第2課時(shí)直線與雙曲線的位置關(guān)系

課標(biāo)解讀考向預(yù)測(cè)

1.掌握直線與雙曲線的位置關(guān)系及從近三年高考來(lái)看，直線與雙曲線的綜合問(wèn)題是高考

其判定方法.的熱點(diǎn)，題型以解答題為主，難度偏大.預(yù)計(jì)2025年

2.會(huì)求直線和雙曲線相交的弦長(zhǎng).高考可能會(huì)與漸近線、離心率等綜合考查，選擇題、

3.能夠解決弦中點(diǎn)問(wèn)題.填空題、解答題都有可能出現(xiàn).

必備知識(shí)——強(qiáng)基礎(chǔ)

知識(shí)梳理

1.直線與雙曲線的位置關(guān)系

將直線的方程y=kx+m與雙曲線的方程b>0）聯(lián)立組成方程組，消元轉(zhuǎn)化為

關(guān)于X的方程（"一次廿）/一2次小丘一根2—〃2b2=o

（1）若"一a2F=0（"z/））,即人=±%寸，直線與雙曲線的漸近線畫壬紅，直線與雙曲線畫相

交于一點(diǎn).

（2）若b2—足支■豐0,即際士（時(shí)，/=（—2a2mk）2—4（Z72—a2吩）（-erm2—erb2）.

①/>00直線和雙曲線相交o直線和雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)；

②/=00直線和雙曲線相切Q直線和雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)；

③/<00直線和雙曲線相離=直線和雙曲線無(wú)公共點(diǎn).

2.直線與雙曲線的相交弦

12

設(shè)直線>=區(qū)+相交雙曲線”一方=1（〃>0,Z?>0）于尸1（%1,yi）,尸2（X2,丁2）兩點(diǎn)，則

|尸網(wǎng)=7（陽(yáng)―X2）」+（%一y2）2

同理，可得|尸1尸2|='J1+/6一絲|（厚0）.

這里山一為|，|為一及|的求法通常使用根與系數(shù)的關(guān)系，需作以下變形：

|為一刈=\]（Xl+%2）2—4X1X2，

2

lyi-y?\=N（州+及）—4JI^2.

結(jié)￡3

1.與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有兩種:一種是與漸近線平行且與雙曲線交于一點(diǎn)的直線;

另一種是與雙曲線相切的直線.

2.同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦），其長(zhǎng)為??；異支的弦中最短的

弦為實(shí)軸，其長(zhǎng)為2a

診斷自測(cè)

1.概念辨析（正確的打“位,錯(cuò)誤的打“x”）

（1）直線與雙曲線相交一定有兩個(gè)公共點(diǎn).（）

y2,_

（2）直線y=x與雙曲線了一>2=1一定不相切.（）

⑶過(guò)雙曲線上兩點(diǎn)A（xi,力），Bg>2）的直線的斜率左=/二看.（）

（4）直線y=x-l被雙曲線弓一V=1截得的弦長(zhǎng)為也.（）

答案（l）x（2）4（3）x（4）x

2.小題熱身

22

⑴直線尸會(huì)3+x2與v雙曲線方一》=1的位置關(guān)系是（）

A.相切B.相交

C.相離D.無(wú)法確定

答案B

卜=1-2，*2俁+2）B

解析由If2得方一整理，得6x=—13.所以x=—看，故直線和雙曲線

jp-?33

只有一個(gè)交點(diǎn)，又雙曲線彳一，=1的漸近線方程為y=士]x,所以直線y=1x+2與雙曲線的

一條漸近線平行且與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn).所以直線與雙曲線的位置關(guān)系為相交.故選B.

（2）（人教A選擇性必修第一冊(cè)復(fù)習(xí)參考題3T4改編）已知直線丫=履一1與雙曲線x2—>2=1沒(méi)

有公共點(diǎn)，則上的取值范圍是.

答案（-00,一陋）U（也，+co）

fykx1>

解析由0得（1—S）f+2丘-2=0,當(dāng)1一右=0時(shí)，方程有解，即直線>=自-1

[￡一—9=1,

與雙曲線V—Vnl有公共點(diǎn)；當(dāng)1一合9時(shí)，由/=4出+8（1一3）<0,解得上一位或上叩.

故上的取值范圍是（一00,一也）U（、「，+oo）.

（3）（人教A選擇性必修第一冊(cè)習(xí)題3.2T1改編）直線I交雙曲線>弓=1于A,8兩點(diǎn)，且P（4,

1）為AB的中點(diǎn)，則/的斜率為.

答案2

fxi+X2~~8，

解析設(shè)點(diǎn)A（xi，巾），8（X2,J2），因?yàn)镻（4,1）為AB的中點(diǎn)，所以有,又點(diǎn)A,B

\y\-ry2=2.

[才—2才=4,、Vi—Y2

在雙曲線上，貝M2c24即（%1+%2）（X1—X2）=2（jl+y2）（_yi一p2），貝II的斜率k=一二一=

[坊一2於=4,xi~X2

X}Sfy=2x-7,

2（：+；）=是=2,此時(shí)直線/的方程為y—l=2（x—4）,由jf_2y2=4消去）并整理，

得7——56x+102=0,J=562-4X7X102=280>0,即直線I與雙曲線交于兩點(diǎn)，所以I的斜

率為2.

考點(diǎn)探究——提素養(yǎng)

考點(diǎn)一直線與雙曲線的位置關(guān)系

例1若過(guò)點(diǎn)P（0,1）的直線/與雙曲線E：x2—y2=l的右支交于不同的兩點(diǎn)，則直線/的斜

率的取值范圍為（）

A.（1,也）B.[—也，-1]

C.[1,^2]D.（—巾,-1）

答案D

解析由題意可得直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為y=fcc+l,設(shè)交點(diǎn)A（xi，%）,B（x2,

。一記加，

/=4R+8（l—R）>0,

[ykx~\~1,0k

y2），聯(lián)立2_]得（1一—2日一2=0,由題意，得<為+%2=]_嚴(yán)>0,解得

一2

X\X2="\72>0，

V1—K7

—*\[2<k<—1.故選D.

【通性通法】

通常把直線與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組，通過(guò)消元后化為ax1+bx+c=Q的形式.

⑴在存0的情況下考察方程的判別式

①/>0時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；

②/=0時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；

③/<0時(shí)，直線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn).

⑵當(dāng)。=0時(shí)，此時(shí)直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn).

【鞏固遷移】

1.（2024?重慶第二次聯(lián)合診斷）已知點(diǎn)P（l,2）和雙曲線C：X2—]=1,過(guò)點(diǎn)尸且與雙曲線C

只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線/有（）

A.2條B.3條

C.4條D.無(wú)數(shù)條

答案A

解析由題意可得，雙曲線C：N—9=1的漸近線方程為〉=±2心點(diǎn)(1,0)是雙曲線的頂點(diǎn).若

直線/的斜率不存在，則直線/的方程為x=l,此時(shí)直線/與雙曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，符

合題意；若直線/的斜率存在，則當(dāng)直線/平行于漸近線y=—2x時(shí)，直線/與雙曲線C只有

一個(gè)公共點(diǎn)，符合題意；若直線/的斜率為2,則直線/的方程為y=2x,此時(shí)直線/為雙曲

線C的一條漸近線，不符合題意.綜上所述，過(guò)點(diǎn)尸且與雙曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線/

共有2條.故選A.

考點(diǎn)二弦長(zhǎng)問(wèn)題

例2已知雙曲線的焦距為4,焦點(diǎn)在x軸上，且過(guò)點(diǎn)P(2,3).

(1)求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線機(jī)經(jīng)過(guò)該雙曲線的右焦點(diǎn)且斜率為1,求直線相被雙曲線截得的弦長(zhǎng).

解⑴設(shè)雙曲線的方程為a一本=1(。>。，6>。)，

由已知可得左、右焦點(diǎn)出的坐標(biāo)分別為(一2,0),(2,0),

M'J|PFi|-|PF2|=2=2a,所以a=l,

又c=2,所以6=/，

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為『一日=1.

(2)由題意知直線機(jī)的方程為y=x-2,聯(lián)立雙曲線方程與直線方程并消去y,得2f+4x—7

=0,

設(shè)兩交點(diǎn)為A(%i，yi),B(X2,yi),

所以即+%2=—2,即％2=—5，

由弦長(zhǎng)公式，得

\AB\=y[l+~i?-\xi—X2I

==1+修寸"(無(wú)l+%2)2—4X1%2=6.

【通性通法】

1.距離公式法

當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時(shí)，可直接求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間距離公式求弦長(zhǎng).

2.弦長(zhǎng)公式法

當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)不易求時(shí)，可利用弦長(zhǎng)公式求解，即若直線/：+皿期0)與雙曲線C：

會(huì)一本=l(a>0,b>0)交于Agyi),Bg>2)兩點(diǎn)，則1+。|為一&|1+H

■\]（Xl+%2）2—4XI%2或|A8|=\/1（yi+>2）2—4y/2.

【鞏固遷移】

2.已知雙曲線C：也一方=1過(guò)點(diǎn)（陋，小），給出以下兩個(gè)條件:

①離心率為2；②與雙曲線日一/=1有相同的漸近線.

（1）任選一個(gè)條件，求出雙曲線C的方程；

⑵直線/與直線4x—2y—1=0平行，/被C截得的弦長(zhǎng)為4小，求直線/的方程.

a2—l,

解（1）若選擇①：由1e=￡=2解得，所以雙曲線C的方程為/一勺=1.

a，〃=3,

、。2=層+〃,

若選擇②：設(shè)雙曲線的方程為g一產(chǎn)=〃（存0）,

3

依題意，得2=〃，解得〃=-1,

所以雙曲線C的方程為日=1.

（2）由題意，設(shè)直線/的方程為4x—2y+m=0,

X2—,^■=1,

聯(lián)立'3

4x—2y+m=0,

得4%2+8mx+m2+12=0,

由A=64m2-16（m2+12）=48m2-192>0,

解得m<-2或m>2.

A（xi，8（x2，y2），

設(shè)/交。于點(diǎn)yi）9

j^2,|12

=

則即+%2=—2m,X1X2，所以|A6|=）1+4|的一刈=小々（為+%2）4%I%2

y[5?74m2-（源+12）=4小,

山曰25

解侍m=±\.

所以直線I的方程為6x-3y+V21=0或6x—3y—g=0.

考點(diǎn)三中點(diǎn)弦問(wèn)題

例3（2023?全國(guó)乙卷）設(shè)A,3為雙曲線x2一弓=1上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段A5中

點(diǎn)的是（）

A.（1,1）B.（-1,2）

C.（1,3）D.（-1,-4）

答案D

解析解法一：設(shè)A（xi，yi）,8（X2,/），則AB的中點(diǎn)叱手，號(hào)"，可得心B=色比

?+>2（衣―兔=1

-1,

yi+y2尸9

直線0M（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率左=^^=匕L，因?yàn)锳，8在雙曲線上，則〈2

X1+X2XI十X2,y$

——國(guó)一11，

y?-yyy?—y?

兩式相減得（好一￡）—，i=0,所以心8比=看二臣=9.對(duì)于A,k=l,kAB=9,則直線AB：y

y=9x~S,

=9x—8,聯(lián)立方程｛,/消去y得72f—2x72%+73=0,此時(shí)［=（—2x72）2—4x72x73

x"一$=1,

Q

=—288<0,所以直線A3與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故A不符合題意；對(duì)于B,k=-2,kAB=

「95

95、、、\y—2x-T

則直線A3：y=-1%一］,聯(lián)立方程J2消去y得45f+2x45x+61=0,此時(shí)/=

卜苫=1,

（2x45）2—4x45x61=-4x45xl6<0,所以直線48與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故B不符合題意；對(duì)于

C,k=3,kAB=3,則直線AB：y=3無(wú)，由雙曲線方程可得a=l,b=3,則直線AB-.y=3x

為雙曲線的漸近線，所以直線A8與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故C不符合題意；對(duì)于D,k=4,kAB

r97

997Iv4A4,

=4,則直線A8：>=下一不聯(lián)立方程12消去y得63/+126無(wú)-193=0,此時(shí)/

卜弋=1,

=1262+4X63X193>0,故直線48與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，故D符合題意.故選D.

fxi—?^?=1①，_

解法二：設(shè)A（無(wú)1，力），8（X2,丫2），A8的中點(diǎn)為（無(wú)0,州），《2①一②得心

.卜芳=1②，尬一為

=9、充=9噌即-3<9登3=-上%，即.或親-3.故選D.

【通性通法】

中點(diǎn)弦問(wèn)題的解決方法

將直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立，消元后得到一元二次方程，再用判別式和

方法一

中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解

方法二用點(diǎn)差法和中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解：設(shè)A（xi,y1）,B（xi，丁2）是雙曲線，一1=1（。>0,

/?>0)上不同的兩點(diǎn)，且xi+x2^0,M(XQ,yo)為線段AB的中點(diǎn)，則

[耳—耳=1

H兩式相減可得"二絲中=「，即心=然

始達(dá)即一、2%1十元2axoaayo

b〃=i.

【鞏固遷移】

3.過(guò)點(diǎn)尸(8,1)的直線與雙曲線V—4^=4交于A,8兩點(diǎn)，且尸是線段A8的中點(diǎn)，則直

線AB的方程為.

答案2x—y—l5=0

解析設(shè)A,8的坐標(biāo)分別為(即，y)，(X2，丁2)，則看一4田=4①，X2—4^=4②.由①一

②，得(小+刀2)(汨一>2)—4(y+丁2>8—丁2)=0,,尸是線段A3的中點(diǎn)，.*.xi+x2=16,y\+j2

=2,.?.”?=:要、=2".直線AB的斜率為2,直線AB的方程為2x—y—15=0.

x\—xi4(竺+竺)

考點(diǎn)四直線與雙曲線的綜合問(wèn)題

例4(2024?重慶一中質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C過(guò)點(diǎn)7(2,

3),且有一條傾斜角為120。的漸近線.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)廠為雙曲線C的右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在C的右支上，點(diǎn)。滿足源=匝，直線。尸交雙曲線

C于A,8兩點(diǎn)，若|48|=2|。F],求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

22b

解⑴設(shè)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為5X—%v=1(〃>0,&>0),漸近線方程為產(chǎn)土，

4Qhr-r-

則由題意可得，^2—^2=1,且一￡=tanl2()o=一小，解得〃=1,。=小,則雙曲線。的標(biāo)準(zhǔn)

方程為『一日=1.

(2)雙曲線C的方程為%2—^-=1,

所以C的右焦點(diǎn)FQ,0),

點(diǎn)。滿足匝，則尸為。。的中點(diǎn)，

設(shè)P(mfn),m>0f則。(2加，2ri),

若直線A3的斜率不存在，則其方程為x=2,此時(shí)尸(1,0),m=l,。與尸重合，不符合題

意;

若直線A8的斜率存在，設(shè)直線A3的方程為2),機(jī)#1,因?yàn)椋ァ銖S=女，所以5口=上

所以n=(m—l)k,

因?yàn)辄c(diǎn)尸在雙曲線。上，所以3加一層=3,

3771+3

所以3川一［(機(jī)—1閡2=3,即產(chǎn)=詈品,

\y—k（尤一2），

聯(lián)立"，,消去y,得（S—3）/一4妤x+4妤+3=0,

［3/—y=3,

所以好一3力0,/=16/4—4（d—3）（4斤+3）=36（斤+1）＞0.

設(shè)A（xi，yi）,8（X2，＞2），

4M4F+3

則對(duì)+尤2=下一3'X1X2=lc-3-

因?yàn)閨45|=2|。日，所以咫一知=2|2加一2|,

所以(X1+洶)2—4X1X2=16(〃z—1)2,

24廬+3

所以?4x爐—3=16（加一Ip,

即9（斤+1）=4（加一1）2（爐一3）2,

3m+3八3m+3J，

所以

9m—1

3

解得機(jī)=］，n符合題意,

所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

【通性通法】

利用雙曲線的定義、幾何性質(zhì)來(lái)研究直線與雙曲線的位置關(guān)系時(shí)：如果是判斷直線與雙曲線

的位置關(guān)系，可以通過(guò)聯(lián)立方程，利用方程組的解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷；如果涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題，可以

利用弦長(zhǎng)公式解決；如果涉及面積問(wèn)題，往往需要利用弦長(zhǎng)公式、面積公式、構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)

來(lái)解決問(wèn)題.

【鞏固遷移】

22

4.(2022?新高考I卷)已知點(diǎn)A(2,1)在雙曲線C：，一式彳=l(a＞l)上，直線/交C于P,Q

兩點(diǎn)，直線AP,A。的斜率之和為0.

⑴求/的斜率；

⑵若tan/B4Q=2吸，求ARI。的面積.

41

解⑴將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入雙曲線方程得十一￡1=1,化簡(jiǎn)得4〃2+4=0,得〃=2,

故雙曲線C的方程為了-9=1.

由題易知，直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為y=fcv+機(jī)，P(xi，乃)，。(尤2,>2)，

聯(lián)立直線/與雙曲線C的方程并整理得(2產(chǎn)―1.2+4切吠+2/+2=0,

,,,4km2m22

故X]十必=-2^2_|，%1%2=2a_]-

》一1>2—1fcn+二一1kxz+m-1

心尸+kAQ—

x\—2X2—2x\—2X2—2

化簡(jiǎn)得2辰1松+(機(jī)一1—2k)(xi~\~xi)—4(m—1)—0,

2k(2m2+2),(4km\

故2k2—]+(m—1—2^—2^—11)=0,

整理得(%+l)(m+2k~1)=0,

又直線/不過(guò)點(diǎn)A,即m+2Z—屏0,

故k=-1.

(2)不妨設(shè)直線PA的傾斜角為^0<0<1),

由題意知NB4Q=兀-2仇

所以tanNB4Q=—tan2e=^^fy=2吸,

、歷

解得tan0=*^5或tan9=—?(舍去),

小「2-10-472

由、9仔％i一&,

[-5M-y??=1l,

所以|AP|二小山一2|=4小x(,T),

同理得X2="苧但，

所以IAQ尸小咫―2|=4小*(，+1).

因?yàn)閠anNB4Q=2，^,

所以sinN/MQ=2^,

故S^AQ=^\AP\\AQ\smZPAQ

_14G—1)4小x(也+1)2點(diǎn)

=臥3*3x3

16s

―9■

課時(shí)作業(yè)

A級(jí):基礎(chǔ)鞏固練

一、單項(xiàng)選擇題

1.直線y=2尤+相與雙曲線4/一尸=1的交點(diǎn)情況是（）

A.恒有一個(gè)交點(diǎn)

B.存在機(jī)有兩個(gè)交點(diǎn)

C.至多有一個(gè)交點(diǎn)

D.存在機(jī)有三個(gè)交點(diǎn)

答案C

解析將y=2x+:"代入以2—9=1，得%2+4mx+l=0.當(dāng)機(jī)=0時(shí)，方程無(wú)解；當(dāng)：存0時(shí)，

1+布2

%=「一，所以至多有一個(gè)交點(diǎn).故選C.

—4m

2.在直線與雙曲線的位置關(guān)系中，“公共點(diǎn)只有一個(gè)”是“直線與雙曲線相切”的（）

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

答案C

解析當(dāng)“直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)''成立時(shí)，有可能是直線與雙曲線的漸近線平行，

此時(shí)“直線與雙曲線相切”不成立.反之，由“直線與雙曲線相切”一定能推出“直線與雙曲線有

且只有一個(gè)公共點(diǎn)”，所以“直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)”是“直線與雙曲線相切”的必要

不充分條件.故選C.

3.（2023?四川遂寧適應(yīng)性考試）已知雙曲線C：方一或=1的右焦點(diǎn)為冗點(diǎn)4（0,間，若直線

AF與C只有一個(gè)交點(diǎn)，則加=（）

A.±2B.土4小

C.±2小D.±4

答案B

解析雙曲線的漸近線方程為》=±7§-右焦點(diǎn)為F（4,0）,因?yàn)橹本€AF與C只有一個(gè)交點(diǎn)，

所以直線AF與雙曲線的漸近線平行，所以左AF=￡三=±\「，解得加=±4小.故選B.

4.（2024?湖北荊州模擬）已知雙曲線C：，一方=l（a>0,b>0）與直線y=—尤+2相交于A,B

兩點(diǎn)，弦43的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為一1,則雙曲線C的漸近線方程為（）

A.y=±\|3xB.y=±3x

D.y=±^x

C.y=^x

答案A

走近

02一〃1,

（X1+X2）（對(duì)一刀2）

解析設(shè)A(xi,%)，BQ2，yi),則由點(diǎn)差法得

遨_延〃2

序b11,

（yi+>2）（y一丁2）6(yi-”)

)—

b2—0(xi^X2.VAf(—1,3),/.xi+x2—2,yi+^2—6,b2(X1~X2)

=0,又％”=；：_；=—1，**.b2=3a1,，雙曲線。的漸近線方程為y=±*=±V^x?故選A.

5.已知產(chǎn)是雙曲線％2一七=1的左焦點(diǎn)，直線4元一p一12=0與該雙曲線交于P,。兩點(diǎn)，則

△FPQ的重心G到y(tǒng)軸的距離為（）

A.1B.4

C.3D.2

答案C

12_J

解析由題意，不妨設(shè)尸（為，以），。。2,”），聯(lián)立雙曲線方程與直線方程，得J8'

、4x一廠12=0,

消去》得/-IZx+ignO,故％1+汕=12.因?yàn)榫W(wǎng)一3,0）,所以△EPQ的重心G到y(tǒng)軸的距

離為|哈匚卜號(hào).故選C

6.（2023?山東煙臺(tái)模擬）過(guò)雙曲線/一V=2的左焦點(diǎn)作直線/,與雙曲線交于A,2兩點(diǎn)，若

|AB|=4,則這樣的直線/有（）

A.1條B.2條

C.3條D.4條

答案D

解析由題意，得雙曲線的左焦點(diǎn)為（一2,0）,當(dāng)直線/垂直于橫軸時(shí)，\AB\=2y[2,不符合

題意，因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y=±x,故可設(shè)直線/的方程為y=A（x+2）（以±1）,A（xi，

\y—k（x+2）,

yi）,Bg竺），與雙曲線方程聯(lián)立，可得｛22?消去》得（1一標(biāo)）/—4超x—4評(píng)一2

[廠一;/=2,

4爐—4^—2、I----

=0,則X1+尤2=]_六，尤1尤2='由弦長(zhǎng)公式，知\AB\=N產(chǎn)+1|xi—尤2|=

轉(zhuǎn)=%得出+1=仙廿一1|，解得左=±（也一1）或左=±（陋+1），故存在4

條滿足條件的直線.故選D.

7.（2024.廣東珠海模擬）已知直線/與雙曲線了一;=1相交于A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若

OALOB,則|0川?|05|的最小值為（）

A.20B.22

C.24D.25

答案C

解析依題意，得直線OA與OB的斜率都存在且不為0,不妨設(shè)直線OA的方程為>=辰（原0）,

產(chǎn)91

1可―7=1，12

則直線OB的方程為尸一加設(shè)Ag,竺），如2,竺），聯(lián)立得T4則看=言F，y仁

^y=kxj

12x春+12

若12出后，所以|0.2=焉+濟(jì)=了1?梟+告日12/+12.同理可得|0為2=始+貨=

『3,點(diǎn)

12F+121,1_4_3標(biāo)4儲(chǔ)一3_M+1_],1_1,1

就2—3-所以|。川2十。為2—I2產(chǎn)+12十12好+12-12產(chǎn)+12-12'加以12一|。4/十|0州2

552V|（9A|21|OB|2=|OA|2|OB|,即QAHOBIN24'當(dāng)且僅當(dāng)|。4|=|。8|時(shí)'等號(hào)成立.故選C-

8.（2024?湖南長(zhǎng)沙高三模擬）已知雙曲線C：5一方=130,>>0）的左、右焦點(diǎn)分別為Fi，

尸2,直線y=4尤與C的左、右兩支分別交于點(diǎn)A,B,若四邊形為矩形，則C的離

心率為（）

小+1

A.-2-B.3

C.小+1D.小+1

答案C

解析顯然直線y=/x與吊92交于原點(diǎn)O,由雙曲線的對(duì)稱性知，若四邊形是矩形,

y—\[3x,

則|43|=向巳|，設(shè)點(diǎn)A（xi，yi）,8（x2,m），而尸i（—c,0）,F2（c,0）,由得（〃一

浮

3a2濡=融2,解得x尸—譚泰山=譚玄，則|A8尸W+（小）2.—了駕j,

二、多項(xiàng)選擇題

9.已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的漸近線方程為y=±&,實(shí)軸長(zhǎng)為4,貝1（）

A.該雙曲線的虛軸長(zhǎng)為2加

B.該雙曲線的焦距為2小

C.該雙曲線的離心率為小

D.直線x—y+2=0與該雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)

答案BD

2

解析由題意，設(shè)雙曲線的方程為a/一v方=13＞。，6＞。)，因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為產(chǎn)土?xí)?,

也」(a=2,

實(shí)軸長(zhǎng)為4,所以°2，解得，/故雙曲線的方程為『一丁=1，所以，=后除=小.

U=4,出=，&

對(duì)于A,該雙曲線的虛軸長(zhǎng)為2,所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B,該雙曲線的焦距為2c=2小，所以

「小

cy[51一/=1,

B正確；對(duì)于C,該雙曲線的離心率為6=趣=竽，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D,由彳4得

—y+2=0,

3f+16x+20=0,因?yàn)榱?162—4x3x20=16＞0,所以方程3f+16x+20=0有兩個(gè)不相等的

實(shí)根，所以直線尤一y+2=0與該雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以D正確.故選BD.

72

10.己知雙曲線C：舌一寧=1的一條漸近線方程為4尤-3y=o,過(guò)點(diǎn)(5,0)作直線/交雙曲

線于A,B兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是()

A.￡=16或一9

B.該雙曲線的離心率為|

C.滿足|A3尸苧32的直線/有且僅有一條

D.若A,2分別在雙曲線左、右兩支上，則直線/的斜率的取值范圍是(若，§

答案BD

解析

丫2(]6

因?yàn)殡p曲線C±y—9=1的一條漸近線方程為4x—3y=0,所以言=合，解得/=16,故

A錯(cuò)誤；雙曲線方程為點(diǎn)一生=1,故〃=3,b=4,c=.9+16=5,所以該雙曲線的離心率e

=|,故B正確；如圖，F(xiàn)(5,0)為雙曲線的右焦點(diǎn)，當(dāng)x=5時(shí)，丁=土與，當(dāng)A，5兩點(diǎn)都在

雙曲線的右支上時(shí)，\AB\^—,因?yàn)閨A3|=w，所以這種情況的直線AB只有一條，且A8與x

32

軸垂直；當(dāng)A,8分別在雙曲線的左、右兩支上時(shí)，可得|A3|22〃=6,而學(xué)＞6,可得這樣的

直線有兩條，綜上所述，滿足發(fā)為=]3■2的直線/有三條，故C錯(cuò)誤；雙曲線的漸近線方程為y

=±%,要使A,3分別在雙曲線左、右兩支上，則直線/的斜率的取值范圍是（空，1｝故

D正確.故選BD.

三、填空題

11.已知雙曲線3一方=1（辦0,6＞。）的左、右焦點(diǎn)分別為Q，F(xiàn)],過(guò)點(diǎn)/2作與x軸垂直的直

線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P,且NP為巳=襲，則雙曲線的漸近線方程為.

答案y=±\?

解析根據(jù)已知可得，尸尸2|=?且|尸品|=%，吟-％2a,所以1=2,%小,雙曲線的

漸近線方程為了=地工

12.（2024?福建廈門第四次質(zhì)量檢測(cè)）寫出同時(shí)滿足下列條件的一條直線/的方程為.

①直線/在y軸上的截距為1；②直線/與雙曲線9=1只有一個(gè)公共點(diǎn).

答案尸±%+1,〉=±冬+1（寫出其中一個(gè)直線方程即可）

解析因?yàn)橹本€/與雙曲線。一尸=1只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以直線/與雙曲線專一丁=1的漸近

線丫=±&平行.又直線/在y軸上的截距為1,所以直線/的方程可以是y=i1x+l.若直線/

在y軸上的截距為1且與雙曲線相切，則二者只有一個(gè)交點(diǎn).可設(shè)/：y=kx+A,代入雙曲線

[、[I?"y[2

方程，得（"一出卜2—2日一2=0,只需j解得k=差,所以直線/：y

[/=4F+8（J-於）=0,

=±冬+1,即所求直線/的方程為丫=±%+1,y=土冬+1（寫出其中一個(gè)直線方程即可）.

13.（2024?湖南益陽(yáng)模擬）已知雙曲線C：會(huì)一步=1,若直線/的傾斜角為60。，且與雙曲線C

的右支交于M,N兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)P,若此0|=￥，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為.

答案（小，0）

解析設(shè)直線/的方程為y=^x+/n,與雙曲線方程全一丁=1聯(lián)立，可得8x2+64§mx+3M

+3=0,iJ=108m2-32（3m2+3）=12m2-96>0,得機(jī)>2吸或機(jī)<—2吸.設(shè)"（即，》），Ng,

"），則為+%2=—3呼,>0,方刀2=細(xì)甘3>0,則徵<0,所以m<—2巾,\MN\=y/1+（?。?

222

r-；―------/27m~~3m+3ylim—24A/3有/日...

ki—X2I=2^/（xi+^2）2—4xiX2—2A/]6——2—="—2---=29斛侍加=3（舍去）或m

=-3,所以直線/的方程為y=/x—3,令y=0,可得％=小.故點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（小，0）.

14.已知直線MN：尸gx+2與雙曲線C：§—；=1交于跖N兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則AOMN

的面積為?

答案4巾

y=$+2,

22消去x并整理，得f一以一24

{94-1,

=0.設(shè)M（?,州），N（xi，yi）,則|MN|=

\1+如咫一陽(yáng)|=、1+廬4-（愈+即）2—4X1X2

=Y（l+1）x（16+96）='爭(zhēng)，o到直線MN的距離為d=-p^=焉,所以△OMN的

'\1+9

面積為S=3義也曾義-^=4幣.

四、解答題

15.已知雙曲線C和橢圓方+>2=1有公共的焦點(diǎn)，且離心率為小.

⑴求雙曲線C的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)M（2,1）作直線/交雙曲線C于A,B兩點(diǎn)，且M為的中點(diǎn)，求直線/的方程及弦

長(zhǎng)|4班

解（1）由題意，知橢圓:+9=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（一小，0）和（、/§,0）,設(shè)雙曲線C的方程

22

為^一方=1（。>0，fc>0），

則c2=a1+b2=?>,因?yàn)閑=~=y[3,

所以。=小〃，解得/=1,吩=2,

所以雙曲線。的方程為％2—g=l.

（2）設(shè)A（xi，y）,3（x2，>2），分別代入雙曲線方程，得才一5彳=1,焉一5專=1,

兩式相減，得（為+x2）——竺）。1+丁2）=0，

因?yàn)辄c(diǎn)M(2,1)為A5的中點(diǎn),

所以％1+冗2=4,y+y2=2,

則4(xi—X2)~(yi—)^2)=0,

所以心二四=4,

X1~X2

所以直線I的方程為y=4x—7.

把y=4x—7代入x2一弓=1,消去y,

得l^~56x+5l=Q,

所以X1+X2=4,為檢=直,

又k=4,

所以\AB\=弋(X1+X2)2-4尤1X2

uC~7~5iV1190

=V^xyj16-4?=七一?

16.(2024?江西紅色十校聯(lián)考)已知雙曲線C：J-p=l(a>0,6>0)的離心率為2,右焦點(diǎn)F

到一條漸近線的距離為小.

⑴求雙曲線C的方程；

(2)已知點(diǎn)8(0,b),過(guò)點(diǎn)P(一爭(zhēng)0)作直線/與雙曲線C交于跖N兩點(diǎn)，若18M=阿，求

直線/的方程.

呢+01

解(1)由題意知尸(c,0),雙曲線C的一條漸近線為Z?x+〃y=0,則7b2+：=b=小,

rc1+?=2,所以i=L

又e=Z

所以雙曲線C的方程為七=1.

(2)由(1)知，2(0,小)，尸(一坐，0)，由題易知直線/的斜率存在，當(dāng)直線/的斜率為0時(shí)，

直線/的方程為y=0,此時(shí)直線/與雙曲線C的交點(diǎn)為(-1,0)和(1,0),滿足|BM=|8N，

符合題意；

當(dāng)直線/的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線/的方程為y=fcv+皿際0),設(shè)Mxi,力)，Ngy2),線段

的中點(diǎn)為。(尤0,加)，

f―e=1,

聯(lián)立<3得(3一廿)秒一2初吠一AT?—3=0,

y=kx-\-m,

、,一七0,

所義[/=(-2km)2+4(3—^2)(m2+3)>0,

[3—嚴(yán)加，

即

[m2+3—^>0,

2km

所以xi+x=

23—滬

m2+3

%i%2=-3—淤'

km3m

X°=FP，y°=FP'

3m—6

因?yàn)樗约觃LMM所以kBQ=獨(dú)4=落『=迎二唔血1

k9

3—嚴(yán)

所以3-4=4乎m.

又點(diǎn)《一坐，0）在直線/上，

所以機(jī)=坐上，所以3—標(biāo)=2%,

3—3加，

解得人=-3或％=1,滿足

m2+3—^>0,

所以直線/的方程為y=—3x—羋或y=x+坐

綜上，直線/的方程為y=0,y=—3x—殳乎或y=x+坐.

素養(yǎng)提標(biāo)

17.（多選）已知B，B分別是雙曲線，一胃=1（°>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)，A為左頂點(diǎn)，尸為

雙曲線右支上一點(diǎn)，若|PR|=2|PB|,且△PFiB的最小內(nèi)角為30。，貝1」（）

A.雙曲線的離心率為小

B.雙曲線的漸近線方程為〉=地》

C.ZE4F2=45°

D.直線x+2y—2=0與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)

答案ABD

解析對(duì)于A,因?yàn)閨尸碎=2|尸碼，|「為|一|力囹=2。，所以|尸西|=40|P&l=2a,又因?yàn)?c>2a,

[6〃2—4c2—4〃2A/Q

4a>2°,所以NP為尸2=30。，所以cos/PR尸2=-2x4f；x2c-=早所以c=W，所以e

=小，故A正確；對(duì)于B,因?yàn)閑2=*=°?=3,所以*=2,所以所以雙曲線

的漸近線方程為y=丸「X,故B正確；對(duì)于C,因?yàn)?c=2/°,所以IPR/TpgF+IBBF，

所以/PB尸1=90。，又因?yàn)閨AB|=c+a=（小+1）°,\PF^2a,所以|A因和乎2|，所以/