2025年河北省邯鄲市高考數學二調試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知復數M-1一,1'，:，貝！I：='在復平面內所對應的點位于()

?I

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知集合.I—{-I-1.2.3.I},/7—{J,r.!Q~x€4},則3)-()

A.{-2,1,2.3}B.{2.2.3}C.{-2.1.3.41D.(-9.2.1.3)

3.已知函數》；—在⑴「3上單調遞增，且a、，t:，則〃()

A.4B.16C.32D.64

4.已知、為等差數列何：的前w項和，若、、，“I,則―()

A.2B.2C，D.J

5.已知/O為雙曲線"二'：>rA1的一個焦點，且點八丘-1，在該雙曲線上，則雙曲線的漸

tr

近線方程為()

A.、；上、B.j/=士力C.u二t?了D.-土可r

32

6.已知函數tan.,曲線,,，，一在點I：八j處的切線在x,y軸上的截距分別為a,b,貝I

2?+，，=()

A.0B.1C.T3D.3n-

7.已知-2,則J"”,，()

1「v'2r>2

AA._D._Lz.U.

，<33

8.在銳角三角形48c中，內角/,8,C所對的邊分別為a,6,c,「的面積為S,且滿足2s=\/；<,>

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分,

部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知向量<1-'.r1.I1,hr,貝)

A.J-1”是“，」.「”的必要不充分條件

B."/2”是“1_”的充分不必要條件

第1頁，共17頁

C.",3-"'是">〃/"的充分不必要條件

D.".r=—：；+、?”是“萬”的必要不充分條件

10.已知直線/：，;1為拋物線C：「？,，，,"，山的準線，尸為C的焦點，圓環「-「，「：N,

P為C上第一象限內一點，直線尸尸與圓"相切于點、'在第一象限I,/")"于點。，貝U()

A.\Sh'\2B,直線P歹的方程為!/J?1

C.\PF\=2v2>4D.的面積為6Vz-s

11.已知函數,，，的定義域為及，且，/IJ--0)-I-/：2J3—II,當.r=1.I]

時，…；,貝1()

A.函數八」，的圖象關于直線「1對稱

B.函數/，，，的圖象關于點IL山對稱

C.函數的值域為：1.2

D.方程小」—1在11]上的所有根之和為24

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.二項式IL-的展開式中，J項的系數與/項的系數之比為.

13.已知正四棱臺上底面邊長為、.」，下底面邊長為八?,，側棱與底面所成角為㈠一，則該正四棱臺的體積

為.

14.投擲一枚質地均勻的骰子|骰子的表面分別標有1,2,3,4,5,6點數標記I,每投擲一次都記錄下骰

子的點數，連續投擲兩次，記x表示這兩次投擲的點數的平均數，則卜74的概率為

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.?本小題13分)

已知》為數列"7的前〃項和，且工、-s11-1'

I，求數列"，》的通項公式；

設I=，求數列I，，■的前n項和/

16.?本小題15分：i

食品安全負責部門為了對某大型超市經營的某品牌，由a2兩個不同的產地生產:，的“預制食品”的某些

指標進行檢測，隨機從/,8兩個產地生產的產品中分別抽取了30個作為樣本進行檢測，依據檢測相應指

標的相關數據，將其劃定為“優良”和“合格”兩個級別，記錄相關數據得到如下2?2列聯表：

單位：個

第2頁，共17頁

產地

級別合計

AB

優良201535

合格101525

合計303060

I,依據小概率值,，”的獨立性檢驗，分析“該食品的指標等級與產地”是否有關?

口該超市對該“預制食品”進行打包促銷，對于同一產地生產的食品采用每5個裝為一個“促銷大禮包”

的促銷形式，若某顧客隨機購買了一個“促銷大禮包”，經檢測顯示恰有4個為優良級別，試通過概率知

識確定該“促銷大禮包”內裝的是/產地生產的食品的概率?該超市4,2兩個產地的售出量之比為3：2,

以列聯表中產品的優良的頻率代替各自產品優良的概率I.

參考公式和數據：/=西調

,,鉗，其中n=“+3一小

Q0.100.050.010,0050.001

工＜1一3.M16.6357.^791?7、

17.?本小題15分）

如圖，在三棱柱-4/八中，側面.44華斗與側面均為矩形，.18=3，

!it（「\,。為門〃的中點.

I，在直線〃山上是否存在一點￡,使得平面.1K?若存在，試確定￡點位置；若不存在，請說明

理由.

⑵若=求二面角1-<-1的正弦值.

18.本小題17分）

已知P為圓/：L，I「'了1「上一點，/.1<「，，線段，上的垂直平分線交半徑？咒于點。,

第3頁，共17頁

記動點。的軌跡為曲線c,雙曲線「二:I的一條漸近線被圓/所截得的弦長為

I[求曲線c的標準方程；

」過。上一點M作斜率為?的直線/,交雙曲線「于4,3兩點，且“恰好為線段48的中點，求出點"

的坐標；

若直線r：“，卜丁??與曲線c交于。，￡兩點，求，〃〃面積的取值范圍.

19.?本小題17分）

我們知道，若。：…，，一”，、高為a,6的幾何平均數，”:"為a,6的算術平均數，且、”/”了，

當且僅當時，等號成立.實際上，對于“<1,hlb當““，時，，”為。，6的對數平均數，

三」'"，它在解決某

且能與vM-，形成一個結構對稱、形式優美的不等式鏈“一科

Ina—hib2

些問題時具有重要的作用.

I1ML?、證明：、

/(a)—f(b)1

I2i已知函數J）=已“，ML?、），.h,證明:

。一6

1]3

-I已知'"，使得方程二，在I上有兩個不等的實根」，1,證明：，

2r-32

第4頁，共17頁

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：復數:「1?」「，一=I-3.,則

ZfI+2J5

在復平面內所對應的點的坐標為?位于第三象限.

55

故選：，.

利用復數代數形式的乘除運算化簡復數Z,求出復數Z在復平面內所對應的點的坐標即可.

本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的代數表示法及其幾何意義，是基礎題.

2.【答案】B

【解析】解：集合八={-9.-I.-2.1,2.3.I},/?={x€4|V/R€X)={-9,-I.1l|)

則八〃{9,I.1Q,

故ll\=|-2.2,?：

故選：B

先求出集合3,再結合集合的混合運算，即可求解.

本題主要考查集合的混合運算，屬于基礎題.

3.【答案】D

【解析】解:函數=■在他+30)上單調遞增,

所以”,1,

因為伸)二焉T

所以-8=息一1'

即?”收，2一.五二一：，

21叭22

解得b犬21或1不，1,

o

則”—L舍?或"二61.

故選：”

結合對數函數的單調性及對數運算性質即可求解.

本題主要考查了對數函數的單調性及對數運算性質的應用，屬于基礎題.

4.【答案】A

第5頁，共17頁

【解析】解：因為、為等差數列色）的前〃項和，、、，,，I,

可得“、…,一，“?,'I,??jBP?111」,

故+。2I，可得小2.

故選：.1.

根據等差數列的性質求解即可.

本題主要考查等差數列的性質應用，屬于基礎題.

5.【答案】C

【解析】解：已知廣ILJ為雙曲線"[1（1U?,I”的一個焦點，且點〃m一h在該雙曲線上,

+產=16

1636_,

<1?肝

則（":=』，

Ih2-12

即雙曲線的方程為'N,

I12

即雙曲線的漸近線方程為了.、\

故選：「.

由雙曲線的性質，結合雙曲線漸近線方程的求法求解.

本題考查了雙曲線的性質，重點考查了雙曲線漸近線方程的求法，屬中檔題.

6.【答案】A

【解析】解：因為/（x）=（吧）'=2工+疝”=-，

COSTCOS2JCOB^J*

所以一"；-2,又因為八；1,

故切線方程為，「1[,

令〃U,解得，'',即“'',

12I2

令/解得?.），即人-I,

所以加6-2i--41---0.

I22

故選：.1.

第6頁，共17頁

根據曲線在某點上的切線方程的性質即可求解.

本題考查了曲線在某點上的切線方程，屬于中檔題.

7.【答案】B

【解析】解：因為科=2,解得—…,

?,2lan02x(-2)I

所以「仙加二二工

］一(_2尸一3

tanM-tail-1

所以lanlJM-

I+tan20*tan—

故選：B

利用弦化切求出iw”,再利用二倍角公式與兩角差的正切公式,即可求和t皿2”

本題考查了同角的三角函數關系和二倍角公式與兩角差的正切公式應用問題，是基礎題.

8.【答案】C

【解析】解：因為dBC、」，”，“、〃，

而八’—/>',

所以、|||/,'hir-a>可得t.iu"、，：；，

在銳角三角形N8C中，11"

可得〃-，

由余弦定理可得廠"I,1'-1--ii<,又因為0>

由正弦定理可得［、小1、“，，

即I,'?-I'UIf',即7"I「J

43

可得、I",'f：If,,整理可得'\,,sf,-in('.'-Ulf,>

?13223

@rin2C+匕巴絲」，整理可得cgl21+?)=即2COB2/：-

I133666

銳角「」廈,中，「，二J,

oZ

1

可得「?「,f->解得，"

JJ6o

sinA-sinC=sin(^+C)-sinC■苧COBC+^tunC-sinC?COKC

，八二

第7頁，共17頁

故選：1r

由向量的數量積的求法及三角形的面積公式可得13n的值，再由角3的范圍，可得角8的大小，再由余弦

定理及“-3“-"，正弦定理可得711I7U(.」，可得M；「，而7"I'H1C-'I,

3666

可得所求的代數式的值.

本題考查三角形面積公式的應用及余弦定理的應用，二倍角公式的應用，屬于中檔題.

9.【答案】BC

【解析】解：向量了.11.121,7/I,

若丁1,；，則HI1-解得，1或2

因此，“J——I”是“〃二二”的充分不必要條件，

且“J=2”是“丁1的充分不必要條件，可知/項不正確且2項正確.

若?/1)，貝，-：，-：；-?*:，解得.，_3t\3>

因此，“工=3-6'是“dJ；”的充分不必要條件，

且“/=-3-V3"是“，；”的既不充分也不必要條件，可知C項正確且。項不正確.

故選：li<.

根據兩個向量平行、垂直的條件，列式求出相應的x的值，然后利用充要條件的概念對各個選項加以判斷，

即可得到本題的答案.

本題主要考查兩個向量平行與垂直的條件、充要條件的判斷等知識，考查了計算能力、邏輯推理能力，屬

于中檔題.

10.【答案】BCD

【解析】解：因為V1為拋物線C：「2py(p0)的準線,

所以12,

則拋物線C的方程為廠1，7,

此時/II.11,

易知圓M的圓心,半徑「-「」，

連接MN,

此時M\\7，

第8頁，共17頁

所以V/x\!.\\i2=v。，故選項/錯誤；

因為Q，

所以直線尸尸的斜率為1,

所以直線P尸的方程為，,，'I,故選項8正確；

設!'\tn.ri?0.ri；-III,

此時n-i'll?1,nr|,

解得E-2，2、2，u-3-2\2，

所以/,//,/>I，八？，故選項C正確；

易知的面積、'1'1>'i2?aDi.T+八，l,、+,故選項。正確.

22

故選:B('D.

由題意，推出拋物線C的方程，連接此時\XF，代入公式即可判斷選項4結合\.17,

可得直線尸尸的方程，進而可判斷選項8；設出點尸的坐標，列出等式即可判斷選項C；根據三角形面積公

式即可判斷選項。

本題考查拋物線的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運算能力，屬于中檔題.

11.【答案】ACD

【解析】解:因為'1''Ijf?1-11。，即/I，，1：，，1,

所以函數，，，的圖象關于直線/I對稱，所以《正確；

因為3；即/匕-l)+/(-2r-1),0,

所以函數J，，的圖象關于點I-Lr對稱，3選項不正確；

且：1.0,

又當J11時，/1JI-11.11-I,

所以，，.■.?1，解得“；，

第9頁，共17頁

所以當.r-1,I,/II-J1-i>.2,

當J4-I.I時，J1'-'J,

即“三3.l|,/（川€[—-->

又由/可知，當j-1「時，，，,2..,,

即1W[-3.5],/"）€[--

又因為/|-11111■11,

則加一！/I”,

—

又f1.2J'1）4-/（—2/-1）=0,

所以/（2x-2）+/（-2.ri0,

也即/，-2）+/I-川二。，

所以一/"-2）,〃T+J）=-/Cr）,。/+8）==

所以8為函數/，，的一個周期，

所以函數小門的值域為：上」，所以C正確；

作出函數在〕711上的圖象，如圖所示：

方程/ini=I在II「上共有8個根，

分別記為Jr-1.2.，…,

不妨令J—.i,j-J；■/1-r,■.r,,?J--八，

.口，了?關于」，對稱，，1,「|關于r]對稱，（，."關于?i對稱，:：，了.關于?”對稱,

貝!l.j+x>+.r:）+Jt+.r-,+j\,+.r-+J\

■（X|+丁2）+（13++4）+（4+工6）+（Jr?+九）

3.■I,|、I,所以。正確.

第10頁，共17頁

故選：Mn

由/”?If\J-i;o,可得/i/，i：-/?-11,即可判斷/；

由：＞1-'匕n,可得-1,,,」，即可判斷以

根據函數的對稱性，可得函數的周期為8,且當了?.1.「時，，?，，J.I,即可判斷C；

作出函數在I-北；上的圖象，結合函數的對稱性，即可判斷/).

本題考查了抽象函數的對稱性、周期性，考查了數形結合思想，屬于中檔題.

12.【答案】1

【解析】解：因為二項式壯」-的展開式的通項公式為：＜；,..I2JR-“

令Ml';,可得，b,

令1(1-/-6,可得?二1,

故/項的系數與/，項的系數之比為：

故答案為：:一

求出展開式的通項公式，進而求解結論.

本題考查了二項式定理的應用，重點考查了二項式展開式的通項公式，屬中檔題.

13.【答案】'1

3

【解析】解：「正四棱臺上底面邊長為、2,下底面邊長為人？，側棱與底面所成角為11,

二.該正四棱臺的高為八2.1,

2

?.該正四棱臺的體積為I.J-＞.I.I11

33

故答案為：：

根據題意先求出正四棱臺的高，再根據臺體的體積公式，即可求解.

本題考查正四棱臺的體積的求解，屬基礎題.

14.【答案】:

【解析】解：若；「，則7』或?，解得」I或/I,

222222

連續投擲兩次，包括36個樣本空間，其中/?I的情形有：

IbJiI,Ib.3I,lb.?IIb.3I,IliI,

第11頁，共17頁

(5,5),1li,(4,6)(4,5),(3,6)共10個,

.r，3的情形有：ll.ll,11.31,I1.Il,12.11,

■>()5

⑵2),(2,3),(3,1),(3,2),“l)共10個,,故所求概率為“-

3li!?

故答案為：;

根據古典概型的性質即可求解.

本題考查了古典概型，屬于基礎題.

15.【答案】解：1、為數列何〉的前〃項和，且1、?"II0,

可得”1時，1、?IIII,即11I,解得“！=」，

當，，1!時，由1S+51I0,可得於?-11”，

相減可得I，，」”,，“「，可得二，

I

即有數列卜，卜是首項為2,公比為：的等比數列，

I

即有a12??J';

7

3一1

121?八”，，

7

則數列，的前〃項和/2-I-I-/'--2”，，

1

3.c3.月、2〃3“

?一一[“1.1…j,

7777

]-內

兩式相減可得)；.=2[1-,'Ji+…+(I)"-1)-2n-(1)'=2-------V-2r'--,

7"了了?

I

>9W+2N”，，,，

化為I-

MS7

【解析】111由數列的通項與求和的關系，以及等比數列的通項公式，可得所求；

」由數列的錯位相減法求和，結合等比數列的求和公式，可得所求和.

本題考查數列的通項與求和的關系，以及等比數列的通項公式、求和公式，數列的錯位相減法求和，考查

轉化思想和運算能力，屬于中檔題.

16.【答案】解：1零假設為該食品的指標等級與產地無關，

根據表中數據計算得，「'I"：'1?]1,2-|(,((,

A35x25x3()x30

依據小概率值|||”的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷"，不成立，因此可以認為“該食品的指標等級與

產地”無關.

第12頁，共17頁

記M為“'促銷大禮包'中有4個為優良級別"；/為“'促銷大禮包’中的食品由/產地生產”；B

為“'促銷大禮包'中的食品由8產地生產”，

依題意，八”I-，!'\H1:，

55

P(.W)=P(A/|A)P(.4)+P(A/B)P(B)

13zzl,412161337

35322581161296

16

P(MA)P(M\A)P(A)._迎

p(Af)=-P(A7亙一后

1296

所以該“促銷大禮包”內裝的是/產地生產的食品的概率為

347

【解析】1，計算\」，與臨界值比較即可得解;

」利用全概率公式及條件概率公式求解即可.

本題主要考查獨立性檢驗，全概率及條件概率公式的應用，考查運算求解能力，屬于中檔題.

17.【答案】解：存在，點￡在棱〃〃的延長線上，且"/1,理由

如下：

連接

因為。為川〃的中點，BBi=2,所以1）12.

又側面8CC8為矩形，所以,且，/,

所以四邊形為平行四邊形，

所以CD,CiE,

又CDC平面4iECi,C|EU平面人EO\,

所以CD〃平面人迷?.

1連接，則（力-、、】-」、；，

因為I,AH"J,所以11!:，（1^,即X"CH,

因為側面1/f/r1為矩形，

所以11/>'〃出,

XCBi0BBBi，CBi、BBiU平面ECCiBi，

所以4B平面8CC5，即（B平面BCG%

以8為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

第13頁，共17頁

則」""..II,Cis3.0.IH,/）iO.ML,.lr0.,2.；li,

所以」「?\3.11.」l，!）（'\4l.lli，,IJ）i'.14，

設平面/CD的法向量為了，則.''，r.；

［ITDC-V3x一u-U

令」\：S,則“3,I,所以n*1\3.4.Il,

設平面IT）的法向量為京“」，-，貝!|（評”「5'"d"

I前?AiD=-b—3c=0

令〃\3,則5X,，1,所以=A3.3.—1??

設二面角.1-1的平面角為“，

1

貝by“??77,N；'—（'=”［；|3+9.1|11

|nI?|rn|/Ux-13

所以、in"vId"

v13

故二面角.1-0/）-1的正弦值為1K3

13

【解析】Ih先證四邊形為平行四邊形，可得「〃”/「，再由線面平行的判定定理，即可得證；

I，先證.1/1,平面〃「一從,知.WL平面〃「（"人，再以8為坐標原點建系，利用向量法求面面角即可.

本題考查立體幾何的綜合應用，熟練掌握線面平行、垂直的判定定理，利用向量法求面面角是解題的關鍵,

考查空間立體感，邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：|1易知雙曲線「的漸近線為“vVr，

取一條漸近線為“\儲,

即\4.r-〃(I，

此時圓心片1.1,1到直線\J,—I）的距離為V3

因為圓/的半徑為2a,

所以弦長為214al（苧尸=、］「

解得a=2>

因為+IQ5I-加-4>用同-2,

所以動點。的軌跡是以「，/為焦點，長軸長為4的橢圓,

第14頁，共17頁

則曲線C的標準方程為L+'「1；

I3

⑵設A/I.1一，

因為4,3兩點均在雙曲線上，

所以I[H2l",

I2-6-1

兩式作差得—

見+出3-T|-

因為直線/的斜率為L

2

即

Pi+如加6

解得小，小P

此時,1,

I3

所以

解得<'，:，

7

因為小，右「?,

經檢驗，均滿足題意，

所以點W的坐標為&￥）或（?身;

1777

y=fcr+4

-卜聯立/，消去y并整理得H-”一「?力乂"一

此時'1/Jl：h0,

解得人.〈-巫或Jt>''

22

設。I，'一"，/[，1.，

—52

由韋達定理得,

H3-U-

第15頁，共17頁

所以、一一>'I?:'J'_1J'.J;?，J,-Lri.r,

c/(-32小尸~52◎右C2一13

—1—,—1>一,,—v.>?,,——f

y(34-4F)23+4FW+3

令r=\I/.-13-0>

此時lb.,1r--1(>.

所以'…：八i?,in,

t

因為，、I),

所以「"；?>一」''x，當且僅當，=1,即卜時，等號成立，

/Vt4

此時、I),

所以1/*--、.一、I.

t1

8/5小小

則一Hi,10v3

tH-

t

故面積的取值范圍為山、I

【解析】1由題意，取雙曲線的一條漸近線為“，「什，利用點到直線的距離公式、弦長公式以及橢圓的

定義即可求解；

,r1,,r?1tjiI)■

L設”>「，,I-打「」」，可得''，利用直線/的斜率為，解得訃…，，

yi4血4八一*22

代入曲線方程中求出M的坐標，再進行驗證即可；

小將直線方程與曲線方程聯立，根據a.I),求出直線斜率的取值范圍，利用韋達定理、三角形面積公式

以及基本不等式進行求解即可.

本題考查曲線方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運算能力，屬于中檔題.

19.【答案】解：1「證明：不妨設“「，…，先證明、市，,

Ina—Ino

不等式等價