專(zhuān)題01有理數(shù)

T模塊導(dǎo)航一

考點(diǎn)聚焦：核心考點(diǎn)+中考考點(diǎn)，有的放矢

重點(diǎn)專(zhuān)攻：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺

提升專(zhuān)練：真題感知+精選專(zhuān)練，全面突破

考點(diǎn)聚焦

1

O＞重點(diǎn)專(zhuān)攻--------------------------------------

知識(shí)點(diǎn)1:有理數(shù)的概念與性質(zhì)

1.有理數(shù)的概念：能夠化成分?jǐn)?shù)形式的數(shù)稱(chēng)為有理數(shù)，不能化成分?jǐn)?shù)的形式的數(shù)稱(chēng)為無(wú)理數(shù)。

（I）非負(fù)數(shù)：指正數(shù)和0；非正數(shù)：指負(fù)數(shù)和0；

2.有理數(shù)的分類(lèi)

'正整數(shù)'正整數(shù)

正數(shù)＜

整數(shù)40正分?jǐn)?shù)

（1）按定義分：有理數(shù)4負(fù)整數(shù)（2）按性質(zhì)分：有理數(shù)《0

'正分?jǐn)?shù)'負(fù)整數(shù)

分?jǐn)?shù)，負(fù)數(shù)＜

、負(fù)分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)

3.帶“非”字的有理數(shù)

（1）非負(fù)數(shù)：指正數(shù)和0；非正數(shù)：指負(fù)數(shù)和0；

（3）非負(fù)整數(shù)：是指正整數(shù)和0；非正整數(shù)：是指負(fù)整數(shù)和0.

4.數(shù)軸

U）數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度；

（2）數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)：

①有理數(shù)都可以在數(shù)軸上進(jìn)行表示，數(shù)軸上的點(diǎn)并不都是有理數(shù)；

②用數(shù)軸表示有理數(shù)時(shí)，先在數(shù)軸上用實(shí)心點(diǎn)標(biāo)出來(lái)，再在數(shù)軸的上方表示出有理數(shù)；

③表示有理數(shù)時(shí)，對(duì)含有多重符號(hào)或絕對(duì)值的有理數(shù)不要化簡(jiǎn)；

④同時(shí)表示多個(gè)有理數(shù)時(shí)，不要遺漏，同時(shí)要求排序的，不要忘記從小到大或從大到小進(jìn)行排序。

（3）數(shù)軸上表示兩點(diǎn)之間的距離：用右邊點(diǎn)表示的有理數(shù)減去左邊點(diǎn)表示的有理數(shù)。

（4）數(shù)軸上表示動(dòng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)：先找到動(dòng)點(diǎn)的起始點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有理數(shù)，在計(jì)算出動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程，如果動(dòng)點(diǎn)

向右運(yùn)動(dòng)，則用起始點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有理數(shù)加上動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程；如果動(dòng)點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)，則用起始點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有理數(shù)

減去動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程。

（5）數(shù)軸上a和b兩點(diǎn)中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)可表示為"2。

2

5.相反數(shù)

（1）定義：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)。注意：6與-a-b互為相反數(shù)，a-b與b-a互為相

反數(shù)。

（2）相反數(shù)的性質(zhì)：互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)和為0,不為0的兩個(gè)相反數(shù)相除的結(jié)果為（-1）.

（3）多重符號(hào)的化簡(jiǎn)：多重符號(hào)的化簡(jiǎn)要看負(fù)號(hào)的個(gè)數(shù)，如果絕對(duì)值的前面有偶數(shù)個(gè)負(fù)號(hào)，則化簡(jiǎn)的結(jié)果

為正；如果絕對(duì)值的前面有奇數(shù)個(gè)負(fù)號(hào)，則化簡(jiǎn)的結(jié)果為負(fù)，即偶正奇負(fù)。

6.絕對(duì)值

2

(1)絕對(duì)值的幾何意義：數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，稱(chēng)為a的絕對(duì)值，記為同。

(2)絕對(duì)值的代數(shù)意義：正數(shù)和0的絕對(duì)值等于它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)等于它的相反數(shù)。

(3)絕對(duì)值的非負(fù)性：任何一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值都大于等于0,即時(shí)20。

(4)兩點(diǎn)間的距離:數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)為A,表示數(shù)b的點(diǎn)為B,則A與B之間的距離可表示為=,-百

(5)|a+Z?|<|?|+|^|>當(dāng)abiO時(shí),,+同=同+網(wǎng)；當(dāng)ab<0時(shí)，\a+b\<|a|+|/?|；

知識(shí)點(diǎn)2:有理數(shù)的運(yùn)算

1.有理數(shù)的加減法

(1)有理數(shù)的加法：同號(hào)兩數(shù)相加，取與加數(shù)相同的符號(hào)作為和的符號(hào)，再把他們的絕對(duì)值相加；異號(hào)兩

數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的數(shù)的符號(hào)作為和的符號(hào)，再用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值。即：若

a〉0,6〉0,貝1Jo+6〉0；若a<0,Z?<0,則a+b<0；若a〉0,b<0,同〉網(wǎng)，則a+b〉0；

若a〉0,b<0,|a|<網(wǎng)，則a+b<0。

(2)有理數(shù)的減法：減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，即a-(-b)=a+b；

(3)有理數(shù)加法運(yùn)算律：a+b=b+a(交換律)；a+b+c=a+(b+c)(結(jié)合律)

2.有理數(shù)的乘除法

(1)有理數(shù)的乘法：同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，再把它們的絕對(duì)值相乘，即若。〉0力〉0nab〉0；

若a<0,Z?<0n>0；若a>0]<0nab<0；若a<01〉0naZ?<0。

(2)倒數(shù)：乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，即若仍=1,則a與人互為倒數(shù)；倒數(shù)的求解：將一個(gè)數(shù)的分子

和分母顛倒即可，即a的倒數(shù)為-。

a

(3)有理數(shù)的除法：同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，再把它們的絕對(duì)值相除，或者除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒

數(shù)，即。

b

(4)有理數(shù)乘法的運(yùn)算律：ab=ba(交換律)；abc=a(bc)(結(jié)合律)；a(b+c)=ab+ac(分配律)。

3.有理數(shù)的乘方

(1)有理數(shù)乘方的定義：其中。叫作底數(shù)，〃叫作指數(shù)。

〃個(gè)a

(2)底數(shù)為負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)時(shí)，底數(shù)要加括號(hào)。例如(-2)"表示〃個(gè)(-2)相乘，-2"表示”個(gè)2相乘的相反數(shù)。

(3)正數(shù)的“次方為正，負(fù)數(shù)的偶次方為正，負(fù)數(shù)的奇數(shù)次方為負(fù)；(-1)的偶次方為1,(-1)的奇數(shù)次方

為(―1)。即(―1產(chǎn)1=_1,(_1產(chǎn)=1。

4.科學(xué)記數(shù)法

(1)把一個(gè)較大的數(shù)寫(xiě)成ax10"的形式，其中IKa<10。

3

（2）〃的確定方法：

①整數(shù)數(shù)位減1；

②小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)法，即將小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)到第一個(gè)不是0的數(shù)后面，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)幾位，,就等于幾。

5.有理數(shù)的混合運(yùn)算

在有乘方運(yùn)算的有理數(shù)混合運(yùn)算中，先對(duì)乘方進(jìn)行運(yùn)算，再對(duì)乘除法進(jìn)行運(yùn)算，最后計(jì)算加減法，有括號(hào)

的，先算括號(hào)里的。

?》提升專(zhuān)練------------------------------------------

，題型歸納

【考點(diǎn)01相反意義的量】

1.（24-25七年級(jí)上?安徽合肥?期中）《九章算術(shù)》中注有“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之“，意思是:今

有兩數(shù)若其意義相反,則分別叫做正數(shù)與負(fù)數(shù).若水位上升50米,記作+50米，則水位下降30米,記作米.

【答案】-30

【解析】解：若水位上升50米，記作+50米，則水位下降30米，記作-30米，

故答案為：-30.

2.（24-25七年級(jí)上?山西晉中?期中）東、西為兩個(gè)相反方向，如果+4m表示一個(gè)物體向東運(yùn)動(dòng)4m,那么-2m

表示?

【答案】這個(gè)物體向西運(yùn)動(dòng)2m

【解析】解：...+4m表示一個(gè)物體向東運(yùn)動(dòng)4m,

-2m表示一個(gè)物體向西運(yùn)動(dòng)2m；

故答案為：這個(gè)物體向西運(yùn)動(dòng)2m.

3.（24-25七年級(jí)上?廣東茂名?期中）某地提倡“節(jié)約用水，保護(hù)環(huán)境”，如果節(jié)約30L的水記為+30L,那么

浪費(fèi)10L的水記為L(zhǎng).

【答案】-10

【解析】解：.??節(jié)約30L的水記為+30L,

???浪費(fèi)10L的水記為-10L,

故答案為：-10.

4.（22-23七年級(jí)上?山東濟(jì)南?期末）大自然的鬼斧神工孕育了我國(guó)恢宏壯闊的地形，珠穆朗瑪峰在海平面

上8848m,記為+8848m,吐魯番盆地在海平面下155米，記為m.

【答案】-155

【解析】珠穆朗瑪峰在海平面上8848m,記為+8848m,吐魯番盆地在海平面下155米，記為-155m

故答案為：-155.

【考點(diǎn)02有理數(shù)的分類(lèi)】

1.（24-25七年級(jí)上?廣西南寧?期中）下列各數(shù)既是分?jǐn)?shù)又是負(fù)數(shù)的是（）

4

A.+2B.--C.0D.2.3

4

【答案】B

【解析】解：既是分?jǐn)?shù)又是負(fù)數(shù)

4

故選：B.

2.（24-25七年級(jí)上?四川眉山?期中）在-2,2,-5,0,0.0123中，非負(fù)數(shù)有（）個(gè)

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【解析】解：在-2,2,-5,0,0.0123中，非負(fù)數(shù)有2,0,0,0123共3個(gè)；

故選C.

3.（22-23七年級(jí)上?安徽阜陽(yáng)?期末）下列說(shuō)法正確的是（）

A.3.14不是分?jǐn)?shù)B.不帶“一”號(hào)的數(shù)都是正數(shù)

C.0是自然數(shù)也是正數(shù)D.整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)

【答案】D

【解析】解：A、3.14是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)，故A不符合題意；

B、0不帶“一”號(hào)，但不是正數(shù)，故B不符合題意；

C、0是自然數(shù)，但既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，故C不符合題意；

D、整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)，說(shuō)法正確，故D符合題意.

故選：D.

4.（24-25七年級(jí)上?廣東佛山?期中）將下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合內(nèi)：-2,0,3.5,4,6,5,0.010010001,

1

（1）分?jǐn)?shù)集合：｛__________________

（2）整數(shù)集合：｛...｝；

（3）非負(fù)數(shù)集合：｛__________________

【答案】（1）3.5,6.5,0.010010001,

（2）-2,0,4

（3）0,3.5,4,6.5,0.010010001

【解析】（1）解：分?jǐn)?shù)集合：｛3.5,6,5,0.010010001,-1）;

（2）解：整數(shù)集合：｛-2,0,4｝；

（3）解：非負(fù)數(shù)集合：｛0,3.5,4,6,5,0.010010001｝.

【考點(diǎn)03數(shù)軸的三要素及其畫(huà)法】

1.（24-25七年級(jí)上?廣西南寧?期中）下列各圖中所畫(huà)數(shù)軸正確的是（）

5

III1II

A.0B--2-1012

11111A?i??1

C.—1—2012D.—2—1012

【答案】D

【解析】解：A、沒(méi)有單位長(zhǎng)度，故該選項(xiàng)不符合題意；

B、沒(méi)有正方向，故該選項(xiàng)不符合題意；

C、數(shù)軸的左側(cè)負(fù)數(shù)順序錯(cuò)誤，故該選項(xiàng)不符合題意；

D、滿(mǎn)足數(shù)軸的三要素，故該選項(xiàng)符合題意;

故選：D

2.（24-25七年級(jí)上?廣西南寧?期中）下列數(shù)軸表示正確的是（）

??11A_?___?____???___?_

A--2012B.一1-2-3-401

____?___??___iia???????

C-2-1123D--9-6-30369

【答案】D

【解析】解：A、單位長(zhǎng)度不相等，故表示錯(cuò)誤；

B、不符合數(shù)軸右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大的特點(diǎn)，故表示錯(cuò)誤；

C、沒(méi)有原點(diǎn)，故表示錯(cuò)誤；

D、符合數(shù)軸的定定義，故表示正確;

故選D.

3.（21-22七年級(jí)上?河北保定?期末）如圖是一些同學(xué)在作業(yè)中所畫(huà)的數(shù)軸，其中，畫(huà)圖正確的是（）

A.二；；；S=^一，B.1j'"

?—k-----4——---------i------i---變——J!—Sf,「-?-----1----------1-------1----------

c1嗽g甯1及其“D.20

【答案】B

【解析】解：A、單位長(zhǎng)度不均勻，故錯(cuò)誤；B、正確；C、數(shù)據(jù)順序不對(duì)，故錯(cuò)誤；D、沒(méi)有正方向，故錯(cuò)

誤.故選：B.

4.（23-24七年級(jí)上?江蘇無(wú)錫?期中）下列說(shuō)法：

①規(guī)定了原點(diǎn)、正方向的直線(xiàn)是數(shù)軸；

②數(shù)軸上兩個(gè)不同的點(diǎn)不可以表示同一個(gè)有理數(shù)；

③有理數(shù)TT在數(shù)軸上無(wú)法表示出來(lái)；

④任何一個(gè)有理數(shù)都可以在數(shù)軸上找到與它對(duì)應(yīng)的唯一點(diǎn).

其中正確的是（）

A.①②③④B.②④C.③④D.②③④

【答案】B

【解析】解：數(shù)軸三要素：原點(diǎn)，正方向，單位長(zhǎng)度，①錯(cuò)誤.

6

每個(gè)有理數(shù)都能用數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)表示，也可以說(shuō)每個(gè)有理數(shù)都對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)，②④正確.

TT不是有理數(shù)，且It可以在數(shù)軸上表示出來(lái)，③錯(cuò)誤.

故選：B.

【考點(diǎn)04用數(shù)軸上表示有理數(shù)】

3

1.（24-25七年級(jí)上?廣西柳州?期中）若。=-2],則數(shù)。在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置是（）

4

【答案】D

3

【解析】解：

4

只有D選項(xiàng)符合，

故選：D.

2.（24-25七年級(jí)上?貴州貴陽(yáng)?期中）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為

A

-5-4-3-2-1012345

【答案】-2

【解析】解：數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為-2,

故答案為：-2.

3.（24-25七年級(jí)上?廣西貴港?期中）一滴墨水灑在數(shù)軸上，根據(jù)圖中標(biāo)出的數(shù)值判斷墨跡蓋住的整數(shù)個(gè)數(shù)

是.

【答案】13

【解析】解：根據(jù)數(shù)軸可知，被墨跡蓋住的整數(shù)有-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,

3,一共13個(gè)，故答案為：13.

4.（24-25七年級(jí)上?廣西南寧?期中）點(diǎn)/、點(diǎn)2在數(shù)軸上分別表示2.5,-2.7,點(diǎn)/，點(diǎn)2（含/、3兩點(diǎn)）

之間有個(gè)整數(shù).

【答案】5

【解析】解：點(diǎn)A,點(diǎn)B在數(shù)軸上分別表示2.5,-2.7,

則點(diǎn)A,點(diǎn)B之間有-2,-1,0,1,2共5個(gè)整數(shù)，

故答案為：5.

【考點(diǎn)05利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小】

7

1.（24-25七年級(jí)上?四川廣安?期中）有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則。，~a,-1的大小關(guān)系是（）

-I0I

A.一。<。<—1B.一。<—1<。C.。—1<一。D.u<—u<—1

【答案】c

【解析】解：由數(shù)軸得

??Q>1,

,?a<-\<a,

故選：C

2.（24-25七年級(jí)上?廣西南寧?期中）有理數(shù)〃、6在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列各式正確的是（）

----11-------1>

b--------0-------a

A.ab<0B.a+b>0C.a-b<0D.-a-b<0

【答案】A

【解析】解:由數(shù)軸得6<0伍同洞

ab<0,a+b<0,-a-b>0,a-b>0

故選：A

3.（24?25七年級(jí)上?河北秦皇島?期中）數(shù)。，b,。在數(shù)軸上的位置如圖所示，其中b,。到原點(diǎn)的距離相

等，請(qǐng)你寫(xiě)出一個(gè)你認(rèn)為正確的結(jié)論.（可以用語(yǔ)言描述，也可以用式子表示）

I111?

Da0c

【答案】a+b<0（答案不唯一）

【解析】解：由圖可知：b<a<O<c,

6Z+Z?<0；

故答案為：a+b<0（答案不唯一）.

4.（24?25七年級(jí)上?廣東茂名?期中）在數(shù)軸上表示下列各數(shù)，并把下列各數(shù)用“〉”號(hào)連接起來(lái).

3

—5,—2,I—5|,—，0.

2

??II?IlIIII???

-6-5-4-3-2-10123456

3

【答案】見(jiàn)解析，I-5|>5>0>-2>-5

【解析】解：卜5|=5,

如圖：

2

-5-202|-5|

IJIIJIJl.lIIJ

-6-5-4-3-2-10123456

8

3

大小關(guān)系如下：|-5|>->0>-2>-5.

【考點(diǎn)06相反數(shù)的定義】

1.(24-25七年級(jí)上?河北唐山?期中)計(jì)算：-(-1)=()

A.-1B.1C.±1D.2

【答案】B

【解析】解:-(-1)=1-故選：B.

2.(24-25七年級(jí)上?山東臨沂?期中)如果”和2024互為相反數(shù)，那么。表示的數(shù)是()

A.-2024B.C.2024D.———

20242024

【答案】A

【解析】解：和2024互為相反數(shù),

/.a=—2024,

故選：A.

3.(24-25七年級(jí)上?廣西柳州?期中)下列各對(duì)數(shù)中，互為相反數(shù)的是()

A.一(+2)與+(-2)B.一3.5和+(+5.3)

C.-3與-(-3)D.；和］

【答案】C

【解析】A.-(+2)=-2=+(-2),不是互為相反數(shù)，故不符合題意；

B.-3.5和+(+5.3)=5.3,不是互為相反數(shù)，故不符合題意；

C.-3與-(-3)=3,是互為相反數(shù)，故符合題意；

D.:3和5;，不是互為相反數(shù)，故不符合題意；

故選C.

4.(24-25七年級(jí)上?江蘇蘇州?期中)若加、〃為相反數(shù)，且滿(mǎn)足2機(jī)+〃=3,則加的值為

【答案】3

【解析】解：??“、〃為相反數(shù)，

則〃=-m,

，/2m+〃=3,

,/2m+(-m)=3

解得m=3,

故答案為：3.

【考點(diǎn)07絕對(duì)值的意義】

9

1.（24-25七年級(jí)上?山東淄博?期中）絕對(duì)值不大于3的整數(shù)有個(gè).

【答案】7

【解析】解：絕對(duì)值不大于3的整數(shù)有-3,-2,-1,0,1,2,3,

共有7個(gè)，

故答案為：7.

2.（24-25七年級(jí)上?河南安陽(yáng)?期中）如果問(wèn)=2,那么。=.

【答案】±2

【解析】解：..1。|=2,

Q=±2.

故答案為：±2

3.（24-25七年級(jí)上?福建福州?期中）如圖，",N,尸，氏分別是數(shù)軸上四個(gè)整數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，其中有一點(diǎn)是

原點(diǎn)，并且ACV=NP=P&=1.數(shù)。對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在M與N之間，數(shù)b對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在尸與天之間，若時(shí)+同=2,則

原點(diǎn)是（）

MNPR

I1I___________III________

ab

A.M或NB.Af或尺C.N或PD.尸或R

【答案】C

[W^f]M：-：MN=NP=PR=\,

:4、6之間距離小于3,

■.■\a\+\b\^2,

原點(diǎn)可以是N或尸.

當(dāng)原點(diǎn)在M時(shí)，網(wǎng)＞2,當(dāng)原點(diǎn)在R時(shí)，回＞2,此時(shí)都不符合題意，

故原點(diǎn)只能是N或P.

故選：C.

4.（24-25七年級(jí)上?廣東深圳?期中）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法.例如，代數(shù)式卜一弓的幾何

意義是數(shù)軸上x(chóng)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離.因?yàn)?+[=卜-（-1）|,所以|x+l|的幾何意義就是數(shù)

軸上x(chóng)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與-1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離.

⑴【探究問(wèn)題】

如圖，數(shù)軸上，點(diǎn)A,B,尸分別表示數(shù)-1,2,X.

APB

???.i.i：11A

-4-3-2-10x1234

填空：因?yàn)閨x+l|+|x-2|的幾何意義是線(xiàn)段尸4與尸3的長(zhǎng)度之和，當(dāng)點(diǎn)尸在線(xiàn)段48上時(shí)，PA+PB=AB=3,

而當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)或點(diǎn)3的右側(cè)時(shí)，PA+PB＞3.所以當(dāng)點(diǎn)尸在線(xiàn)段4B上時(shí)，歸+1|+,-2]有最小值,

10

最小值是;

⑵【解決問(wèn)題】

①直接寫(xiě)出式子,-4|+歸+2］的最小值為_(kāi)______；

②若代數(shù)式|x+H+|x-3怕勺最小值是2,求。的值；

(3)【實(shí)際應(yīng)用】

如圖，在一條筆直的街道上有E,F,G,石四個(gè)小區(qū)，且相鄰兩個(gè)小區(qū)之間的距離均為200m.已知￡,

F,G,H四個(gè)小區(qū)各有2個(gè)，2個(gè)，2個(gè)，1個(gè)學(xué)生在同一所中學(xué)的同一班級(jí)上學(xué)，安全起見(jiàn)，這7個(gè)同

學(xué)約定先在街道上某處匯合，再一起去學(xué)校.聰明的他們通過(guò)分析，發(fā)現(xiàn)在街道上的“處匯合會(huì)使所有學(xué)

生從小區(qū)門(mén)口到匯合地點(diǎn)的路程之和最小，請(qǐng)問(wèn)匯合地點(diǎn)”設(shè)置在什么位置的時(shí)候，所有學(xué)生從小區(qū)門(mén)口

到匯合地點(diǎn)的路程之和最小，并求出此最小值.

EIFIGIHI

【答案】(1)3

(2)①6；②。=-1或。=-5

(3)800m

【解析】(1)解：當(dāng)點(diǎn)尸在線(xiàn)段48上時(shí)，,+1|+歸一2|有最小值，最小值是|尤+l|+|x-2|=x+l+2-x=3,

故答案為：3；

(2)①4|+|x+2|表水x到4和-2的距離之和，當(dāng)x在4和-2之間時(shí)，4|+|x+2|有最小值，

|x—4|+|x+2|的最'J、值為—+|龍+2|=4—尤+尤+2=6,

故答案為：6；

②???代數(shù)式,+。|+|尤-3|的最小值是2,

|3-=2,

解得：々=-1或。=-5；

(3)如圖所示，E、F、G、”分別在數(shù)軸上表示-400,-200,0,200,設(shè)M表示的數(shù)為x,距離之

和為s,

EFGH

-'-400-2006200

由題意得：當(dāng)M在線(xiàn)段上時(shí)，E、"到M的距離之和最小，當(dāng)初在線(xiàn)段尸G上時(shí)，F(xiàn)、G到M的距

離之和最小，

???當(dāng)M在線(xiàn)段FG上時(shí)，E、F、G、H到M的距離之和最小，

:.E、F、G、石到M的最小距離之和為：

5=|x+400|+|x+200|+|0-x|+1200-x\

=x+400+x+200—x+200—x

=800m

11

.,.當(dāng)M在線(xiàn)段尸G上時(shí)，E、F、G、H到M的距離之和最小，所有學(xué)生從小區(qū)門(mén)口到匯合地點(diǎn)的路程之

和的最小值為800加.

【考點(diǎn)08有理數(shù)的加法運(yùn)算】

1.（23-24七年級(jí)上?天津?期末）計(jì)算（-3）+（-2）的結(jié)果是（）

A.-5B.-1C.5D.1

【答案】A

【解析】解：（-3）+（-2）=-（3+2）=-5,故選;A.

2.（24-25七年級(jí)上?四川眉山?期中）點(diǎn)/在數(shù)軸上表示-1,3點(diǎn)距離/點(diǎn)2個(gè)單位長(zhǎng)度，則2點(diǎn)所表示的

數(shù)為（）

A.-3B.3C.1D.1或-3

【答案】D

【解析】解：①當(dāng)點(diǎn)8在點(diǎn)A的左邊時(shí)，-1-2=-3,

②當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的右邊時(shí)，-1+2=1,

所以B點(diǎn)所表示的數(shù)是-3或1.

故選：D.

3.（24-25七年級(jí)上?浙江?期中）一條數(shù)軸上有兩點(diǎn)A與5,已知點(diǎn)A到原點(diǎn)。的距離為3個(gè)單位，點(diǎn)B在

點(diǎn)A的右側(cè)且到點(diǎn)A的距離為5個(gè)單位，則點(diǎn)8所表示的數(shù)可能是（）

A.8B.2C.-8或2D.8或2

【答案】D

【解析】???點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離是3個(gè)單位，

二點(diǎn)/對(duì)應(yīng)的數(shù)可能是3或-3.

：點(diǎn)8在點(diǎn)/的右側(cè)且到點(diǎn)A的距離為5個(gè)單位長(zhǎng)度，

二點(diǎn)8所表示的數(shù)為3+5=8或-3+5=2.

故選：D.

4.（24-25七年級(jí)上?貴州貴陽(yáng)?期中）在學(xué)習(xí)有理數(shù)的加法時(shí)，為了更加直觀(guān)地展示加法的運(yùn)算原理，可以

用十表示+1,。表示-1.小明畫(huà)出下圖解釋了一個(gè)式子，這個(gè)式子及其結(jié)果是（）

一一g

一

十

一

十髀

一

一

.4+3=7D.-4+3=—1

【答案】D

【解析】解：這個(gè)式子及其結(jié)果是-4+3=-1,故選D.

【考點(diǎn)09有理數(shù)加法運(yùn)算中的符號(hào)問(wèn)題】

12

1.(24-25七年級(jí)上?海南海口?期中)把4-(-2)+(-6)-(+5)寫(xiě)成省略加號(hào)和的形式為()

A.4+2-6-5B.4-2-6-5C.4+2+6-5D.4+2-6+5

【答案】A

【解析】原式=4+(+2)+(-6)+(-5)

=4+2—6—5.

故選：A.

2.(24-25七年級(jí)上?天津和平?期中)如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)4、5分別對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)。、b,下列結(jié)論中正確的是()

AB

__???________???

-la_0lb

A.o+b〈0B.-a+b<0C.a-b<0D.-a-b>0

【答案】c

【解析】解：由數(shù)軸可知，a<O<b,\a\<\b\,

:.0<-a<bf

A>a<0<b,<同，

:.a+b>0,故本選項(xiàng)不符合題意；

B、0<-a<b,

:.-a+b>0,故本選項(xiàng)不符合題意；

C、<Q<0<6,

:.a-b<0,故本選項(xiàng)符合題意；

D、<0<,

:.-a-b<0,故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

3.(24-25七年級(jí)上?廣西南寧?期中)如圖，有理數(shù)〃，6在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論正確

的是()

?[??2?>

-2-1012

A.a>bB.a+b〈0C.D.a+b>0

【答案】B

【解析】解：A.由數(shù)軸圖可知。<6,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B.由數(shù)軸圖可知-2<"-1,b<l,故〃+b<0,故B選項(xiàng)正確，符合題意；

C.由數(shù)軸圖可知同>例，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

D.由B選項(xiàng)知。+6〈0,故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意.

故選：B.

13

4.（23-24七年級(jí)上?廣東惠州?期中）如果a+b+c=O,且上＞例＞同，則下列說(shuō)法中可能成立的是（）

A.a、6為正數(shù)，c為負(fù)數(shù)B.a、c為正數(shù)，b為負(fù)數(shù)

C.b、c為正數(shù)，a為負(fù)數(shù)D.a、b、c均為負(fù)數(shù)

【答案】A

【解析】解：：a+b+c=O，且上|＞例＞|。|,

；.a、b、c中最少有一個(gè)正數(shù)，最少有一個(gè)負(fù)數(shù)，且。不能同號(hào)，b、c不能同號(hào)，

二四個(gè)選項(xiàng)中，只有A選項(xiàng)符合題意，

故A.

【考點(diǎn)10有理數(shù)的減法運(yùn)算】

1.（24-25七年級(jí)上?安徽宿州?期中）如果。與6互為相反數(shù)，則下列各式不正確的是（）

A.a+b=QB.a-b=0C.|a|=|&|D.a=-b

【答案】B

【解析】解：：a、6互為相反數(shù)，

..a+b=0,=a=-b,

若貝物一6=2,故錯(cuò)誤的是選項(xiàng)B,

故選：B.

2.（23-24七年級(jí)下?河北保定?期中）如圖所示，已知北京時(shí)間2024年10月25日上午8時(shí)對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)

字8,多倫多時(shí)間2024年10月24日晚20時(shí)對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)字-4,由此推斷當(dāng)紐約時(shí)間是2024年10月

24日晚19時(shí)時(shí)，對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)字是（）

多.多北京一

:4~6

A.9B.7C.-5D.-3

【答案】C

【解析】解：北京時(shí)間2024年10月25日上午8時(shí)對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)字8,多倫多時(shí)間2024年10月24日晚

20時(shí)對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)字（20-24）=-4,

故數(shù)軸上的原點(diǎn)表示某地2024年10月25日上午0時(shí)，

.,?當(dāng)紐約時(shí)間是2024年10月24日晚19時(shí)時(shí)，對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)字是-（24-19）=-5,

故選C.

3.（24-25七年級(jí)上?廣東廣州?期中）若x的相反數(shù)是2,田=5,且x+y＞0,則尸＞的值是

【答案】-7

【解析】由題意得：--2,尸±5

?/x+y＞0

y=5

14

x—y=-7

故答案為：-7.

114

4.(24-25七年級(jí)上?青海西寧?期中)現(xiàn)規(guī)定一種新運(yùn)算"”：a*b=--b,如5*1=--1=—-,計(jì)算

a55

(-2)*3=.

7

【答案】

17

【解析】解：根據(jù)題意，得(-2)*3=當(dāng)-3=-1

7

故答案為：一二.

2

【考點(diǎn)11有理數(shù)的加減混合運(yùn)算】

1.(24-25七年級(jí)上?廣東廣州?期中)計(jì)算-12+5+(-16)-(-17).

【答案】-6

【解析】解：原式=-7-16+17

=-23+17

=-6.

2.(24-25七年級(jí)上?湖北荊州?期中)計(jì)算：［-|j+°-23*51

【答案一E

0-5---4-+I-9-]

【解析】解:+

6615)

2312946

=------1--------------------

3665

2146

=------1-----------

335

_]__46

--3-T

5138

143

3.(24-25七年級(jí)上?廣東東莞?期中)計(jì)算：(-20)+(+12)-(-5)-(+7).

【答案】-10

【解析】解：原式=(-20)+(+12)+5+(-7)

15

=-3+(-7)

=-10.

13

4.（24?25七年級(jí)上?貴州遵義?期中）計(jì)算：（-0.5）-+2.75-

【答案】-2.

13：

【解析】解：（-0.5）-+2.75—+7

1131115

=---1---1---

244

=(-8)+6

=—2.

【考點(diǎn)12有理數(shù)的乘法運(yùn)算】

1.（24-25七年級(jí)上?浙江?期中）實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

?’11,?

b-I0Ia

A.a+6>0B.ab>0C.a>-bD.同>同

【答案】B

【解析】解：由圖可知：一2<6<-1,〃=2,

A、因?yàn)?2<6<-1,。=2,所以。+6>0,故原說(shuō)法正確，該選項(xiàng)不符合題意；

B、因?yàn)閎<0,a>0f所以ab<0,故原說(shuō)法錯(cuò)誤，該選項(xiàng)符合題意；

C、因?yàn)?a=2,所以，1<-b<2,所以。〉-6,故原說(shuō)法正確，該選項(xiàng)不符合題意；

D、因?yàn)?2<b<-1,〃=2,所以，1<同<2,同=2,所以同>同，故原說(shuō)法正確，該選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

2.（24-25七年級(jí)上?四川眉山?期中）已知數(shù)八6、。在數(shù)軸上的位置如圖所示，滿(mǎn)足時(shí)<例<同，則下列各

式：①-b>-Q>-c；②一|=°；③b+,=上一同；④若6比〃小2,則問(wèn)+網(wǎng)=2,其中正確的個(gè)數(shù)

a。\cicI

有（）個(gè).

b05

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【解析】解：由圖可知:b<0<a<c,且<回<卜|

-c<-a<0<-b,ab<0,ac>0,b+c>0,故①正確；

16

F7|_|_[=TT=_2，\b+c\^b+c；故②錯(cuò)誤，

\ab\\ac\11

|c|—|Z>|=c+/),

/.|/>+c|=|c|-|Z)|；故③正確；

若6比a小2,則:a-b=2,

：.\a\+\b\=a-b=2.故④正確；

故選B.

3.(24-25七年級(jí)上?江蘇連云港?期中)已知.=(-33)x(-44)x(-55),=(-333)x(-444),則0b

(填“號(hào)).

【答案】<

【解析】解：因?yàn)椤?(-33)X(-44)X(-55)=(-33)X44X55<0,

6=(-333)x(一444)=333x444>0,

所以。<6.

故答案為：<.

4.(24-25七年級(jí)上?福建漳州?期中)定義：=吁例：當(dāng)°=5,6=-3時(shí)，

\3b-a{a>b)

[a,b]=3b-a=3x(-3)-5=-14.若同=2,\b\=2,則[a,t的最大值為,________.

【答案】4

【解析】解：???同=2,例=2,

「?a=2或—2,6=2或—2.

分類(lèi)討論：①當(dāng)a=6=2時(shí)，[a,6]=[2,2]=2-3x2=-4；

②當(dāng)a=2,6=-2時(shí)，[a,Z>]=[2,-2]=3x(-2)-2=-8；

③當(dāng)a=—2,6=2時(shí),[a,b\=[—2,2]=—2—3x2=—8；

④當(dāng)a=b=-2時(shí)，[a,Z>]=[-2,-2]=-2-3x(-2)=4.

綜上可知若同=2,同=2,貝目的最大值為4.

故答案為:4.

【考點(diǎn)13有理數(shù)的除法運(yùn)算】

1.(24-25七年級(jí)上?浙江寧波?期中)有理數(shù)。"在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則下列結(jié)論正確的是()

一1I3

-101

a

A.〃+b〈0B.b-a>0C.ab>0D.—>0

b

17

【答案】B

【解析】解:由題意得,a<O<b,同小,

a+b>0,b-a>0,ab<Q,—<0,

b

.?.四個(gè)選項(xiàng)中只有B選項(xiàng)正確，符合題意.

故選：B.

2.（24-25七年級(jí)上?河北唐山?期中）若。是最大的負(fù)整數(shù)，且仍=1,則6=（）

A.0B.1C.-1D.±1

【答案】C

【解析】解：：。是最大的負(fù)整數(shù)，

a=,

ab=\,

二6=1+（_1）=T,

故選：C.

3.（24-25七年級(jí)上?山東臨沂?期中）有理數(shù)a,b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示.若同〈瓦則下列結(jié)

論：①0-6<0,②”+方>0,③。6<0,④2>1一定成立的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】解：?.?問(wèn)<同，根據(jù)數(shù)軸可知,

_____I__I___________I_________

0ab或

_________ill?A

Q0-。b

???①。-6<0,正確；

②Q+6>0,正確；

（3）當(dāng)時(shí)，ab>0?

當(dāng)a<0〈一a<6時(shí)，ab<0,③錯(cuò)誤；

bh

④當(dāng)0<a<6時(shí)，一〉1；當(dāng)。=0,一無(wú)意義，

aa

當(dāng)時(shí)，—<0<1,④錯(cuò)誤.

a

則正確的有2個(gè),

故選:B.

18

4.(24-25七年級(jí)上?貴州銅仁?期中)如圖，在一條不完整的數(shù)軸上從左到右依次有點(diǎn)A,B,C三個(gè)點(diǎn),

其中點(diǎn)A到點(diǎn)3的距離為3,點(diǎn)8到點(diǎn)C的距離為8,設(shè)點(diǎn)A,B,C所對(duì)應(yīng)的數(shù)的和是機(jī).

3,-鼠

ABC

(1)若A表示的數(shù)是-5,則數(shù)軸上點(diǎn)B所表示的數(shù)為：；

(2)若以3為原點(diǎn)，求沉的值；

(3)若C表示的數(shù)是8,將數(shù)軸折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，求折痕點(diǎn)表示的數(shù).

【答案】⑴-2

(2)m=5

⑶2.5

【解析】(1)解：若N表示的數(shù)是-5,則數(shù)軸上點(diǎn)3所表示的數(shù)為：-5+3=-2；

故答案為：-2；

(2)解：因?yàn)?為原點(diǎn)，點(diǎn)A到點(diǎn)3的距離為3,

所以，數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為-3；

又因?yàn)椋c(diǎn)3到點(diǎn)C的距離為8,

所以，數(shù)軸上點(diǎn)C所表示的數(shù)為8,

所以，機(jī)=—3+0+8=5；

(3)因?yàn)辄c(diǎn)C表示的數(shù)是8,

所以，點(diǎn)B表示的數(shù)是0,點(diǎn)A表示的數(shù)是-3；

所以，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C重合時(shí)，折痕點(diǎn)表示的數(shù)為［8+(-3)］+2=2.5.

【考點(diǎn)14有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算】

1.(23-24七年級(jí)上?吉林長(zhǎng)春?期末)計(jì)算：24+(-6)x|+(-

【答案】|

【解析】解：24+(_6*齊［_0

=24x—x—x—

624

_9

"2,

2.(23-24七年級(jí)上?北京順義?期末)計(jì)算：

19

3

【答案】彳

1

X—

4

_3

~4'

3.（23-24七年級(jí)上?甘肅慶陽(yáng)?期末）計(jì)算：T|一￡X1-4；

【答案】9

，、

【解析】解：原式=一《7義1了0義［―,9）=9.

4.（22-23七年級(jí)上?吉林延邊?期末）計(jì)算：

【答案】y

【解析】解：劌一訊局

16

~9

【考點(diǎn)15有理數(shù)的乘方運(yùn)算】

1.（24-25七年級(jí)上?廣東茂名?期中）下列計(jì)算正確的是（）

A.-（-3）2=9B.（-3丫=一9C.-32=9

【答案】D

【解析】A、??.-（-3『=-9,

AA不正確；

B、V（-3）3=-27,

；.B不正確；

C、V-32=-9,

.，.C不正確；

.'.D正確.

20

故選：D.

2.（24-25七年級(jí)上?浙江杭州?期中）下列運(yùn)算正確的是（）

A.（-2—8B.-32=-9