高級中學名校試卷PAGEPAGE1山西省晉城市2025屆高三上學期第一次模擬考試數學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數，則的共軛復數為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為，所以.故選：A.2.已知集合且，則的元素個數為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】在集合中且，有三個元素，所以，則的元素個數為3.故選：C.3.若向量,，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為向量,，且，則，即，解得.故選：A.4.若甲、乙、丙、丁、戊隨機站成一排，則甲、乙不同時站兩端的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為甲，乙同時站兩端的概率為，所以甲，乙不同時站兩端的概率為.故選：B.5.若函數在上單調遞減，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析∵，∴，由題意得，對恒成立，則對恒成立．∵函數在上為減函數，∴，∴，即的取值范圍為．故選：D.6.已知為定義在上的奇函數，，當時，單調遞減，當時，單調遞增，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為為定義在上的奇函數，所以，又，所以，根據題意作出的大致圖象，如下圖所示，等價于，或，由圖可得.故選：D.7.已知雙曲線的左、右焦點分別為，為的右支上一點，，則的離心率為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】依題意得，的離心率為，在中，由正弦定理可得，故選：B.8.設表示中最大的數.已知均為正數，則的最小值為（）A. B.2 C. D.3【答案】D【解析】設.因為為正數，所以，當且僅當，即時，等號成立，則.因為為正數，所以，當且僅當，即時，等號成立，則.所以，則的最小值為3.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選耤的得0分.9.已知曲線，則（）A.曲線不可能是一個圓B.曲線可能為一條直線C.當且時，曲線的準線方程為D.當時，曲線關于直線對稱【答案】BC【解析】取，得，即，A錯誤.取時，該方程為，B正確.當且時，，曲線的準線方程是，C正確.當時，該方程為，即，曲線關于直線對稱，D錯誤.故選：BC.10.已知函數，則（）A.與的最小正周期相等B.當時，C.與的圖象在上有2個交點D.與在上的單調性相同【答案】ABD【解析】與的最小正周期均為，A正確；若，則，B正確；作出與在上的大致圖象，如圖所示.由圖可知，與的圖象在上只有1個交點，與在上均為增函數.C錯誤，D正確.故選：ABD.11.已知正棱錐的體積為，則其側棱長可能為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】CD【解析】設正棱錐的側棱長為，底面正多邊形的外接圓的半徑為，則，則正棱錐的高，正棱錐的底面多邊形的面積，所以正棱錐的體積，其中，令，可得.設函數，則.當時，單調遞增；當時，單調遞減.可知，則，解得.故選：CD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若為銳角三角形的三條邊，則直線與圓的位置關系是__________.【答案】相交【解析】由題意可知，則，圓的圓心到直線的距離.所以直線與圓相交.故答案為：相交.13.已知一組數據的第60百分位數為2，其中，則這組數據的極差為__________.【答案】2或3【解析】因為，故第60百分位數為第5位數，當時，將數據從小到大排列為，第5位數為2，滿足題意，此時極差為，當時，將數據從小到大排列為，第5位數為2，滿足題意，此時極差為，當時，將數據從小到大排列為，第5位數為，不滿足題意，故這組數據的極差為2或3.故答案為：2或3.14.如圖，現有一個半球形容器（有蓋），其表面積為平方分米，忽路容器的厚度，若在該容器內放入兩個半徑均為分米的球，則的最大值為__________.（結果精確到0.1）.【答案】或【解析】設半球形容器對應的半球的半徑為分米，則該容器表面積為平方分米，得.根據對稱性可知，當兩個球外切且均與半球相切（與球面相切，且與容器蓋所在平面相切）時，取得最大值，這也相當于求半徑為10分米的四分之一個球的內切球，如圖，由，得.故答案：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在四棱錐中，底面為矩形，且．（1）證明：平面底面．（2）若，，，，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：因為底面為矩形，所以，又，，平面，所以平面．因為底面，所以平面底面．（2）解：由（1）得，，又，以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，因為，，則，，，，則，，設，因為，則，解得，所以，則．設平面的一個法向量為，則由，得，令，得．因為，所以直線與平面所成角的正弦值為．16.設函數.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）當時，討論的單調性.解：（1）當時，，則，則曲線在點處的切線斜率為，因為，所以曲線在點處的切線方程為；（2）的定義域為，當時，，令，則，當時，，上單調遞減，當時，，在上單調遞增，且，當時，，則，此時，在上單調遞增.當時，令，得.當時，單調遞增；當時，單調遞減；當時，單調遞增.綜上，當時，在上單調遞增，當時，在上單調遞增，在上單調遞減.17.甲、乙、丙人進行跳棋比賽，人兩兩各進行局，共進行局，贏的局數多者獲勝，且這人只有人可獲勝，若沒有獲勝者，則這人兩兩再各進行局，若還沒有獲勝者，則比賽結束.假設甲、乙、丙每人每局贏的概率均為，每局是平局的概率均為，每人每局的結果相互獨立.設每贏局得分，平局得分，輸局得分.（1）求該跳棋比賽前局沒有獲勝者且乙和丙的得分相等的概率；（2）已知前局中甲、乙、丙各贏局，這人兩兩再各進行局，記甲在這局中獲得的總分為，求的分布列與數學期望.解：（1）依題意可得乙和丙不可能都得分或分，則乙和丙可能都得分或分，當乙和丙都得分時，這局均為平局或這局每人各贏局；當乙和丙都得分時，乙與丙都贏了甲且乙與丙的對局結果為平局.所以該跳棋比賽前局沒有獲勝者且乙和丙的得分相等的概率為.（2）依題意可得的可能取值為，則，，，，，則的分布列為：65432故.18.若數列是等差數列，則稱與互為和等差數列.已知為數列的前項和.（1）若，試問與是否互為和等差數列？說明你的理由.（2）設為等比數列，，且與互為和等差數列.①求的通項公式；②設，求數列的前項和.解：（1）當時，，滿足上式，因此，而，則，，所以與互為和等差數列.（2）①數列中，，由，得，當時，，即，則，又，因此數列是首項為，公比為2的等比數列，，即，由與互為和等差數列，得數列為等差數列，又為等比數列，所以的通項公式為.②，所以.19.已知橢圓的離心率為，過定點的直線與交于兩點，直線的斜率不為0.（1）求的長軸長.（2）若，證明：直線的斜率之和為定值.（3）若，設直線分別交于都異于兩點，且的斜率存在，證明直線過定點，并求出定點坐標.（1）解：因為橢圓的離心率為，所以，可得，因為，故，所以的長軸長為.（2）證明：設直線.聯立得，則，得，，設直線的斜率分別為，則，所以直線的斜率之和為定值0.（3）解：設且且，則且得，將代入得，與聯立，解得，同理可得，又直線過點，則，代入并化簡可得.設直線過定點，則，代入數據并化簡可得，對比系數可得，解得，則直線過定點.山西省晉城市2025屆高三上學期第一次模擬考試數學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數，則的共軛復數為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為，所以.故選：A.2.已知集合且，則的元素個數為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】在集合中且，有三個元素，所以，則的元素個數為3.故選：C.3.若向量,，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為向量,，且，則，即，解得.故選：A.4.若甲、乙、丙、丁、戊隨機站成一排，則甲、乙不同時站兩端的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為甲，乙同時站兩端的概率為，所以甲，乙不同時站兩端的概率為.故選：B.5.若函數在上單調遞減，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析∵，∴，由題意得，對恒成立，則對恒成立．∵函數在上為減函數，∴，∴，即的取值范圍為．故選：D.6.已知為定義在上的奇函數，，當時，單調遞減，當時，單調遞增，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為為定義在上的奇函數，所以，又，所以，根據題意作出的大致圖象，如下圖所示，等價于，或，由圖可得.故選：D.7.已知雙曲線的左、右焦點分別為，為的右支上一點，，則的離心率為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】依題意得，的離心率為，在中，由正弦定理可得，故選：B.8.設表示中最大的數.已知均為正數，則的最小值為（）A. B.2 C. D.3【答案】D【解析】設.因為為正數，所以，當且僅當，即時，等號成立，則.因為為正數，所以，當且僅當，即時，等號成立，則.所以，則的最小值為3.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選耤的得0分.9.已知曲線，則（）A.曲線不可能是一個圓B.曲線可能為一條直線C.當且時，曲線的準線方程為D.當時，曲線關于直線對稱【答案】BC【解析】取，得，即，A錯誤.取時，該方程為，B正確.當且時，，曲線的準線方程是，C正確.當時，該方程為，即，曲線關于直線對稱，D錯誤.故選：BC.10.已知函數，則（）A.與的最小正周期相等B.當時，C.與的圖象在上有2個交點D.與在上的單調性相同【答案】ABD【解析】與的最小正周期均為，A正確；若，則，B正確；作出與在上的大致圖象，如圖所示.由圖可知，與的圖象在上只有1個交點，與在上均為增函數.C錯誤，D正確.故選：ABD.11.已知正棱錐的體積為，則其側棱長可能為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】CD【解析】設正棱錐的側棱長為，底面正多邊形的外接圓的半徑為，則，則正棱錐的高，正棱錐的底面多邊形的面積，所以正棱錐的體積，其中，令，可得.設函數，則.當時，單調遞增；當時，單調遞減.可知，則，解得.故選：CD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若為銳角三角形的三條邊，則直線與圓的位置關系是__________.【答案】相交【解析】由題意可知，則，圓的圓心到直線的距離.所以直線與圓相交.故答案為：相交.13.已知一組數據的第60百分位數為2，其中，則這組數據的極差為__________.【答案】2或3【解析】因為，故第60百分位數為第5位數，當時，將數據從小到大排列為，第5位數為2，滿足題意，此時極差為，當時，將數據從小到大排列為，第5位數為2，滿足題意，此時極差為，當時，將數據從小到大排列為，第5位數為，不滿足題意，故這組數據的極差為2或3.故答案為：2或3.14.如圖，現有一個半球形容器（有蓋），其表面積為平方分米，忽路容器的厚度，若在該容器內放入兩個半徑均為分米的球，則的最大值為__________.（結果精確到0.1）.【答案】或【解析】設半球形容器對應的半球的半徑為分米，則該容器表面積為平方分米，得.根據對稱性可知，當兩個球外切且均與半球相切（與球面相切，且與容器蓋所在平面相切）時，取得最大值，這也相當于求半徑為10分米的四分之一個球的內切球，如圖，由，得.故答案：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在四棱錐中，底面為矩形，且．（1）證明：平面底面．（2）若，，，，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：因為底面為矩形，所以，又，，平面，所以平面．因為底面，所以平面底面．（2）解：由（1）得，，又，以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，因為，，則，，，，則，，設，因為，則，解得，所以，則．設平面的一個法向量為，則由，得，令，得．因為，所以直線與平面所成角的正弦值為．16.設函數.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）當時，討論的單調性.解：（1）當時，，則，則曲線在點處的切線斜率為，因為，所以曲線在點處的切線方程為；（2）的定義域為，當時，，令，則，當時，，上單調遞減，當時，，在上單調遞增，且，當時，，則，此時，在上單調遞增.當時，令，得.當時，單調遞增；當時，單調遞減；當時，單調遞增.綜上，當時，在上單調遞增，當時，在上單調遞增，在上單調遞減.17.甲、乙、丙人進行跳棋比賽，人兩兩各進行局，共進行局，贏的局數多者獲勝，且這人只有人可獲勝，若沒有獲勝者，則這人兩兩再各進行局，若還沒有獲勝者，則比賽結束.假設甲、乙、丙每人每局贏的概率均為，每局是平局的概率均為，每人每局的結果相互獨立.設每贏局得分，平局得分，輸局得分.（1）求該跳棋比賽前局沒有獲勝者且乙和丙的得分相等的概率；（2）已知前局中甲、乙、丙各贏局，這人兩兩再各進行局，記甲在這局中獲得的總分為，求的分布列與數學期望.解：（1）依