熱點題型?解答題攻略

專題06解答壓軸題(五大題型)

?>----------題型歸納?定方向-----------*>

題型01新定義導數.............................................................................1

題型02導數在三角函數的應用...................................................................3

題型03導數與數列.............................................................................4

題型04數列綜合...............................................................................5

題型05導數、數列與常用邏輯用語..............................................................6

*>----------題型探析?明規律----------*>

【解題規律?提分快招】

1、同新法的三觸復天稹式:①藏5遜，如ae。豆nZ可以同柘版ae”山力晶叫捶而后造函數而尸.；@

QabQabx

比商型，如一<—可以同構成——<——，進而構造函數段)=——；③和差型，如e"±a>b±lnb,同構后可以

aInbIneflInbInx

構造函數_/(x)=針fcr或/(x)=x±lnx.

2、涉及函數的零點(方程的根)問題，主要利用導數確定函數的單調區間和極值點，根據函數零點的個數尋

找函數在給定區間的極值以及區間端點的函數值與0的關系，從而求得參數的取值范圍.

3、“雙變量”的恒(能)成立問題一定要正確理解其實質，深刻挖掘內含條件，進行等價變換，常見的等價轉

換有

(1)VX1，X2ED,兀q)>g(X2)鈣/(x)min>g(x)max.

⑵3x2eD2>/(Xi)>g(X2)<^/(X)min>g(X)min.

(3)3.XieZ)i，Vx2eZ)2,Xxi)>g(x2)?/(x)max>g(x)max.

4、數列與函數、不等式的綜合問題關鍵在于通過函數關系尋找數列的遞推關系，求出數列的通項或前n項

和，再利用數列或數列對應的函數解決最值、范圍問題，通過放縮進行不等式的證明.

函額61一薪兔叉導數

【典例1-11.(2023?上海黃浦?二模)三個互不相同的函數尸〃x),y=g(x)與尸不%)在區間。上恒有

/(x)>/z(x)>g(x)或恒有f(x)<h(x)<g(x),則稱y="(X)為y=或恒)與y=g(x)在區間D上的“分割函

(1)設4(力=4蒼，2(彳)=工+1,試分別判斷>=4(x),y=力2(x)是否是y=2/+2與了=一一+4x在區間

(-00,+00)上的“分割函數”，請說明理由；

(2)求所有的二次函數〉=ax2+cx+d(av=o)(用。表示c,d),使得該函數是>=2/+2與y=4x在區間

(-8,+00)上的“分割函數”；

(3)若[加,〃]U[-2,2],且存在實數上,6,使得口=苗+6為y=，-4x2與y=4/_16在區間[加，同上的“分割函

數"，求”-加的最大值.

【典例1-2】.(2024-2025?上海高三?專題練習)若函數/(無)在區間/上有定義，且Vxe/,則

稱/是的一個“封閉區間”.

⑴己知函數/(無)=x+sinx,區間/=[0/](r＞0)且f(x)的一個“封閉區間”,求廠的取值集合；

⑵己知函數g(x)=ln(x+l)+%3,設集合P={x|g(x)=x}.

(i)求集合尸中元素的個數；

(ii)用表示區間可(。＜6)的長度，設加為集合P中的最大元素.證明：存在唯一長度為加的閉區

間D,使得。是g(x)的一個“封閉區間”.

【變式1-1】.(23-24高三下?上海浦東新?階段練習)設函數＞=/(x)的定義域為開區間/,若存在不e/,

使得V=〃x)在x=x。處的切線/與＞=的圖像只有唯一的公共點，則稱y=〃x)為建函數”，切線/為

一條“乙切線”.

(1)判斷y=x-l是否是函數y=hu的一條屋切線”，并說明理由；

⑵設g(x)=e2=6x,求證：y=g(x)存在無窮多條“切線”；

⑶設/(x)=x3+ax2+l(0＜x＜c),求證：對任意實數。和正數c,V=/(x)都是“函數”

【變式1-21.(2024?上海嘉定?一模)設A為非空集合，函數的定義域為。.若存在使得對任意

的xe。均有/(力-/伉)?/,則稱/國)為函數/(x)的一個A值，毛為相應的A值點.

⑴若/=[-2,0],/(司=5加.證明：x°=2E+；7aeZ是函數“X)的一個A值點，并寫出相應的A值；

⑵若/=[0,+s)J(x)=f,g(x)=x2+x+l.分別判斷函數/(x)、g(x)是否存在A值？若存在，求出相應的

A值點；若不存在，說明理由；

(3)若4=(-%0],且函數/(x)=liu+"2(aeR)存在A值，求函數的A值，并指出相應的A值點.

【變式1-3].(2024?上海普陀?二模)對于函數了=/(x),xeO]和y=g(x),XED2,設鼻必=，若

X〕，x2&D,且國片工2，皆有|/(再)-〃々)國|g(±)-g(尤2)|"＞。)成立，則稱函數戶/⑴與〉=g(x)“具

有性質H(ty\

⑴判斷函數〃x)=x2,丈e[l,2]與g(x)=2x是否“具有性質〃⑵”，并說明理由；

(2)若函數/(X)=2+X2,工€(0,1]與8(幻」“具有性質收)”，求/的取值范圍；

⑶若函數〃尤)=《+2111》-3與＞=8(乃"具有性質*⑴"，且函數y=g(x)在區間(0,+co)上存在兩個零點為,

%2'求證演+%>2.

題型02導數在三角函數的應用

【典例2-11.(2024?上海徐匯?一模)已知定義域為。的函數y=/(x),其導函數為丫=/(無)，若點(x。,%)

在導函數y=/，(x)圖象上，且滿足了'(七)―/'(%)20,則稱升為函數y=/(x)的一個“7類數”，函數y=f(x)

的所有“T類數”構成的集合稱為“T類集”.

⑴若〃x)=siru,分別判斷］和?是否為函數y=/(K)的“T類數”，并說明理由；

⑵設y=((久)的圖象在R上連續不斷，集合河={x"'(x)=0).記函數y=”久)的"T類集”為集合S,若

SuR,求證：〃工0；

(3)已知〃x)=-'cos(8+°)(。>0),若函數y=f⑶的“T類集”為R時(P的取值構成集合A,求當夕e/時

CD

0的最大值.

【變式2-1】.(2024?上海崇明?一模)定義:若曲線g和曲線g有公共點P,且曲線G在點尸處的切線與

曲線C?在點P處的切線重合，則稱G與G在點P處“一線切”.

⑴己知圓(、-°)2+/=/&>0)與曲線了=X2在點(1,1)處“一線切”，求實數。的值;

⑵設/(x)=/+2x+“，g(x)=ln(x+l),若曲線>=/(x)與曲線>=g(x)在點尸處“一線切”，求實數a的值;

(3)定義在R上的函數y=/(x)的圖象為連續曲線，函數》=/(幻的導函數為歹=/'(x),對任意的xeR,都

有以〃x)|

W||/(x)|<V2成立.是否存在點尸使得曲線J，=/(x)sinx和曲線昨1在點尸處“一線切”？若存在，請求

出點P的坐標，若不存在，請說明理由.

【變式2-2】.(22-23高三上?上海長寧?期中)已知V=A?(X)是定義在［p,q］上的函數，如果存在常數M>0,

對區間［p,q］的任意劃分：

n

p=x0<xl<x2<...<xn_l<xn=q(ne2V,n>3),￡\m(x,.)-m(xw)|<Af恒成立，則稱函數y=m(x)為區間

Z=1

［p,q］上的“有界變差函數”;

⑴試判斷函數〃x)=sinx-cosx是否為區間上的“有界變差函數”，若是，求出M的最小值；若不是,

說明理由；

⑵若y=g(x)與了=/(x)均為區間［p,g］上的“有界變差函數”，證明：尸(x)=g(x)+/z(x)是區間3q］上的“有

界變差函數”；

71

,,/、XCOS—°C不是［01］上的"有界變差函數”;

(3)證明：函數°(x)=2x

0x=0

題型03導數與數列

【典例3-1】.(2023?上海嘉定一模)已知例x)=W，g(x)2U.

ex

(1)求函數了="X)、y=g(x)的單調區間和極值；

(2)請嚴格證明曲線y=/(x)、y=g(x)有唯一交點；

(3)對于常數。[0,口，若直線＞和曲線y=/(x)、kg(x)共有三個不同交點區辦(乙,。)、(七,。)，其

中X]＜%＜退，求證：小馬、x3成等比數列.

【典例3-2】?(24-25高三上?上海浦東新?期末)過曲線y=/(x)上一點尸作其切線，若恰有兩條，則稱尸

為“X)的“A類點”；過曲線y=/(x)外一點。作其切線，若恰有三條，則稱。為〃x)的“3類點”；若點五

為“X)的“A類點”或“B類點”，且過及存在兩條相互垂直的切線，則稱五為〃x)的“C類點”.

⑴設〃x)=4,判斷點尸(LI)是否為〃x)的“A類點”，并說明理由；

⑵設=x3-mx,若點2(2,0)為/(X)的“3類點”，且過點。的三條切線的切點橫坐標可構成等差數列,

求實數加的值；

⑶設〃幻=看，證明：了軸上不存在〃x)的“。類點”.

【變式3-1].(23-24高三下?上海閔行?階段練習)已知函數/(x)=Inx,取點(％,/(%)),過其作曲線/(幻=向

切線交V軸于點(0,%)，取點(電，/'(出))，過其作曲線/(x)=liu作切線交》軸于(。嗎)，若%wo,則停止

操作，以此類推，得到數列氏.

(1)若正整數加＞2,證明%,=lna小-1

(2)若正整數a，2,試比較冊與冊_「2大小；

(3)若正整數左》3,是否存在人使得為,出，…，4依次成等差數列？若存在，求出上的所有取值，若不存在，

試說明理由.

【變式3-2].(23-24高三上?上海靜安?階段練習)已知函數/(x)=x(e'-l)-"2.

(1)若"=；,求/(x)的單調區間；

⑵若xe(O,l]時/(x)V0恒成立，求實數a的取值范圍.

(3)定義函數y=4X),對于數列｛%｝、｛4｝,若。“=/(〃),/色,)=",則稱｛與｝為函數＞=〃x)的“生成數

列”，也｝為函數P=/(x)的一個“源數列”.

①已知/(x)=e?,也｝為函數y=/(x)的“源數列”，求證：對任意正整數"，均有"4("-1)2；

x

②已知/(x)=2+x,｛an｝為函數y=f(x)的“生成數列”，也｝為函數y=/(x)的“源數列”，｛叫與物,｝的

公共項按從小到大的順序構成數列｛cj，試問在數列｛c.｝中是否存在連續三項構成等比數列？請說明理由.

【變式3-3].(24-25高三上?上海?階段練習)設a>0,/(x)==".

(1)求函數y=/(K)的單調區間；

(2)求證:/(》"14-〃')；

(3)設函數y=O(x)與y=q(x)的定義域的交集為。，集合4口。.若對任意/e/,都存在國,吃€。，使得

外,毛,為成等比數列，且?(西)4伉),0(%)成等差數列，則稱y=°(x)與了=q(x)為?關聯函數”.求證：若

y=/(%)與y=g(x)為"[1,+8)關聯函數"，則ae[l,e4).

【變式3-4】.(2024-2025?上海高三?專題練習)已知函數y=〃x),其中〃x)=；苫3-分，keR港點A

在函數N=/(x)的圖像上，且經過點A的切線與函數>=/(x)圖像的另一個交點為點3,則稱點8為點A的

一個“上位點”，現有函數了=/口)圖像上的點列M，M2,…，使得對任意正整數"，點%都

是點/角的一個“上位點”.

(1)若左=0,請判斷原點。是否存在“上位點”，并說明理由；

⑵若點的坐標為(3匕0),請分別求出點〃2、M3的坐標；

⑶若的坐標為(3,0),記點到直線J=m的距離為力.問是否存在實數〃z和正整數T,使得無窮數列

力、分....辦+“…嚴格減？若存在，求出實數加的所有可能值；若不存在，請說明理由.

【變式3-5】.(2024?上海黃浦?二模)若函數>=/(x)的圖象上的兩個不同點處的切線互相重合，則稱該切

線為函數y=/(x)的圖象的“自公切線”，稱這兩點為函數>=的圖象的一對“同切點

⑴分別判斷函數/(尤)=sinx與力(x)=lnx的圖象是否存在“自公切線”，并說明理由；

(2)若aeR,求證：函數g(x)=tanx-x+a(xe有唯一零點且該函數的圖象不存在“自公切線”；

(3)設力eN*,/ia)=tanx-x+〃7i(xe(-5,9)的零點為％,求證：“存在se(2兀向，使得點(s,sins)

與&sin。是函數y=sinx的圖象的一對，同切點,”的充要條件是“t是數列｛/｝中的項”.

題型04數列綜合

【典例4-1】?(22-23高三上?上海浦東新?階段練習)已知無窮數列｛%｝滿足凡其中

〃=1,2,3,…，對于數列｛。,｝中的一項ak,若包含ak的連續J(422)項%,限…,。<左W，+/f滿足

aa

為<,+\<1■><%+/_](，W&4，+/—1)或者%>aM>?-->%+/_],則稱%,為+1，…,i+j-i為包含外的長度為J的“單

調片段”.

⑴若aa=si嗒，寫出所有包含生的長度為3的“單調片段”；

(2)若對任意正整數左，包含，的“單調片段”長度的最大值都等于2,并且%=9,求｛%｝的通項公式；

(3)若對任意大于1的正整數左，都存在包含，的長度為人的“單調片段”，求證：存在正整數N。，使得“2乂

時，都有卜"-。％|="-乂.

【變式4-1】.(2022?上海嘉定?模擬預測)若項數為燈后eN*且左》3)的有窮數列｛%｝滿足：

a-展他-。3區,"呷%%,則稱數列｛an)具有“性質M”.

(1)判斷下列數列是否具有“性質M”，并說明理由；

①1,2,4,3；②2,4,8,16.

(2)設口=1,2,I),若數列｛%｝具有“性質M”，且各項互不相同.求證：“數列｛%｝為

等差數列”的充要條件是“數列｛超｝為常數列”；

(3)已知數列｛%｝具有“性質若存在數列｛《｝,使得數列｛%｝是連續上個正整數1,2,…,左的一個排

列，且Iq-gI+1g-%IhIak-\~ak\=+2,求左的所有可能的值.

【變式4-2】.(2023?上海崇明?一模)已知數列｛叫滿足舊-

⑴若數列｛%｝的前4項分別為4,2,%，1，求生的取值范圍；

(2)已知數列｛a?｝中各項互不相同.令超=腐-。，用|("=1,2,…，〃-1),求證：數列｛a“｝是等差數列的充要條件

是數列也｝是常數列；

加一1

(3)已知數列｛%｝是加(加EN且加23)個連續正整數1,2,加的一個排歹U.若￡院-=加+2,求

k=\

m的所有取值.

題型05導數、數列與常用邏輯用語

【典例5-1].(24-25高三上?上海?階段練習)對于一個各項非零的等差數列｛%｝,若能從中選出第匕，右，…，左”

(《<&<..<<)項,能構成一個等比數列也｝,則稱也｝為｛。“｝的“等比子列”.若此“等比子列”具有無窮

項，則稱其為“完美等比子列”.

⑴若數列%=2",">0,〃eN,直接寫出3個符合條件的“等比子列”，其中1個必須為“完美等比子列”.

(2)對于數歹U%=3〃-1,〃>0,〃eN,猜想他是否存在“完美等比子列”，如果存在，請寫出一個并證明；如

果不存在，請說明理由.

(3)證明：各項非零的等差數列｛4｝中存在“等比子列”的充要條件是數列｛4｝滿足4=kd(d為公差，

kwQ,kwO).

【變式5-1].(2024?上海青浦?二模)若無窮數列也,｝滿足：存在正整數7,使得。“+r=%對一切正整數”

成立，則稱｛%｝是周期為T的周期數列.

⑴若a“=sin(吧+?](其中正整數加為常數，?eN,H>l),判斷數列&｝是否為周期數列，并說明理由；

vm3)

(2)若4+i=%+sin4("eN,〃Nl),判斷數列｛%｝是否為周期數列,并說明理由；

(3)設｛4｝是無窮數列,已知％=%+sin%(〃eN,〃汕.求證：“存在4,使得｛%｝是周期數列”的充要條件

是“｛6J是周期數列”.

【變式5-2】.(2023?上海浦東新?模擬預測)設7=/(x)是定義在R上的奇函數.若y=〃"(x>())是嚴格

減函數，則稱了=/(x)為“。函數”.

⑴分別判斷了=-布|和》=5向是否為。函數，并說明理由；

(2)若y二丁二-：是。函數，求正數。的取值范圍；

(3)已知奇函數昨尸(x)及其導函數昨F(x)定義域均為R.判斷"y=F'(x)在(0,+8)上嚴格減”是

“7=尸卜)為。函數”的什么條件，并說明理由.

【變式5-3】.(24-25高三上?上海?期中)若定義在R上的函數y=/(x)和y=g(x)分別存在導函數和

g'(x).且對任意實數x,都存在常數坪使/'(x)N好(x)成立，則稱函數y=f(x)是函數y=g(x)的“「-控

制函數”，稱左為控制系數.

(1)求證:函數/(x)=2x是函數g(x)=sin尤的“2-控制函數”；

⑵若函數/?)=---4^-12/-20》是函數8("=二的""控制函數，，，求控制系數上的取值范圍；

(3)若p(x)=e'+小一、，函數了=4(x)為偶函數,函數V=p(x)是函數了=4(x)的“1-控制函數”,求證:“加=1”

的充要條件是“存在常數。，使得P(x?q(x)=c恒成立”

o-----------題型通關?沖高考-----------*>

一、解答題

1.(2023?上海嘉定一模)對于函數y=/(x),把/'(X)稱為函數y=/(x)的一階導，令/'(x)=g(x),則將g'(x)

稱為函數y=/(x)的二階導，以此類推…得到n階導.為了方便書寫，我們將n階導用表示.

⑴己知函數/(x)=e，+"lnx-x2,寫出其二階導函數并討論其二階導函數單調性.

(2)現定義一個新的數列：在V=/(%)取為=/⑴作為數列的首項，并將"'(1+?)]?,?>1作為數列的第"+1項.

我們稱該數列為V=/(x)的“"階導數列”

①若函數g(x)=x"數列｛%｝是V=g(x)的力階導數列“，取7”為口｝的前〃項積，求數列

的通項公式.

②在我們高中階段學過的初等函數中，是否有函數使得該函數的“”階導數列”為嚴格減數列且為無窮數列,

請寫出它并證明此結論.(寫出一個即可)

2.(2024?上海寶山?一模)已知y=/(x),y=g(x)都是定義在實數集上的可導函數.對于正整數左，當〃?、〃

分別是y=/(x)和〉=g(x)的駐點時，記Ax=|加-"I,若AxV后，則稱f(x)和g(x)滿足尸㈤性質；當再、x2eR,

且g?)*g?)時，記紳=??一坐,若公”上,則稱/(x)和g(x)滿足。⑻性質.

g(%)-g(無2)

⑴若〃x)=2x+l,g(x)=x,判斷〃x)和g(x)是否滿足0(2)性質，并說明理由；

⑵若〃x)=(x-l)2,g(x)=W，且〃X)和g(x)滿足P⑴性質，求實數。的取值范圍；

e

⑶若V=/(x)的最小正周期為4,且g(T)=/(T),g⑴=〃D.當xe［T3］時，y=/(x)的駐點與其兩側區間

的部分數據如下表所示：

X-1(-1,1)1(1,3)3

/'(x)0+0