圓壓軸題動點問題分類訓練(4種類型40道)

目錄

【題型1動點定值問題】........................................................................1

【題型2動點最值問題】.......................................................................26

【題型3動點探究數量關系】...................................................................50

【題型4二次函數與圓綜合的動點問題】........................................................74

【題型1動點定值問題】

1.如圖所示，。。的半徑是4,PA,PB分別與。。相切于點/、點、B,若P4與PB之間的夾角

4APB=60°.

⑴若點C是圓周上的一動點，N4CB的大小為定值嗎？若是定值，請求出它的度數.

⑵求△注呂。的周長.

【答案】⑴"CB的大小為定值，定值為60。或120。；

(2)1273.

【分析】(1)根據切線性質得出NPAO=NPBO=90。，求出“OB,根據圓周角定理求出即可;

(2)連接。P,求出aAPB是等邊三角形，AAPO=30°,求出。P和4P,即可求出答案.

【詳解】(1)解：”4分別與。。相切于點/、點8,

.-.APAO=乙PBO=90°,

■,■Z.APB=60°,

.-.Z.AOB=360°-90°-90°-60°=120°,

-1

當C在優弧4B上時，/.ACB=-ZX05=60°,

當C在劣弧4B上時，乙ACB=180°-60°=120°；

(2)解：連接。P,

J

■■PA,PB分別與O。相切于點4點5,乙4PB=60。,

：.PA=PB,/.APO=/.APB=30°,

.?.△APB是等邊三角形，

.-.PA-AB-PB,

?：^PAO=90°,N4P0=30°,OA=4,

.-.OP=2A0=8,由勾股定理得：AP=VOP2-OA2=4V3,

???△4BP的周長是AP+AB+BP=3X443=12V3.

【點睛】本題考查了切線長定理，切線的性質，等邊三角形的判定和性質，直角三角形的性質和勾股定

理.正確引出輔助線解決問題是解題的關鍵.

2.如圖，O。是等邊△ABC的外接圓，尸點是。。劣弧4B上的一個動點(不與點4,8重合).

(1)求乙4PB的度數；

⑵若PA=3,PB=4,求PC的長；

⑶若=4V3,點P在劣弧4B上運動的過程中，

①PA+PB的值是否為定值，若是，請求出這個定值；若不是，求出其值的取值范圍.

②試探究P42+PB2+PC2的值是否為定值，若是，請求出這個定值；若不是，求出其的取值范圍.

【答案】⑴120。

(2)7

22

(3)?4V3<PA+PB<8；@PA+PB+PC2的值是定值96.

【分析】(1)首先由等邊三角形的性質得到乙4cB=60。，然后根據圓內接四邊形的性質求解即可；

(2)延長BP到點尸使PF=P4首先證明出△力FP是等邊三角形，求出BF=BP+PF=4+3=7,然后

證明出△FAB三△PAC(AAS),即可得到BF=PC=7；

(3)①首先由(2)可得，PA+PB=PC,然后得到當點尸和點/或點8重合時，P4+P8的最小值為4

V3；當點P,O,C三點共線時，P4+PB有最大值，然后畫出圖形，根據勾股定理求解即可；

②延長BP到點/使PF=P4過點4作？IE1PF,由(2)得，是等邊三角形，得到PE=、1P,然

2222

后根據勾股定理求出ZE?=AP-PE=AP-(|XP)=|ap2,進一步得至ljap2+BP2+Ap?BP=AB2,然

222

后結合P4+PB=PC,代入得到PTP+PB+PC=2AB,即可求解.

【詳解】(1)解：???△ABC是等邊三角形

：.^.ACB=60°

?.?四邊形4PBe內接于。。

.-.Z.APB=180°-乙4cB=120°；

(2)如圖所示，延長BP到點尸使PF=PA=3,

!、'、/

.ZAPB=120°

???乙4PF=60°

'：PF=PA

??.△Z”是等邊三角形

：.PF=AP=3fZF=60°,AF=AP

.'.BF=BP+P尸=4+3=7

'.'AP=AP

：.Z.ABF=Z-ACP

-AC=AC

：.Z.APC=/.ABC=60°

.?.在△E4B和△P4C中

(Z.F=乙APC

{Z.ABF=Z.ACP

IAF=AP

△FAB=△PXC(AAS)

.-.BF=PC=7；

(3)①由(2)可得，PA+P8=PC

???點P在劣弧4B上運動

???當點尸和點/或點8重合時，PC的長度最小，即BC或4c的長度

???△4BC是等邊三角形

：.BC=AC=AB=4V3

??.PC的最小值為4H

??.P4+PB的最小值為4后

當點P,O,C三點共線時，PC的長度最大，如圖所示，

???此時PC是O。的直徑

:.乙PBC=90°

■■BC=BC

.?ZBPC=乙BAC=60°

.-.Z.PCB=180°-4PBC-乙BPC=30°

：.PB=|?C

■：PB2+BC2=PC2

.-.QPC)2+(4V3)2=PC2

??.PC=8,負值舍去

??.PC的最大值為8

.?.P4+PB的最大值為8；

■.PA+PB的值的取值范圍是4K<PA+PB<8；

②如圖所示，延長到點尸使PF=P4過點N作4E_LPF

由(2)得，aAFP是等邊三角形

1

.-.^PAE=-zPi4F=30°

：.PE=^AP,

：.AE2=AP2-PE2=AP2-(|XP)2=^AP2

■：AE2+BE2=AB2

帝p2+gap+BP)2=AB2

：.AP2+BP2+AP-BP=AB2

又TPA+PB=PC

：.PA2+PB2+PC2

=PA2+PB2+{PA+PB)2

=PA2+PB2+PA2+PB2+2PA-PB

=2(PX2+PB2+PA-PB)

=2AB2

=2X(4V3)2

=96.

.--PA2+PB2+PC2的值是定值96.

【點睛】此題考查了圓與三角形綜合題，考查了圓周角定理，等邊三角形的性質，圓內接四邊形的性質,

勾股定理和全等三角形等知識，解題的關鍵是正確作出輔助線構造等邊三角形.

3.如圖1,E點為x軸正半軸上一點，。5交工軸于48兩點，P點為劣弧就上一個動點，且4(一1,0)、

E(l,0).

⑴前的度數為

⑵如圖2,連結PC,取PC中點G,貝IJOG的最大值為一

(3)如圖3,連接4C、AP,CP、CB.若CQ平分NPCD交尸4于Q點，求4Q的長；

⑷如圖4,連接P4PD,當P點運動時(不與B、C兩點重合)，求證：蟹^為定值，并求出這個定值.

【答案］⑴120

(2)2

⑶4Q=2

⑷黑子=舊為定值，證明見詳解

【分析】(1)由已知條件可以得到C。垂直平分4E,所以C4=CE,由于CE=4E,所以可以證得三角形4CE

為等邊三角形，得到NCEB=120°；

(2)由于直徑4BJ.CD,根據垂徑定理，可以得到。是C。的中點，又G是CP的中點，連接PD,貝UOGIIPD,

OG=^PD,要求OG最大值，只需要求PD最大值，由于P是劣弧而上的一動點，故當P,E,。三點共線，即

PD為直徑時，P。最大，此時0G最大；

(3)由于直徑ABICO,根據垂徑定理，可以得到前=而，所以乙4C0=NCP4又CQ平分NOCP,所以

乙PCQ=ADCQ,可以證明N4CQ=N4QC,所以4C=4Q,由(1)可得，AC=AE=4,所以4Q=4；

(4)由直徑481CD,可以得到AB垂直平分CD,所以AC=AD,Z.CAD=2^CAE=120°,將△力CP繞4點

順時針旋轉120。至△4DM,可以證明M,D,P三點共線，所以PC+PD=PM,可以證明△PAM是頂角為

120。的等腰三角形，過2做4G1PM于G,由于4apM=30。，可以通過勾股定理或者三角函數證明PM=遮

PA,所以

【詳解】(1)(1)連接AC,CE,

圖1???4(—1,0)、F(l,0),

OA=OE=1,

OCLAE,

AC—CE,

???AE=CE,

???AC—CE—AE,

???Z.CAE=60°,

??.乙BEC=2Z.CAB=120°,

林的度數為120。.

故答案為：120.

(2)由題可得，4B為OE直徑，且4B1CD,

由垂徑定理可得，CO=OD,

連接PD,如圖2,

又G為PC的中點，

OGIIPD,且。G=步。，

當D,E,P三點共線時，此時DP取得最大值,

且DP=AB=2AE=4,

???0G的最大值為2,

故答案為：2.

(3)連接ZC,BC,

圖3???直徑481CD,

???AC=AD,

???Z.ACD=Z.CPA,

???CQ平分乙DCP,

Z-DCQ=乙PCQ,

匕ACD+(DCQ=/.CPA+Z-PCQ,

???Z-ACQ=Z-AQC,

AQ=AC,

v/.CAO=60°,AO=1,

AC=2,

AQ=2.

(4)由題可得，直徑ZB，CO,

???4B垂直平分CD,

如圖4,連接4C,AD,則=

M

由(1)得，ADAC=120°,

將aacp繞/點順時針旋轉120。至△ADM,

■■.AACP=AADM,

???/.ACP=/.ADM,PC=DM,

1?1四邊形4CPD為圓內接四邊形，

.-./.ACP+Z.ADP=180°,

???AADM+AADP=180°,

.??"、D、P三點共線，

PD+PC=PD+DM=PM,

過工作4G1PM于G,則PM=2PG,

?/.APM=^.ACD=30°,

在RtZkAPG中，Z.APM=30°,

設4G=x,則力P=2x,

PG=7Ap2一4G2=后,

???PM=2PG=2V3x

PM=WAP,

PC+PD=WAP

PC+PD

=V3為定值.

PA

【點睛】本題是一道圓的綜合題，重點考查了垂徑定理在圓中的應用，最后一問由“共頂點，等線段"聯想到

旋轉，是此題的突破口，同時，要注意頂角為120度的等腰三角形腰和底邊比是固定值.

4.綜合探究

如圖，在扇形。MN中，OM=3/MON=90。/是而上異于M,N的動點，過點2作2B10M于點8,作"1ON

于點C,連接BC,點E,D在線段BC上，且BE=ED=DC.

(1)求證：四邊形0E4D是平行四邊形.

⑵當點人在麗上運動時，在4BHE,BE中，是否存在長度不變的線段？若存在，請求出該線段的長度；若不

存在，請說明理由.

⑶求證：力”+3402是定值.

【答案】(1)見解析；

(2)存在，1；

⑶見解析.

【分析】本題主要考查圓的基本性質以及勾股定理：

(1)道德證明四邊形。B4C是矩形，得。F=4吃CF=BF,同理可證DF=EF,得出四邊形0E4D是平行四

邊形.

(2)根據點A是麗上的點，0M=3,得出BC=0A=0M=3,由BE=EF=FC得出BE=|fiC=1；

(3)過點力作AH1BC于點H.設2B=0C=x,則AC=娟二二正，求出4"=嗎超，DH=亨,計算出

3AD2,進一步可得出結論

【詳解】(1)證明：如圖，連接。4交BC于點凡

???Z.ACO=乙ABO=Z.BOC=90°,

???四邊形0B4C是矩形，

OF=AF,CF=BF.

???BE=DC,

?-?CF-CD=BF—BE,

???DF=EF,

四邊形OEAD是平行四邊形.

（2）解：存在，線段BE的長度不變.

?.?點/是麗上的點，04=3,

在矩形0B4C中，BC=0A=0M=3.

???BE=ED=DC,BCCD+DE+EB,

BE=|fiC=1X3=1.

(3)解：如圖，過點2作于點H.

設ZB=OC=x,貝!JZC=y/OA2—OC2=V9—%2.

由匏C.AH=/B-CA,得力”=

DH=BC-CD=3-1=4，

33

3AD2=3(AH2+DU)=3[(寧?+=12-x2,

22

???AB+34"=x2+i2-x=12,

.??482+3402是定值.

5.如圖1,瓦點為無軸正半軸上一點，OE交支軸于4B兩點，交y軸于C、。兩點，P點為劣弧沅上一個動

點，且4(—1,0)、￡(1,0).

(1)如圖1,連結PC,取PC中點G,連結。G,貝UOG的最大值為；

⑵如圖2,連接AC、4P、CP、CB.若CQ平分NPCD交PA于Q點，求4Q的長；

⑶如圖3,連接24、PD,當P點運動時(不與B、C兩點重合)，求證：^^為定值，并求出這個定值.

【答案】(1)2

(2)4Q=2

⑶見解析，V3

【分析】(1)由于直徑力BLCD,根據垂徑定理可以得到。是CD的中點，要求。G最大值即求PD最大值，當PD

為直徑時，有最大值，即可得到答案；

(2)根據垂徑定理得到后=而，證明NACQ=N4QC,由(1)得4c=AE=4,即可得到答案；

(3)將△ACP繞工點順時針旋轉120。至△ADM,得到△4CP三△AOM,證明P。+PC=PD+OM=PM,

過/作2G1PM于G,貝iJPM=2PG,根據勾股定理證明.

【詳解】(1)解：由題可知，4B為OE直徑，且4B1CD,

由垂徑定理可得，CO=OD,

連接PD,

???G是PC的中點，

OG\\PD,OG=^PD,

當￡＞、E、P三點共線時，此時DP取得最大值，

???OG的最大值為2；

故答案為：2.

(2)解：連接4C,BC,

??,AB1CD,

???AC—AD,

???Z-ACD=4CPA,

???CQ平分乙DCP,

???(DCQ=(PCQ,

^ACD+乙DCQ=Z.CPA+乙PCQ,

???Z-ACQ=Z-AQC,

AQ=AC,

v/.CAO=60。,/。=1,

AC=2,

-AQ=2；

(3)證明：由題可得，直徑/BlCD,

???48垂直平分CD,

如圖4,連接4C,AD,則47=AD,

由(1)得，Z-DAC=120°

將△ACP繞4點順時針旋轉120。至△4DM,

.'.AACP=AADMf

AACP=AADM,PC=DM,

???四邊形力CP。為圓內接四邊形，

??.Z.ACP+Z.ADP=180°,

/.ADM+乙40P=180°,

???M、D、Q三點共線，

??.PD+PC=PD+DM=PM,

過4作4G1PM于G,貝lJPM=2PG,

???LAPM=乙ACD=30°,

在Rt2XZPG中，Z.APM=30°,

設/G=%,貝IJ4P=2%,

PG=7Ap2一W=V3x,

PM=2PG=2V3x,

.-.PM=怎IP,

：.PC+PD=^AP,

PC+PD=遮為定值.

PA

【點睛】本題考查坐標與圖形，垂徑定理，三角形的中位線定理，圓內接四邊形，含30度的直角三角形的

性質，旋轉的性質，勾股定理等知識點，綜合性強，難度較大，屬于壓軸題，掌握相關性質，添加輔助線

構造特殊三角形，是解題的關鍵.

6.如圖1,點G為等邊△力BC的重心，點。為BC邊的中點，連接GD并延長至點。，使得。。=DG,連接GB,

GC,OB,OC

圖2②

⑴求證：四邊形80CG為菱形.

(2)如圖2,以。點為圓心，OG為半徑作。。

①判斷直線力B與。。的位置關系，并予以證明.

②點M為劣弧BC上一動點(與點8、點C不重合)，連接并延長交AC于點E,連接CM并延長交48于點F,

求證：AE+4F為定值.

【答案】⑴見解析;

(2)①直線48是。。的切線；②見解析.

【分析】(1)如圖1,延長BG交AC于點H,連接4D,由△4BC是等邊三角形，G是重心，點。為BC邊的中

點，得力D，BC,DB=DC,進而證明四邊形BOCG是平行四邊形，于是即可得四邊形BOCG為菱形；

(2)①延長BG交2C于點H,連接4D,先證BG為/ABC的角平分線，進而求得“BG=48。=30。，又由

菱形的性質得NCB。=4GBC=30°,從而有乙4B。=/.ABG+4GBC+乙CBO=90°,于是根據切線的判定

即可得出結論；②在優弧BC上取一點N,連接BN、CN,由①得NOBC=30。，進而求得NN=|z

BOC=60°,再由圓內接四邊形的性質求得NBMC=180。一NN=120。，從而根據角的和差關系求得n

ACF^Z.CBE,于是證明△BEC三△C凡4Q4S4)得4尸=CE,即可證明結論成立.

【詳解】(1)證明：如圖1,延長BG交4C于點H,連接AD,

圖1

???△ABC是等邊三角形，G是重心，點。為8c邊的中點，

中線4D過點G,即4、G、D三點共線，AC=AABC=60°,AB=AC=BC,

：,ADl.BC,DB=DC,

-DO=DG,

???四邊形BOCG是平行四邊形，

,：AD1.BC,

???四邊形BOCG為菱形；

(2)①解：直線力B是。。的切線，理由如下：延長BG交AC于點H,連接2D,

圖2①

???△ZBC是等邊三角形，G是重心，點。為邊的中點，

、

???中線40過點G,即/、G。三點共線，Z-BAC=/.ABC=/-ACB=60°,AB=AC=BC,AH=CHf

???BG為乙4BC的角平分線，

：.Z.ABG=Z.GB0=30°,

???四邊形BOCG是菱形，

"CBO=乙GBC=30°,

：.Z.ABO=Z.ABG+Z.GBC+乙CBO=90°,

：.AB10B,

?,?直線ZB是。。的切線；

②證明：在優弧BC上取一點N,連接BN、CN,

A

圖2②

由①得30。，

-OB=0C,

"OBC=乙OCB=30°,

.?/BOC=180°-乙OBC-(OCB=120°,

心=|ZB(?C=6O°,

???四邊形BNCM內接于。0,

."MC=180°一乙N=120°,

"CBE+乙BCM=180°-乙BMC=60°,

-Z.ACB=AACF+乙BCM=60°,

.-.Z.ACF+乙BCM=乙CBE+乙BCM,

：.Z-ACF=乙CBE,

■：BC=AC,ABCE=ZX=60°,

△BEC=△CFX(ASA)

：.AF=CE

■：AE+CE=AC

■.AE+AF=AE+CE=AC,即4E+4F為定值.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定及性質，等邊三角形的性質，重心的性質，切線的判定以及菱

形的判定，熟練掌握菱形的判定，全等三角形的判定及性質，等邊三角形的性質，重心的性質以及切線的

判定定理是解題的關鍵.

7.已知△28C內接于O。.

圖1圖2圖3

⑴如圖1,過點B作BD14C于點N,交。。于點D,過點4作4E1BC于點E,交BD于點M,試探究4M與2D

的數量關系，并說明理由；

⑵如圖2,在（1）的條件下，過點。作。H1BC于點H,試證明：AM=2OH-.

⑶如圖3,作ABAC的角平分線4D交圓。于點D,若點P為劣弧BC上一動點，連接PB、PC,過點。作D”1PC

于點H,試猜想算手的值是否是定值，如果是，請求出定值，如果不是，請說明理由.

Cn

【答案】（1）力M=理由見解析

⑵見解析

⑶今產的值是定值，定值為2.

Ln

【分析】（1）利用等角的余角相等求得=即可證明=

（2）過點C作直徑CF,連接BF,利用等角的余角相等求得=推出4M=8F,再根據垂徑定

理證明。”是△CBF的中位線，據此即可證明4M=2OH-

（3）在CH上截取CN=PB,證明△P8D三△NCD（SAS）,推出DP=ON,由等腰三角形的性質求得

PH=NH,推出PB+PC=2CH,據此即可求解.

【詳解】（1）解：AM=AD,理由如下，

-BDVAC,AELBC,

"AND=乙BEM=90°,

-CD=CDf

：,Z-CAD=乙CBD,

：/D=90°-^CAD=90°-乙CBD=乙BME,

.-.AM=AD；

(2)解：過點。作直徑Cr，連接BF,

?.￡F是直徑，

：^CBF=90°,

■:BD1AC,

"BNA=90°,

■,■CB=CB,

：.Z-F=Z-BAC,

：.Z-BCF=Z.ABD,

.?麗=福

；,BF=AD,

由⑴得24M=40,

：.AM=BF,

-OH1BC,

：.BH=CH,

-CO=OF,

??.OH是ACBF的中位線，

.-.OH==^AM,即ZM=20H；

(3)解：今薩的值是定值，定值為2,

C/7

在CH上截取CN=PB,連接DB,DC,DP,DN,

A

〃D

'：PD=PD,

.?/PBD=乙NCD,

??弘。是4b4c的平分線，

??.BD=CD,

：.BD=CD,

：.△PBD=△NCD(SAS),

；,DP=DN,

???DHJ.PC,

.'.PH=NH,

：.PB+PC=PN+CN+CN=2HN+2CN=2CH,

PB+PCc

CH=2.

【點睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，三角形中位線定理,等腰三角形的判定和性質，全等三角形

的判定和性質，正確引出輔助線解決問題是解題的關鍵.

8.己知直徑ZB、CD互相垂直，點M是市:上一動點，連力M、MC、MD.

ee

BB

圖1圖2

(1)如圖1,求證：MD-MC=V2MX；

【答案】(1)見解析

⑵見解析

【分析】(1)如圖L連接4C、AD.根據圖示知四邊形力MCD是圓內接四邊形，則由托勒密定理可以求得

MC-AD+AM-CD^AC-MD.根據垂徑定理、勾股定理易求AC=4。=曰CD,將其代入可以求得結論

MD—MC=^MAA；

(2)如圖2,連接BC、BD.則四邊形MCBD是圓內接四邊形，則由托密勒定理得到

MD-BC+MC-BD=MB-CD根據垂徑定理、勾股定理易求BC=BD=當CD

，則MD+MC=魚”8,結合(1)得到MQ2—MC2=(MD+MC}(JAD-MC)=岳”?=2AM-MB,

進而即可得到結論.

【詳解】(1)證明：如圖1,連接力C、AD.

???直徑43、CD互相垂直，

■■■AC=AD,ACAD=90°,

AC=AD=*CD.

由托勒密定理得到MC-AD+MA-CD=AC-MD,即MC?*D+MA-CD=*D-MD,

V2

■.MC+—MA=MD

MD-MC=&MA.

(2)證明：如圖2,連接BC、BD.

???直徑力B、CD互相垂直，

■.AC=AD,/.CAD=90°,

BC=BD=*D.

由托勒密定理得到MD-BC+MC-BD=MB-CD,即MD+MC=遮MB,

：.MD2-MC2=(MD+MC)(MD-MC)

=五AM-V2MB

=2AM-MB,

(MZ)2—MC2)(“。2一川。2)

-MA-MB-2,即-MA-MB-為定值.

A

圖1圖2

【點睛】本題考查了圓的綜合題.其中涉及到了垂徑定理，勾股定理，圓內接四邊形的性質.難度較大.

9.如圖，已知是O。中一條固定的弦，點C是優弧力CB上的一個動點(點C不與/、2重合).

圖2

交于點N,求證：Z.ACO=乙BCD.

(2)如圖2,設4B=8,半徑為5,若CE平分NACB,交。。于點E,四邊形力CBE的面積是否是定值？若

是定值，求出這個定值，若不是定值，求出四邊形ACBE面積的取值范圍.

【答案】⑴見解析

(2)8<S四邊形AEBCW4。

【分析】(1)作直徑CF,連接2F,運用圓周角定理解題即可.

(2)運用勾股定理求出。尸的值并通過S四邊形4EBC—^AABE+求出面積與的關系即可.

：./.FAC=90°,

.?ZACO=90°—4F,

?:CD1AB,

.?ZBDC=90。,

:/BCD=90。-48,

對于露ZF=ZB,

：.Z-ACO=乙BCD；

(2)解：如圖2,

圖2

"￡*平分乙4。8,

：.AE=BE,

???當。點在方方運動時，乙ACE=CBCE,連接OE,

^OEIAB,設垂足是尸,

：.AF=FB=4,

?-OF=y/OA^-AF2=3,

：,EF=OE-OF=2,

illi

.」S四邊形AEBC=^AABE+S^ABC=QAB?EF+-AB-CD=-x8x2+-x8-CD=8+4￡D

???當CD=C'F=8時,S四邊形AEBC最大為40.

...8<S四邊形.Be440.

【點睛】本題主要考查圓周角定理的運用，能夠運用圓周角定理證明角度關系，垂徑定理求線段長度是解

題關鍵.

10.如圖，已知BC是。0的弦，A是。。外一點，ZkABC為正三角形，D為BC的中點，M為。。上一點.

A

（1）若AB是。0的切線，求NBMC；

（2）在（1）的條件下，若E,F分別是AB,AC上的兩個動點，且NEDF=120。，的半徑為2,試問BE+CF

的值是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由.

【答案】（1）60°；（2）BE+CF的值是定值,BE+CF=V3.

【分析】（1）連接BO,由AB是切線可以得到NABO的度數，由AABC為等邊三角形，得到NOBC的度數，

然后得到NBOC,根據圓心角與圓周角的關系得到NBMC的度數.

（2）作DH1AB于H,DN1AC于N,連結AD,OD,如圖2,根據等邊三角形三角形的性質得AD平分

ZBAC,ZBAC=60°,則利用角平分線性質得DH=DN,根據四邊形內角和得NHDN=120。,由于NEDF=120。，所

11

以NHDE=NNDF,接著證明aDHE三zXDNF得至UHE=NF,于是BE+CF=BH+CN,再計算出BH斐BD,CN=-DC,則

BE+CF=|BC,于是可判斷BE+CF的值是定值，為等邊aABC邊長的一半，再計算BC的長即可.

【詳解】（1）解：如圖，連接BO,

■.■AB是圓的切線，

.-.ZABO=90°,

??,△ABC是等邊三角形,

.-.Z.ABC=60°,

.-.Z.CBO=90°-60°=30°,

vBO=CO,

.-.ZBCO=ZCBO=30°,

.-.Z.BOC=120°,

1

.,.Z.BMC=-Z-BOC=60°

（2）解：BE+CF的值是為定值.

理由：作DH1AB于H,DN1AC于N,連結AD,OD,如圖2,

???△ABC為正三角形，D為BC的中點,

???AD平分NBAC,ZBAC=60°,

.*.DH=DN,ZHDN=120°,

vZEDF=120°,

??ZHDENNDF,

^△DHE和4DNF中，

（4DHE=乙DNF

.?JDH=DN,

l乙HDE=Z.NDF

.-.△DHE=ADNF,

???HE=NF,

??.BE+CF=BH-EH+CN+NF=BH+CN,

在RtaDHB中，vzDBH=60°,

.-.BH=|BD,

同理可得CN=|OC,

.-.BE+CF=|DB+|DC=1BC,

VBD=V3,

??.BC=2V3,

???BE+CF=V3,

??.BE+CF的值是定值，為：V3.

【題型2動點最值問題】

F,BG與4D交于點H.

(1)求證：ZGBC=^BAC.

(2)如圖2,點。落在BG上.

①求證：△48C為等邊三角形;

②如圖3,若。。的半徑為2,點P是直線BD上的動點，將點P繞點。逆時針旋轉120。得點Q,連接

OP,OQ,PQ,BQ.求。P+8Q的最小值.

【答案】①見解析

⑵①見解析；②。P+BQ的最小值是2V7

【分析】(1)根據圓周角定理得出麗=而，乙4EC=90。，再由等腰三角形的性質得出NB4C=24C4D,

繼續利用圓周角定理即可證明;

(2)①由(1)=^BAC,根據垂徑定理的性質及等腰三角形的性質確定NCBA=NB4C=乙4CB,

再由等邊三角形的判定即可證明;

②連接。C,QC,如圖，則NBOC=120°,證明△BOPmaCOQ,得出NOCQ=NOBP,求出

乙BCQ=30°+60°=90°,故可判斷點。的運動軌跡是過點C且垂直于8c的直線，作點B關于CQ的對稱點

N,連接NQ,可得。、N、0三點共線時，OQ+NQ最小，OP+BQ取得最小值，然后解直角三角形求出。N

即可解決問題.

【詳解】(1)證明：?.“￡?是。。的直徑，弦BC1力。于點E,

-.BD=CD,AAEC=90°,

：./-BAD=Z.CAD.Z.CAE+zC=90°,

=2/.CAD,

???BG1/C于點產，

??ZBFC=90°,

.?ZCBF+4c=90。，

：./.CAE=乙CBF,即NC/。=Z.CBG,

：/GBC=^BAC-

(2)①證明：由(1)得NGBC=YB4C,

???點。落在BG上，BCLAD,BG1AC,

：/CBG=Z-ABG=乙BAD=Z.CAD,AB=AC,

.\Z-CBA=Z.BAC,Z-ABC=Z-ACB,

：.Z-CBA=Z.BAC=Z-ACB,

??.△ABC是等邊三角形；

②解：連接。&QC,如圖，貝!］。8=。。，ABOC=2/-BAC=120°,

"OCB=30°

MPOQ=120°,

：.Z-BOP=乙COQ,

-OB=OC,OP=OQ,

??.△BOPN2XCOQ,

：/OCQ=Z-OBP,

?：OB=OD/BOD=2乙BAD=60°,

.?.△BOD是等邊三角形，

.?zOCQ=Z.OBP=60°,

MOCB=30°,

:ZBCQ=300+60°=90°,

.??點Q的運動軌跡是過點C且垂直于BC的直線，

如圖，作點3關于CQ的對稱點M連接NQ,

則BQ=NQ,

：.OP+BQ=OQ+NQ,

.?.當OQ+NQ最小時，OP+BQ最小，

???兩點之間線段最短，

.??。、N、Q三點共線。Q+NQ最小，即。P+BQ最小，如圖所示，

在直角三角形BOE中，OB=2/0BE=30°,

：.OE=^OB=1,BE=W0E=V3,

.-.CN=BC=2BM=2V3,

??.NE=V3+2V3=3V3,

在直角三角形ONE中，ON=河2+EQ2=J12+(3V3)2=25

即。P+BQ的最小值是2V7.

【點睛】本題是圓的綜合題，主要考查了垂徑定理、等腰三角形的判定和性質、等邊三角形的判定和性質、

解直角三角形、勾股定理、旋轉和軸對稱的性質等知識，綜合性較強、難度較大，熟練掌握相關圖形的判

定和性質、正確添加輔助線、得出RQ+OR的最小值是解題關鍵.

12.如圖，四邊形4BCD內接于。。，4c為。。的直徑，乙ADB=4CDB.

⑴試判斷△力8c的形狀，并給出證明；

(2)若AB=V2,AD=1,求CD的長度.

⑶在（2）的條件下，如圖2,若E是線段4C上的動點，連接EB,將△BEC繞點B逆時針旋轉得到aABF,①

求證：人尸是。。的切線；②連接EF,如圖3,求EF的最小值.

【答案】⑴△A8C為等腰直角三角形，證明見解析

⑵6

⑶①證明見解析；②迎

【分析】（1）由4C為。。的直徑得乙48。=90。，再根據乙4DB=NCDB得通=就，即得=BC,即可

求證；

（2）利用勾股定理求出4C,進而利用勾股定理可求出CD的長度；

（3）①由等腰直角三角形的性質可得NB4C=N8Ca=45。，由旋轉的性質可得N84F=N8CE=45。，即

可得NC4F=NB4C+NB4F=90。，即可求證；②由旋轉的性質可得△EBF為等腰直角三角形，即得

EF=V2BE,當BE1AC時，BE最短，此時點E和圓心。重合，即BE的最小值等于圓的半徑1,據此即可求

解.

【詳解】（1）解：△力BC為等腰直角三角形.

證明：Tac為O。的直徑，

.-./LABC=90°,

?：Z-ADB=乙CDB,

：.AB—BC,

.,.AB=BC,

??.△ZBC為等腰直角三角形；

（2）解：?.?AB=BC=凡A.ABC=90°,

：.AC—y[2AB=V2xV2=2,

???AC為。。的直徑，

：.Z.ADC=90°,

'-CD=7AC2—AD2=422—12=V3；

（3）①證明：???△48C為等腰直角三角形，

.-.^BAC=ABCA=45°,

由旋轉可得，NB4F=NBCE=45。，

：./.CAF=4BAC+^BAF=45°+45°=90°,

即4C14F,

“C為o。的直徑，

MF是。。的切線；

②由旋轉可得，△BAFwABCE,

：.BF=BE,Z.ABF="BE,

■.^ABF+乙ABE=乙CBE+AABE=^ABC=90°,

即NEBF=90°,

??.△EBF為等腰直角三角形，

.,,EF=s[2BE,

當BE1AC時，BE最短，此時點E和圓心0重合，即BE的最小值等于圓的半徑1,

??.EF的最小值為魚.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，圓周角定理，弧、弦、圓心角的關系，等腰直角三角形的判定和性質，

切線的判定，勾股定理，掌握以上知識點是解題的關鍵.

13.如圖，在矩形4BCD中，AD=4,^BAC=30°,點。為對角線力C上的動點(不與2、C重合)，以點。為

圓心在4C下方作半徑為2的半圓0,交2C于點E、F.

D\---------------------------

⑴當半圓。過點力時，求半圓。被4B邊所截得的弓形的面積；

⑵若M為麗的中點，在半圓。移動的過程中，求BM的最小值；

⑶當半圓。與矩形4BCD的邊相切時，求4E的長.

【答案】⑴半圓。被4B邊所截得的弓形的面積為凱―舊

(2)當點M在BF上時，BM有最小值，最小值為2-一2；

⑶2E的長為2或6—竽.

【分析】(1)設半圓。與4B交于H,過點。作0N1AB于N,由直角三角形的性質和等腰三角形的性質可求

AN=NH=2?乙4。"=2/20N=120。，由扇形面積公式和三角形面積公式可求解；

(2)過點B作8Plzc于P,由題意可得點M在平行于"且與"的距離為1的直線上，則當點M在斯上時,

8M有最小值，即可求解；

(3)分兩種情況討論，由直角三角形的性質可求解.

【詳解】(1)解：如圖1,設半圓。與力B交于H,過點。作0N14B于N,

ABAC=30°,ONLAB,

???ON=1,AN=>/3ON=V3,N力。N=60°,

???OA=OH,ONLAB,

???AN=NH=V3,^AOH=24AoN=120°,

???半圓。被4B邊所截得的弓形的面積=胃歲一Jx2Kxi=3一班;

□oUZ3

(2)解：如圖2,過點B作BP1AC于P,

乙BAC=30°,

AB=V3SC=4V3,AC=2BC=8,

vBF1AC,ABAC=30°,

BP=^AB=2V3,

???M為麗的中點，

.??OMIAC,OM=2,

???點M在平行于AC且與4c的距離為2的直線上,

二當點M在BF上時，BM有最小值，即最小值=2遮一2；

(3)解：如圖，當半圓。與力B相切于點G,連接。G,

???^CAB=30°,

???AO—20G—4,

.??/E=AO—OE=4—2=2；

當半圓。與BC相切于點M,連接OM,

??.O'MIBC,

???Z-COrM="AB=30°,

??.O'C=2x^=迫

V33

AE'=8-2-蟲=6-%

33

綜上所述：4E的長為2或6—竽.

【點睛】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關知識，切線的性質，扇形面積公式，利用分類討論思想解決

問題是本題的關鍵.

14.問題背景：在Rt△ABC中，乙4=90。，AB=AC,由勾股定理可知：BC=&AB.

⑴問題探究：如圖①，BC是O。的直徑，點4在O。上，AB=AC,P為弧BmC上一動點（不與B,C重

合），求證：=PB+PC.請你根據圖中所給的輔助線，寫出具體作法并完成證明過程.

（2）類比遷移：如圖②，。。的半徑為4,點4B在。。上，C為。。內一點，AB=AC,ABLAC,垂足為

A,求0C的最小值.

【答案】（1）見解析

（2）472-4

【分析】（1）將繞點N順時針旋轉90。到△4BQ的位置，由旋轉的性質可得：Z.QBA=Z.PCA,

AP=AQ,PC=QB,根據圓的內接四邊形的性質可證點。，點8,點尸共線，根據勾股定理可證血

PA=PQ=PB+PC；

（2）連接。4將△CMC繞點/順時針旋轉90。至△瓦4B,連接。8,0E,則可得EB=。。，AE=。4=4,

/-EAB=L.OAC,根據勾股定理可求0E=4V2,根據三角形三邊關系可得BE>0E-OB=4V2-4（當點B

在0E上時，取等號)，即可求0C的最小值.

【詳解】⑴將繞點/順時針旋轉90。到△ABQ的位置，

證明：???8C是直徑，

：.^BAC=90°=ABPC,

■：AB=AC,

：./.ACB=/.ABC=45°,

由旋轉可得“B4=NPCA,PA=AQ,PC=QB,

?■■^PCA+APBA=180°,

：./.QBA+乙PBA=180°,

■■Q,B,P三點共線，

：./.QAB+Z.BAP=/.BAP+"AC=90°,

：.QP2=AP2+AQ2=24P2,

：.QP=aAP=QB+BP=PC+PB,

力AP=PC+PB；

(2)

如圖②：連接。4將△。4C繞點/順時針旋轉90。至△EAB,連接。B,OE,

,：AB1AC,

：.Z-BAC=90°,

由旋轉可得：EB=OC,AE=OA=4,AEAB=AOAC,

：.Z.EAB+乙BAO=2BAO+Z.OAC=90°,

.?.在Rt△CME中，OE=7AE2+4。2=4vL

vBE>OE-OB-4V2-4（當點3在。E上時，取等號），

???OC最小值是4/一4.

【點睛】本題考查圓綜合題、全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的判定和性質、勾股定理.三角

形的三邊關系等知識，解題的關鍵是學會利用旋轉法添加常用輔助線，構造全等三角形或相似三角形解決

問題，屬于中考壓軸題.

15.【問題呈現】小華在一次學習過程中遇到了下面的問題：

點4為。。內一定點，點P為。。上一動點，確定點P的位置，使線段4P最長.

【問題解決】以下是小華的方法：

如圖①，連結4。并延長交。。于點P,點P為所求.

理由如下：在O。上取點P'（異于點P）,連結API0P'.

接下來只需證明4P>AP.

請你補全小華的證明過程.

【類比結論】點力為。。外一定點，點P為。。上一動點，設。。的半徑為r,4。的長為機，則線段4P長度

的最大值為，線段力P長度的最小值為.（用含八爪的代數式表示）

【拓展延伸】如圖②，在半圓。中，直徑力B的長為10,點D在半圓。上，2。=6,點C在麗上運動，連結

AC,“是4C上一點，且ND”C=90。，連結B凡在點C運動的過程中，線段長度的最小值為.

【答案】【問題解決】見解析；【類比結論】m+r,m—r；【拓展延伸】V73-3

【分析】本題是圓的綜合題，考查點與圓的位置關系、勾股定理、圓周角定理等知識，解題的關鍵是學會

添加常用輔助線并能夠根據點的運動情況確定H點的運動軌跡是解題的關鍵.

［問題解決］根據三角形三邊關系求解即可；

［類比結論］結合晌題解決怵解即可；

［拓展延伸］取4。的中點連接BD,HM,由題意點H在以“為圓心，MD為半徑的OM上，推出當M、

H、B共線時，的值最小.

【詳解】解：［問題解決］如圖①，連接4。并延長交。。于點P,點P為所求.

p

理由如下：在O。上取點P'（異于點P）,連接4P'、0P'.

在△AOP，中，o4+op，>ap-

???OP=OP',

OA+OP>AP',

即4P>AP'；

［類比結論］如圖，線段4。交。。于點P,4。的延長線交O。于點P,

由［問題解決］知，此時4P長度最大為。4+0P=爪+r,

當點P在P位置時，4P長度最小為。4—OP=zn—r,

線段2P長度的最大值為巾+r,線段4P長度的最小值為m-r,

故答案為：m+r；m-r；

［拓展延伸］解：如圖②，取2。的中點M,連接BD,HM,BM.

???ADHC=90°,

:?乙AHD=90°,

???點H在以M為圓心，MD為半徑的OM上,

???MH=MD=^AD=3,

???當M、H、B共線時，BH的值最小,

???AB是直徑，

.-.Z.ADB=90°,

BD=7AB2一力。2=V102-62=8,

???BM=VFD2+MZJ2=,82+32=V73，

的最