UCE<90?且點E在直線AC的上方，當這兩塊直角三角板有一組邊互相平行時，請直接寫出乙SCE角度

15

所有可能的值（不必說明理由）.

31.（2025七年級下?江蘇揚州?專題練習(xí)）在七年級的“平行線的性質(zhì)與判定”的學(xué)習(xí)中，我們常借助于三角

板來研究其相關(guān)知識，現(xiàn)有一副三角板如圖1所示，其中乙ACS=90,乙』=30：:E=45支請同

學(xué)們結(jié)合已有的知識及活動經(jīng)驗，解決下列問題：

【初步感知】

（1）如圖2,將上述三角板的直角頂點重合在一起.當CEII4B時，LBCF.

（2）如圖3,當CA平分z￡CF時，請寫出圖中兩條平行的直線，并說明理由.

【深度探究】

（3）將上述三角板按圖4所示的方式擺放，點A,B在直線G8上，點尸在直線上，直線GHILWM

保持三角板ABC不動，現(xiàn)將三角板。E尸繞點。以每秒3擄的速度順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為ts,且

OSt06O,則是否存在f的值，使邊2C與另一塊三角板。EE的一條邊平行？若存在，請求出/的值；若

不存在，請說明理由.

（4）將上述三角板按圖5所示的方式擺放，點C與點。重合，保持三角板A8C不動，將三角板。跖繞點

C旋轉(zhuǎn),使點歹在直線BC上方，當兩塊三角板的兩條邊互相平行時，若乙口5度數(shù)的最大值為山，最小值

為“，則m—n=.

32.（23-24七年級下?江西南昌?期中）如圖1,將一副三角板按圖中所示位置擺放，點F在直線AC上，且EDUG

DF與AB相交于點G,其中〃C8=90,-LABC=60?，LBAC=30、LEFD=90'，dJDEF==45'

16

E

圖1圖2

備用圖備用圖備用圖

⑴求此時乙DG4的度數(shù)；

⑵若三角板DEF繞F點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當EDIIA8時，求此時乙DFA的度數(shù)；

(3)在⑵的前提下，三角板DEF繞F點按逆時針方向以每秒3擄的速度旋轉(zhuǎn),設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為t秒，當0<t<65

時，在這個旋轉(zhuǎn)過程中，是否還存在三角板DEF的某一條邊與AB平行的情況？若存在，請求出所有滿足題

意的t值；若不存在，請說明理由.

題型09直尺與三角板拼接模型綜合

類型一直尺與30°角的三角板拼接

解題方利用三線八角求解

法

結(jié)論Zl+Z2=90°Z1=Z2Zl+Z2=90°

類型二直尺與45。角的三角板拼接

圖示工

k/A\

A

ST\/工-----\問

解題方遇拐點作平行線三線八角+三角板特殊角求解三角板特殊角求解

法

結(jié)論Zl+Z2=90°Z>Z2=75°Zl=105°

【提示】直尺本身含平行線，根據(jù)平行線性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和進行角度計算.

17

33.（22-23七年級上?重慶沙坪壩?期末）如圖1,一塊直尺和一塊含30。的直角三角板如圖放置，其中直尺

和直角三角板的斜邊平行，我們可以抽象出如圖2的數(shù)學(xué)模型：MN柴B,柴端AC=60擄，柴煲=90擄,

MN分別交AC、BC于點E、F、饕燃AC的角平分線AD交MN于點。，〃為線段AB上一動點（不與A、8重合），

連接FH交AD于點K.

（1）當Z5FH=:上BFN時，求鑒煨KF.

（2）H在線段AB上任意移動時，求柴斕KF,柴燃AK,柴領(lǐng)FH之間的關(guān)系.

⑶在（1）的條件下，將金目熠KF繞著點F以每秒5。的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為36），則在旋轉(zhuǎn)

過程中，當金呂熠KF的其中一邊與金呂精EF的某一邊平行時，直接寫出此時t的值.

34.（23-24七年級下?廣西河池?期末）如圖1,把一塊含30,的直角三角板的邊放置于長方形直尺的邊上.

（1）如圖2,現(xiàn)把三角板繞2點逆時針旋轉(zhuǎn)n擄，當。<n<90,且點C恰好落在DG邊上時，請直接寫出柴

?=°,柴？=。（結(jié)果用含n的代數(shù)式表示）；

（2）在（1）的條件下，若乙2恰好是41的:倍，求n的值.仔

35.（2024七年級上.全國.專題練習(xí)）將一副三角板如圖1所示擺放，直線GH鑒N.

（1）如圖2,現(xiàn)將五角板ABC繞點A以每秒2擄的速度順時針旋轉(zhuǎn)，三角板DEF不動，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒，當?shù)?/p>

一次旋轉(zhuǎn)到BC饕F時，t的值是多少？

（2）若三角板ABC不動，而三角板DEF繞點D以每秒1.5擄的速度順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒，求當?shù)谝淮?/p>

旋轉(zhuǎn)到DE饕C時，t的值是多少？

18

(3)若三角板ABC繞點A以每秒3擄的速度順時針旋轉(zhuǎn)，同時三角板DEF繞點D以每秒5擄的速度順時針旋轉(zhuǎn),

設(shè)時間為t秒(0<t<70),若邊BC與三角板DEF的一條直角邊平行時，直接寫出所有滿足條件的t的值.

36.(22-23八年級下?河南鄭州?開學(xué)考試)課題學(xué)習(xí)：平行線的“等角轉(zhuǎn)化”功能.

閱讀理解：

如圖1,已知點A是BC外一點，連接AB、AC求夔端AC+鑒燃+柴煲的度數(shù).

解：過點A作DE柴C,

VDEBc,

=1￡AB,LC=LDA

又：出IB+LBAC+LDAC=180'-

???乙8八。+乙8十乙。=180'.

解題反思：從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”功能.

方法運用：

如圖2,將一副三角板和一張對邊平行的紙條按如上方式擺放，兩個三角板的一直角邊重合，含30,角的直

角三角板的斜邊與紙條一邊重合，含45■角的三角板的一個頂點在紙條的另一邊上，求的度數(shù).

圖1圖2

37.(23-24七年級下?湖北鄂州?期末)如圖1,把一塊含30’的直角三角板ABC的BC邊放置于長方形直尺DEFG

的EF邊上.

(1)【特例初探】如圖2,現(xiàn)把三角板繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)n擄，當0<n<90,且點C恰好落在DG邊上時，

請求:1+〃的度數(shù)?

⑵【技能提升】在(1)的條件下，若占比的一半多加?，求〃的值.

(3)【綜合運用】如圖2,現(xiàn)將射線BC繞點B以每秒5擄的轉(zhuǎn)速逆時針旋轉(zhuǎn)得到射線BC',同時射線QA繞點Q

以每秒4擄的轉(zhuǎn)速順時針旋轉(zhuǎn)得到射線QA',當射線QA旋轉(zhuǎn)至與QB重合時，則射線BC、Q4均停止轉(zhuǎn)動，設(shè)

旋轉(zhuǎn)時間為t(s).在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在。君存在，求出此時f的值；若不存在，請說明理由.

38.(23-24七年級下?重慶江北?期末)如圖，直線PQ饕N,一副教學(xué)三角板中饕煨BC=饕煲DE=90擄，

19

鑒端CB=30擄，鑒帽AC=60擄，鑒領(lǐng)CE=鑒饃EC=45擄，現(xiàn)按如圖1放置，其中點E在直線PQ上,

點8,C均在直線MN上.

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,當CE平分饕斕CM時，求贊罌的值；

(2)若將三角板ABC繞點8以每秒3度的速度按順時針方向旋轉(zhuǎn)(A,C的對應(yīng)點分別為F,G),設(shè)旋轉(zhuǎn)時間

為f秒.B

①在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖2所示，當邊BG饕E,求H0=t三60)的值.

②若三角板ABC繞點B旋轉(zhuǎn)的同時，￡角板CDE繞點E以每秒2度的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)(C,D的對應(yīng)

點為H,K),請直接寫出當邊BG夔K時M0二f<120)的值.

(1)如果48、C為三個定點，點尸在直線機上移動，那么無論點尸移動到何位置，總有二與金目妖BC

的面積相等.理由是;

(2)如果點P在如圖所示的位置，請寫出另外兩對面積相等的三角形E.

40.⑵-24八年級下?全國?課后作業(yè))如圖，在四邊形ABCD中，AD>C,對角線AC,BD交于點O,若金目坎OB

的面積為8,求金呂精OD的面積.

20

D

o

41.（24-25七年級上?江蘇鎮(zhèn)江?階段練習(xí)）如圖，尸是長方形ABCD外一點，金目坎BP的面積為a.若金呂矢舟PD的

面積為從則金鬻PC的面積為.（用含a、b的代數(shù)式表示）

42.（23-24七年級上.福建福州?開學(xué)考試）如圖，正方形ABCD和正方形ECGF并排放置，BF和EC相交于點H,

已知AB=6厘米，則陰影部分的面積是多少平方厘米？

21

重難點01相交線與平行線熱考模型

（10種模型匯總+專題訓(xùn)練+10種模型解析）

【題型匯總】

題型01三線八角的識別

已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）

E1）同位角有4組，如：/I與N5、/2與/6、N3與/

直線AB、CD被直線7、N4與N8；

EF所截，且AB與CD2）內(nèi)錯角有2組，如：N3與/5、N6與N8；

不平行3）同旁內(nèi)角有2組，如：/3與N6、/4與N5；

4）對頂角有4組，如：N1與N3、N2與/4、N5與/

7、/6與/8.

F

E1）同位角相等：Z1=Z5,N2=/6、N3=/7、Z4=Z8；

2）內(nèi)錯角相等：N3=N5、Z6=Z8；

直線AB、CD被直線3）同旁內(nèi)角互補：Z3+Z6=180°、Z4+Z5=180°；

EF所截，且AB〃CD4）對頂角相等：/1=/3、/2=/4、/5=/7、Z6=Z

8.

F

解題方法：運用平行線的性質(zhì)計算角的度數(shù)，要正確地辨認同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，同時結(jié)合平行線

的性質(zhì)及其他有關(guān)角的性質(zhì)、定義進行計算.

1.（2024七年級上?全國?專題練習(xí)）分別指出下列圖中的同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角.

22

【答案】圖1中同位角有：ci與d，A與”，?與4,4與&；內(nèi)錯角有：u與“，”與V；同旁內(nèi)

角有：4與4,4與“；

圖2中同位角有：&與乙3,a與4，；同旁內(nèi)角有：A與

【分析】本題考查了同位角、內(nèi)錯角，同旁內(nèi)角，解答此類題確定三線八角是關(guān)鍵，可直接從截線入手.對

平面幾何中概念的理解，一定要緊扣概念中的關(guān)鍵詞語，要做到對它們正確理解，對不同的幾何語言的表

達要注意理解它們所包含的意義.

根據(jù)兩直線被第三條直線所截，兩個角都在截線的同旁，又分別處在被截的兩條直線同側(cè)的位置的角是同

位角，可得同位角；兩個角在截線的兩側(cè)，被截兩直線的中間的角是內(nèi)錯角，可得內(nèi)錯角；兩個角在截線

的同側(cè)，被截兩直線的中間的角是同旁內(nèi)角，可得同旁內(nèi)角.

【詳解】解：如圖b

同位角有：&與△，△與￡4,?與4,〃與4；

內(nèi)錯角有：△與q6,4與4；

同旁內(nèi)角有：d與V，q4與

如圖2,

圖2

同位角有：zl與乙3，?與24；

同旁內(nèi)角有：乙3與1t2.

2.（23-24七年級下.全國.假期作業(yè)）如圖，在用數(shù)字表示的角中，哪些是同位角？哪些是內(nèi)錯角？哪些是

同旁內(nèi)角？

23

3

【答案】同位角：/1和/戛45和d；內(nèi)錯角：/1和/-』2和/4;同旁內(nèi)角：U和￡5?4和4rA和和

d

【分析】本題考查了同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，三線八角中的某兩個角是不是同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)

角，完全由那兩個角在圖形中的相對位置決定.在復(fù)雜的圖形中判別三類角時，應(yīng)從角的兩邊入手，具有

上述關(guān)系的角必有兩邊在同一直線上，此直線即為截線，而另外不在同一直線上的兩邊，它們所在的直線

即為被截的線.同位角的邊構(gòu)成“尸'形，內(nèi)錯角的邊構(gòu)成“Z'形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“cr形.同位角：兩條直

線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這

樣一對角叫做同位角.內(nèi)錯角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并

且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對角叫做內(nèi)錯角.同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截形成

的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同旁內(nèi)角.依

此即可得出答案.

【詳解】解：同位角：”和d，d和“；

內(nèi)錯角：乙1和二2和小；

同旁內(nèi)角：A和4,K和4,4和“，n和4

題型02豬蹄模型

豬蹄模型豬蹄模型-進階（又稱“鋸齒”模型）

條件AB〃DEa//b

圖示ABABaAi

上*

DE

DE

b、

?------------------------^4

結(jié)論

NB+NE=NBCENB+NCMN+NE=NBCM+NMNE+ZA^+Z/45+...+Z24n

=/4+/4+…+/4/

左拐角之和=右拐角之和

輔助線作法：過拐點作平行線，有多少拐點就作多少平行線.

【補充】選、填題結(jié)論直接套用，解答題需寫過程.

3.（2024七年級上.全國.專題練習(xí)）（1）如圖①，A8IICD，試問_2與乙1+上3的關(guān)系是什么？并說明理

由；

（2）如圖②，ABIICD＞試問工2+上4與￡1+43+45的關(guān)系是什么？請直接寫出結(jié)論；

24

(3)如圖③，ABIICD＞試問〃+￡4+z6與A+.z3，+￡5+z7的關(guān)系是什么？請直接寫出結(jié)論.

【答案】(1)。=zl+4見解析；(2)42+z4=zl+z3+45；⑶d+Z4+Z,6=z.1+13+$5+z.7

【分析】此題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

(1)過點E作E廣野B,從而推出asUEF口CD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，可知乙l=zJEF，

乙3=LCEF＞從而推出乙2與cl-乙3的關(guān)系；

(2)分別過點E,G,M,作EF繆B,GHB,MN箜B,從而推出—CZMEFIG/HMN，根據(jù)兩

直線平行，內(nèi)錯角相等，可推出r2十乂與“+△+△的關(guān)系；

(3)分別過點E,G,M,K,P,作EF劈B,GH婪B,MN縷B,KL鎏B,PQ簽B,從而知道

tficDiEFisviMiriniN^根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，可推出4+〃+“與

-乙3?工5+二7的關(guān)系.

【詳解】解：(1)U=乙1+￡3,理由如下：

D,

：?zl=zBFF'￡3—Z￡EF>

?.z2=z.1+z3；

(2)同理(1)得：^2+z.4sz.1+z3+z.5>理由如下:

B,MN攀B,

%ABNCDIIEFIIGHIIMN

25

zl=dEG=4GH，UiGM=LGMN，ZflflV-zS

=r2+z4=MEF+dEG+GN+