二次根式專題特訓-2025年九年級中考數學一輪復習

二次根式專題特訓-2025年中考數學一輪復習

一、單選題

1.下列各式中，為最簡二次根式的是（）

A.Vm2+n2B.C.而D.V02

2.已知“是一個正整數，尾是整數，則〃的最小值是（）

A.2B.3C.6D.48

3.下列計算中，正確的是（）

A.2V3+3V2=5>/5B.（V3+V7）xVi0=10

C.（3+2@（3-2碼=-3D.（而+6）（而+旬=2o+b

4.下列二次根式中，不能和其他二次根式進行合并的是（）

A.V12B.V18C.V27D.748

5.如圖，在4x4的網格中，每個小正方形的邊長均為1,點A,B,C都在格點上，下面結論：①AB=2曲;

②/A4c=90。；③AABC的面積為10；④點A到直線BC的距離是2.正確的結論共有（）個

A.1個B.2個C.3個D.4個

6.如果請你來批閱作業，那么以下四道題中：①行尸=一7;②?=±3;③卜&了=心④

748-73=373.計算正確的題共有（）

A.1道B.2道C.3道D.4道

7.某商場一樓與二樓之間的手扶電梯如圖所示，其中A3、分別表示一樓、二樓地面的水平線，CE是

豎直線，高度為4m,8C的長是8m,則BE的長是（）

試卷第1頁，共6頁

CD

,d

BE

Q

A.46mB.8mC.-V3mD.4m

3

1

8.已知x=，貝！Jf—2J2023/—212024x2+2%—J2024的值為（）

J2024-J2023

A.0B.1C.J2023D.V2024

二、填空題

9.若式子H與在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是一

io.若收=九百=〃，則Vi麗用只含有九〃的式子可表示為

11.已知56X=5，則x的值為

2022

12.若機=則m3-3m2-2020/7J+2021的值是

J2023-1

13.比較大小V7-C2V2-V7

14.實數機在數軸上的位置如圖所示，則化簡J(〃L3)2+而的結果為.

III

0m（

15.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90,AC=2。,CB=6,D為AC中點，E為BC上一點,連接AE、BD

交于點尸，若/AED=30。，則CE的長為

16.求值：.1+--1--+1-1--H--+.1-1--H--H--卜JlT-------------------

\I222V2232V3242\2023220242

試卷第2頁，共6頁

三、解答題

17.計算

(1)V12-V27+^

力回x四[T

Q)F-—近

(3)2y[6+Jx~

⑷06+l)2-(V3+3)(V3-3)

18.一滴雨滴下落到地面所用的時間ts與下落的高度滿足關系式4=1gr.

⑴用含刀，g的式子表示心

(2)當多=490,g=9.8時，求t的值.

試卷第3頁，共6頁

19.化簡一個分母含有二次根式的式子時，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例

V2-1V2-1V2-1=V2-1V2V2xV3V6

如：V2+r(V2+1)(72=

’6一舟6-3

(1)若~,求3。2_12〃一1的值;

(2)比較J2025-J2024與J2024-J2023的大小,并說明理由.

⑶利用這一規律計算：+3收：+4J：34+…+2024v2023:2023V2024.

20.某居民小區有塊矩形ABC。綠地，矩形綠地的長BC為2#米，寬為百米，現要在矩形綠地中間修

建一個小矩形花壇(陰影部分)，小矩形花壇的長為(G+1)米，寬(6-1)米，除去修建花壇的地方，其他

地方全修建成通道，求通道的面積(結果化為最簡二次根式).

A,-------------------

試卷第4頁，共6頁

21.綜合與實踐

項目主題：課桌掛鉤頂端到地面距離的計算.

項目背景：現如今人們的生活水平不斷提高，同質化的商品很難得到人們的關注.為了方便同學們更好地

放置自己的物品，數學活動實踐小組以“課桌掛鉤頂端到地面距離的計算”為主題展開項目化學習.

驅動任務：根據報告內容計算掛鉤頂端到地面的距離.

研究步驟：(1)如圖，這是福州市某校新購進的一批課桌便攜式掛鉤，他們利用課余時間完成了如下實踐

探究，形成了如下實驗報告：

調查主題課桌掛鉤頂端到地面距離的計算

調查方式測量，查看說明書

(2)已知地面為水平面，桌面AE是水平面，DP〃MN,EF為課桌的高度，掛鉤頂端。到地面的距

離為DG,最后通過勾股定理及二次根式的有關知識，計算后得出結論.

(3)試驗數據：

元素EFABBCCD/ABC/BCDZCDP

數據78cm100cm10A/2cm4行cm90°90°45°

問題解決：請根據此項目實施的材料，求課桌掛鉤頂端。到地面的距離。G.

試卷第5頁，共6頁

22.材料一：由(石+6)(6-6)=(退)2-(6)2=2可以看出，兩個含有二次根式的代數式相乘，積不含

有二次根式，我們稱這兩個代數式互為有理化因式，在進行二次根式計算時，利用有理化因式，有時可以

化去分母中的根號，例如：

]___=班-&=6.

V3+V2-(A/3+V2)(V3-V2)-；

材料二：根式化簡

111]

3+V3向6+1)V3(V3+1)(^-1)以⑸'

]_]_6-6_j_Q___

573+375-V15(V5+V3)-715(75+V3)(V5-V3)-2^73⑸.

根據以上材料，請完成下列問題：

3

(1)口|=；(直接寫結果)

]]]]

++++；

⑵計算：72+1^+A/274+V3"'VW0+V99

[[]]

(3)1十算：3+百+5百+36+7君+5將+…+49而+47歷：

計算.，幣-#>,上

-1+V3+V5+V3^51+V5+V7+A/5^7…1+J2023+J2025+J2023義2025,

試卷第6頁，共6頁

參考答案:

題號12345678

答案ABCBCAAC

1.A

【分析】本題考查了最簡二次根式“1、被開方數的因數是整數，字母因式是整式；2、被開方數不含能開得

盡方的因數或因式”，熟記最簡二次根式的定義是解題關鍵.根據最簡二次根式的定義逐項判斷即可得.

【詳解】解：A、后二7是最簡二次根式，則此項符合題意；

B、P則此項不是最簡二次根式，不符合題意；

V22

C、后=亞國，則此項不是最簡二次根式，不符合題意；

D、卮=[=*則此項不是最簡二次根式，不符合題意；

故選：A.

2.B

【分析】本題考查二次根式的性質，解決此題時要先對根式進行化簡將能開方的先開出來，再進行分析比

較簡單.

根據二次根式的性質，對畫?進行化簡歷=4島，只要用是整數即可

【詳解】解：由題意可知：48n>0,

n>0,

,**：48〃=V16x3n=4y/3n是整數，

故技是整數，

的最小值為3,

故選：B.

3.C

【分析】本題考查了二次根式的混合運算.根據二次根式的加減法對A進行判斷；根據二次根式的乘法法

則對B進行判斷；根據平方差公式對C進行判斷；根據完全平方公式對D進行判斷.

【詳解】解：A、2/與3a不是同類二次根式，不能合并，所以A選項不符合題意；

B、原式=有義際+行乂屈=而+屈,所以B選項不符合題意；

C、原式=9-12=-3,所以選項C符合題意；

答案第1頁，共14頁

D、原式=2a+2展區+6,所以D選項不符合題意；

故選：C.

4.B

【分析】本題考查了同類二次根式，幾個二次根式化成最簡二次根式后被開方數相同，這幾個二次根式叫

同類二次根式，同類二次根式可以進行合并，熟練掌握同類二次根式的定義是解題的關鍵.先把各二次根

式化簡為最簡二次根式，根據能合并即是同類二次根式，找出不是同類二次根式的選項即可得答案.

【詳解】解：：配=26，V18=3V2,歷=3也,>/48=4>/3,

???26、36、46是同類二次根式，可以合并，3應與其它3項不是同類二次根式，不能合并，

故選：B.

5.C

【分析】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，二次根式的乘法計算，利用勾股定理即可判斷①；利用勾

股定理分別求出AC?=『+2。=5,BC2=32+42=25,AB2=22+42=20,進而得至!]AC?+AB?=5C?,則由

勾股定理的逆定理即可判斷②；根據三角形面積計算公式即可判斷③；根據等面積法即可判斷④.

【詳解】解：①由勾股定理得48=后了不=2遍，故①正確；

②由勾股定理得=f+22=5,BC2=32+42=25,AB2=22+42=20,

/?AC2+AB2=BC2,

/.ABAC=90°,故②正確；

@5AABC=|AC-AB=|XV5X2V5=5,故③錯誤；

工.2

④點A到直線8c的距離是1<,故④正確；

X3

2

正確的有①②③，共3個，

故選：C.

6.A

【分析】本題主要考查了化簡二次根式，二次根式的乘法和減法計算，根據二次根式的性質化簡即可判斷

①②；根據二次根式乘法計算法則可判斷③；根據二次根式減法計算法則可判斷④.

【詳解】解：①斷了=7,原式計算錯誤；

②亞=3,原式計算錯誤；

答案第2頁，共14頁

③卜也『=2,原式計算錯誤；

(DV48-V3=473-73=373,原式計算正確；

.?.計算正確的題有1道，

故選：A.

7.A

【分析】本題主要考查了勾股定理，直接利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：由題意得，3c=8m,CE=4m,NC防=90。，

BE=A/BC2-CE2=Ng-42=4>/3m，

故選：A.

8.C

【分析】本題主要考查了二次根式的化簡求值、分母有理化等知識點，逐步把》=行向+7^^代入所求

式子進行化簡求值是解題的關鍵.

先利用分母有理化對已知條件進行化簡，再依次代入所求的式子進行運算即可.

1

【詳解】解:

J2024-J2023

1________J2024+J2023________

=72024+72023

J2024-J2023(A/2024-V2023)(V2024+V2023)

f一2,2023x5-犬+/-2,2024。+2x-J2024

=(V2024+V2023-2^/2023)x5-x4+x3-2V2024x2+2x-72024

=(V2024-V2023)x5-x4+x3-2V2024%2+2x-V2024

=(V2024-V2023)(A/2024+V2023)x4-x4+x3-2A/2024X2+2x-72024

=x4-/+x3-2A/2024X2+2x-^2024

=爐-2,2024/+2x-J2024

=(J2024+J2023-2J2024)Y+2x_J2024

=(A/2023-V2024)x2+2x-V2024

=(J2023-J2024)(J2024+j2023)x+2x-J2024

答案第3頁，共14頁

=—x+2x—J2024

=x-J2024

=V2024+V2023-V2024

=J2023.

故選：C.

9.x>3

【分析】本題考查的是二次根式有意義的條件.根據二次根式有意義的條件：被開方數為非負數列出不等

式解答即可.

【詳解】解：根據題意得：x-3>0,

解得：x>3

故答案為：x>3.

10.m2n3/n3m2

【分析】本題考查化簡二次根式，根據二次根式的性質，進行化簡即可.

【詳解】解：*：=n,

AV108=V36X3

=J6x6x3

=V2x2x3x3x3

=V2XV2Xs/3XV3XV3

=m-m-n-n-n

=m2r；

故答案為：m2n3.

11.2

15

【分析】本題考查二次根式的混合運算，方程兩邊同時除以56,進行求解即可.

【詳解】解：，6二卡，

_2_2

；"二和7T役

答案第4頁，共14頁

,2

故答案為：—.

12.-1

【分析】本題考查了代數式求值，配方法的應用，分母有理化，先分母有理數化得出m-1=而西，求出

而-2m=2022，將原式變形為加（小?一2%）一加,一2020〃吐2021再將優,一2%=2022代入求值即可.

2022(72023+1)

2022

【詳解】解：?.2==72023+1,

A/2023-I(72023-1)(72023+1)

/?7/1-1=^2023,

**?m2-2m+1=2023，

m2-2m=2022,

???m3-3m2-2020m+2021

=m(m2-2根)一根之_2020m+2021

=2022m-m2-2020m+2021

=-m2+2m+2021

=—2022+2021

=—l.

故答案為：-1.

13.>

1

【分析】本題主要考查了二次根式比較大小，先根據分母有理化的方法得到=V7+V6,

V7-V6

]=2亞+V7,再根據痛＜嶼＜2后得至!13-痛〉0,2后—S〉o,2V2+V7＞V7+V6,即可得

2V2-V7

到乃、獷颯26-幣＜5-a.

1V7+V6

【詳解】解：萬二瓶二麗二兩產西

1_2V2+V7_2V2+V7_o信后

刃K=(2百-仞(2亞+仞=下廠"

,:瓜〈不〈2后，

>0,20-近>0,2V2+V7>V7+V6，

答案第5頁，共14頁

11

"V7-V6<2V2-V7'

：.2V2-V7<V7-V6,

故答案為：>.

14.3

【分析】本題考查了實數與數軸，二次根式的性質等知識，先根據數軸得出。<加<1,則機-3<0,然后根

據二次根式的性質化簡計算即可.

【詳解】解：由數軸知：0<m<l,

m-3<0,

J（加-3）2+

=|m-3|+|m|

=3-m+m

=3,

故答案為：3.

5y/31

【分析】利用勾股定理求得4B和8。的長，證明/C54=30。，得至！］Nl=/2,推出△OC^S4BGA,得到

r~2>/3V12+X2

BG=生"，設CE=x,BE=6-x,再證明△AECs^BEG,得到礪十6-x，據此求解即可.

13-------

13

【詳解】解：取AB的中點“，連接CH,過點8作AE的垂線，垂足為點G,如圖,

A

D

VZACB=90°,AC=2V3,CB=6,

AB=^AC2+CB2=473，

為AC中點，

CD=-AC=4i,

2

答案第6頁，共14頁

BD=YCD?+BC2=底,

：.CH=AH=-AB=243=ACf

2

???口4?”是等邊三角形，

???ZCAB=60°,

：.ZCBA=3O°=Z1+Z3,

VZAF￡>=30°,

???Z2+Z3=30°,

/.N1=N2,

???/DCB=/BGA=90°,

：.ZXDCB^Z^BGA,

:.Q嗎即與與

BGABBG4A/3

解得BG=生”，

13

設CE=x,BE=6—xAE=VAC2+CE2=V12+x2，

?.?ZAEC=/BEG,ZACE=ZBGE=90°,

???AAECS^BEG,

,AC_AE"2+f

，?茄=茄，即用6-x

13

整理得3/-52X+140=0,

解得尤=?或x=14,

經檢驗x=?或尤=14都是原方程的解，但x=14不符合題意，舍去,

CE=—,

3

故答案為：

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，勾股定理，二次根式的混合運算，等邊三角形的判定和性

質.正確引出輔助線解決問題是解題的關鍵.

2023

16.2023------

2024

答案第7頁，共14頁

I11,11

【分析】本題考查了二次根式的運算，完全平方公式的應用，先推導公式―方=1+------7,

'n(w+1)nn+]

然后利用公式計算即可.

【詳解】解：卜，*高

n2(n+1)2+n2+(〃+1)2

=\/1+1)2

In(n+l)]2+2n(n+l)+l

，一1+1)2

("2+〃+1)2

Vn2(n+1)2

_n2+n+l

n(n+l)+(n+l)—n

?(n+l)

1Il

=IH------------,

n〃+l

"+3+1+=+…+|+，I

?二原式=l+,-一

2233420232024

2023x1+1———

2024

2023

=2023-----

2024

故答案為：2023三20巴23

2024

17.(1)373

⑵座

2

(3)372

(4)19+473

【分析】本題主要考查了二次根式的混合計算：

(1)先化簡二次根式，再計算二次根式加減法即可；

(2)先化簡二次根式，再計算二次根式除法和乘法，最后計算減法即可；

(3)先根據分配律去括號，再計算二次根式乘法，最后計算二次根式加減法即可;

答案第8頁，共14頁

(4)根據乘法公式先去括號，然后計算加減法即可.

【詳解】(1)解:g-a+灰

=2百-3月+46

(2)解：回嚴邛

V8V2

572x472V2

―2722

=1072--

2

1972

2

=2V6xV3+^|xV3-4V2

=2V18+V2-4V2

=672+72-472

=3-\/2;

(4)解：(2V3+l)2-(V3+3)(V3-3)

=12+473+1-(3-9)

=12+473+1-3+9

=19+4百.

(2)10.

【分析】(1)根據算術平方根把公式變形即可；

(2)把/7=490,g=9.8代入即可求解；

本題考查了算術平方根的定義，掌握算術平方根的定義是解題的關鍵.

【詳解】⑴解：?."=》,

答案第9頁，共14頁

(2)解：當〃=490,g=9.8時,

19.(1)2

（2）J2025-J2024<J2024-q2023

2024-V2024

2024

【分析】（1）先化簡。，再代入代數式計算即可；

⑵利用倒數的關系，先分別化簡"7礪、毛比較結果的大小，進而可比較

J2025-J2024與J2024-J2023的大小;

（3）由題意可得每項可表示為^-7二，利用該規律拆項后計算即可求解；

7ny/n+1

本題考查了二次根式的化簡及化簡求值，二次根式的混合運算，掌握二次根式的化簡是解題的關鍵.

原式=3(石+2『一12(若+2)-1

=3(5+4出+4)-(126+24)-1,

=27+12百-126-24-1,

=2；

1_________J2025+J2024_________

=72025+72024

（2）解:J2025-J2024(J2025-J2024)(J2025+J2024)

_________J2024+J2023_________

1=72024+72023

J2024-J2023(J2024-J2023)(J2024+J2023)

又：J2025+J2024>(2024+J2023>0,

J2025-J2024>J2024-J2023>°

答案第10頁，共14頁

J2025-J2024<J2024—J2023;

.111

⑶觸；環口rim

ii____i_

3V2+2V3V2拒,

11____1_

4用3"-6

,?八工一&V2+V26+6V4+-+V2023J2024

J_____1_

一VTJ2024，

,J2024

=1-----------，

2024

_2024-V2024

―2024?

20.通道的面積為(6行-2)平方米

【分析】本題考查的是二次根式的加法與二次根式的乘法及混合運算的應用，熟練的進行二次根式的的化

簡與運算是解本題的關鍵.分別求出矩形綠地和小矩形花壇的面積，再相減求通道面積即可.

【詳解】解：???矩形綠地的長8C為2A后米，寬為百米，

S矩形題。。=2^6xV3=65/2平方米，

???小矩形花壇的長為(若+1)米，寬(6-1)米，

二小矩形花壇的面積為(6+1)(6-1)=(@、1=2平方米，

???通道的面積為(6五-2)平方米.

21.62cm

【分析】本題主要考查了三角形內角和定理，等腰直角三角形的判定以及性質，勾股定理等等知識，連接AC,

交DP于點、H.由等角對等邊以及三角形內角和定理可得出/BAC=/AC2=45。，再結合已知條件可得出

ZDHC=900,利用勾股定理分別求出AC和8C,最后根據線段的和差關系即可得出答案.

【詳解】解：如圖，連接AC,交DP于點H.

答案第11頁，共14頁

E

c?/AB=BC,

MFGN

ABAC=ZACB,

?/ZABC=90°,

/.ZBAC=ZACB=45°,

???ZBCD=90°,

ZDCH=45°,

???ZCDP=45°,

ZDHC=90°,

ACVDP,DH=CH,

vAB=BC=10y/2cm,

/.AC=dAB?+BC?=20cm，

^DH=CH=xcm,

DC=VZ)H2+CH2=4A/2cm，

/.x2+x2=卜也『，

，x=4或x=-4(舍去)，

/.CH=4cm,

AH=AC—CH=20—4=16cm,

/.DG=EF-AH=7S-16=62cm.

答：課桌掛鉤頂端。到地面的距離。G為62cm.

22.(1)3+V6

(2)9

223

【分析】本題考查分母有理數、二次根式的混合運算，理解分母有理化的求解過程并靈活運用是解答的關

答案第12頁，共14頁

鍵.

(1)仿照題中例題解過程求解即可；

(2)仿照題中求解過程化簡各式，然后加減運算即可求解；

(3)仿照題中求解過程化簡各式，然后加減運算即可求解；

(4)先對分母分解因式，再進行裂項化簡各數，然后加減運算即可.

「至鏟】小鏟34+佝3(3+V6)

【詳解】⑴斛：『r(3一,(3+網=%"=3+而，

故答案為：3+V6

(2)解：0+]+百+血+"+&+…+

lx(V2-l)1x(6-⑹lx(V4-V3)lx(VW0-V99)

(V2+1)(V2-1)+(V3+V2)(V3-V2)+(V4+V3)(V4-V3)

亞]6-航V4-V3