第07講整式乘法

T模塊導航—T素養目標—

模塊一思維導圖串知識能進行簡單的整式乘法運算(其中多項式相乘僅指

模塊二基礎知識全梳理(吃透教材)一次式之間以及一次式與二次式相乘)；

模塊三核心考點舉一反三

模塊四小試牛刀過關測

?＞偏故一基礎知田仝捺理-------------------------------

知識點1單項式與單項式相乘的法則

單項式與單項式相乘，把它們的系數、同底數哥分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它

的指數作為積的一個因式.

注意：(1)積的系數等于各系數的積，應先確定積的

符號，再計算積的絕對值.

(2)相同字母相乘，是同底數幕的乘法，按照“底數不變，指數相加”進行計算.

(3)只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數寫在積里.

(4)單項式乘單項式的結果仍然是單項式.

(5)對于三個以上的單項式相乘法則同樣適用.

知識點2單項式與多項式相乘的法則

單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。即

m(a+b+c)=ma+mb+me(a,"諸B是單項式)。

注意：(1)單項式與多項式相乘，結采是一個多項式其項數與因式中多項式的項數相同，可以以此來檢驗在

運算中是否漏乘某些項.

(2)計算時要注意符號問題，多項式中每一項都包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號.

(3)對于混合運算，應注意運算順序，有同類項時，必須合并，從而得到最簡結果.

知識點3多項式與多項式相乘的法則

多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。即

（a+b\m+n）=am+an+bm+bn（a,“加，,都是單項式）

意：（1）運用多項式乘法法則時，要按一定的順序進行，防止“漏項”。

）多項式與多項式相乘，仍得多項式.在合并同類項之前，積的項數應該等于兩個多項式的項數之積。

1多項式是單項式的和，每一項都包括前面的符號，運算過程中要注意確定積中各項的符號。

知識點4單項式除以單項式法則

E單項式相除，把系數與同底數塞分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數

作為商的一個因式。

意：（1）運算中單項式的系數包括它前面的符號。

）不要遺漏只在被除式里含有的字母。

）單項式除以單項式的站果仍是單項式。

知識點5多項式除以單項式法則

E多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加。

注意：（1）多項式除以單項式可以簡化為單項式除以單項式、在計算時，多項式里的各項要包括它前面的符

號。

（2）多項式除以單項式，被除式里有幾項，商也應該有幾項、不要漏項。

（3）多項式除以單項式是單項式乘多項式的逆運算，可用共進行檢驗。

6模塊三核心考點舉一反三------------------------------

考點01：計算單項式乘以單項式

例題1.（24-25七年級上?上海?期中）計算：仍大

【變式1-1】計算：x2y-（-xy）=.

【變式1-2】計算：（-2/『（襯,（打2

【變式1-3】計算：—a4bsc3—（^—ab）[-a264c，2^—^-abc1.

考點02：利用單項式乘法求字母或代數式的值

|\'例題2.若（a'""?）=九3,則加+〃的值為.

【變式2?1】已知單項式3%2、3與2盯2的積為加,那么加一〃二（）

A.11B.5C.1D.-1

【變式2-2】已知2x+l=0,則代數式x（x—2）+3的值為（）

A.0B.2C.1D.3

【變式2-3】先化簡，后求值：4%徐3+1_；12,].]6肛2,其中x=o.4,y=-2.5.

2

考點03：單項式乘以多項式

例題3.（24-25七年級上?遼寧錦州?期中）先化簡，再求值：［（3x+y）（2y-x）+x（3尤-y）］+（-2y）,

其中x=g,y=-1

【變式3-1】把代數式5（--y）變形為5/一5y所運用的根據是（）

A.乘法交換律B.乘法結合律C.分配律D.乘法交換律和分配律

［變式3-2】化簡：（a2b+加一3/）.（4加）-（-2ab2『

【變式3-3】計算：x^^y^-x-'y-'+xy")

考點04：單項式乘多項式的應用

例題4.小紅的爸爸將一塊長為（g/+5/1分米、寬筋5分米的長方形鐵皮的四個角都剪去一個邊長

L2J

為:/分米的小正方形，然后沿虛線折成一個無蓋的盒子.

（1）用含4，6的整式表示盒子的外表面積;

（2）若“=1,6=0.2,現往盒子的外表面上噴漆，每平方分米噴漆價格為15元，求噴漆共需要多少元？

【變式4-1］（23-24八年級上?內蒙古興安盟?期末）神舟十六號載人飛船成功發射，激發了中小學生對航天

事業的熱愛.李華在手工課上制作了一個火箭模型（圖1）,圖2是其中一重要零件及各邊的長度，則圖2

中零件的面積為（）

A.a2+3abB.2b2+abC.3b2+2abD.b2+3ab

【變式4-2］如圖，已知正方形的邊長為a,長方形CE/G的邊CE長為2a,邊CG長為江則以

。為圓心，AD為半徑的弧與G4GE所圍成的陰影部分的面積是.（用含有a、b和萬的代數式表示）

3

【變式4-3］（23-24七年級下?河北秦皇島?期末）某居民小組在進行美麗鄉村建設中，規劃將一長為5“米、

寬為2b米的長方形場地打造成居民健身場所，如圖所示，具體規劃為：在這個場地一角分割出一塊長為

（30+1）米，寬為6米的長方形場地建籃球場，其余的地方安裝各種健身器材，其中用作籃球場的地面鋪設

塑膠地面，用于安裝健身器材的區域建水泥地面.

（1）用含。、b的式子表示籃球場地的面積岳和安裝健身器材區域的地面面積風；

（2）當a=9米，6=15米時，分別求出籃球場地的面積和安裝健身器材區域的地面面積；

（3）在（2）的條件下，如果鋪設塑膠地面每平方米需100元，鋪設水泥地面每平方米需50元，求建設該居

民健身場所所需的地面總費用M（元）.

考點05：多項式乘以多項式

=x2+mx+?,貝U加=n=

【變式5?1】（23-24七年級上?河北石家莊?期末）若卜-3）和（x+5）是夕的因式，貝（J夕為（）

A.-15B.-2C.8D.2

【變式5-2］已知（x+1乂x—3）=%2+"+b,則/的值是（）

1111

A.——B.-C.——D.-

8899

【變式5-3】計算：（3a+26）（〃-6）+（2a-6）（a+6）=.

考點06：已知多項式乘積不含某項求字母的值

；''例題6.一個關于x的二次三項式/+2尤+4,將它與一個關于x的二項式辦+6相乘，得到一個關于x

的整式，其中不出現一次項，且三次項系數為1,求〃、6的值.

【變式6-1］已知（5-3X+S2-6/）Q_2X）的計算結果中不含/項，則用的值為.

【變式6-2］（24-25七年級上?重慶?期中）要使多項式9+2一一2ax3+4Zz?+x-5中不含f項和丁項，則

a-b=.

4

【變式6-3](24-25七年級上?甘肅金昌?期中)若代數式-3/+/*+3苫-1不含》的一次項，求療的值.

考點07：多項式乘多項式的化簡求值

例題7.(23-24七年級下?江蘇常州?期末)先化簡，再求值：2x(x+l)-(x+2)(2x-l),其中x=l.

【變式7-1]已知點+/=22,xy=7,那么(2x-y)(x-2y)的值為

【變式7-2].(2024?廣東深圳三模)已知川=a+6+2024,貝!的值為.

【變式7-3].(23-24七年級下?浙江杭州?期中)已知x+y=3,xy=-l,則。+力。+力的值為.

考點08：多項式乘法中的規律問題

8.觀察下列式子:

(J=X+1

-1)+(%-1)=%2+x+l

(J一1).-1)=/++%+1

(X，-1)+(%—1)=%，+/+/+X+1

⑴根據以上式子，請直接寫出任―1戶卜―1)=

⑵根據以上式子，請直接寫出(/-1)+(%-1)的結果5為正整數)；

(3)計算：1+2+2?+23+2,+.??+22°i5.

【變式8?1】通過計算尋找規律：

⑴計算：+.(%-1乂+x+l)=.—+%2+%+])=

(2)猜想：(x—l)(x"+%"1+…+x+l)=.

(3)根據猜想結論，寫出下列結果：25+24+...+2+1=.2〃T+2I+...+2+1=

【變式8-2］觀察以下等式：

(X+0(%之一%+1)=/+1

(X+3)(X2-3X+9)=X3+33

(x+6)(J-6、+36)=x3+63

⑴按以上等式的規律，填空：

①(x+8)(f_8%+64)=.

②(Q+b)(〃2-〃加/)=.

(2)利用多項式的乘法法則，說明(1)中②的等式成立.

(3)利用(1)中的公式化簡；

5

(x+y),-xy+y2)-(x+4y)(x2-4xy+16y2)

【變式8-3](23-24七年級下?廣東清遠?期中)觀察以下等式:

(x+l)(x2-x+l)=x3+1

(X+3)(X2-3X+9)=X3+33

(x+6)(x2-6x+36)=x3+63

（1）按以上等式的規律，填空：

@（x+10）（x2-10x+100）=.

②（a+b）（/-。加加）=.

（2）利用多項式的乘法法則，說明（1）中②的等式成立.

（3）利用（1）中的公式化簡：（x+y乂尤2-肛+/）-（x+3田-3孫+9/）.

＞：■模塊四小試牛刀過關測

一、單選題

1.（23-24七年級下?安徽宿州?期末）下列運算中正確的是（）

A.x3+x3=x6B.(--)3=x6

C.x2-x4=x6D.2x24-x2=2x

2.（23-24七年級下?安徽六安?期末）若/+3a=2則代數式5。（。+3）-2的值為（）

A.7B.8C.9D.10

3.（23-24七年級下?安徽亳州?期末）設/=（x+3）（x-8）,5=（x+l）（x-6）,則N與3的大小關系為（）

A.A<BB.A>BC.4=BD.不能確定

4.（23-24八年級下?安徽滁州?期末）若（x-2）（2x+4）運算結果中不含關于x的一次項，則后的值是（）

A.4B.-4C.2D.-3

二、填空題

5.（23-24七年級下?安徽合肥?期末）若(%—2)(%+加)=Y+3%—〃，貝ijm-n=_____.

6.（22-23七年級下?安徽安慶?期末）要使（x+3乂2，+皿-4）的展開式中不含公項，則m的值為______.

三、解答題

7.（23-24七年級下?廣東深圳?期末）計算：

(1)3/?2/+(3/)--14/；

(2)2出-3>)-(5中2一2》2〉卜〉.

8.（23-24七年級下?廣東深圳?期末）計算:

6

⑴臼+0

-(2024+7)°；

⑵(312y)2.(-2中3j4-^-6x4y5).

9.(22-23七年級下?安徽六安?期末)觀察下列各式：

(x-l)+(x-1)=1；

(x2-1)^-(%-1)=x+1；

(一+=—+1+i；

(X，—])+(X-1)=/+12+%+]；

(1)根據上面各式的規律可得：，-l)+(x-l)=.

(2)根據上面各式的規律可得：(--1)+(x-1)=.

(3)若1+X+/+…+，°22=0,求信必的值.

10.(23-24七年級下?安徽亳州?期末)觀察下列多項式的乘法計算.

①(x+3)(x+4)=x2+(3+4)x+3X4=X2+7X+12；

(2)(x+3)(x-4)=x2+[3+(-4)]x+3x(-4)=x2-x-12；

@(x-3)(x+4)=x2+■-3)+4]x+(-3)x4=x2+x-12；

@(x-3)(x-4)=x2+[(-3)+(-4)]x+(-3)x(-4)=x2-7x+12.

⑴計算：(x+2)(x+3)=,(x+l)(x-7)=.

(2)若(x-5)(x+冽)=/+幾x—15,求加〃的值.

7

第07講整式乘法

T模塊導航。T素養目標A

模塊一思維導圖串知識能進行簡單的整式乘法運算(其中多項式相乘僅指

模塊二基礎知識全梳理(吃透教材)一次式之間以及一次式與二次式相乘)；

模塊三核心考點舉一反三

模塊四小試牛刀過關測

6模塊一思維導圖串知識-

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6模塊二基礎知識全梳理-----------------------------

知識點1單項式與單項式相乘的法則

單項式與單項式相乘，把它們的系數、同底數幕分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它

的指數作為積的一個因式.

注意：(1)積的系數等于各系數的積，應先確定積的

符號，再計算積的絕對值.

(2)相同字母相乘，是同底數幕的乘法，按照“底數不變，指數相加”進行計算.

(3)只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數寫在積里.

(4)單項式乘單項式的結果仍然是單項式.

(5)對于三個以上的單項式相乘法則同樣適用.

知識點2單項式與多項式相乘的法則

單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。即

m(a+b+c)=ma+mb+mc(a,b,c,加者B是單項式)。

注意：(1)單項式與多項式相乘，結采是一個多項式其項數與因式中多項式的項數相同，可以以此來檢驗在

運算中是否漏乘某些項.

(2)計算時要注意符號問題，多項式中每一項都包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號.

(3)對于混合運算，應注意運算順序，有同類項時，必須合并，從而得到最簡結果.

知識點3多項式與多項式相乘的法則

多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。即

8

（a+b\m+n）=am+an+bm+bn（a,“加，〃都是單項式）

注意：（1）運用多項式乘法法則時，要按一定的順序進行，防止“漏項”。

（2）多項式與多項式相乘，仍得多項式.在合并同類項之前，積的項數應該等于兩個多項式的項數之積。

（3）多項式是單項式的和，每一項都包括前面的符號，運算過程中要注意確定積中各項的符號。

知識點4單項式除以單項式法則

單項式相除，把系數與同底數幕分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數

作為商的一個因式。

意：（1）運算中單項式的系數包括它前面的符號。

）不要遺漏只在被除式里含有的字母。

）單項式除以單項式的站果仍是單項式。

知識點5多項式除以單項式法則

E多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加。

注意：（1）多項式除以單項式可以簡化為單項式除以單項式、在計算時，多項式里的各項要包括它前面的符

號。

（2）多項式除以單項式，被除式里有幾項，商也應該有幾項、不要漏項。

（3）多項式除以單項式是單項式乘多項式的逆運算，可用共進行檢驗。

6模塊三核心考點舉一反三------------------------------

考點01：計算單項式乘以單項式

例題1.（24-25七年級上?上海?期中）計算：［白那］一（《砌3.

【答案】

【解析】解：，白力:，三加］一（々砌3

=-a3b3+Sa3b3

5

=—a3b\

5

【變式1-1】計算：X2J-（-xy）=.

【答案】*/

【解析】解：x2y（-xy）=-x3y2,故答案為：.

【變式1-2】計算：（一

【答案】-12/92

【解析】解：原式=一8工6艮.；孫3.尸6

9

=-112cx7y6—6

=-12x7/2.

【變式1-3】計算：［a%8c3-（-。人丫234c3）+2（--abc

I4

【答案】-aW+—aV

927

【解析】解：原式一363c3j

=一/67c3363c31

=-?W+—a2/,4.

927

考點02：利用單項式乘法求字母或代數式的值

2.若（曖+0+2）.（/-&"）=/火則冽+〃的值為.

14

【答案】y

【解析】解：???（。""+2）?2"-%2"）=九3,

...++1+加一方+2+2”=點3,

（m+2n=5

??13〃+2=3'

\13

m=一

.3

1,

n=—

I3

?14

..m+n=——,

3

、14

故答案為：—.

【變式2.1】已知單項式3//與2盯2的積為加dy,,那么加—〃=（）

A.11B.5C.1D.-1

【答案】C

23235

【解析13xy?2xy=6xy,

mxyn=6x3y5,

..tn=6,〃=5,

:.m—n=6—5=1.

10

故選：c.

【變式2-2】已知/_2尤+1=0,則代數式x（x-2）+3的值為（）

A.0B.2C.1D.3

【答案】B

【解析】解：?"-2/+1=0,

x2-2x=-1，

-2）+3=x~-2x+3=-1+3=2,

故選：B.

【變式2-3】先化簡，后求值：4%y+1—%2）.16孫2,其中x=0.4,=-2.5.

【答案】y5~^x3y3?

425

【解析】解：4xVAT+MX2A16X/

=4xy-^xy+（-4xy）

=（x，y5-4x3y3

25

考點03：單項式乘以多項式

3.（24-25七年級上?遼寧錦州?期中）先化簡，再求值:［（3x+y）（2y-x）+x（3x-y

其中x=；,y=T

【答案】一2尤-了，0

【解析】解：［（3x+y）（2y-x）+x（3x-y）］+（-2y）

=［（5砂―3/+2『）+（3，_中卜（~2y）

11

=-2x-y,

當x=；,y=時，原式=_2尤_y=-2x^-(-l)=00.

【變式3-1】把代數式5，-y)變形為5x「5y所運用的根據是()

A.乘法交換律B.乘法結合律C.分配律D.乘法交換律和分配律

【答案】C

【解析】解：把代數式5卜2一司變形為5f-5y所運用的根據是分配律，故選：C.

【變式3-2】化簡：+加一勸3)(船〃卜卜勿〃J

【答案】4a3/>3-12a/

【解析】解：(a%+062-3獷).(生〃)一卜勿62)一

=a2b-(4a〃)+ab2-(4ab2卜3b3-(4ab2卜4a2/)4

=4/3+4*-12加-4//

=4//-12仍5.

【變式3-3】計算：x2y(x"-、"+Jx"-yT+x"y")

WAs*vc^t、n+\n+2n+\n,n+2n+1

【答案】Xy-xy+xy

［解析］解：x2y(x--y+1-^-y^+^V)

=x2y-xn—\yM+1-x,2y-xn—1yM—1.+x2y-xnyn

—_xY〃+1yI/+2—x丫y_-Lrx丫"+2y曾〃+1

考點04：單項式乘多項式的應用

I、,例題4.小紅的爸爸將一塊長為+5/1分米、寬5a$分米的長方形鐵皮的四個角都剪去一個邊長

為21分米的小正方形，然后沿虛線折成一個無蓋的盒子.

2

(1)用含。，6的整式表示盒子的外表面積；

(2)若。=1,6=0.2,現往盒子的外表面上噴漆，每平方分米噴漆價格為15元，求噴漆共需要多少元?

【答案】(1)23a8+25a(平方分米)

(2)360元

12

【解析】（1）解：根據題意得：

（■^々3+562）.5a5-4x^a4^

=24as+25a5b2-as

=23as+25a5b2（平方分米）

???盒子的外表面積為（23°8+25/從）平方分米；

（2）解：當。=1,6=0.2時，

23/+25/〃=23xa+25xFx0.22=24（平方分米）

則噴漆的費用為15x24=360（元）.

答：噴漆共需要360元.

【變式4-1］（23-24八年級上?內蒙古興安盟?期末）神舟十六號載人飛船成功發射，激發了中小學生對航天

事業的熱愛.李華在手工課上制作了一個火箭模型（圖1）,圖2是其中一重要零件及各邊的長度，則圖2

中零件的面積為（）

/\

圖1圖2

A.a2+3abB.2b2+abC.3b2+2abD.b2+3ab

【答案】A

Ii

【解析】解：—a1-^-ax2b+-［a+2b）xa

12c717i

=—a+2ab+—a+ab

22

=a2+3ab，

即圖2中零件的面積為/+3〃b.

故選：A

【變式4-2］如圖，已知正方形的邊長為〃，長方形CEFG的邊CE長為2〃，邊CG長為江則以

。為圓心，為半徑的弧與G4GE所圍成的陰影部分的面積是.（用含有6和萬的代數式表示）

13

i3i

【答案】一/+—必+—萬〃?

224

【解析】解：由題意得，S陰影+9+

=2ab+Q?—/—abH—71a2

224

=―〃-|—abT—TTQ2,

224

故答案為：+-ab+-7ta2.

224

【變式4-3］（23-24七年級下?河北秦皇島?期末）某居民小組在進行美麗鄉村建設中，規劃將一長為5a米、

寬為2b米的長方形場地打造成居民健身場所，如圖所示，具體規劃為：在這個場地一角分割出一塊長為

（30+1）米，寬為6米的長方形場地建籃球場，其余的地方安裝各種健身器材，其中用作籃球場的地面鋪設

塑膠地面，用于安裝健身器材的區域建水泥地面.

（1）用含。、6的式子表示籃球場地的面積H和安裝健身器材區域的地面面積§2；

（2）當。=9米，6=15米時，分別求出籃球場地的面積和安裝健身器材區域的地面面積；

（3）在（2）的條件下，如果鋪設塑膠地面每平方米需100元，鋪設水泥地面每平方米需50元，求建設該居

民健身場所所需的地面總費用M（元）.

【答案】（1）E=3ab+b,S2=7ab-b；

（2）420平方米，930平方米；

（3）88500元

【解析】（1）解：E=6（3Q+l）=3ab+b（平方米）

S2=5ax2b-b（3a+1^=7ab-b（平方米）

（2）當Q=9米，6=15米時

S.=3x9x15+15=420（平方米）

14

S2=7x9x15-15=930(平方米)

(3)M=420x100+930x50=88500(元)

考點05：多項式乘以多項式

T］例題5.已知（3+%）（%-4）=%2+加工+幾，則加=n=

I——I

【答案】-1-12

【解析】解：（3+x）（x-4）

=x2+3x—4x—12

=%2_x_12

=x+mx+n，

m=—I,n=—12,

故答案為：-1,-12.

【變式5-1](23-24七年級上?河北石家莊?期末)若(》-3)和(x+5)是一+px+q的因式，則p為()

A.-15B.-2C.8D.2

【答案】D

【解析】解：(x-3)(x+5)=d+2x-15

即x2+2x-15=x2+px+q

p=2

故選：D

【變式5-21已知(x+l)(x-3)=/+qx+6,則/的值是()

1111

A.——B.-C.——D.-

8899

【答案】A

【解析】解：V(x+l)(x-3)=x2+6zx+/?,

??f+%—3%—3=x2+ax+b，

??x2—2x—3—%?+ax+6,

a=—2,b=—3,

故選：A.

【變式5?3】計算：（3〃+26）（〃-Z?）+（2。-6）（Q+"=1

【答案】5/-3b2

【解析】解：（3a+26）（a-6）+（2”6）（〃+6）

3/—3ab+2ab—2b?+2/+2ab—ub—b?

15

=5a2-3b2,

故答案為：5a2-3〃.

考點06：已知多項式乘積不含某項求字母的值

I、例題6.一個關于x的二次三項式f+2x+4,將它與一個關于x的二項式6相乘，得到一個關于x

的整式，其中不出現一次項，且三次項系數為1,求。、方的值.

【答案】。=11=-2

【解析】解：+2X+4)(QX+6)=ax3+bx2+2ax2+2zx+4zx+4Z

=ax3+(b+2〃)%2+(2b+44)x+4b

???不出現一次項，且三次項系數為1,

Q=1,2b+4〃=0,

解得：a=l,b=-2

【變式6-1】已知(5-3苫+冽尤2-6苫3)(1-2無)的計算結果中不含；(;3項，則機的值為.

【答案】-3

【解析】解：(5-3x+mx2-6x3)(l-2x)

=5-10x-3x+6x2+mx2-2mx3-6x3+12x4

=12x4+(-2m-6)x3+(6+m)x2-13x4-5

,/已知(5-3x+mx2-6x3)(l-2x)的計算結果中不含的項，

/.—2m—6=0

m=-3

故答案為：-3.

【變式6-2](24-25七年級上?重慶?期中)要使多項式尤3+2x2-2辦3+鉆龍2+x-5中不含/項和尤3項，則

a-b=.

【答案】I

【解析】解：x3+2x2—2ax3+4bx2+x—5

二(1-+(2+46)f+x-5,

???不含Y項和/項，

1—2a=0,2+4b=0,

故答案為：1.

16

【變式6-3]（24-25七年級上?甘肅金昌?期中）若代數式_3/+皿戈+3式-1不含工的一次項，求”的值.

【答案】9

【解析】解：因為代數式-3苫2+必+3.1=-3/+（加+3卜-1不含工的一次項，

所以加+3=0,

解得：加二-3,

m2=9-

考點07：多項式乘多項式的化簡求值

|\例題7.（23-24七年級下?江蘇常州?期末）先化簡，再求值：2x（x+l）-（x+2）（2x-l）,其中尤=1.

【答案】—X+2,1

【解析】解：原式=2/+2X一（2/一x+4x-2）

—2工2+2x-2%2+x-4x+2

——x+2.

當％=1時，原式=一1+2=1.

【變式7-1】已知/+，2=22,xy=7,那么（2x—y）（x-2y）的值為—.

【答案】9

【解析】解：（2x-y）（x-2y）

=2x2-4xy-xy+2y2

=2x2—5xy+2y2

=2（x2+/）一5xy,

x2+y2=22,xy=7,

.??原式=2x22-5x7=44-35=9,

故答案為：9.

【變式7-21.（2024?廣東深圳?三模）已知〃6=〃+6+2024,則1）的值為.

【答案】2025

【解析】解：vab=a+b+2G2A,

ab-a-b=2024,

（a—1）（Z?—1）

=ab-a-b+i

=2024+1

=2025,

故答案為：2025.

【變式7-3].（23-24七年級下?浙江杭州?期中）已知尤+了=3,xy=-l,則（l+x）（l+y）的值為.

17

【答案】3

【解析】解：Vx+y^3,xy=-l.

：.(l+x)(l+y)

=y+x+xy

=1+3-1

=3,

故答案為：3.

考點08：多項式乘法中的規律問題

(J=X+1

(d—+—1)=/+%+1

-=/+12+1+1

(%，-1)+(X-1)=X，+d+%2+X+1

⑴根據以上式子，請直接寫出卜6—1卜(—1)=;

⑵根據以上式子，請直接寫出卜〃-1)+(%-1)的結果5為正整數)；

(3)計算：1+2+22+23+24+---+22015.

【答案】⑴xU+d+/+x+i

(2)x"~'+x"~2+...+X+1

⑶22J

【解析】(1)解：由題意得，(X，-1)+(x-1)=X、+X”+X，+X。+X+1.

故答案為：X5+X4+X3+X2+X+1-

(2)解：觀察題干中各等式，得到如下規律：被除式和除式都是二項式，除式都是(x-l),商的次數比被

除式的次數小1,項數與被除式的次數相等，按x進行降幕排列，各項系數為1,

(X?-1)+(x-1)=x"~'+x"~2+…+X+1.

故答案為：x"-'+xn-2+...+x+\.

(3)解：由題意得，1+2+22+23+24+…+2如5

=22016-1.

【變式8-1】通過計算尋找規律：

(1)計算：(x+])(x—l)=.(x—1)(k+X+1)=.(x_1)(d++X+1)=

18

⑵猜想：(x-l)(x"+x"1+...+x+1)=.

(3)根據猜想結論，寫出下列結果：25+24+...+2+1=.2|1-1+2--2+...+2+1

【答案】(I)》。-1,x3-1>x4—2

(2)

⑶2』，2"-1

【解析】(1)解：(x+l)(x-l)=x2-l；

(x-1)(X2+X+1)=+X-+X-X2-X-1—X，-1；

(X—1)(/+f+X+1)=x"+/++x——f—x—1—X，一一；

(2)解:由(》+1加-1)=/一1；

(x-l)(x2+x+lj=x3-1;

324

(x-l)^x+x+x+l)=x-1;

(x-1)卜"+x"T+...+X+l)=尤"M-l;

(3)解：25+24+...+2+l

=(2-l)(25+24+...+2+l)

=26-l：

2“T+2"7+...+2+1

=(2-1)(2"一+2"2+…+2+1)

=2"-l.

【變式8-2］觀察以下等式：

(x+l)(x2-x+l)=x3+l

(X+3)(X2-3X+9)=X3+33

(x+6)(x2-6尤+36)=%3+63

(1)按以上等式的規律，填空：

①(尤+8乂--8x+64)=.

②(a+6)(/-ab+濟)=.

(2)利用多項式的乘法法則，說明(1)中②的等式成立.

(3)利用(1)中的公式化簡；

(^x+y^x2-xy+y2(x+4y)^r2-4xy+16y2)

【答案】(1)尤3+1()3；a3+b3

19

(2)/+戶

⑶-63/

【解析】(1)解：根據材料提示，

①(x+8)(f—"64)=d+83.

@^a+b^{^a2-ab+b2^=a3+b3.

故答案為：x3+103;tz3+Z?3;

(2)解：(4+?(/―M+⑹

=a3-a2b+ab2+ba2-ab2+b3

=a3+b3;

(3)解：(1+,乂，一孫+,2)_(x+如)12_的+]?2)

=x3+y3_13+64y3)

=x3+y3-x3-64)3

=-63y3.

【變式8-3](23-24七年級下?廣東清遠?期中)觀察以下等式：

(X+1)(、2一%+1)=+1

(X+3)(X2-3X+9)=X3+33

(x+6)一6x+36)=/+6，

⑴按以上等式的規律，填空：

①(x+10Mx2—101+100)=.

②(〃+/))(/-。/升叼=.

(2)利用多項式的乘法法則，說明(1)中②的等式成立.

⑶利用⑴中的公式化簡：(、+》)(工2一盯+y2)—(x+3y)(x2一3肛+9/).

【答案】⑴d+103；/+/

(2)見解析

(3)-26/

【解析】(1)解：?(x+10)(x2-10x+100)=x3+103

②(4+9(〃2—46+/)=/+/)3，

故答案為：x3+103；/+/;

(2)解：(Q+?(Q2_仍+/)

20

—“3—a2b+ab?+bd—ab?+b，

=a3+b3;

（3）解：（x+y）（x?-肛+力-（》+3〉）（尤2-3孫+9/）

=X3+J3-[X3+（3J）3]

=/+j?_（/+27力

=x3+y3-x3-21y3

=~26y3.

6模塊四小試牛刀過關測-------------------------------

一、單選題

1.（23-24七年級下?安徽宿州?期末）下列運算中正確的是（）

A.%3+x3=x6B.（-x2）3=x6

C.x2-x4—x6D.2x24-x2=2x

【答案】C

【解析】解：A、?+X3=2X3,故本選項不符合題意；

B、（-X2）3=-X6,故本選項不符合題意；

C、x2.x4=x6,故本選項符合題意；

D、2/+/=2,故本選項不符合題意，

故選：C.

2.（23-24七年級下?安徽六安?期末）若/+3。=2則代數式5。（。+3）-2的值為（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【解析】解：a2+3a=2,

5。（。+3）-2=5（a~+3a/2=5x2-2=8,

故選：B.

3.（23-24七年級下?安徽亳州?期末）設1=（x+3）（x-8）,5=（x+l）（x-6）,則/與8的大小關系為（）

A.A<BB.A>BC.A=BD.不能確定

【答案】A

【解析】解：/_8=彳2_5尤_24_（/_5尤_6）=_18<0,

故選：A.

4.（23-24八年級下?安徽滁州?期末）若（尤-2）（2x+左）運算結果中不含關于x的一次項，則左的值是（）

21

A.4B.-4C.2D.-3

【答案】A

【解析】解：（x-2）（2x+后）

=2x?+—4x—2k

-2%2+（左一4）x—2k

???計算的