專題05分式

模塊導(dǎo)航

題型聚焦：核心考點(diǎn)+中考考點(diǎn)，有的放矢

重點(diǎn)專攻：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺

提升專練：真題感知+精選專練，全面突破

?＞題型聚焦------------------------------------------

【題型1分式有意義的條件】

【題型2分式的基本性質(zhì)】

【題型3分式化簡(jiǎn)求值】

【題型4解分式方程】

【題型5分式方程的解及增根問題】

【題型6分式方程的實(shí)際應(yīng)用】

6重點(diǎn)專攻-----------------------------------------

知識(shí)點(diǎn)1：分式相關(guān)概念

A

1.定義：一般地，如果A、B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子一叫做分式.其中A叫做分子,

B

B叫做分母.

1.最簡(jiǎn)分式：分子與分母沒有公因式的分式；

2.分式有意義的條件：BM；

3.分式值為。的條件：分子=0且分母知

知識(shí)點(diǎn)2：分式的基本性質(zhì)

分式的分子與分母同乘(或除以)一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變，這個(gè)性質(zhì)叫做分式的基本性質(zhì)，用式

_+一口AAxMAA-^M.,=丁公十小山.一、

子表不是：一=------,—=------(其z+4中M是不等于零的整式).

BBxMBB+M

知識(shí)點(diǎn)3：分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算

(1)同分母分式的加減

同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減；

上述法則可用式子表為：-+-=~.

CCC

(2)異分母分式的加減

異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑偌訙p.

1

，、上driEqp士、，acadbead+bc

上述法則可用式子表為：一土一=——±——=-------

bdbdbdbd

（3）分式的乘除法運(yùn)算

分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母，即

乘法aca-cac

bdb-dbd

分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘，即

除法ac_a+c_ad

bdb±dbe

知識(shí)點(diǎn)4：分式方程的解法

解分式方程的一般步驟：

（1）方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式，再

找出最簡(jiǎn)公分母）；

（2）解這個(gè)整式方程，求出整式方程的解；

（3）檢驗(yàn)：將求得的解代入最簡(jiǎn)公分母，若最簡(jiǎn)公分母不等于0,則這個(gè)解是原分式方程的解，若最簡(jiǎn)公

分母等于0,則這個(gè)解不是原分式方程的解，原分式方程無解.

提升專練------------------------------------------

?題型歸納

【題型1分式有意義的條件】

1.（2024八年級(jí)上.全國(guó).專題練習(xí)）要使得分式言有意義，則x滿足的條件是（）

A.x牛—1B.工W±1C.%H0D.%W

2.（24-25八年級(jí)上?山東濟(jì)南?期中）分式號(hào)的值為0,貝卜=（）

x+2

A.±4B.4C.±2D.2

3.（24-25八年級(jí)上?北京通州?期中）若分式三有意義，則》的取值范圍是

【題型2分式的基本性質(zhì)】

4.（24-25八年級(jí)上?全國(guó)?期末）下列式子從左到右，變形正確的是（）

22

Aaamaaaa-aa+1

A.-=一B.—=-C.-=—D.-=——

bbmabbbb2bb+1

5.（24-25八年級(jí)上?山東威海?期中）如果把分式;：器中的x、y都擴(kuò)大10倍，那么分式的值是（）

A.擴(kuò)大10倍B.縮小為原來的套C.不變D.縮小為原來的媒

6.（24-25八年級(jí)上?湖南婁底?期中）下列分式中,，是最簡(jiǎn)分式的是（）

2

A.B.吳C.上D.4

2xzxz-lxy-x

7.（24-25八年級(jí)上?湖南邵陽?期中）計(jì)算：二的結(jié)果是______.

2a—2b

【題型3分式化簡(jiǎn)求值】

8.（24-25九年級(jí)上?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：—9+Y，其中a=2,b="

a-b\ba）b3

9.（24-25八年級(jí)上?廣西南寧?階段練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：會(huì)?立第—_?，其中尤=4.

x-3x-1

10.（2024八年級(jí)上.全國(guó).專題練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：++其中a="

\a+2/az+2a2

11.（2024八年級(jí)上.全國(guó).專題練習(xí)）先將分式化簡(jiǎn)：三+（久+1-三），然后再?gòu)?,1，2,中選擇一個(gè)

適當(dāng)?shù)臄?shù)代入求值.

12.（24-25九年級(jí)上?甘肅白銀?期中）先化簡(jiǎn)，再求值：（J一獰）+3，其中/+x=0.

x+22-xyxz-4

【題型4解分式方程】

13.（24-25八年級(jí)上?江蘇南通?階段練習(xí)）解分式方程：

（1）---=0；（2）—+2=—.

'7x-lxx-33-x

14.（24-25八年級(jí)上?全國(guó)?期末）解方程：

/八5,yX-1/c、34c

⑴口+1工；⑵=-8=。?

【題型5分式方程的解及增根問題】

15.（2024八年級(jí)上.全國(guó).專題練習(xí)）若關(guān)于尤的方程1+3=上有正整數(shù)解，且關(guān)于尤的不等式組

x-33-x

9+3”有且只有3個(gè)整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)。的和為（）

（8x+17<a

A.-4B.-9C.-16D.-21

16.（24-25八年級(jí)上?山東東營(yíng)?期中）關(guān)于x的方程三+F=-2的解為非負(fù)數(shù)，則。的取值范圍

x-11-X

為.

17.（24-25八年級(jí)上?江蘇南通?階段練習(xí)）若關(guān)于x的方程=+2=三無解，貝b的值是______.

x-1x-1

18.（2024八年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí)）分式方程三-2=,冬，八有增根,則爪的值為____.

x-1（X-1）（x4-2）-----

19.（24-25八年級(jí)上?山東濟(jì)南?期中）已知關(guān)于x的方程三-2=廣的解是非負(fù)數(shù)，那么機(jī)的取值范圍

x-33-x

為.

【題型6分式方程的實(shí)際應(yīng)用】

20.（24-25八年級(jí)上?全國(guó)?期末）某校因物理實(shí)驗(yàn)室需更新升級(jí)，現(xiàn)決定購(gòu)買甲、乙兩種型號(hào)的滑動(dòng)變阻器.若

購(gòu)買甲種滑動(dòng)變阻器用了1440元，購(gòu)買乙種用了2430元，購(gòu)買的乙種滑動(dòng)變阻器的數(shù)量是甲種的1.5

倍，乙種滑動(dòng)變阻器單價(jià)比甲種單價(jià)貴6元.

（1）求甲、乙兩種滑動(dòng)變阻器的單價(jià)分別為多少元；

（2）該校擬計(jì)劃再訂購(gòu)這兩種滑動(dòng)變阻器共100個(gè)，總費(fèi)用不超過5000元，那么該校最少購(gòu)買多少個(gè)甲

3

種滑動(dòng)變阻器？

21.（23-24八年級(jí)下?河南鄭州?期末）2020年12月28日，習(xí)近平總書記在主持召開中央農(nóng)村工作會(huì)議中指

出：“堅(jiān)持中國(guó)人的飯碗任何時(shí)候都要牢牢端在自己手中，飯碗主要裝中國(guó)糧.“某糧食生產(chǎn)基地為了落

實(shí)總書記的重要講話精神，積極擴(kuò)大糧食生產(chǎn)規(guī)模，計(jì)劃投入一筆資金購(gòu)買4型和B型兩種農(nóng)機(jī)具，已

知1件4型農(nóng)機(jī)具比1件B型農(nóng)機(jī)具多0.5萬元，用18萬元購(gòu)買4型農(nóng)機(jī)具和15萬元購(gòu)買B型農(nóng)機(jī)具的數(shù)量

相同.

（1）求購(gòu)買1件4型農(nóng)機(jī)具和1件B型農(nóng)機(jī)具各需多少錢？

（2）若該糧食生產(chǎn)基地計(jì)劃購(gòu)買4型和8型兩種農(nóng)機(jī)具共24件，且購(gòu)買的總費(fèi)用不超過66萬元，購(gòu)買2型

農(nóng)機(jī)具最多能購(gòu)買多少件？

22.（23-24八年級(jí)下.重慶渝北.期末）隨著科學(xué)技術(shù)發(fā)展，人工智能在各行各業(yè)得到廣泛運(yùn)用.某零件生產(chǎn)

企業(yè)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩類智能機(jī)器共30臺(tái)，其中甲類智能機(jī)器8萬元/臺(tái)，乙類智能機(jī)器5萬元/臺(tái)，共花

費(fèi)180萬元.

（1）購(gòu)進(jìn)的甲、乙兩類智能機(jī)器分別是多少臺(tái)？

（2）在運(yùn)用這兩類智能機(jī)器中，每臺(tái)智能機(jī)器每小時(shí)完成的零件數(shù)量，甲類比乙類多20個(gè)，1臺(tái)甲類智

能機(jī)器完成200個(gè)零件與1臺(tái)乙類智能機(jī)器完成120個(gè)零件的時(shí)間相等.甲類智能機(jī)器每天能工作16

小時(shí)，乙類智能機(jī)器每天能工作12小時(shí).該企業(yè)購(gòu)進(jìn)的這30臺(tái)智能機(jī)器，每天能完成的零件總量是

多少？

23.（23-24八年級(jí)上?寧夏固原?期末）依據(jù)最新出臺(tái)的寧夏初中體育與健康學(xué)業(yè)水平考試方案，自2024年

起，寧夏中考體育成績(jī)將以70分計(jì)入總成績(jī)中.必考項(xiàng)目包括1000米跑（男生）、800米跑（女生）、

1分鐘跳繩，每項(xiàng)滿分15分.男生選考項(xiàng)目包括立定跳遠(yuǎn)、50米跑、單杠引體向上、前擲實(shí)心球，女

生選考項(xiàng)目包括立定跳遠(yuǎn)、50米跑、1分鐘仰臥起坐、前擲實(shí)心球.為適應(yīng)學(xué)生體育課學(xué)習(xí)（課時(shí)數(shù)、

考勤等）、日常參與體育鍛煉.我校用3000元購(gòu)買大、小跳繩共110根，且購(gòu)買大跳繩與小跳繩的費(fèi)

用相同，大跳繩的單價(jià)是小跳繩單價(jià)的1.2倍.

（1）求大、小兩種跳繩的單價(jià)各是多少？

（2）若學(xué)校計(jì)劃用不超過7000元的資金再次購(gòu)買這兩種跳繩共260根，已知兩種跳繩的價(jià)格不變，求大

跳繩最多可購(gòu)買多少根？

》過關(guān)檢測(cè)

一、單選題

1.（24-25八年級(jí)上?江蘇南通?階段練習(xí)）下列各式與唉相等的是（）

a-b

a2a2-ab_3a——a

AA.-———B.-———C.------D.——

（a-b）2（a-b）23a-ba+b

2.（24-25八年級(jí)上?遼寧鞍山?階段練習(xí)）下列分式是最簡(jiǎn)分式的是（）

A.些B.—C.2-b2口.空

5%x+12（b+a）23ab

3.（24-25八年級(jí)上?全國(guó)?期末）分式三，。的最簡(jiǎn)公分母是（）

2x-42x

4

A.2%B.2%(2x-4)C.2x-4D.2x(%—2)

4.（24-25八年級(jí)上?山東濰坊?期中）若工=-y力-4）,則下列式子錯(cuò)誤的是（）

y4??

A.上一B.空二C.±D.上=4

y4y+4434x-y

5.（24-25八年級(jí)上?全國(guó)?期末）已知a+b=3,ab=2,貝壯+工的值是（）

ab

3322

A.-B.--C.-D.--

2233

6.（24-25八年級(jí)上?貴州銅仁?期中）某中學(xué)開展“徒步研學(xué)”活動(dòng)，小新和王老師同時(shí)從學(xué)校出發(fā)到離學(xué)校9

千米的公園開展研學(xué)活動(dòng)，他們的路線一致，小新隨班步行，王老師由于要帶班級(jí)飲用水需乘車，已

知車的速度是步行速度的7.5倍.王老師比小新早80分鐘到達(dá)目的地，設(shè)小新步行速度為x米/分鐘，

則依題意可列出方程為（）

A.---=80B.---=—C.---=80D.—=—+—

X7.5%7.5%X60X7.5%X7.5%60

二、填空題

7.（24-25八年級(jí)上?遼寧鞍山?階段練習(xí)）若分式會(huì)有意義，則實(shí)數(shù)久的取值范圍是.

x-3

2

8.（24-25八年級(jí)上?山東荷澤?期中）計(jì)算三+事的結(jié)果是.

x-11-X

9.（24-25八年級(jí)上?吉林長(zhǎng)春?期中）若關(guān)于x的方程三-白=1有增根，貝帽的值是.

x-1x-1

10.（24-25八年級(jí)上?山東淄博?期中）若工+三=2,則分式6、二町+2'的值為________.

xy-3x-y

三、解答題

11.（24-25八年級(jí)上?廣西南寧?階段練習(xí)）計(jì)算：-2?+（兀—2023）。—

12.（24-25八年級(jí)上,重慶?期中）先化簡(jiǎn)，再求值：—x+3）+久二+請(qǐng)從—3、—2、0、3中選

取合適的比的值代入.

13.（24-25八年級(jí)上?山東東營(yíng)?期中）解方程：

232x7

（1）----=----（2）------F1=-----

'，%+2X-2'0+32X+6

14.（24-25八年級(jí)上?重慶?期中）秋風(fēng)送爽，蟹香四溢，又到了吃大閘蟹的黃金季節(jié).陽澄湖大閘蟹大量上

市，一只母蟹比一只公蟹的售價(jià)貴12元.若顧客用2400元分別購(gòu)買兩種大閘蟹，則公蟹的數(shù)量是母

蟹數(shù)量的L25倍.

（1）求公蟹、母蟹的售價(jià)；

（2）趕上“雙十一”大促，公蟹和母蟹都進(jìn)行了降價(jià)促銷活動(dòng)，母蟹按原價(jià)的九折出售，公蟹每只降價(jià)6

元.某公司計(jì)劃購(gòu)買100只大閘蟹獎(jiǎng)勵(lì)員工，其中母蟹數(shù)量比公蟹數(shù)量的募倍還多，且總費(fèi)用不超過

5000元，請(qǐng)問應(yīng)該購(gòu)買母蟹、公蟹各多少只？

5

專題05分式

模塊導(dǎo)航

題型聚焦：核心考點(diǎn)+中考考點(diǎn)，有的放矢

重點(diǎn)專攻：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺

提升專練：真題感知+精選專練，全面突破

?＞題型聚焦------------------------------------------

【題型1分式有意義的條件】

【題型2分式的基本性質(zhì)】

【題型3分式化簡(jiǎn)求值】

【題型4解分式方程】

【題型5分式方程的解及增根問題】

【題型6分式方程的實(shí)際應(yīng)用】

6重點(diǎn)專攻-----------------------------------------

知識(shí)點(diǎn)1：分式相關(guān)概念

A

1.定義：一般地，如果A、B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子一叫做分式.其中A叫做分子,

B

B叫做分母.

4.最簡(jiǎn)分式：分子與分母沒有公因式的分式；

5.分式有意義的條件：B#）；

6.分式值為。的條件：分子=0且分母加

知識(shí)點(diǎn)2：分式的基本性質(zhì)

分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于。的整式，分式的值不變，這個(gè)性質(zhì)叫做分式的基本性質(zhì)，用式

-r士一口AAxMAA-^M.,.丁依TE.A.j、

子表示是：一=------,—=------（其z+4中M是不等于零的整式）.

BBxMBB+M

知識(shí)點(diǎn)3：分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算

（1）同分母分式的加減

同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減；

上述法則可用式子表為：-+-=~.

CCC

（2）異分母分式的加減

異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑偌訙p.

6

，、上driEqp士、，acadbead+bc

上述法則可用式子表為：一土一=——±——=-------

bdbdbdbd

(3)分式的乘除法運(yùn)算

分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母，即

乘法—a,—c=-a--c-=—ac

bdb-dbd

分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘，即

aca-rcad

除法?--__

bdb2dbe

知識(shí)點(diǎn)4：分式方程的解法

解分式方程的一般步驟：

(1)方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，去掉分母，化成整式方程(注意：當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式，再

找出最簡(jiǎn)公分母)；

(2)解這個(gè)整式方程，求出整式方程的解；

(3)檢驗(yàn)：將求得的解代入最簡(jiǎn)公分母，若最簡(jiǎn)公分母不等于0,則這個(gè)解是原分式方程的解，若最簡(jiǎn)公

分母等于0,則這個(gè)解不是原分式方程的解，原分式方程無解.

6提升專練------------------------------------------

》題型歸納

【題型1分式有意義的條件】

1.(2024八年級(jí)上.全國(guó).專題練習(xí))要使得分式言有意義，則x滿足的條件是()

A.x牛—1B.工W±1C.%W0D.%W

【答案】B

【分析】本題主要考查分式有意義的條件，掌握分母不為零的條件是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)分母不為零的條件進(jìn)行解題即可.

【詳解】解：由題可知，

|%|—1=#0,

即%豐±1.

故選：B.

2.(24-25八年級(jí)上?山東濟(jì)南?期中)分式案的值為。，則尤=()

A.±4B.4C.±2D.2

【答案】D

7

【分析】本題考查了分式的值為。的條件，要注意分母的值一定不能為0,分母的值是0時(shí)分式?jīng)]有意

義.要使分式的值為0,必須分式分子的值為0并且分母的值不為0.

【詳解】解：要使分式由分子％2—4=0,解得：x=±2.

而久=2時(shí)，分母x+2=2+2=4。0；

x=—2時(shí)分母工+2=0,分式?jīng)]有意義.

所以％=2.

故選：D.

3.（24-25八年級(jí)上?北京通州?期中）若分式上有意義，貝卜的取值范圍是.

x-2

【答案】x豐2

【分析】本題主要考查了分式有意義的條件，根據(jù)分式有意義可知久-2力0,即可得出答案.

【詳解】因?yàn)榉质蕉幸饬x，

所以久一2W0,

可得久W2.

故答案為：%。2.

【題型2分式的基本性質(zhì)】

4.（24-25八年級(jí)上?全國(guó)?期末）下列式子從左到右，變形正確的是（）

.aam?a2aaa2?aa+1

A.-=——B.—=-C.-=—D.-=——

bbmabbbb2bb+1

【答案】B

【分析】本題考查了分式的基本性質(zhì)，根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，逐一判斷即可解答，分式的分子

和分母同乘以（或除以）一個(gè)不為0的數(shù)，分式的值不變.

【詳解】解：A、當(dāng)機(jī)A0時(shí)，三=子，故A不符合題意；

bbm

B、1故B符合題意；

abb

2

C、m片會(huì)，故C不符合題意；

bb2

D、?力魯，故D不符合題意.

bb+1

故選：B.

5.（24-25八年級(jí)上?山東威海?期中）如果把分式：寡中的x、y都擴(kuò)大10倍，那么分式的值是（）

A.擴(kuò)大10倍B.縮小為原來的卷C.不變D.縮小為原來的高

【答案】B

【分析】本題考查了分式的基本性質(zhì).根據(jù)分式的基本性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：把分式段中的x和y都擴(kuò)大10倍后可得：器產(chǎn)?爐，縮小為原來的L

2xy100x2xy102xy10

故選：B.

6.（24-25八年級(jí)上?湖南婁底?期中）下列分式中，是最簡(jiǎn)分式的是（）

8

xyx-1x+y

A.B.D.U

2x2x2-lc.—Xy-x

【答案】c

【分析】本題考查的是最簡(jiǎn)分式的定義，一個(gè)分式的分子與分母沒有公因式時(shí)，叫最簡(jiǎn)分式.根據(jù)最簡(jiǎn)

分式的概念逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解工解：A、巳==,故不是最簡(jiǎn)分式，不符合題意;

2x22x

B、會(huì)=鼠不是最簡(jiǎn)分式，不符合題意；

x2-l(x+l)(x-l)x+1

也是最簡(jiǎn)分式，符合題意;

C、x

x-y

D、匕==-1,不是最簡(jiǎn)分式，不符合題意;

y-x-(x-y)

故選：C.

7.(24-25八年級(jí)上?湖南邵陽?期中)計(jì)算：，二懸的結(jié)果是

2a—2b

【答案】?

【分析】本題考查分式的基本性質(zhì)，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，結(jié)合平方差公式求解即可.

【詳解】解：會(huì)

2a—2b

(a+b)(a—b)

2(a—b)

_a+b

—2'

故答案為：等.

【題型3分式化簡(jiǎn)求值】

8.(24-25九年級(jí)上?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí))先化簡(jiǎn)，再求值：￡1_1'+般，其中a=2,b=1.

ba.

【答案】I，6

【分析】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值.先對(duì)所求式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)a=2,6=］可以求得化簡(jiǎn)后式

子的值，本題得以解決.

【詳解】解：￡(11'

\ba.+彳

aa—ba—1

=------:-------:---1------

a—babb

1CL—1

=b+~T

_a

一b"

當(dāng)a=2,b=1時(shí),

原式=4=6.

3

9.(24-25八年級(jí)上?廣西南寧?階段練習(xí))先化簡(jiǎn)，再求值：念X2+2X+1」一，其中％=4.

x-3x-l

9

【答案】喜，《

【分析】先對(duì)分式通分、因式分解、約分等化簡(jiǎn)，化成最簡(jiǎn)分式，后代入求值.

本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，求代數(shù)式的值，運(yùn)用因式分解，通分，約分等技巧化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵.

2

【詳解】解：X+2X+11

x-3x-1

x—3(%+I)21

(%—1)(%+1)%—3X—1

%+11

x—1x—1

一x

-X-1

當(dāng)％=4時(shí)，

原式=六力

10.(2024八年級(jí)上.全國(guó).專題練習(xí))先化簡(jiǎn)，再求值：++其中a="

\a+2/az+2a2

【答案】2a,1

【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，掌握分式的混合運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵.先用分式的加減法

的法則計(jì)算括號(hào)里面的，再利用分式乘除法的法則計(jì)算括號(hào)外面的，最后把a(bǔ)=夕弋入化簡(jiǎn)的結(jié)果中計(jì)

算即可.

【詳解】解：(1+震)+品

(a+2CL—6\a—2

\a+2a+2/a(a+2)

2(a—2)a(a+2)

=-------x--------

a+2ct—2

=2a；

當(dāng)a=［時(shí)，原式=2x|=1.

11.(2024八年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí))先將分式化簡(jiǎn)：三+G+1-六)，然后再?gòu)摹＃?，2,中選擇一個(gè)

適當(dāng)?shù)臄?shù)代入求值.

【答案】一擊’

【分析】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)分式的除法法則、加減法法則把原式化簡(jiǎn)，根據(jù)分式有意義的條件確定x的值，代入計(jì)算即可.

【詳解】解：原式=三十(言一W),

_2-x.X2-4

—~,

x-1x-1

2—xx—1

—?，

X-1(%+2)(%-2)

_1

—,

x+2

由題意得：xH1和±2,

10

當(dāng)x=0時(shí)，原式=一總=，

12.(24-25九年級(jí)上?甘肅白銀?期中)先化簡(jiǎn)，再求值：(三—獰)+3，其中/+久=0.

、x+22-xyx2-4

【答案】％?+%+6,6.

【分析】此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值.把括號(hào)內(nèi)的部分變形，把除法變?yōu)槌朔ú⒁蚴椒纸猓倮贸?/p>

法分配律進(jìn)行展開計(jì)算即可得到化簡(jiǎn)結(jié)果，再把已知條件整體代入計(jì)算即可.

【詳解】解：(三-呂)+福

x+22-xx2-4

X23x(X+2)(X—2)

=(E+X-------X-------

x2(%+2)(%—2)3%(%+2)(%—2)

----x-----------------+x-2X%

x+2x

=%(%—2)+3(%+2)

=——2%+3%+6

=+汽+6

V%2+x=0,

原式=x2+x+6=0+6=6

【題型4解分式方程】

13.(24-25八年級(jí)上?江蘇南通?階段練習(xí))解分式方程:

32

⑴三一4=0；

x-1X

X—4-1

(2)—+2.

\zz-33T

【答案】(1)久=-2

(2)分式方程無解

【分析】本題考查解分式方程，熟練掌握分式方程的解法步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)

及系數(shù)化為1求解后，驗(yàn)根即可得到答案.

(1)先去分母，再去括號(hào)，合并同類項(xiàng)，移項(xiàng)即可得到答案，注意分式方程需要驗(yàn)根；

(2)按照去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)及系數(shù)化為1即可得到答案，注意分式方程需要驗(yàn)根.

【詳解】⑴解：三二=0,

x-1X

方程兩邊同時(shí)乘以比O-1)得3久-2(x-1)=0,

去括號(hào)得3萬—2x+2=0,

合并同類項(xiàng)得x+2=0,

???x=-2

檢驗(yàn)：當(dāng)％=—2時(shí)，x(x-1)=—2x(—2—1)=6W0,

?,?原分式方程的解為久=-2；

⑵解：分+2=￡，

方程兩邊同時(shí)乘以％-3得久一4+2(%-3)=—1,

11

去括號(hào)得x-4+2x-6=-1,

移項(xiàng)得x+2x=4+6—1,

合并同類項(xiàng)得3久=9,

系數(shù)化為1得久=3,

檢驗(yàn)：當(dāng)x=3時(shí)，x—3=3—370,即久=3是原分式方程的增根,

???原分式方程無解.

14.(24-25八年級(jí)上?全國(guó)?期末)解方程:

/F、5,YX—1

(1)—+1=—；

、7X-22-x

34

(27)--------=0.

、x-3X2-9

【答案】(1)%=-1；

⑵“=*?

【分析】本題考查了分式方程的解法，熟悉解分式方程的步驟是解題關(guān)鍵.

(1)先把分式方程兩邊同乘(X-2)化為整式方程求解，然后檢驗(yàn)即可；

(2)先把分式方程兩邊同乘(x+3)(%-3)化為整式方程求解，然后檢驗(yàn)即可.

【詳解】(1)解：三+1=當(dāng)

x-22-x

方程兩邊同乘(%—2)得：5+(%—2)=—(%—1),

解得尤=-1,

檢驗(yàn)：當(dāng)％=—1時(shí)，%—2。0

所以原分式方程的解為久=-1;

(2)解：-----^-=0

x-3X2-9

方程兩邊同乘O+3)(久-3)得：

3(久+3)-4=0,

解得久=-|,

經(jīng)檢驗(yàn)，乂=-|是原方程的解.

所以原分式方程的解是力=-|.

【題型5分式方程的解及增根問題】

15.(2024八年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí))若關(guān)于x的方程H+3="有正整數(shù)解，且關(guān)于尤的不等式組

X-33-X

9+3”有且只有3個(gè)整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)。的和為()

(8%+17<a

A.-4B.-9C.-16D.-21

【答案】A

【分析】本題考查的是解分式方程，解一元一次不等式組，掌握相關(guān)解法是解題關(guān)鍵.先按照解分式方

12

程的一般步驟解方程，求出x=根據(jù)分式方程有正整數(shù)解，得到a<l,且為奇數(shù)，a力-5,然后

解一元一次不等式組，再根據(jù)不等式組有且只有3個(gè)整數(shù)解，列出關(guān)于a的不等式，求出a的取值范圍，

最后再求出符合條件的所有整數(shù)a,并求出它們的和即可.

【詳解】解：公+3=1

去分母得：a—x+3(%—3)=-8,

去括號(hào)得：a—x+3x—9——8-)

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得：2%=1-a,

解得：x=U，

?.?關(guān)于尤的方程W+3=有正整數(shù)解，

x-33-X

.,.X>0,且為整數(shù)，x—3片0,

...號(hào)>0,1-a為2的整數(shù)倍，號(hào)43,

.'.a<1,且為奇數(shù)，a豐-5,

(2(x+2)W9+3x①

I8x+17<a@'

解不等式①得：%>-5,

解不等式②得：x<^,

不等式組的解集為：—5Wx<F，

8

...關(guān)于x的不等式組『(：+2乙，9+3%有且只有3個(gè)整數(shù)解,

I8%+17<a

???-3<詈<-2,

-7VCLW1,

符合條件的所有整數(shù)a為-1或-3,

；?符合條件的所有整數(shù)。的和為：(一1)+(-3)=-4,

故選：A.

16.(24-25八年級(jí)上?山東東營(yíng)?期中)關(guān)于尤的方程⑦+翌=-2的解為非負(fù)數(shù)，則。的取值范圍

x-11-X

為.

【答案】。45且口73

【分析】本題考查根據(jù)分式方程解的情況求參數(shù).先將分式方程化為整式方程，用含a的式子表示出尤,

根據(jù)解為非負(fù)數(shù)，分式的分母不能為0,列不等式，解不等式即可.

【詳解】解：三+3=-2,

x-11-x

去分母，得2—(5—a)=-2(%—1),

解得X=早，

???關(guān)于久的方程二+尹=-2的解為非負(fù)數(shù)，

13

5一a、八

???X=——>0,

2

解得a<5；

%—1H0,

5~CLYc

???-------1W0,

2

解得。W3,

??.a的取值范圍為a<5且aH3.

故答案為：aW5且aw3.

17.(24-25八年級(jí)上?江蘇南通?階段練習(xí))若關(guān)于久的方程=+2=V無解，貝必的值是______.

x-1X-1

【答案】2

【分析】本題考查由分式方程無解求參數(shù)，涉及解分式方程，根據(jù)題意，先由去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、

合并同類項(xiàng)及系數(shù)化為1得到x=等，再由分式方程無解得到x=1,確定關(guān)于a的方程求解即可得到

答案，熟練掌握分式方程的解法是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：*+2=冬，

x-1x-1

去分母得x+1+2(%—1)=a,

去括號(hào)得%+1+2,x—2=a,

移項(xiàng)得%+2%=a+2—19

合并同類項(xiàng)得3%=a+1,

系數(shù)化為1得X=等，

???關(guān)于》的方程=+2=E無解，

x-1x-1

X-1=0,即％=1,則=1,

解得a=2,

故答案為：2.

18.(2024八年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí))分式方程言一2=距去存有增根，則皿的值為

【答案】6

【分析】本題考查了解分式方程，理解分式方程的增根是解題的關(guān)鍵，方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母(％-

1)(%+2)把分式方程化為整式方程，再根據(jù)分式方程的增根是使最簡(jiǎn)公分母等于0的未知數(shù)的值，求出

增根，然后代入進(jìn)行計(jì)算即可得解.

【詳解】解：三-2=西餐

方程兩邊都乘以Q-1)(%+2)得,

2x(%+2)—2(%—1)(%+2)=m,

2x2+4%—2x2—2%+4=m,

TH=2%+4,

14

??,分式方程有增根，

.*.(%-1)(%+2)=0,

x—1=0或％+2=0,

解得久=1或％=-2,

當(dāng)久=1時(shí)，m=2%+4=2+4=6,

當(dāng)％=-2時(shí)，TH=2久+4=-4+4=0,此時(shí)原分式方程無解，不符合題意.

所以租的值為6,

故答案為：6.

19.(24-25八年級(jí)上?山東濟(jì)南?期中)已知關(guān)于x的方程三-2=廣的解是非負(fù)數(shù)，那么根的取值范圍

x-33-x

為.

【答案】m>一6且m豐-3

【分析】本題主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知識(shí)，能根據(jù)已知和方程的

解得出m的范圍是解此題的關(guān)鍵.

根據(jù)解分式方程的步驟，可得分式方程的解，再根據(jù)分式方程的解是非負(fù)數(shù)，可得不等式，解不等式，

可得答案，并注意分母不為零.

【詳解】解：由原方程去分母，得X—2(久—3)=—小，

去括號(hào)，得x—2x+6=—

解得x=6+m,

???關(guān)于x的方程七-2=產(chǎn)的解是非負(fù)數(shù)，

x-33-%

6+m>0,

解得m>-6,

又％—3H0,

?,?％H3,

???6+m。3,mW—3,

故m的取值范圍為?n>—6且mW—3,

故答案為：m>—6且mH—3.

【題型6分式方程的實(shí)際應(yīng)用】

20.(24-25八年級(jí)上?全國(guó)?期末)某校因物理實(shí)驗(yàn)室需更新升級(jí)，現(xiàn)決定購(gòu)買甲、乙兩種型號(hào)的滑動(dòng)變阻器.若

購(gòu)買甲種滑動(dòng)變阻器用了1440元，購(gòu)買乙種用了2430元，購(gòu)買的乙種滑動(dòng)變阻器的數(shù)量是甲種的1.5

倍，乙種滑動(dòng)變阻器單價(jià)比甲種單價(jià)貴6元.

(1)求甲、乙兩種滑動(dòng)變阻器的單價(jià)分別為多少元；

(2)該校擬計(jì)劃再訂購(gòu)這兩種滑動(dòng)變阻器共100個(gè)，總費(fèi)用不超過5000元，那么該校最少購(gòu)買多少個(gè)甲

種滑動(dòng)變阻器？

【答案】(1)甲種滑動(dòng)變阻器的單價(jià)是48元，乙種滑動(dòng)變阻器的單價(jià)是54元

15

(2)該校最少可以購(gòu)買67個(gè)甲種滑動(dòng)變阻器

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用；

(1)設(shè)甲種滑動(dòng)變阻器的單價(jià)為x元，則乙種滑動(dòng)變阻器的單價(jià)為(x+6)元，根據(jù)題意可得出關(guān)于x的

分式方程，解之即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)該校購(gòu)買甲種滑動(dòng)變阻器機(jī)個(gè)，則購(gòu)買乙種滑動(dòng)變阻器(100-6)個(gè)，利用總價(jià)=單價(jià)X數(shù)量,

結(jié)合總費(fèi)用不超過5000元，可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中的最小整數(shù)值，即可得出結(jié)

論.

【詳解】(1)設(shè)甲種滑動(dòng)變阻器的單價(jià)為尤元，則乙種滑動(dòng)變阻器的單價(jià)為Q+6)元，

根據(jù)題意得：^=—X1.5

x+6x

解得：%=48,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=48是所列方程的根，且符合題意.

:?％+6=54,

答：甲種滑動(dòng)變阻器的單價(jià)是48元，乙種滑動(dòng)變阻器的單價(jià)是54元；

(2)設(shè)該校購(gòu)買甲種滑動(dòng)變阻器機(jī)個(gè)，則購(gòu)買乙種滑動(dòng)變阻器(100-伍)個(gè)，

根據(jù)題意得：48m+54(100-m)<5000,

解得：m>66|,

整數(shù)機(jī)的最小值為67,

答：該校最少可以購(gòu)買67個(gè)甲種滑動(dòng)變阻器.

21.(23-24八年級(jí)下?河南鄭州?期末)2020年12月28日，習(xí)近平總書記在主持召開中央農(nóng)村工作會(huì)議中指

出：，，堅(jiān)持中國(guó)人的飯碗任何時(shí)候都要牢牢端在自己手中，飯碗主要裝中國(guó)糧.，，某糧食生產(chǎn)基地為了落

實(shí)總書記的重要講話精神，積極擴(kuò)大糧食生產(chǎn)規(guī)模，計(jì)劃投入一筆資金購(gòu)買力型和B型兩種農(nóng)機(jī)具，已

知1件力型農(nóng)機(jī)具比1件B型農(nóng)機(jī)具多0.5萬元，用18萬元購(gòu)買4型農(nóng)機(jī)具和15萬元購(gòu)買B型農(nóng)機(jī)具的數(shù)量

相同.

(1)求購(gòu)買1件4型農(nóng)機(jī)具和1件B型農(nóng)機(jī)具各需多少錢？

(2)若該糧食生產(chǎn)基地計(jì)劃購(gòu)買力型和B型兩種農(nóng)機(jī)具共24件，且購(gòu)買的總費(fèi)用不超