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高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省湛江市2025屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知集合,()A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可得,則.故選:C.2.復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得,則.故選:B.3.已知是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,且,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】當直線相交且垂直時,平面可以相互平行,當時,直線可以平行,則“”是“”的既不充分也不必要條件,故選:D.4.已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為,且,則雙曲線的離心率是()A. B.3 C. D.【答案】B【解析】依題意,,由,得,因此,而雙曲線漸近線方程為,則,所以雙曲線的離心率是.故選:B.5.在中,角的對邊分別是,若,且,則的最小值是()A. B.2 C. D.【答案】B【解析】因為,由正弦定理,得.因為,所以,所以,所以.因為,所以,則.由余弦定理,得,當且僅當時,等號成立,所以,即的最小值為.故選:B.6.已知函數(shù)滿足,且是奇函數(shù),若,則()A.-6 B.-3 C.3 D.6【答案】C【解析】因為是奇函數(shù),所以,所以.因為,所以,所以,即是周期為4的周期函數(shù),則.故選:C.7.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著之一,其中記載了關(guān)于粟米分配的問題.現(xiàn)將14斗粟米分給4個人,每人分到的粟米斗數(shù)均為整數(shù),每人至少分到1斗粟米,則不同的分配方法有()A.715種 B.572種 C.312種 D.286種【答案】D【解析】本題可轉(zhuǎn)化為將14個大小相同,質(zhì)地均勻的小球分給甲,乙,丙,丁4個人,每人至少分1個,利用隔板法在中間13個空隙(兩端除外)當中插入3個隔板,可得分配的方案數(shù)為,所以不同的分配方法有286種.故選:D.8.在三棱錐中,,其他棱長都是,則三棱錐外接球的表面積是()A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖,取棱的中點,連接,則,且,設(shè)外接圓的圓心為,三棱錐外接球的球心為,連接,作,垂足為.由題意得.因為,所以,所以.又,平面,所以平面,則.設(shè)三棱錐外接球的半徑為,則,即,解得,故三棱錐外接球的表面積是.故選:D.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項甲,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.某教育行政部門為了解某校教師“學(xué)習(xí)強國”的得分情況,隨機調(diào)查了該校的50位教師,這50位教師12月份的日均得分單位:分統(tǒng)計情況如下表:得分頻數(shù)5152010根據(jù)表中數(shù)據(jù),下列結(jié)論正確的是()A.這50位教師12月份的日均得分的中位數(shù)不低于25B.這50位教師12月份的日均得分不低于15分的比例超過C.這50位教師12月份的日均得分的極差介于20至40之間D.這50位教師12月份的日均得分的平均值介于30至35之間同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表【答案】ABC【解析】對于A,這50位教師12月份的日均得分在的人數(shù)為,日均得分在的人數(shù)為,因此這50位教師12月份的日均得分的中位數(shù)不低于25,A正確;對于B,這50位教師12月份的日均得分不低于15分的比例為:,B正確;對于C,這50位教師12月份日均得分的極差屬于,C正確;對于D,這50位教師12月份的日均得分的平均值為:,D錯誤.故選:ABC.10.已知函數(shù),則()A.最小正周期為 B.的圖象關(guān)于點對稱C.在上單調(diào)遞減 D.的值域為【答案】ABD【解析】因為,且當時,;當時,,所以的最小正周期為,則A正確.因為,所以的圖象關(guān)于點對稱,則B正確.當時,.設(shè),則函數(shù),所以.由,得或;由,得.故在和上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.當時,即.因為,所以在上不單調(diào),則C錯誤.因為所以在上的值域為.因為的最小正周期為,所以的值域為,則D正確.故選:ABD.11.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美的曲線,曲線就是其中之一?則下列結(jié)論正確的是()A.曲線關(guān)于軸對稱B.曲線上任意一點到原點的距離都不超過2C.曲線上任意一點到原點的距離等于到直線的距離D.若是曲線上任意一點,則的最大值為【答案】ABD【解析】對于A,若點在曲線上,則都滿足曲線的方程,所以曲線關(guān)于軸對稱,故A正確;對于B,設(shè)點在曲線上,根據(jù)選項A,同理可得曲線關(guān)于軸,坐標原點對稱,由曲線的對稱性可令,則,所以,則,所以曲線上任意一點到原點的距離都不超過2,故B正確;對于C,易知是上一點,該點到原點的距離不等于到直線的距離,故C錯誤;對于D,由曲線的對稱性可知,當點位于第二象限時,取得最大值,所以,令,將代入,可得,解得,即的最大值為,故D正確.故選:ABD.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.已知單位向量滿足,則向量夾角的弦值是______.【答案】【解析】因為,平方可得:,所以,則.故答案為:.13.若圓上恰有兩個點到直線的距離為,則的取值范圍是______.【答案】【解析】由題意可知,圓的圓心為,半徑為,圓心到直線的距離,由于圓上恰有兩個點到直線的距離為,則,即,解得或.因此,實數(shù)的取值范圍是.故答案為:.14.已知函數(shù),且,則______.【答案】2【解析】由題意得的定義域為,則.由,得,即.設(shè)函數(shù),易得在上單調(diào)遞增.因為,所以,即.故.故答案為:2.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.蛇年來臨之際,某商場計劃安排新春抽獎活動,方案如下:1號不透明的盒子中裝有標有“吉”“安”“和”字樣的小球,2號不透明的盒子中裝有標有“祥”“康”“順”字樣的小球,顧客先從1號不透明的盒子中取出1個小球,再從2號不透明的盒子取出1個小球,若這2個球上的字組成“吉祥”“安康”“和順”中的一個詞語,則這位顧客中獎,反之沒有中獎,每位顧客只能進行一輪抽獎.已知顧客從不透明的盒子取出標有“吉”“安”“和”“祥”“康”“順”字樣小球的概率均為,且顧客取出小球的結(jié)果相互獨立.(1)求顧客中獎的概率;(2)若小明一家三口參加這個抽獎活動,求小明全家中獎次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.解:(1)顧客取出的2個小球的字樣組成“吉祥”的概率為,顧客取出的2個小球的字樣組成“安康”的概率為,顧客取出的2個小球的字樣組成“和順”的概率為,綜上,顧客中獎的概率為;(2)設(shè)小明全家中獎的次數(shù)為,則,,,,,則的分布列為0123所以.16.如圖,在多面體中,四邊形是菱形,,,,,.(1)證明:平面.(2)求平面與平面夾角的正弦值.(1)證明:因為四邊形是菱形,且,所以.因為,所以,所以因為,所以.因為平面,且,所以平面因為平面,所以.因為四邊形是菱形,所以.因為平面,且,所以平面.(2)解:記,以為原點,方向分別為軸的正方向,平行向上為軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系.設(shè),則,則.設(shè)平面的一個法向量為,則令,得.設(shè)平面的一個法向量為則令,得.設(shè)平面與平面的夾角為,則,故.17.已知函數(shù).(1)當時,求曲線在點處的切線方程;(2)討論的單調(diào)性.解:(1)當時,,則,從而,故所求切線方程為,即(或).(2)由題意可得的定義域為.當,即時,由,得,由,得,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.當,即時,由,得或,由,得,則在上單調(diào)遞減,在和上單調(diào)遞增.當,即時,恒成立,則在上單調(diào)遞增.當,即時,由,得或,由,得,則在上單調(diào)遞減,在和上單調(diào)遞增.綜上,當時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;當時,在上單調(diào)遞減,在和上單調(diào)遞增;當時,在上單調(diào)遞增;當時,在上單調(diào)遞減,在和上單調(diào)遞增.18.已知和為橢圓上兩點.(1)求橢圓的方程;(2)若點在橢圓上,是橢圓的兩焦點,且,求的面積;(3)過點的直線與橢圓交于兩點,證明:為定值.解:(1)由題意得,解得,所以橢圓的方程為.(2)由題可知在中,由余弦定理得則即所以,故的面積是.(3)當?shù)男甭蕿?時,.當?shù)男甭什粸?時,設(shè)直線的方程為聯(lián)立,得,此時.,故為定值.19.若數(shù)列的首項,對任意的,都有(為常數(shù),且),則稱為有界變差數(shù)列,其中為數(shù)列的相鄰兩項差值的上界.已知數(shù)列是有界變差數(shù)列,的前項和為.(1)當時,證明:.(2)當中各項都取最大值時,對任意的恒成立,求的最大值;(3)當中各項都取最大值時,,數(shù)列的前項和為,若對任意的,都有,求的取值范圍.(1)證明:當時,,則.當時,,滿足,故,當且僅當時,等號成立.(2)解:因為,所以,當時,滿足上式,所以.所以不等式可化為,所以,.因為,所以,所以,而,當且僅當時,等號成立.因為對任意的恒成立,所以,因為,所以.(3)解:由(2)可得,則,設(shè),則,所以,所以,因為對任意的,都有,所以,即.當為奇數(shù)時,,即,所以,所以為遞減數(shù)列,則;當為偶數(shù)時,,所以,因為,所以為遞增數(shù)列,則.綜上,的取值范圍為.廣東省湛江市2025屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知集合,()A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可得,則.故選:C.2.復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得,則.故選:B.3.已知是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,且,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】當直線相交且垂直時,平面可以相互平行,當時,直線可以平行,則“”是“”的既不充分也不必要條件,故選:D.4.已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為,且,則雙曲線的離心率是()A. B.3 C. D.【答案】B【解析】依題意,,由,得,因此,而雙曲線漸近線方程為,則,所以雙曲線的離心率是.故選:B.5.在中,角的對邊分別是,若,且,則的最小值是()A. B.2 C. D.【答案】B【解析】因為,由正弦定理,得.因為,所以,所以,所以.因為,所以,則.由余弦定理,得,當且僅當時,等號成立,所以,即的最小值為.故選:B.6.已知函數(shù)滿足,且是奇函數(shù),若,則()A.-6 B.-3 C.3 D.6【答案】C【解析】因為是奇函數(shù),所以,所以.因為,所以,所以,即是周期為4的周期函數(shù),則.故選:C.7.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著之一,其中記載了關(guān)于粟米分配的問題.現(xiàn)將14斗粟米分給4個人,每人分到的粟米斗數(shù)均為整數(shù),每人至少分到1斗粟米,則不同的分配方法有()A.715種 B.572種 C.312種 D.286種【答案】D【解析】本題可轉(zhuǎn)化為將14個大小相同,質(zhì)地均勻的小球分給甲,乙,丙,丁4個人,每人至少分1個,利用隔板法在中間13個空隙(兩端除外)當中插入3個隔板,可得分配的方案數(shù)為,所以不同的分配方法有286種.故選:D.8.在三棱錐中,,其他棱長都是,則三棱錐外接球的表面積是()A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖,取棱的中點,連接,則,且,設(shè)外接圓的圓心為,三棱錐外接球的球心為,連接,作,垂足為.由題意得.因為,所以,所以.又,平面,所以平面,則.設(shè)三棱錐外接球的半徑為,則,即,解得,故三棱錐外接球的表面積是.故選:D.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項甲,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.某教育行政部門為了解某校教師“學(xué)習(xí)強國”的得分情況,隨機調(diào)查了該校的50位教師,這50位教師12月份的日均得分單位:分統(tǒng)計情況如下表:得分頻數(shù)5152010根據(jù)表中數(shù)據(jù),下列結(jié)論正確的是()A.這50位教師12月份的日均得分的中位數(shù)不低于25B.這50位教師12月份的日均得分不低于15分的比例超過C.這50位教師12月份的日均得分的極差介于20至40之間D.這50位教師12月份的日均得分的平均值介于30至35之間同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表【答案】ABC【解析】對于A,這50位教師12月份的日均得分在的人數(shù)為,日均得分在的人數(shù)為,因此這50位教師12月份的日均得分的中位數(shù)不低于25,A正確;對于B,這50位教師12月份的日均得分不低于15分的比例為:,B正確;對于C,這50位教師12月份日均得分的極差屬于,C正確;對于D,這50位教師12月份的日均得分的平均值為:,D錯誤.故選:ABC.10.已知函數(shù),則()A.最小正周期為 B.的圖象關(guān)于點對稱C.在上單調(diào)遞減 D.的值域為【答案】ABD【解析】因為,且當時,;當時,,所以的最小正周期為,則A正確.因為,所以的圖象關(guān)于點對稱,則B正確.當時,.設(shè),則函數(shù),所以.由,得或;由,得.故在和上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.當時,即.因為,所以在上不單調(diào),則C錯誤.因為所以在上的值域為.因為的最小正周期為,所以的值域為,則D正確.故選:ABD.11.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美的曲線,曲線就是其中之一?則下列結(jié)論正確的是()A.曲線關(guān)于軸對稱B.曲線上任意一點到原點的距離都不超過2C.曲線上任意一點到原點的距離等于到直線的距離D.若是曲線上任意一點,則的最大值為【答案】ABD【解析】對于A,若點在曲線上,則都滿足曲線的方程,所以曲線關(guān)于軸對稱,故A正確;對于B,設(shè)點在曲線上,根據(jù)選項A,同理可得曲線關(guān)于軸,坐標原點對稱,由曲線的對稱性可令,則,所以,則,所以曲線上任意一點到原點的距離都不超過2,故B正確;對于C,易知是上一點,該點到原點的距離不等于到直線的距離,故C錯誤;對于D,由曲線的對稱性可知,當點位于第二象限時,取得最大值,所以,令,將代入,可得,解得,即的最大值為,故D正確.故選:ABD.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.已知單位向量滿足,則向量夾角的弦值是______.【答案】【解析】因為,平方可得:,所以,則.故答案為:.13.若圓上恰有兩個點到直線的距離為,則的取值范圍是______.【答案】【解析】由題意可知,圓的圓心為,半徑為,圓心到直線的距離,由于圓上恰有兩個點到直線的距離為,則,即,解得或.因此,實數(shù)的取值范圍是.故答案為:.14.已知函數(shù),且,則______.【答案】2【解析】由題意得的定義域為,則.由,得,即.設(shè)函數(shù),易得在上單調(diào)遞增.因為,所以,即.故.故答案為:2.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.蛇年來臨之際,某商場計劃安排新春抽獎活動,方案如下:1號不透明的盒子中裝有標有“吉”“安”“和”字樣的小球,2號不透明的盒子中裝有標有“祥”“康”“順”字樣的小球,顧客先從1號不透明的盒子中取出1個小球,再從2號不透明的盒子取出1個小球,若這2個球上的字組成“吉祥”“安康”“和順”中的一個詞語,則這位顧客中獎,反之沒有中獎,每位顧客只能進行一輪抽獎.已知顧客從不透明的盒子取出標有“吉”“安”“和”“祥”“康”“順”字樣小球的概率均為,且顧客取出小球的結(jié)果相互獨立.(1)求顧客中獎的概率;(2)若小明一家三口參加這個抽獎活動,求小明全家中獎次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.解:(1)顧客取出的2個小球的字樣組成“吉祥”的概率為,顧客取出的2個小球的字樣組成“安康”的概率為,顧客取出的2個小球的字樣組成“和順”的概率為,綜上,顧客中獎的概率為;(2)設(shè)小明全家中獎的次數(shù)為,則,,,,,則的分布列為0123所以.16.如圖,在多面體中,四邊形是菱形,,,,,.(1)證明:平面.(2)求平面與平面夾角的正弦值.(1)證明:因為四邊形是菱形,且,所以.因為,所以,所以因為,所以.因為平面,且,所以平面因為平面,所以.因為四邊形是菱形,所以.因為平面,且,所以平面.(2)解:記,以為原點,方向分別為軸的正方向,平行向上為軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系.設(shè),則,則.設(shè)平面的一個法向量為,則令,得.設(shè)平面的一個法向量為則令,得.設(shè)平面與平面的夾角為,則,故.17.已知函數(shù).(
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