第三節(jié)二次函數(shù)與一元二次方程、不等式

課標(biāo)解讀考向預(yù)測

二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式

1.會結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次

統(tǒng)稱為“二次問題”，二次函數(shù)是解決“二次問

方程實(shí)根的存在性及實(shí)根的個數(shù)，了解函數(shù)

題”的核心靈魂.對于高考，主要考查利用二

的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系.

次函數(shù)解決一元二次不等式，借助二次函數(shù)

2.會從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式，了

的圖象利用數(shù)形結(jié)合寫出有關(guān)不等式的解集

解一元二次不等式的實(shí)際意義.

或者是未知參數(shù)的取值范圍.預(yù)計(jì)2025年高

3.能借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式，

考對于二次函數(shù)的考查，還是以結(jié)合一元二

并能用集合表示一元二次不等式的解集.

次不等式為主，難度不會太大，比如集合部

4.借助一元二次函數(shù)的圖象，了解一元二次不

分和函數(shù)定義域部分的求解等，稍有難度的

等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系.

主要還是與數(shù)形結(jié)合出題，整體保持穩(wěn)定.

必備知識——強(qiáng)基礎(chǔ)

知識梳理

1.二次函數(shù)與一元二次方程、不等式解集的對應(yīng)關(guān)系

判別式/=b2~4acJ>0J=0J<0

二次函數(shù)^=辦2+區(qū)1

X

+c(a>0)的圖象n\Ol2X

V4—*

有兩相等實(shí)根X\—X2

一元二次方程ax2+有兩相異實(shí)根Xi,

_b_沒有實(shí)數(shù)根

6x+c=0(a>0)的根X2(Xl<X2)=

2a

aN+bx+c>0(a>0)

[

{x[x>、2或}

的解集QE磯12d

ax2-Fbx-l-c<0(a>0)

[04]{xxiVx〈X2}w旦0610_

的解集

2.分式不等式

|x|>a(a>0)的解集為幽(一8,一a)u(a,+8),可<。(。>0)的解集為U0(~a,a).

診斷自測

1.概念辨析(正確的打y“，錯誤的打“X”)

(1)不等式一小—%+6>0的解集是{x,V—3或%>2}.()

Y---1

(2)不等式---三2等價于x—122x+6.()

x+3

(3)不等式/一aWO的解集是[一4，/].()

(4)已知函數(shù)加)=ax2+bx+c,關(guān)于x的不等式兀v)<0的解集為(一1,3),則犬4)次0)次1).()

答案(l)x(2)x(3)x(4)7

2.小題熱身

(1)(人教B必修第一冊223練習(xí)BT1改編)已知集合4={0,1,2,4},5={x|x2-6x+5<0},

貝)

A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,4)

C.{0,1}D.{2,4}

答案D

解析由題意，得3={X|X2-6X+5<0}={X|1<X<5},所以/02={2,4}.故選D.

(2)設(shè)機(jī)+〃>0,則關(guān)于x的不等式(切一x)(〃+x)>0的解集是()

A.{x|%v—〃或%>加}

B.{x\~n<x<m}

C.{x|x<—冽或%>〃}

D.{x\~m<x<n}

答案B

解析原不等式可變形為(x—冽)(工+幾)<0,方程(%—冽)。+幾)=0的兩根為冽，~n,顯然由加

+心0,得冽>一〃，所以原不等式的解集是{x[—冽}.故選B.

(3)若關(guān)于x的不等式ax2+bx+2>0的解集是1—2,J,則a+b的值是.

答案T4

[~b_1

9

11a6

解析由題意，知一L’是方程辦2+樂+2=。的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系，得力1

23

a6

Q=_12,

則,所以a+b=—14.

\b=-2.

(4)若不等式mx2+2mx—4<2x2+4x對任意x都成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

答案(一2,2]

解析原不等式可整理為(2—m)x2+(4—2機(jī))x+4>0.當(dāng)加=2時，不等式為4>0,該不等式

恒成立；當(dāng)冽W2時，需滿足

2—加>0,、

?解得一2〈加V2.綜上可知，實(shí)數(shù)加的取值范圍是(一2,2].

(4—2m)2—4x4(2-m)<0,

考點(diǎn)探究——提素養(yǎng)

考點(diǎn)一一元二次不等式的解法(多考向探究)

考向1不含參數(shù)的一元二次不等式的解法

例1已知集合/=34—》2>0},8="歸2—4X+3<0},則NU5=()

A.{x|—2<x<l}B.{x|l<x<2}

C.{x\—2Vx<3}D.{x|-2<x<2}

答案c

解析因?yàn)?={x|-2<x<2},S={x|l<x<3},所以/U3={x|-24<3}.故選C.

【通性通法】

解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟

【鞏固遷移】

1.(2024?浙江紹興諸暨高三聯(lián)考)已知集合M={x|0Wx<2},N=國一爐+2工+3>0},則MCN

=()

A.{x|0^x<1}B.{x|0Wx<2}

C.{ROWxWl}D.{x|0WxW2}

答案B

解析因?yàn)镹={X|-X2+2X+3>0}={X|X2-2X—3<0}={XL1<X<3},M={x|0Wx<2},所

以MN={x[0Wx<2}.故選B.

考向2含參數(shù)的一元二次不等式的解法

例2解關(guān)于x的不等式ax2-(a-\-l)x+1<0(aGR).

解原不等式可化為(ax—l)(x—1)<0,

當(dāng)40時，有卜1）<0,

所以當(dāng)0>1時，解得1cx<1;

a

當(dāng)。=1時，解集為0;

當(dāng)0<°<1時，解得

a

當(dāng)4=0時，原不等式等價于一x+l<0,即X>1；

當(dāng)4<0時，1<1,原不等式可化為1Q］（X—1）〉0,

a

解得1>1或X<1.

a

綜上，當(dāng)0<°<1時，原不等式的解集為｛d

當(dāng)a=l時，原不等式的解集為0;

當(dāng)°>1時，原不等式的解集為｛da<x<l｝;

當(dāng)4=0時，原不等式的解集為｛x|x>l｝；

YV—￥>1>

IX產(chǎn)j

【通性通法】

解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟

提醒：求對應(yīng)方程的根優(yōu)先考慮用因式分解法確定，不能因式分解時再用求根公式計(jì)算.

【鞏固遷移】

2.（2024?山東濰坊一中高三上期中）若關(guān)于x的不等式（，-4）x2+（a+2）x—120的解集不為

空集，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

「6+工8］］

答案（一8,—2）UL5J

解析根據(jù)題意，分兩種情況討論：①當(dāng)層一4=0,即。=±2時，若。=2,則原不等式為

4x—1N0,解得故不等式的解集為不是空集；若。=—2,則原不等式為一

4

120,無解，不符合題意；②當(dāng)。之一4W0,即。#±2時，若(序一4)x2+(47+2)x—110的解集

是空集，則有|解得一2VQV￡所以當(dāng)不等式(層一4)/+(4+2)%—

L=(Q+2)2+4(Q2—4)vo,5

11。的解集不為空集時，有。<—2或。》g且.綜上可得，實(shí)數(shù)。的取值范圍為(一8,-

「一6,+'8]]

2)UL5J

考向3可化為一元二次不等式的分式不等式的解法

I

例3右集合4="|—12—%+6>0｝,B=UIx-3,貝I]403=()

A.(-3,3)B.[-2,3)

C.(-2,2)D.[-2,2)

答案D

解析將一x2—x+6>0化為N+x—6<0,解得一3<x<2,則4=(—3,2).由一5一W—1得

%—3

日口[(x+2)(x—3)W0,

—^0,即《解得一2Wx<3,則3=[—2,3),所以/03=[—2,2).故選

%—3卜一3W0,

D.

【通性通法】

分式不等式的求解策略

分式不等式的求解策略是把分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式，對于形如^加的分式不等式，

g(x)

一般應(yīng)遵循“移項(xiàng)一通分一化乘積”的原則進(jìn)行求解.

注意：解不等式?,加時，不能直接在不等式兩邊同乘以分母g(x),因?yàn)間(x)的符號不確定.

g(x)

【鞏固遷移】

3.(2024?廣東部分地市高三模擬)若集合/=5=｛印/—(20+l)x+,W。｝,且

0,則實(shí)數(shù)q的取值范圍為()

A.[-3,-1]B.[-3,-1)

C.(—8,—1)D.(—8,—1]

答案c

解析依題意，得4=x{x\——1},方程2/—(2Q+1)X+Q=0,即(2%—

,此時4n5=0,不符合題意；當(dāng)r

時，B=\2h此時zn5=0,不符合題意；當(dāng)一1<4小時，B=2」，此時/r)3=0,不

2

符合題意；當(dāng)a<—1時，2=F‘9，此時/D2W0,符合題意.綜上可得，實(shí)數(shù)。的取值

范圍為(一8,—1).故選C.

考點(diǎn)二三個二次之間的關(guān)系

例4若不等式ax2+bx-\~c>0的解集為{x|—則不等式tz(x2+1)+Z?(x—l)+c>26zx的解

集是()

A.{x|0<x<3}B.{小<0或x>3}

C.{x|l<x<3}D.{x|-l<x<3}

答案A

解析由。(x2+1)+6(X—1)+0>2辦，得辦2+(6-24)%+(4+°—6)>0①.又不等式辦2+6%

(—1)+2=

a

+c>0的解集為{x|—所以Q〈0,且②.將①兩邊同除

以〃，得N+QJx+laQJ〈O③.將②代入③，得3%<0,解得0〈x<3.故選A.

【通性通法】

三個“二次”即二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式，三者之間具有豐富的內(nèi)涵和密切

的聯(lián)系.一元二次方程和一元二次不等式可看作二次函數(shù)的一種特殊情況：當(dāng)>=0時，函數(shù)

y=qN+&v+c(qWO)轉(zhuǎn)化為二次方程4/+云+°=0；當(dāng)>>0或y<0時，就轉(zhuǎn)化為一元二次不

等式ax2+bx+c>0(qW0)或ax1-\-bx-\-c<O(a0),所以解決問題需要三者相互聯(lián)系.

【鞏固遷移】

4.已知函數(shù)>=]2+〃二+6(4,6WR)的最小值為0,若關(guān)于x的不等式N+QX+XC的解集為

{x\m<x<m+4],則實(shí)數(shù)c的值為()

A.9B.8

C.6D.4

答案D

47?—〃2〃2

解析由題意得-----=0,.?.6=一，又不等式H+qx+bVc的解集為{%|加<X<冽+4},?,?方程

x2-\~ax-\---c=0的根為加，切+4,即加+切+4=-a,解得加=―-―???冽+"=-2,又

422

m2-\-am-\------c=0,.*.c=m2-\-am-\—=12J=4.故選D.

44

考點(diǎn)三一元二次不等式恒成立問題(多考向探究)

考向1在R上的恒成立問題

例5關(guān)于x的不等式mx2—mx+m+1>0恒成立，則m的取值范圍為.

答案[0,+°°)

1^77>0,

解析當(dāng)加=0時，1>0成立；當(dāng)機(jī)?0時，\解得加>0,所以加N0,

Ul=〃?2—4〃z(m+1)<0,

即加的取值范圍為[0,+°°).

【通性通法】

一元二次不等式在R上恒成立問題一般要結(jié)合二次函數(shù)圖象，用判別式解決.

_,伉>0,

(1)一元二次不等式ax2+bx+c>0對任意實(shí)數(shù)x恒成立

b2—4ac<0.

(6Z<0,

(2)一元二次不等式aN+bx+cv。對任意實(shí)數(shù)x恒成立

b2—4ac<0.

注意：題目中是否有“一元二次''幾個字，也就是判斷是否要考慮二次項(xiàng)系數(shù)為0的情況.

【鞏固遷移】

5.若不等式(a—2)N+2(Q—2)x—4N0的解集為0,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.{Q|Q<—2或Q22}B.{a\~2<a<2}

C.{Q[—2<aW2}D.{a\a<2}

答案C

解析由題意得不等式(Q—2)X2+2(Q—2)X—4<0的解集為R,即不等式(〃-2)/2+2(〃-2)/一4

<0對一切實(shí)數(shù)x恒成立.當(dāng)4-2=0,即〃=2時，-4<0,符合題意；當(dāng)。一2<0,即公2

時,由/=[2(〃-2)]2+4x4x(q—2)<0,解得一2〈時2,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是{臼一2々忘2}.故

選C.

考向2在給定區(qū)間上的恒成立問題

例6(2024?江蘇連云港海濱中學(xué)高三學(xué)情檢測)設(shè)函數(shù)於)=加/—加x—i,若對于、￡口，3],

/x)>-m+2恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

答案(3,+°°)

解析由於)>一加+2,得加N一冽工一1>一冽+2,即加(12—工+1)>3,當(dāng)工￡[1,3]時，%2—x

+1G[1,7],所以冽>三―-在x￡[l,3]上恒成立，只需冽>[?—x+J,當(dāng)工=1時，x2

x2~x+l

max

3

—x+1有最小值，為1,則工——1有最大值，為3,則冽＞3,故實(shí)數(shù)冽的取值范圍為（3,+

xz~x+1

8）.

【通性通法】

一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立問題的求解方法

（1）若y（x）＞o在集合/中恒成立，則集合/是不等式y(tǒng)（x）＞（）的解集的子集，可以先求解集，再

由子集的含義求解參數(shù)的值（或取值范圍）.

（2）轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題，即已知函數(shù)外）的值域?yàn)閇m，?],則恒成立力（Qmin'a,即

m》a；/（x）Wa恒成立e/（x）maxWa,即nWa.

【鞏固遷移】

6.（2024?廣東深圳高三模擬）對于任意—2,3],不等式/—小|+1＞。恒成立，則實(shí)數(shù)a

的取值范圍為.

答案（一8,2）

丫2-）-1

解析當(dāng)0=0時，不等式爐+1＞0恒成立，當(dāng)aWO時，不等式可變形為---,0＜|x|W3,

kl

r2_l_1/2_l_11

設(shè)，=|M，rE（O,3],則^=----=----=/+-,由對勾函數(shù)的性質(zhì)，知該函數(shù)在（0,1]上單

\x\tt

調(diào)遞減，在[1,3]上單調(diào)遞增，，當(dāng)/=1時，＞=/+；取得最小值2,...avZ.故實(shí)數(shù)a的取值

范圍是（一8,2）.

考向3給定參數(shù)范圍的恒成立問題

例7若不等式r+px＞4x+p—3,當(dāng)0W0W4時恒成立，則x的取值范圍是（）

A.[-1,3]

B.（—8,-1]

C.[3,+8）

D.（—8,-1）U（3,+8）

答案D

解析不等式X?+/zx>4x+p—3可化為(x—1加+/一4x+3>0,則[(x—1)0+/一4x+

3]min>0(0WpW4),令危)=(X—1)「+9一4x+3(0Wp(4),貝！)

/(0)=x2-4x+3>0,

解得X<—1或x>3.

K4)=4(X-1)+X2—4X+3>0,

【通性通法】

解給定參數(shù)范圍的不等式恒成立問題，可考慮變換思維角度，即把變量與參數(shù)交換位置（變換

主元），構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，再根據(jù)原參數(shù)的范圍求解.

【鞏固遷移】

7.(2023?湖北部分重點(diǎn)高中高三聯(lián)考)若命題“皿￡[-1,3],辦2一(2〃—1)%+3一戰(zhàn)0”為假命

題，則x的取值范圍為.

5gA4

答案[—1,0]Ub3」

解析由題意知—1,3],QN—(2Q—l)x+3—0”為真命題.令g(〃)=ax2—2ax~\~x~\~

3—a=(x2—2x—1)Q+X+3N0,則

1g⑶20,

一KW4,「勺一

一,4

或xWO,所以x的取值范圍為LIO]UL3J.

考向4不等式能成立或有解問題

例8已知關(guān)于x的不等式mx2-6x+3m<0在(0,2]上有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

C.(G+8

答案A

解析問題轉(zhuǎn)化為機(jī)在(0,2]上有解，設(shè)g(x)=4，則g(x)=，=弋，》6(0,

N+3N+3爐+3x+3

2],又x+3》2A/3,當(dāng)且僅當(dāng)X=3時取等號，則g(x)max=3=d3，故〃?<勺3.故選A.

【通性通法】

能成立或有解問題與恒成立問題處理方法類似，一般也是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，一是直接

研究原函數(shù)的最值；二是參數(shù)分離后研究最值，常用到以下兩個結(jié)論：

(l)aN八X)能成立Qa;

(2)aW/(x)能成立QaW/(x)max.

【鞏固遷移】

8.若存在xG[—2,2],x2+/x+3—mW0有解，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為.

答案(一8,-7]U[2,+8)

解析因?yàn)?(x)=x2+%x+3一加的圖象開口向上，對稱軸為直線X=—：,①當(dāng)一號w—2,

即機(jī)04時，=X—2)=4—2m+3一機(jī)W0,即加》：，②當(dāng)一2<一^<2,即一

4<m<4時，y(x)min=.一'"P3—m^Q,解得或mW—6,2^m<4；③當(dāng)一名22,

42

即mW—4時，/(x)min=/(2)=4+27〃+3—mWO,解得機(jī)W—7.綜上，加22或機(jī)W—7.

課時作業(yè)

基礎(chǔ)鞏J通

一、單項(xiàng)選擇題

1.不等式3x—100的解集為()

A.(-2,5)

B.(-8,-2)U(5,+8)

C.(-5,2)

D.(—8,-5)U(2,+8)

答案A

解析由N—3%—10<0,得(x+2)(x—5)<0,解得一2Vx<5.故選A.

101

2

2.(2024?遼寧沈陽高三模擬)若集合Z=kI,B={x\x~x-2>0}f則/n(CR^)=

()

A.[1,2]

B.(1,2]

C.(-8,-1)U(2,+8)

D.0

答案B

解析解得l〈xW2,則4=(1,2].由x2-x-2=(x-2)-(x+l)>0,

1—xkwi,

解得％>2或xv—l,則5=(—8,-1)U(2,+8),故CR5=[—1,2],則/n(CR5)=(1,

2].故選B.

3.已知不等式加+樂―2Vo的解集為{x|-l〈x<2},則不等式加+出一1)%—3>。的解集為

()

A.R

B.0

C.{x|—l<x<3}

D.{x\x<—1或x>3}

答案D

--=-1+2,

a\h=—l,人

解析由2得＜故不等式辦2+（6一1）小一3＞。可化為了2一2%—3＞0,即（x

--=-1x2,4=1.

a

—3)(x+l)>0,解得1或%>3.故選D.

4.已知關(guān)于X的不等式一N+4x2a2-3a在R上有解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.{a\—1W〃W4}

B.{a\~l<a<4}

C.3〃三4或qW—1}

D.{Q|-4WQW1}

答案A

解析因?yàn)殛P(guān)于x的不等式一X2+4X2Q2—3Q在R上有解，即,一以十層一3QW0在R上有

解，只需》=/一4%+屋一3〃的圖象與x軸有公共點(diǎn)，所以/=（—4）2—4x（屋一3Q）20,即a1

—3a—4W0,所以（。一4）（〃+1）WO,解得一1WQW4,所以實(shí)數(shù)Q的取值范圍是同一

1WQW4}.故選A.

f,r

5.若不等式N+QX+12o對任意02_恒成立，則Q的取值范圍是（）

A.[0,+°°）B.（—8,—2]

答案C

解析若不等式x2+ax+1^0對任意2_恒成立，則。》一1+J,即a]]—[+泥

1max

0,21t單調(diào)遞增,Jmax=—[，所以4》一[.故選C.

22

6.（2023,江蘇徐州三十六中模擬）若對于任意xW阿，m+1],都有N+加工—Ivo成立，則實(shí)

數(shù)m的取值范圍是（)

A.°]

B.―3°]

o]

C.?°D.

答案B

flm)=2m2—1<0,八g,,,

解析設(shè)f(x)=x2-\~mx—1,則,解傳---v加<0.故選B.

/(冽+1)=2機(jī)2+3加<0,2

7.（2024?福建福州高級中學(xué)高三階段測試）已知關(guān)于x的不等式辦2+樂+4>。的解集為（一8,

1/+],其中m<0,則的最小值為（）

m)U

ab

A.-4B.3

C.4D.5

答案D

解析因?yàn)檗k2+區(qū)+4>0的解集為(-8,m)uCi，+]，所以心0,且掰，“是方程。N

m

+&r+4=0的兩根，所以冽?4=±解得〃=],所以冽+4=一'=—6,即6=一

mama

L+4]f-4]J4

當(dāng)加<0時，b=—Imj=—加+1mj22—m,L冽J=4,當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)=一，即加=—2

m

時取等號，令人6)=匕+，=6+，324),由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在(2,+8)上單調(diào)

abb

遞增，所以人6)2次4)=4+4=5,所以的最小值為5.故選D.

4ab

8.在關(guān)于x的不等式N—5+1文+公0的解集中至多有2個整數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

()

A.(—3,5)B.(-2,4)

C.[-3,5]D.[-2,4]

答案D

解析X2—(Q+1)X+Q<0可化為(%—1).(%—q)<0,當(dāng)Q>1時，不等式的解集為IVxVQ,要使得

解集中至多有2個整數(shù)，則1<QW4；當(dāng)Q=1時，不等式的解集為0,滿足題意；當(dāng)時，

不等式的解集為q<x〈l,要使得解集中至多有2個整數(shù)，則一2WQV1.綜上，實(shí)數(shù)。的取值范

圍是[—2,4].故選D.

二、多項(xiàng)選擇題

9.已知關(guān)于X的一元二次不等式Qx2_(2q—l)x—2>0,其中Q〈0,則該不等式的解集可能是

()

A.0

B.[2T

C.卜8'-1u(2,+00)

1，2〕

D.IQJ

答案ABD

解析不等式變形為(x—2)(Qx+l)>0,又。<0,所以(x—2)1+j<0.當(dāng)。=—；時，不等式的

解集為0;當(dāng)QV—1時，--<x<2；當(dāng)一LqvO時，2<xv—1.故選ABD.

2a2a

10.已知關(guān)于x的不等式辦2+樂+00的解集為(-8,-2)U(3,+8),貝|()

A.a>0

B.不等式&r+c>0的解集是｛x|x<—6｝

C.a+b+c>0

D.不等式cN—bx+qvO的解集為['Jut'+]

答案ABD

-2+3=--,

a

解析顯然〃>O,A正確；又一2和3是關(guān)于x的方程辦2+b%+c=0的兩根，則

-2x3=-,

即6=—a,c=—6a,則a+b+c=—6a<0,C錯誤；不等式bx+c>0即為一ax—6。>0,解得

x<—6,B正確；不等式cx2—bx+〃<0即為一6QX2+QX+Q〈O,gp6x2—%—1>0,解得或

3

x>-,D正確.故選ABD.

2

11.(2024?福州四校聯(lián)盟期末檢測)命題2],辦2一%+〃>0，，為真命題的一個充分不必

要條件可以是()

A.。三1B.°」

22

C.D.。=2

答案CD

解析解法一：由題意得。>0,設(shè)函數(shù)八%)=。%2—%+q,其圖象的對稱軸為直線.當(dāng)工W1,

2a2a

即時，火X)在[1,2]上單調(diào)遞增，所以/(%)min=Al)=2Q—1>0,即符合題意；當(dāng)1<^<2,

222a

即Iqvl時，可知/=1-4解<0無解，不符合題意；當(dāng)!22,即0<QW1時，｛x)在[1,2]上單

422a4

調(diào)遞減，所以｛x)min=A2)=5a—2>0無解，不符合題意.綜上，命題為真命題的充要條件為

a>~,所以命題為真命題的一個充分不必要條件可以為或。=2.故選CD.

2

丫X

解法二：因?yàn)閂x￡[l,2],QN—X+Q)。等價于2],a>-..恒成立，設(shè)%(%)=工，

x2+1x2+l

則〃(%)=+=一^￡紙’2」.所以命題為真命題的充要條件為心人所以命題為真命題的一

x+1x+-2

x

個充分不必要條件可以為或。=2.故選CD.

三、填空題

12.(2024?陜西長安一中高三月考)不等式工二三三20的解集為_______.

x+1

答案[13,-1)U[1,+°°)

x2+2x—320,

解析原不等式等價于或解得或一3W%v—1.

卜+1>0%+1<0,

13.（2023?江蘇南京高三質(zhì)檢）函數(shù)歹=lg（c+2x—N）的定義域是（加，m+4）,則實(shí)數(shù)c的值為

答案3

解析依題意，得一12+2》+0>0,即12—2x—c〈0的解集為（冽，m+4）,所以冽，加+4是方

冽+加+4=2,

程N(yùn)—2x—c=0的兩個根，所以，

m（m+4）=-c,

解得冽=-1,c=3.

14.（2024?山東濰坊高三模擬）若對任意冽￡[—1,1],爐+（3一加）X—6<2恒成立，則實(shí)數(shù)x

的取值范圍是.

答案（一4,23一2）

解析x2+（3—m）x—6<2,即12+（3一加）%—8<0,設(shè)g（冽）=N+（3—冽）%—8=—冽x+12+3%—

8,因?yàn)閷θ我赓闧—1,1],g（M=—冽x+N+Sx—8<0恒成立，所以由一次函數(shù)的性質(zhì)，

lg（l）=-x+x2+3x-8<0,—4<x<2,

得，C即'解得廠廠故實(shí)數(shù)X的取值范

|g（-l）=x+x2+3x-8<0,x2+4x—8<0,一2-2382。3—2.

圍是（一4,2A/5—2）.

B級素養(yǎng)提升練

15.若不等式（加+1）/2—冽x+加一1V0的解集為0,則冽的取值范圍為（）

A.（-co,-l）u[-bW]

B.R

答案D

解析,不等式（冽+1）%2—冽工+初一1<0的解集為0,?，.（冽+1）%2—冽工+切—12。恒成立.①

當(dāng)冽+1=0,即加=—1時，不等式化為x—220,解得x三2,不是對任意x￡R怛成立，舍

去；②當(dāng)冽+1W0,即加W—1時，對任意x￡R,要使（冽+1）N—冽％+加一120,只需冽十

1>0且/=（一%）2—4（加+1）.（加一l）W0,解得他綜上，實(shí)數(shù)正的取值范圍為L3J.

故選D.

16.（多選）（2024?江蘇蘇州中學(xué)高三質(zhì)量評估）已知關(guān)于x的不等式a（xT）（x+3）+2>0的解集

是(xi，X2),其中X1〈X2，則下列結(jié)論中正確的是()

A.XI~\~X2~\~2=0

B.-3<%1<%2<1

C.\x\一刈>4

D.XI%2+3<0

答案ACD

解析由題意，Q(X—1)(x+3)+2=ax2+2ax—3Q+2>0的解集為(修，W)，所以。<0,且

工1+工2=-2,

4—2_々所以XI+%2+2=0,xiX2~\~3=~<0f故A,D正確；原不等式可化為/(x)=a(x

X1X2—J，Q

a

—l)(x+3)>—2的解集為(xi,X2),而加)的零點(diǎn)分別為一3,1且小)的圖象開口向下，又xi<X2,

如圖所示，由圖可知，X1<—3<1<X2,|XI—X2|>4,故B錯誤，C正確.故選ACD.

17.(多選)(2024?河北石家莊一中高三模擬)已知關(guān)于x的不等式辦2+及+。一1<0的解集為

{x\a<X<P},且￡—若Xl，X2是方程Qx2+bx+c=0的兩個不等實(shí)根，貝！J()

A.6z<0

B.P—x\=xi—a

C.