高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省湛江市2025屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可得，則.故選：C.2.復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得，則．故選：B.3.已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，且，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】當直線相交且垂直時，平面可以相互平行，當時，直線可以平行，則“”是“”的既不充分也不必要條件，故選：D.4.已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，且，則雙曲線的離心率是（）A. B.3 C. D.【答案】B【解析】依題意，，由，得，因此，而雙曲線漸近線方程為，則，所以雙曲線的離心率是.故選：B.5.在中，角的對邊分別是，若，且，則的最小值是（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】因為，由正弦定理，得．因為，所以，所以，所以.因為，所以，則．由余弦定理，得，當且僅當時，等號成立，所以，即的最小值為.故選：B.6.已知函數(shù)滿足，且是奇函數(shù)，若，則（）A.-6 B.-3 C.3 D.6【答案】C【解析】因為是奇函數(shù)，所以，所以．因為，所以，所以，即是周期為4的周期函數(shù)，則．故選：C.7.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著之一，其中記載了關(guān)于粟米分配的問題．現(xiàn)將14斗粟米分給4個人，每人分到的粟米斗數(shù)均為整數(shù)，每人至少分到1斗粟米，則不同的分配方法有（）A.715種 B.572種 C.312種 D.286種【答案】D【解析】本題可轉(zhuǎn)化為將14個大小相同，質(zhì)地均勻的小球分給甲，乙，丙，丁4個人，每人至少分1個，利用隔板法在中間13個空隙（兩端除外）當中插入3個隔板，可得分配的方案數(shù)為，所以不同的分配方法有286種．故選：D.8.在三棱錐中，，其他棱長都是，則三棱錐外接球的表面積是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，取棱的中點，連接，則，且，設(shè)外接圓的圓心為，三棱錐外接球的球心為，連接，作，垂足為．由題意得．因為，所以，所以．又，平面，所以平面，則．設(shè)三棱錐外接球的半徑為，則，即，解得，故三棱錐外接球的表面積是．故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項甲，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.某教育行政部門為了解某校教師“學(xué)習(xí)強國”的得分情況，隨機調(diào)查了該校的50位教師，這50位教師12月份的日均得分單位：分統(tǒng)計情況如下表：得分頻數(shù)5152010根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是（）A.這50位教師12月份的日均得分的中位數(shù)不低于25B.這50位教師12月份的日均得分不低于15分的比例超過C.這50位教師12月份的日均得分的極差介于20至40之間D.這50位教師12月份的日均得分的平均值介于30至35之間同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表【答案】ABC【解析】對于A，這50位教師12月份的日均得分在的人數(shù)為，日均得分在的人數(shù)為，因此這50位教師12月份的日均得分的中位數(shù)不低于25，A正確；對于B，這50位教師12月份的日均得分不低于15分的比例為：，B正確；對于C，這50位教師12月份日均得分的極差屬于，C正確；對于D，這50位教師12月份的日均得分的平均值為：，D錯誤．故選：ABC.10.已知函數(shù)，則（）A.最小正周期為 B.的圖象關(guān)于點對稱C.在上單調(diào)遞減 D.的值域為【答案】ABD【解析】因為，且當時，；當時，，所以的最小正周期為，則A正確.因為，所以的圖象關(guān)于點對稱，則B正確.當時，.設(shè)，則函數(shù)，所以.由，得或；由，得.故在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當時，即.因為，所以在上不單調(diào)，則C錯誤.因為所以在上的值域為.因為的最小正周期為，所以的值域為，則D正確.故選：ABD.11.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美的曲線，曲線就是其中之一?則下列結(jié)論正確的是（）A.曲線關(guān)于軸對稱B.曲線上任意一點到原點的距離都不超過2C.曲線上任意一點到原點的距離等于到直線的距離D.若是曲線上任意一點，則的最大值為【答案】ABD【解析】對于A，若點在曲線上，則都滿足曲線的方程，所以曲線關(guān)于軸對稱，故A正確；對于B，設(shè)點在曲線上，根據(jù)選項A，同理可得曲線關(guān)于軸，坐標原點對稱，由曲線的對稱性可令，則，所以，則，所以曲線上任意一點到原點的距離都不超過2，故B正確；對于C，易知是上一點，該點到原點的距離不等于到直線的距離，故C錯誤；對于D，由曲線的對稱性可知，當點位于第二象限時，取得最大值，所以，令，將代入，可得，解得，即的最大值為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知單位向量滿足，則向量夾角的弦值是______．【答案】【解析】因為，平方可得：，所以，則．故答案為：.13.若圓上恰有兩個點到直線的距離為，則的取值范圍是______．【答案】【解析】由題意可知，圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，由于圓上恰有兩個點到直線的距離為，則，即，解得或．因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.14.已知函數(shù)，且，則______．【答案】2【解析】由題意得的定義域為，則．由，得，即．設(shè)函數(shù)，易得在上單調(diào)遞增．因為，所以，即．故．故答案為：2.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.蛇年來臨之際，某商場計劃安排新春抽獎活動，方案如下：1號不透明的盒子中裝有標有“吉”“安”“和”字樣的小球，2號不透明的盒子中裝有標有“祥”“康”“順”字樣的小球，顧客先從1號不透明的盒子中取出1個小球，再從2號不透明的盒子取出1個小球，若這2個球上的字組成“吉祥”“安康”“和順”中的一個詞語，則這位顧客中獎，反之沒有中獎，每位顧客只能進行一輪抽獎．已知顧客從不透明的盒子取出標有“吉”“安”“和”“祥”“康”“順”字樣小球的概率均為，且顧客取出小球的結(jié)果相互獨立．（1）求顧客中獎的概率；（2）若小明一家三口參加這個抽獎活動，求小明全家中獎次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望．解：（1）顧客取出的2個小球的字樣組成“吉祥”的概率為，顧客取出的2個小球的字樣組成“安康”的概率為，顧客取出的2個小球的字樣組成“和順”的概率為，綜上，顧客中獎的概率為；（2）設(shè)小明全家中獎的次數(shù)為，則，，，，，則的分布列為0123所以．16.如圖，在多面體中，四邊形是菱形，，，，，．（1）證明：平面．（2）求平面與平面夾角的正弦值．（1）證明：因為四邊形是菱形，且，所以．因為，所以，所以因為，所以．因為平面，且，所以平面因為平面，所以．因為四邊形是菱形，所以．因為平面，且，所以平面．（2）解：記，以為原點，方向分別為軸的正方向，平行向上為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．設(shè)，則，則．設(shè)平面的一個法向量為，則令，得．設(shè)平面的一個法向量為則令，得．設(shè)平面與平面的夾角為，則，故．17.已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性.解：（1）當時，，則，從而，故所求切線方程為，即（或）.（2）由題意可得的定義域為.當，即時，由，得，由，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當，即時，由，得或，由，得，則在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.當，即時，恒成立，則在上單調(diào)遞增.當，即時，由，得或，由，得，則在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.綜上，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.18.已知和為橢圓上兩點．（1）求橢圓的方程；（2）若點在橢圓上，是橢圓的兩焦點，且，求的面積；（3）過點的直線與橢圓交于兩點，證明：為定值．解：（1）由題意得，解得，所以橢圓的方程為．（2）由題可知在中，由余弦定理得則即所以，故的面積是．（3）當?shù)男甭蕿?時，．當?shù)男甭什粸?時，設(shè)直線的方程為聯(lián)立，得，此時．，故為定值．19.若數(shù)列的首項，對任意的，都有（為常數(shù)，且），則稱為有界變差數(shù)列，其中為數(shù)列的相鄰兩項差值的上界．已知數(shù)列是有界變差數(shù)列，的前項和為．（1）當時，證明：．（2）當中各項都取最大值時，對任意的恒成立，求的最大值；（3）當中各項都取最大值時，，數(shù)列的前項和為，若對任意的，都有，求的取值范圍．（1）證明：當時，，則.當時，，滿足，故，當且僅當時，等號成立.（2）解：因為，所以，當時，滿足上式，所以.所以不等式可化為，所以，.因為，所以，所以，而，當且僅當時，等號成立.因為對任意的恒成立，所以，因為，所以.（3）解：由(2)可得，則，設(shè)，則，所以，所以，因為對任意的，都有，所以，即.當為奇數(shù)時，，即，所以，所以為遞減數(shù)列，則；當為偶數(shù)時，，所以，因為，所以為遞增數(shù)列，則.綜上，的取值范圍為.廣東省湛江市2025屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可得，則.故選：C.2.復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得，則．故選：B.3.已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，且，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】當直線相交且垂直時，平面可以相互平行，當時，直線可以平行，則“”是“”的既不充分也不必要條件，故選：D.4.已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，且，則雙曲線的離心率是（）A. B.3 C. D.【答案】B【解析】依題意，，由，得，因此，而雙曲線漸近線方程為，則，所以雙曲線的離心率是.故選：B.5.在中，角的對邊分別是，若，且，則的最小值是（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】因為，由正弦定理，得．因為，所以，所以，所以.因為，所以，則．由余弦定理，得，當且僅當時，等號成立，所以，即的最小值為.故選：B.6.已知函數(shù)滿足，且是奇函數(shù)，若，則（）A.-6 B.-3 C.3 D.6【答案】C【解析】因為是奇函數(shù)，所以，所以．因為，所以，所以，即是周期為4的周期函數(shù)，則．故選：C.7.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著之一，其中記載了關(guān)于粟米分配的問題．現(xiàn)將14斗粟米分給4個人，每人分到的粟米斗數(shù)均為整數(shù)，每人至少分到1斗粟米，則不同的分配方法有（）A.715種 B.572種 C.312種 D.286種【答案】D【解析】本題可轉(zhuǎn)化為將14個大小相同，質(zhì)地均勻的小球分給甲，乙，丙，丁4個人，每人至少分1個，利用隔板法在中間13個空隙（兩端除外）當中插入3個隔板，可得分配的方案數(shù)為，所以不同的分配方法有286種．故選：D.8.在三棱錐中，，其他棱長都是，則三棱錐外接球的表面積是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，取棱的中點，連接，則，且，設(shè)外接圓的圓心為，三棱錐外接球的球心為，連接，作，垂足為．由題意得．因為，所以，所以．又，平面，所以平面，則．設(shè)三棱錐外接球的半徑為，則，即，解得，故三棱錐外接球的表面積是．故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項甲，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.某教育行政部門為了解某校教師“學(xué)習(xí)強國”的得分情況，隨機調(diào)查了該校的50位教師，這50位教師12月份的日均得分單位：分統(tǒng)計情況如下表：得分頻數(shù)5152010根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是（）A.這50位教師12月份的日均得分的中位數(shù)不低于25B.這50位教師12月份的日均得分不低于15分的比例超過C.這50位教師12月份的日均得分的極差介于20至40之間D.這50位教師12月份的日均得分的平均值介于30至35之間同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表【答案】ABC【解析】對于A，這50位教師12月份的日均得分在的人數(shù)為，日均得分在的人數(shù)為，因此這50位教師12月份的日均得分的中位數(shù)不低于25，A正確；對于B，這50位教師12月份的日均得分不低于15分的比例為：，B正確；對于C，這50位教師12月份日均得分的極差屬于，C正確；對于D，這50位教師12月份的日均得分的平均值為：，D錯誤．故選：ABC.10.已知函數(shù)，則（）A.最小正周期為 B.的圖象關(guān)于點對稱C.在上單調(diào)遞減 D.的值域為【答案】ABD【解析】因為，且當時，；當時，，所以的最小正周期為，則A正確.因為，所以的圖象關(guān)于點對稱，則B正確.當時，.設(shè)，則函數(shù)，所以.由，得或；由，得.故在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當時，即.因為，所以在上不單調(diào)，則C錯誤.因為所以在上的值域為.因為的最小正周期為，所以的值域為，則D正確.故選：ABD.11.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美的曲線，曲線就是其中之一?則下列結(jié)論正確的是（）A.曲線關(guān)于軸對稱B.曲線上任意一點到原點的距離都不超過2C.曲線上任意一點到原點的距離等于到直線的距離D.若是曲線上任意一點，則的最大值為【答案】ABD【解析】對于A，若點在曲線上，則都滿足曲線的方程，所以曲線關(guān)于軸對稱，故A正確；對于B，設(shè)點在曲線上，根據(jù)選項A，同理可得曲線關(guān)于軸，坐標原點對稱，由曲線的對稱性可令，則，所以，則，所以曲線上任意一點到原點的距離都不超過2，故B正確；對于C，易知是上一點，該點到原點的距離不等于到直線的距離，故C錯誤；對于D，由曲線的對稱性可知，當點位于第二象限時，取得最大值，所以，令，將代入，可得，解得，即的最大值為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知單位向量滿足，則向量夾角的弦值是______．【答案】【解析】因為，平方可得：，所以，則．故答案為：.13.若圓上恰有兩個點到直線的距離為，則的取值范圍是______．【答案】【解析】由題意可知，圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，由于圓上恰有兩個點到直線的距離為，則，即，解得或．因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.14.已知函數(shù)，且，則______．【答案】2【解析】由題意得的定義域為，則．由，得，即．設(shè)函數(shù)，易得在上單調(diào)遞增．因為，所以，即．故．故答案為：2.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.蛇年來臨之際，某商場計劃安排新春抽獎活動，方案如下：1號不透明的盒子中裝有標有“吉”“安”“和”字樣的小球，2號不透明的盒子中裝有標有“祥”“康”“順”字樣的小球，顧客先從1號不透明的盒子中取出1個小球，再從2號不透明的盒子取出1個小球，若這2個球上的字組成“吉祥”“安康”“和順”中的一個詞語，則這位顧客中獎，反之沒有中獎，每位顧客只能進行一輪抽獎．已知顧客從不透明的盒子取出標有“吉”“安”“和”“祥”“康”“順”字樣小球的概率均為，且顧客取出小球的結(jié)果相互獨立．（1）求顧客中獎的概率；（2）若小明一家三口參加這個抽獎活動，求小明全家中獎次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望．解：（1）顧客取出的2個小球的字樣組成“吉祥”的概率為，顧客取出的2個小球的字樣組成“安康”的概率為，顧客取出的2個小球的字樣組成“和順”的概率為，綜上，顧客中獎的概率為；（2）設(shè)小明全家中獎的次數(shù)為，則，，，，，則的分布列為0123所以．16.如圖，在多面體中，四邊形是菱形，，，，，．（1）證明：平面．（2）求平面與平面夾角的正弦值．（1）證明：因為四邊形是菱形，且，所以．因為，所以，所以因為，所以．因為平面，且，所以平面因為平面，所以．因為四邊形是菱形，所以．因為平面，且，所以平面．（2）解：記，以為原點，方向分別為軸的正方向，平行向上為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．設(shè)，則，則．設(shè)平面的一個法向量為，則令，得．設(shè)平面的一個法向量為則令，得．設(shè)平面與平面的夾角為，則，故．17.已知函數(shù).（