專題2.5塞函數(shù)與指、對(duì)數(shù)函數(shù)【九大題型】

【新高考專用】

1、易函數(shù)與指、對(duì)數(shù)函數(shù)

幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)是高中三類常見(jiàn)的重要函數(shù)，在歷年的高考中都占據(jù)著重要的地位，是

高考常考的熱點(diǎn)內(nèi)容.從近幾年的高考情況來(lái)看，對(duì)嘉函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的考查，主要以基本函數(shù)

的性質(zhì)為依托，結(jié)合指、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，運(yùn)用募函數(shù)與指、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決具體的問(wèn)題，包

括比較指對(duì)塞的大小、解不等式等題型.在復(fù)習(xí)過(guò)程中要掌握相關(guān)知識(shí)，能對(duì)常見(jiàn)的指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函

數(shù)進(jìn)行靈活處理.

?知識(shí)梳理

【知識(shí)點(diǎn)1塞函數(shù)及其解題策略】

1.易函數(shù)的解析式

幕函數(shù)的形式是了=K(aGR),其中只有一個(gè)參數(shù)a,因此只需一個(gè)條件即可確定其解析式.

2.暴函數(shù)的圖象與性質(zhì)

在區(qū)間(0,1)上，幕函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近無(wú)軸(簡(jiǎn)記為“指大圖低”)，在區(qū)間(1,+8)上，幕函

數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離無(wú)軸.

3.比較塞值的大小

在比較基值的大小時(shí)，必須結(jié)合幕值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，準(zhǔn)確掌握各

個(gè)幕函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【知識(shí)點(diǎn)2指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算的解題策略】

1.指數(shù)塞運(yùn)算的一般原則

(1)指數(shù)幕的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)幕統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕，以便利用法則計(jì)算，還應(yīng)注意：①必須

同底數(shù)暴相乘，指數(shù)才能相加.②運(yùn)算的先后順序.

(2)當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，先確定符號(hào)，再把底數(shù)化為正數(shù).

(3)運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).

2.對(duì)數(shù)運(yùn)算的常用技巧

(1)在對(duì)數(shù)運(yùn)算中，先利用哥的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)暴的形式，使塞的底數(shù)最簡(jiǎn)，

然后用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)合并.

(2)先將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)

的積、商、幕再運(yùn)算.

(3)指對(duì)互化：d="06=皿"(心0,且任1)是解決有關(guān)指數(shù)、對(duì)數(shù)問(wèn)題的有效方法，在運(yùn)算中應(yīng)

注意互化.

【知識(shí)點(diǎn)3指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的常見(jiàn)問(wèn)題及解題思路】

1.指數(shù)函數(shù)的常見(jiàn)問(wèn)題及解題思路

(1)比較指數(shù)式的大小

比較指數(shù)式的大小的方法是：①能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)幕，再利用單調(diào)性比較大小；

②不能化成同底數(shù)的，一般引入“0或1”等中間量比較大小.

(2)指數(shù)方程(不等式)的求解思路

指數(shù)方程(不等式)的求解主要利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

(3)指數(shù)型函數(shù)的解題策略

涉及指數(shù)型函數(shù)的綜合問(wèn)題，首先要掌握指數(shù)函數(shù)相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、

單調(diào)區(qū)間、最值等問(wèn)題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.

2.對(duì)數(shù)函數(shù)的常見(jiàn)問(wèn)題及解題思路

(1)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用

①在識(shí)別函數(shù)圖象時(shí)，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、

最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng).

②一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.

(2)對(duì)數(shù)(型)函數(shù)的值域和單調(diào)性問(wèn)題的解題策略

利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，必須弄清三方面的問(wèn)

題：一是定義域，所有問(wèn)題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即

它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的.另外，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.

?舉一反三

【題型1指數(shù)然與對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值】

【例1】(2024.青海?模擬預(yù)測(cè))若a=log35,5b=6,則ab-log32=()

A.1B.-1C.2D.-2

【變式1-1](2024?河南?三模)若Q20,bCR,則化簡(jiǎn)21暇3+(6)2+快的結(jié)果是()

A.3+Q+/?B.3+a+|b|

C.2+a+bD.2+a+|b|

【變式1-2](2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))設(shè)〃，b,c都是正數(shù)，且4a=6匕=9。那么().

.1,11^,1,11—1,12—1,12

A.一+—=-B.-+-=-C.-+-=-D.-+-=-

abcbcaabcacb

【變式1-3](2024?遼寧丹東?一模)若2a=3,3匕=5,5c=4,貝ijlog4abe=()

A.-2B.—C.—D.1

22

【題型2指對(duì)事函數(shù)的定義與解析式】

【例2】(24-25高一上?全國(guó)?課前預(yù)習(xí))下列函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的是()

A.y=loga(5+%)(a>0且aHl)B.y=log(6

C,y=log3(—x)D.y=logxV3(%>。且%H1)

【變式2-1](24-25高一上?全國(guó)?課后作業(yè))若指數(shù)函數(shù)f(%)的圖象過(guò)點(diǎn)(4,81),則/(%)的解析式為()

A./(x)=x3B./(%)=3%

c./(x)=D./(x)=如

【變式2-2](2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè))若嘉函數(shù)f(x)=(m2-m-l)x2m-3^0,+8)上單調(diào)遞增，則實(shí)

數(shù)m的值為()

A.2B.1C.-1D.-2

【變式2-3](2024高二下?安徽?學(xué)業(yè)考試)若函數(shù)y=(a?—5a+7)a，+4-2a是指數(shù)函數(shù)，則有()

A.a=2B.a=3

C.a=2或a=3D.a>2,且aH3

【題型3指對(duì)幕函數(shù)的定義域與值域問(wèn)題】

【例3】(2024?四川成都?二模)已知函數(shù)f(x)=2謁-*+1的值域?yàn)?若(1,+8)=M,則實(shí)數(shù)a的取值范

圍是()

A-（一8,3]B,[o,i]C.（—8,—1]UR+8）D.L+8）

【變式3-1]（2024?內(nèi)蒙古錫林郭勒盟.模擬預(yù)測(cè)）己知函數(shù)f（x）=lg（l-尤），則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A./（%）的定義域?yàn)椋?8,1）B./（X）的值域?yàn)镽

C./（-I）+/（-4）=1D.y=/（/）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,1）

【變式3-2]（24-25高一上?安徽馬鞍山?期中）已知事函數(shù)y=f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（4彳），下列說(shuō)法中正確的是

A./（久）是奇函數(shù)B.f（x）的定義域是[0,+8）

C.C%）的值域是[0,+8）D./（久）在定義域上單調(diào)遞減

'ax-a,x<a的值域

【變式3-3]（2024.湖北武漢.模擬預(yù)測(cè)）已知a>0且a豐1,若函數(shù)/（%）=

JogaQ+a)+l,x>aH"且以

為R,貝b的取值范圍是（）

A.但B?[川C.(1,2]D.[2,+oo)

【題型4指對(duì)幕函數(shù)的圖象問(wèn)題】

1

[例4]（2024.湖北.模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)f（%）=e%-以-In/的圖象大致為（）

【變式4-1]（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（%）=（|%|-日）ln/,則/（%）的圖象大致為（）

【變式4-2]（2024?四川南充?二模）已知函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，則〃久）的解析式可能是（）

【變式4-3]（2024?陜西?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/O）的部分圖象如圖所示，則/（%）的解析式可能為（）

A./（%）=e%-e-xB.f（x）=1-品C.f（x）=Xyf\x\D.f（x）=（：）

CrJ.Illl人iJLJ

【題型5指對(duì)幕函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題】

【例5】（2024.遼寧.一模）若函數(shù)/（久）=3-2/+以在區(qū)間（1,4）內(nèi)單調(diào)遞減，貝布的取值范圍是（）

A.（-OO,4]B.[4,16]C.（16,+00）D.[16,+8）

【變式5-1]（2024?山西晉中?三模）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在（0,+8）上單調(diào)遞減的是（）

A./（%）=2因B./（%）=x3

C小-九、1D「./〃■（無(wú)）、=3fnln（xr,x）>,x0<,。

【變式5-2]（2024.江蘇無(wú)錫?模擬預(yù)測(cè)）在下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在（0,+8）上是增函數(shù)的是（）

112

A.y=X2B.y=X3C.y=X3D.y=%-1

2

【變式5-3]（2024.海南.模擬預(yù)測(cè)）已知a>0且a。1,若函數(shù)/（%）=a%與g（%）=log2（%+4ax+7）在

[-1,+8）上的單調(diào)性相同，則a的取值范圍是（）

A.(0,|1B.［鴻C(jī).(1,2)D.(1,+oo)

【題型6指對(duì)幕數(shù)比較大小】

【例6】（2024?寧夏吳忠?一模）已知。=0.23,4=302,c=logo.23,則（）

A.a>c>bB.a>b>c

C.b>a>cD.c>b>a

040

【變式6-1](2024?四川眉山?一模)若Q=log39i,，b=log050.2,c=4,則()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.a>c>b

【變式6-2］（2024?貴州遵義?模擬預(yù)測(cè)）=log20242026,6=log2o232026,2024c=2025.則()

A.a>c>bB.a>b>c

C.b>c>aD.b>a>c

【變式6-3］（2024.陜西銅川.模擬預(yù)測(cè)）設(shè)a=2‘，b=log23,c=V3,則()

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.a>c>b

【題型7解不等式問(wèn)題】

【例7】（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（久）=3"2—32T,則滿足/（幻+/（8—3支）>0的光的取值范圍

是（）

A.(―oo,4)B.(—8,2)C.(2,+8)D.(-2,2)

【變式7-1］（2024?廣東肇慶?一模）已知定義在R上的函數(shù)。（久）=eX-eT+f（x）,其中g(shù)（x）是奇函數(shù)且在

R上單調(diào)遞減，f（logy）<f（2）的解集為（）

A.(一8，)B.

D.(4,4-00)

2~x%<0

【變式7-2］（2024?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)/（%）=log1；,％,0，若>2,貝心的取值范圍是（）

3

A.(0,(B.(-8,一

C.F.D.(-4)

【變式7-3］（2024.黑龍江牡丹江.一模）已知g（x）=//（久）是定義在R上的奇函數(shù)，且/（%）在區(qū)間（-8,0］上

單調(diào)遞減，若關(guān)于實(shí)數(shù)m的不等式/'（log2n1）+/（logosm）22/（3）恒成立，則機(jī)的取值范圍是（）

A.B.[8,4-00)C.(0,1]u[8,+oo)D.(0.]U[8,+8)

Jo

【題型8反函數(shù)】

【例81（23-24高一上?湖南株洲?階段練習(xí)）已知函數(shù)f（x）=log。％與g（x）=ax（a>0,aH1）互為反函數(shù).若

f(x)=Inx的反函數(shù)為g(x),則g(2)=()

A.In2B.2eC.e2D.2

【變式8-1](23-24高一上?遼寧大連?期末)已知函數(shù)/(%)在定義域[1,3]上滿足f(x)/(y)=/Q+y),/(I)=

2,函數(shù)f(x)的反函數(shù)為/T(X),則g(x)=/(久)+/T(X)的最小值為()

A.2B.4C.5D.8

【變式8-2](23-24高二下?浙江寧波?期末)己知函數(shù)/(*)=a\a>0,且aK1)的圖象過(guò)點(diǎn)(2,4),g(x)是/⑺

的反函數(shù)，則函數(shù)g(蕓)()

A.既是奇函數(shù)又是減函數(shù)B.既是奇函數(shù)又是增函數(shù)

C.既是偶函數(shù)又是減函數(shù)D.既是偶函數(shù)又是增函數(shù)

AX_A-X

【變式8-31(23-24高一下?安徽?階段練習(xí))已知函數(shù)/'(X)=的反函數(shù)為y=廣】(久)，那么g(x)=

廣(一2)+2在[-2,6]上的最大值與最小值之和為()

A.4B.2C.1D.0

【題型9指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用】

【例9】(23-24高一下?廣東汕頭?期中)已知函數(shù)〃久)=翌為奇函數(shù).

2x+a

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性(不用證明)；

(3)設(shè)函數(shù)g(x)=log??logz^+a，若對(duì)任意的久ie[2,8],總存在4e(0,1],使得。(/)=/'(久2)成立，求

24

實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【變式9-1](24-25高一上?黑龍江大慶?期中)已知函數(shù)/⑺=log90+l)+依OCR)是偶函數(shù),其中k為

實(shí)數(shù).

(1)求k的值；

(2)若函數(shù)。(久)=9f⑺-3x-2m-3x+l(0<x<2),是否存在實(shí)數(shù)使得g(x)的最小值為0?若存在，

求出實(shí)數(shù)小的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式9-2](24-25高三上?上海?期中)已知函數(shù)/(久)=log3[k-9x-(k-2)-3x+k+J

⑴當(dāng)k=0時(shí)，解不等式/(%)>0；

(2)若函數(shù)/(%)的最大值是-1,求k的值.

【變式9-3](24-25高一上?浙江杭州?期中)已知非常數(shù)函數(shù)/。)=log工是是定義域?yàn)?-2,2)的奇函數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)a,6的值;

(2)判斷并證明函數(shù)/(久)的單調(diào)性；

Xx+2

(3)已知g(K)-m-4-2+3,且VK】e(1,2),3%26[-1,1],-g(<x2)>求zn的取值范圍.

1.(2023?北京?高考真題)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

A./(x)=-InxB./(x)=表

C./(x)=_(D./(x)=3吐1|

2.(2023?全國(guó)?高考真題)已知函數(shù)=e-(xT)、記a=f(曰)，b=f(f)，c=f(}),貝U()

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

3.(2023?全國(guó)?高考真題)已知/(%)=念是偶函數(shù)，則。=()

A.-2B.-1C.1D.2

4.(2023?天津?高考真題)設(shè)a=l.Ol05^=1.0106,c=46%則見(jiàn)hc的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

5.（2023?全國(guó)?高考真題）設(shè)函數(shù)f（x）=2x（"a）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，貝la的取值范圍是（）

A.（—co,-2]B.[—2,0）

C.（0,刀D.[2,+8）

6.（2024?北京?高考真題）已知（的,月），（和/2）是函數(shù)丫=2、的圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則（）

A.10g2審（詈B.1咤2華>詈

c.10g2<x1+x2D.log2>x1+x2

7.（2024.北京.高考真題）生物豐富度指數(shù)d=2是河流水質(zhì)的一個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，其中S,N分別表示河流中

InN

的生物種類數(shù)與生物個(gè)體總數(shù).生物豐富度指數(shù)]越大，水質(zhì)越好.如果某河流治理前后的生物種類數(shù)s沒(méi)有

變化，生物個(gè)體總數(shù)由M變?yōu)镹2，生物豐富度指數(shù)由2.1提高到3.15,則（）

A.3Nz=2NiB.2N2=3NI

C.帖=N：D.媚=N/

02

8.（2024.天津.高考真題）設(shè)a=4.272,=4.2-,c=log4.20.2,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

9.（2024?天津?高考真題）己知a,6GR,則=*，是，3a=3"，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

10.（2024?全國(guó)?高考真題）設(shè)函數(shù)〃久）=