重難點01利用基本不等式求最值【八大題型】

【新高考專用】

基本不等式是每年高考的必考內容，是?？汲Ｐ碌膬热?從近幾年的高考情況來看，高考題型通常為選

擇題或填空題，但它的應用范圍很廣，涉及到函數、三角函數、平面向量、立體幾何、解析幾何、導數等

內容，它在高考中常用于大小判斷、求最值、求最值范圍等.在高考中經?？疾檫\用基本不等式求函數或代

數式的最值，具有靈活多變、應用廣泛、技巧性強等特點.在復習中切忌生搬硬套，在應用時一定要緊扣

“一正二定三相等”這三個條件靈活運用.

?知識梳理

【知識點1利用基本不等式求最值的解題策略】

1.基本不等式與最值

已知X,y都是正數，

⑴如果積孫等于定值尸，那么當x=y時，和x+y有最小值2/瓦

1

(2)如果和x+y等于定值S,那么當x=y時，積9有最大值T2.

溫馨提示：從上面可以看出，利用基本不等式求最值時，必須有：(l)x、y>o,(2)和(積)為定值，(3)存

在取等號的條件.

2.常見的求最值模型

(1)模型一：mx+—>>0,H>0),當且僅當x=時等號成立；

xVm

(2)模型二：mx-\——--=m(x-a)H——-——Fma>2y/mn+ma(m>0,n>0),當且僅當工一a=J'■時等號成

x-ax-aNm

立；

(3)模型三：——=―1——(a>0,c>0),當且僅當時等號成立；

ax+bx+c辦+6+g21cle+bVa

x

/八士音并linn，、mx(n-mx)1mx+n-mx.〃止口e止〃

(4)模型四：x(n-mx)=--------<—?(z----------------)2=—(m>0,H>0,0<x<—),當且僅當工=—

mm24mm2m

時

等號成立.

3.利用基本不等式求最值的幾種方法

(1)直接法：條件和問題間存在基本不等式的關系，可直接利用基本不等式來求最值.

(2)配湊法：利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數”或“積為常數”的形式.

(3)常數代換法：主要解決形如“已知x+y=t(t為常數)，求7+1的最值”的問題，先將V+夕轉化為

xyxy

+

(x1)■-再用基本不等式求最值―

(4)消元法：當所求最值的代數式中的變量比較多時，通?？紤]利用已知條件消去部分變量后，湊出“和

為常數”或“積為常數”的形式，最后利用基本不等式求最值.

(5)構造不等式法：構建目標式的不等式求最值，在既含有和式又含有積式的等式中，對和式或積式利

用基本不等式，構造目標式的不等式求解.

【知識點2基本不等式的實際應用】

1.基本不等式的實際應用的解題策略

(1)根據實際問題抽象出函數的解析式，再利用基本不等式求得函數的最值.

(2)解應用題時，一定要注意變量的實際意義及其取值范圍.

(3)在應用基本不等式求函數的最值時，若等號取不到，則可利用函數的單調性求解.

?舉一反三

【題型1直接法求最值】

【例1】(2024?北京東城一模)已知》>0,貝詠-4+：的最小值為()

A.12B.0C.1D.2V2

【變式1-1］（2024?甘肅定西?一模）/+V+V7的最小值為（）

A.2V7B.3V7C.4V7D.5近

【變式1-2］（2024?全國?模擬預測）已知ab為正數，則與+，）

A.有最小值，為2B.有最小值，為2魚

C.有最小值，為4D.不一定有最小值

【變式1-3］（2024?全國?模擬預測）（3+5）（1+4/）的最小值為（）

A.9V3B.7+4V2C.8V3D.7+4V3

【題型2配湊法求最值】

【例2】（2024?全國?模擬預測）函數y=乂2+或式%2>5）的最小值為（）

A.2B.5C.6D.7

4

【變式2-1］（2024?全國?模擬預測）已知力>0,則a+2b+嬴引的最小值為（）

A.6B.5C.4D.3

【變式2-2］（23-24高三上?海南省直轄縣級單位?階段練習）設％>2,則函數y=4%-l+白，的最小值為

（）

A.7B.8C.14D.15

P

【變式2-3］（2024?山西忻州?模擬預測）已知a>2,貝。2a+1的最小值是（）

a一乙

A.6B.8C.10D.12

【題型3常數代換法求最值】

【例3】（2024?河北?模擬預測）已知非負實數滿足x+y=l,則今+擊的最小值為（）

口R3+2逅

A3+2C.2D.1

243

Q1

【變式3-1］（2024?云南大理?模擬預測）已知a20,b>05.2a+b=1,則募I+嬴^的最小值為（）

A.4B.6C.8D.10

【變式32］（2024?江蘇揚州?模擬預測）已知%>0,y>0,且2x+y=l,則簽的最小值為（）

A.4B.4V2C.6D.2V2+3

【變式3-3］（2024?四川成都?模擬預測）若a力是正實數，且熹+高?=1,貝b+b的最小值為（）

DUTO

42

A.-B.-C.1D.2

【題型4消元法求最值】

2

【例4】（2024?全國?模擬預測）已知x,y,z€（0,+8）,且滿足久-2y+3z=0.則*的最小值為（）

A.12B.6C.9D.3

【變式4-1］（2024?北京?模擬預測）設正實數小y、z滿足4/一3孫+產一=0,則苫的最大值為（）

A.0B.2C.1D.3

【變式4-2］（2024?浙江紹興?三模）若*,y,z>0,5.x2+xy+2xz+2yz=4,則2x+y+2z的最小值是

【變式4-3］（2024?四川德陽?模擬預測）已知正實數久,y,z滿足/+xy+yz+xz+x+z=6,則3x+2y+z

的最小值是.

【題型5齊次化求最值】

【例5】（2024?江西新余?二模）已知x,y為正實數，且x+y=2,則匕誓的最小值為（）

A.12B.3+2V2C.yD.

【變式5-1］（23-24高一下?重慶沙坪壩?階段練習）已知正數滿足x+2y=l,則贊的最小值為（）

A.壺B.2V2C.eD,2V2+1

【變式5-2］（23-24高一上?江蘇常州?階段練習）已知孫=1,且0<y<9,則￡券最大值為.

【變式5-3］（2024?遼寧葫蘆島?二模）已知實數x>0,y>0,則空器薩的最大值為.

【題型6多次使用基本不等式求最值】

【例6】（2024?山西運城?二模）若a,b,c均為正實數，則建黑的最大值為（）

A-IB-?C.乎D.亨

z41

【變式6-1］（2024?河北衡水?模擬預測）已知實數％y,z>0,滿足%y+1=2,則當］+5取得最小值時，y+z

的值為（）

35

A.1B.-C.2D.-

【變式6-2］（23-24高三下?浙江?開學考試）已知a、b、。、d均為正實數，且十+^=〃+序=2,則。+白

的最小值為（）

A.3B.2V2

「3+V^3+2^2^

?2,-2-

【變式6-3］（2024?全國?模擬預測）已知a為非零實數，b,c均為正實數，則4震U的最大值為（）

A-1B.9C.yD.中

【題型7實際應用中的最值問題】

【例7】（23-24高一上?陜西西安?期中）一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金，一顧客到店購買黃

金100g,售貨員先將50g祛碼放在天平左盤中，取出黃金放在右盤中使天平平衡；再將50g祛碼放在天平右

盤中，再取出黃金放在左盤中使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客.你認為顧客購得的黃金（）

A.小于100gB.等于100g

C.大于100gD.與左右臂的長度有關

【變式7-1］（24-25高三上?江蘇無錫?期中）一家貨物公司計劃租地建造倉庫儲存貨物，經過市場調查了解

到下列信息：每月土地占地費力（單位：元）與倉庫到車站的距離x（單位：km）成反比，每月庫存貨物費

72（單位：元）與x成正比；若在距離車站6km處建倉庫，則丫2=4月.要使這家公司的兩項費用之和最小，

則應該把倉庫建在距離車站（）

A.2kmB.3kmC.4kmD.5km

【變式7-2］（24-25高一上?四川瀘州?期中）如圖，某花圃基地計劃用柵欄圍成兩間背面靠墻的相同的矩形

花室.

（1）若柵欄的總長為120米，求每間花室面積的最大值；

（2）若要求每間花室的面積為150平方米，求所需柵欄總長的最小值.

【變式7-3］（24-25高一上?陜西咸陽?期中）某校計劃利用其一側原有墻體，建造高為1米，底面積為100

平方米，且背面靠墻的長方體形狀的露天勞動基地，靠墻那面無需建造費用，因此甲工程隊給出的報價如

下：長方體前面新建墻體的報價為每平方米320元，左、右兩面新建墻體的報價為每平方米160元，地面以

及其他報價共計6400元.設勞動基地的左、右兩面墻的長度均為。63久412）米，原有墻體足夠長.

（1）當左面墻的長度為多少米時，甲工程隊的報價最低？

（2）現有乙工程隊也參與該勞動基地的建造競標，其給出的整體報價為＞0）元,若無論左面墻的

長度為多少米，乙工程隊都能競標成功（約定整體報價更低的工程隊競標成功），求a的取值范圍.

【題型8與其他知識交匯的最值問題】

【例8】（23-24高三上?山西運城?階段練習）在△4BC中，己知薪?￡7=9,6=c?cosA,△ABC的面積

為6,若P為線段4B上的點（點P不與點4點B重合），且^="扃+、.商，則打金的最小值為（）

391

A-9B.］C.-D.-

【變式8-1］（2020?全國?高考真題）設。為坐標原點，直線x=a與雙曲線。*^=1（￡1＞0力＞0）的兩條漸

近線分別交于2E兩點，若△ODE的面積為8,貝UC的焦距的最小值為（）

A.4B.8C.16D.32

【變式8-2］（23-24高三?全國?階段練習）在44BC中，a,b,c分別為內角4B,C的對邊，且

（acosC+ccos/）tanA=y［3b.

（1）求角/的大小；

（2）若。=遮，求力c的最大值.

【變式8-3］（23-24高二下?遼寧?階段練習）平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理論研究

和證明中占有重要的位置，基本不等式等2而（a>0,6>0）就是最簡單的平均值不等式.一般地，假設

,…&為n個非負實數，它們的算術平均值記為力n=…;…+即=:（注：W：*=臼+的+-+

工

1In\nn

）幾何平均值記為缶逆2（七）亦（注：

an,G“=??…anK=nnat=axaxan）,算術平均值與幾何平

\t=1/i=1

均值之間有如下的關系：標”F，即當且僅當的=口2="=即時等號成立，上

述不等式稱為平均值不等式，或簡稱為均值不等式.

（1）已知x>y>0,求x+1片的最小值；

（2）已知正項數列｛斯｝，前n項和為Sn.

nn

（i）當Sa=1時，求證：n（1—才）>（n2-l）nna?；

i=li=l

nfin.

（ii）求證：n（1+af）>/名.

i=1〃

?課后提升練（19題

一、單選題

11

1.（2024?河北?模擬預測）已知久>1,y>0,且0+1=1,則4%+y的最小值為（）

A.13B.-.二C.14D.9+V65

2.（2024?四川綿陽?一模）已知1>0,y>0,且滿足％+y=%y-3,則%y的最小值為（）

A.3B.2V3C.6D.9

3.（2024?江蘇宿遷?一模）若a>0,6>0,a+2b=3,貝吟+葡最小值為（）

A.9B.18C.24D.27

4.（2024?陜西西安?模擬預測）下列說法錯誤的是（）

A.若正實數a,b滿足a+6=l,貝葉+精最小值4

B.若正實數a力滿足a+26=1,則2。+4b22魚

C.y=+3+胃直的最小值為經

NXZ+33

D.若貝!|ab+lVa+b

5.（2024?四川成都三模）設a>b>0,若+勸2<號，則實數a的最大值為（）

a—b

A.2+2V2B.4C.2+V2D.2V2

6.（2024?貴州遵義?模擬預測）如圖所示的“大方圖”稱為趙爽弦圖，它是由中國數學家趙爽于公元3世紀

在給《周髀算經》“勾股網方圖”作注時給出的一種幾何平面圖，記載于趙爽“負薪余日，聊觀《周》”一書之

中.他用數學符號語言將其表示為“若直角三角形兩直角邊為a,b斜邊為c（a、b、c均為正數）.則（a+b）2

=4ab+Qb-d）2,（a+6）2=2c2-（b-a）2”.某同學讀到此書中的“趙爽弦圖”時，出于好奇,想用軟鋼絲制作

此圖，他用一段長6cm的軟鋼絲作為a+b的長度（制作其它邊長的軟鋼絲足夠用），請你給他算一算，他

能制作出來的“趙爽弦圖”的最小面積為（）

A.9B.18C.27D.36

7.（2024?福建寧德?模擬預測）若兩個正實數x,y滿足4x+y=2xy,且不等式x+*<瓶2一加有解，則實

數力的取值范圍是（）

A.{m|-1<m<2}B.{znlm<-1或m>2}

C.{m|-2<m<1}D.{znlm<-2或m>1}

8.（2024?山東淄博?二模）記max{%,y/}表示居y,z中最大的數.已知居y均為正實數，貝！Jmax{|或%2+4y2}

的最小值為（）

A.1B.1C.2D.4

二、多選題

9.（2024?貴州銅仁?模擬預測）下列不等式正確的有（）

A.當0<尤<10時，J久（10-嗎的最大值是5

B.已知正實數％y滿足％+y=2,貝葉+：<2

C.當久>—1時，x+>1

O

D.函數y=l-2x--（x<0）最小值為1+2V6

10.（2024?廣東佛山?一模）已知a,b>0,且ab=a+2b+6,貝!J（）

A.ab的最小值為18B.42+爐的最小值為36

O1O

C.展+g的最小值為§D.a+6的最小值為3+4班

11.（2024?吉林長春?模擬預測）十六世紀中葉，英國數學加雷科德在《礪智石》一書中先把“=”作為等號

使用，后來英國數學家哈利奧