2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第10講一元二次方程

一．選擇題（共10小題）

1．下列方程中，無(wú)實(shí)數(shù)根的方程是（）

A．x2+3x＝0B．x2+2x﹣1＝0C．x2+2x+1＝0D．x2﹣x+3＝0

2．某藥品加工廠兩年前生產(chǎn)1tⅠ型藥品的成本是6400元，現(xiàn)在生產(chǎn)1tⅠ型藥品的成本是3600元．則Ⅰ

型藥品的年平均下降率為（）

A．75%B．56.25%C．25%D．20%

3．關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的最小整數(shù)值是（）

A．﹣2B．﹣1C．0D．1

4．用配方法解方程x2﹣6x+1＝0時(shí)，將方程化為（x﹣3）2＝a的形式，則a的值是（）

A．8B．9C．10D．12

5．中考將至，九（1）班全體學(xué)生互贈(zèng)“祝?？ā保操?zèng)“祝?？ā?640張，問(wèn)九（1）班共有多少名學(xué)生？

設(shè)九（1）班共有x名學(xué)生，那么所列方程為（）

A．x2＝1640B．x（x﹣1）＝1640

C．x（x+1）＝1640D．

1

2?(??1)=1640

6．一元二次方程x﹣5x+3＝0的根的情況是（）2

A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

C．有一個(gè)實(shí)數(shù)根

D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根

7．關(guān)于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有兩個(gè)實(shí)根，則k的取值范圍是（）

A．k≥1B．k≥﹣1C．k＞1D．k＞﹣1

8．根據(jù)福建省統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù)，福建省2020年的出生人數(shù)為38.2萬(wàn)人，2022年的出生人數(shù)為29.6萬(wàn)人．設(shè)

這兩年福建省出生人數(shù)的年平均下降率為x，根據(jù)題意可列方程（）

A．38.2（1﹣x）＝29.6B．38.2（1﹣x）2＝29.6

C．38.2x2＝29.6D．38.2（1﹣x2）＝29.6

9．某市商品房的均價(jià)原為18150元/m2，經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)后均價(jià)為15000元/m2．設(shè)平均每次降價(jià)的百分

率為x，根據(jù)題意所列方程正確的是（）

A．18150（1﹣x）2＝18150﹣15000

B．18150（1﹣x2）＝15000

C．18150（1﹣2x）＝15000

D．18150（1﹣x）2＝15000

10．一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)為3和6，第三邊的長(zhǎng)是方程（x﹣3）（x﹣4）＝0的根，則這個(gè)三角形第三邊的

長(zhǎng)是（）

A．3B．4C．3或4D．3和4

二．填空題（共5小題）

11．已知，實(shí)數(shù)m，n是方程x2+2x﹣3＝0的兩根，則代數(shù)式m2+3m+n的值為．

12．一元二次方程x2+x﹣1＝0的解是．

13．已知關(guān)于x的一元二次方程（k+1）x2﹣（2k﹣3）x+k+3＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值

范圍是．

2

14．設(shè)x1、x2是方程x+mx﹣2＝0的兩個(gè)根，且x1+x2＝3x1x2，則m＝．

15．定義：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）滿足a+b+c＝0，那么我們稱這個(gè)方程為“鳳凰”方程．已

知x2+mx+n＝0是“鳳凰”方程，且有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則mn＝．

三．解答題（共5小題）

16．“陽(yáng)光玫瑰”是一種優(yōu)質(zhì)的葡萄品種．某葡萄種植基地2021年年底已經(jīng)種植“陽(yáng)光玫瑰”300畝，到

2023年年底“陽(yáng)光玫瑰”的種植面積達(dá)到432畝．

（1）求該基地“陽(yáng)光玫瑰”種植面積的年平均增長(zhǎng)率．

（2）市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)“陽(yáng)光玫瑰”的售價(jià)為20元/kg時(shí)，每天能售出300kg；銷售單價(jià)每降低1元，

每天可多售出50kg．為了減少庫(kù)存，該基地決定降價(jià)促銷．已知該基地“陽(yáng)光玫瑰”的平均成本為10

元/kg，若要使銷售“陽(yáng)光玫瑰”每天獲利3150元，并且使消費(fèi)者盡可能獲得實(shí)惠，則銷售單價(jià)應(yīng)定為

多少元？

2

17．關(guān)于x的一元二次方程x﹣4x﹣2m+5＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，并且x1≠x2．

（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（2）滿足，求m的值．

2

18．為了加強(qiáng)?勞1?動(dòng)2+教?育1，+我?2校=在?校+園6開(kāi)辟了一塊勞動(dòng)教育基地：一面利用學(xué)校的墻（墻的最大可用長(zhǎng)度為

28米），用長(zhǎng)為39米的籬笆，圍成中間隔有一道籬笆的矩形菜地，在菜地的前端及中間籬笆上設(shè)計(jì)了

三個(gè)寬1米的小門，便于同學(xué)們進(jìn)入．

（1）若圍成的菜地面積為120平方米，求此時(shí)邊AB的長(zhǎng)；

（2）若每平方米可收獲2千克的菜，問(wèn)該片菜地最多可收獲多少千克的菜？

19．公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計(jì)了某品牌頭

盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個(gè)，6月份銷售216個(gè)，且從4月份到6月份銷

售量的月增長(zhǎng)率相同．

（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率；

（2）若此種頭盔的進(jìn)價(jià)為30元/個(gè)，測(cè)算在市場(chǎng)中，當(dāng)售價(jià)為40元/個(gè)時(shí)，月銷售量為600個(gè)，若在此

基礎(chǔ)上售價(jià)每上漲1元/個(gè)，則月銷售量將減少10個(gè)，為使月銷售利潤(rùn)達(dá)到10000元，而且盡可能讓顧

客得到實(shí)惠，則該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為多少元/個(gè)？

20．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣5mx+4m2＝0．

（1）求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）若該方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為2，求m的值．

2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之一元二次方程

參考答案與試題解析

一．選擇題（共10小題）

1．下列方程中，無(wú)實(shí)數(shù)根的方程是（）

A．x2+3x＝0B．x2+2x﹣1＝0C．x2+2x+1＝0D．x2﹣x+3＝0

【考點(diǎn)】根的判別式．

【專題】判別式法；推理能力．

【答案】D

【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式Δ＝b2﹣4ac，可分別找出四個(gè)選項(xiàng)中方程的根的判別式△的

值，取Δ＜0的選項(xiàng)即可得出結(jié)論．

【解答】解：A、∵Δ＝32﹣4×1×0＝9＞0，

∴方程x2+3x＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，選項(xiàng)A不符合題意；

B、∵Δ＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，

∴方程x2+2x﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，選項(xiàng)B不符合題意；

C、∵Δ＝22﹣4×1×1＝0，

∴方程x2+2x+1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，選項(xiàng)C不符合題意；

D、∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×3＝﹣11＜0，

∴方程x2﹣x+3＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，選項(xiàng)D符合題意．

故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程

有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．

2．某藥品加工廠兩年前生產(chǎn)1tⅠ型藥品的成本是6400元，現(xiàn)在生產(chǎn)1tⅠ型藥品的成本是3600元．則Ⅰ

型藥品的年平均下降率為（）

A．75%B．56.25%C．25%D．20%

【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用．

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．

【答案】C

【分析】設(shè)Ⅰ型藥品的年平均下降率為x，利用現(xiàn)在生產(chǎn)1tⅠ型藥品的成本＝兩年前生產(chǎn)1tⅠ型藥品的

成本×（1﹣Ⅰ型藥品的年平均下降率）2，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即

可得出結(jié)論．

【解答】解：設(shè)Ⅰ型藥品的年平均下降率為x，

根據(jù)題意得：6400（1﹣x）2＝3600，

解得：x1＝0.25＝25%，x2＝1.75（不符合題意，舍去），

∴Ⅰ型藥品的年平均下降率為25%．

故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．

3．關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的最小整數(shù)值是（）

A．﹣2B．﹣1C．0D．1

【考點(diǎn)】根的判別式．

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．

【答案】D

【分析】利用一元二次方程的定義和根的判別式的意義得到m≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4m×（﹣1）＞0，

再解兩個(gè)不等式得到m的取值范圍，然后找出m的最小整數(shù)即可．

【解答】解：根據(jù)題意得m≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4m×（﹣1）＞0，

解得m＞﹣1且m≠0，

所以m的最小整數(shù)值為1．

故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：

當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程

無(wú)實(shí)數(shù)根．

4．用配方法解方程x2﹣6x+1＝0時(shí)，將方程化為（x﹣3）2＝a的形式，則a的值是（）

A．8B．9C．10D．12

【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣配方法．

【專題】一元二次方程及應(yīng)用．

【答案】A

【分析】先把方程中的常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右邊，再把方程兩邊同時(shí)加9，進(jìn)行配方，然后根據(jù)配方結(jié)果求

出a即可．

【解答】解：x2﹣6x+1＝0，

x2﹣6x＝﹣1，

x2﹣6x+9＝﹣1+9，

（x﹣3）2＝8，

∴a＝8，

故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解一元二次方程，解題關(guān)鍵是熟練掌握利用配方法解一元二次方程．

5．中考將至，九（1）班全體學(xué)生互贈(zèng)“祝?？ā保操?zèng)“祝福卡”1640張，問(wèn)九（1）班共有多少名學(xué)生？

設(shè)九（1）班共有x名學(xué)生，那么所列方程為（）

A．x2＝1640B．x（x﹣1）＝1640

C．x（x+1）＝1640D．

1

?(??1)=1640

【考點(diǎn)】由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程．2

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．

【答案】B

【分析】根據(jù)題意得：每人要贈(zèng)送（x﹣1）張賀卡，有x個(gè)人，然后根據(jù)題意可列出方程：（x﹣1）x＝

1640．

【解答】解：根據(jù)題意得：每人要贈(zèng)送（x﹣1）張賀卡，有x個(gè)人，

列方程為x（x﹣1）＝1640，

故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，本題要注意讀清題意，弄清楚每人要贈(zèng)送x

﹣1張賀卡，有x個(gè)人是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．

6．一元二次方程x2﹣5x+3＝0的根的情況是（）

A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

C．有一個(gè)實(shí)數(shù)根

D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根

【考點(diǎn)】根的判別式．

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．

【答案】B

【分析】根據(jù)根的判別式進(jìn)行判斷即可．

【解答】解：∵Δ＝（﹣5）2﹣4×1×3＝13＞0，

∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：

當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程

無(wú)實(shí)數(shù)根．

7．關(guān)于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有兩個(gè)實(shí)根，則k的取值范圍是（）

A．k≥1B．k≥﹣1C．k＞1D．k＞﹣1

【考點(diǎn)】根的判別式．

【專題】探究型．

【答案】B

【分析】先根據(jù)方程有兩個(gè)實(shí)根列出關(guān)于k的不等式，求出k的取值范圍即可．

【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有兩個(gè)實(shí)根，

∴Δ＝22+4k≥0，

解得k≥﹣1．

故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是根的判別式，即一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下

關(guān)系：

①當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

②當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．

8．根據(jù)福建省統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù)，福建省2020年的出生人數(shù)為38.2萬(wàn)人，2022年的出生人數(shù)為29.6萬(wàn)人．設(shè)

這兩年福建省出生人數(shù)的年平均下降率為x，根據(jù)題意可列方程（）

A．38.2（1﹣x）＝29.6B．38.2（1﹣x）2＝29.6

C．38.2x2＝29.6D．38.2（1﹣x2）＝29.6

【考點(diǎn)】由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程．

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．

【答案】B

【分析】根據(jù)2020年的出生人數(shù)及2022年的出生人數(shù)，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．

【解答】解：依題意得：38.2（1﹣x）2＝29.6．

故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的

關(guān)鍵．

9．某市商品房的均價(jià)原為18150元/m2，經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)后均價(jià)為15000元/m2．設(shè)平均每次降價(jià)的百分

率為x，根據(jù)題意所列方程正確的是（）

A．18150（1﹣x）2＝18150﹣15000

B．18150（1﹣x2）＝15000

C．18150（1﹣2x）＝15000

D．18150（1﹣x）2＝15000

【考點(diǎn)】由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程．

【專題】增長(zhǎng)率問(wèn)題．

【答案】D

【分析】此題利用基本數(shù)量關(guān)系：商品原價(jià)×（1﹣平均每次降價(jià)的百分率）＝現(xiàn)在的價(jià)格，列方程即

可．

【解答】解：由題意可列方程是：18150（1﹣x）2＝15000．

故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查一元二次方程的應(yīng)用最基本數(shù)量關(guān)系：商品原價(jià)×（1﹣平均每次降價(jià)的百分率）＝

現(xiàn)在的價(jià)格．

10．一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)為3和6，第三邊的長(zhǎng)是方程（x﹣3）（x﹣4）＝0的根，則這個(gè)三角形第三邊的

長(zhǎng)是（）

A．3B．4C．3或4D．3和4

【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三邊關(guān)系．

【答案】B

【分析】先解方程，求出x的值，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系舍去不合題意的解．

【解答】解：∵（x﹣3）（x﹣4）＝0，

∴x1＝3，x2＝4，

當(dāng)x＝3時(shí)，3+3＝6（不合題意，舍去），

∴x＝4，即這個(gè)三角形第三邊的長(zhǎng)是4．

故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形三邊關(guān)系，此題比較簡(jiǎn)單，易于掌握．

二．填空題（共5小題）

11．已知，實(shí)數(shù)m，n是方程x2+2x﹣3＝0的兩根，則代數(shù)式m2+3m+n的值為1．

【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．

【答案】1．

【分析】先根據(jù)一元二次方程根的定義得到m2+2m＝3，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到m+n＝﹣2，然后

利用整體代入的方法計(jì)算．

【解答】解：∵m是方程x2+2x﹣3＝0的根，

∴m2+2m＝3，

∵m，n是方程x2+2x﹣3＝0的兩根，

∴m+n＝﹣2，

∴m2+3m+n

＝m2+2m+m+n

＝3﹣2

＝1．

故答案為：1．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方程的解的定義，熟練掌握一元二次方

程根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方程的解的定義是解決本題的關(guān)鍵．

2

12．一元二次方程x+x﹣1＝0的解是x1，x2．

?1+5?1?5

【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣公式法．=2=2

【專題】計(jì)算題．

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】a＝1，b＝1，c＝﹣1，△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5，然后代入求根公式進(jìn)行計(jì)算即可．

【解答】解：∵a＝1，b＝1，c＝﹣1，

∴△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5，

∴x，

?1±5

=2×1

所以x1，x2．

?1+5?1?5

=2=2

故答案為x1，x2．

?1+5?1?5

【點(diǎn)評(píng)】本題=考查2了一元=二次方2程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的解法．可以直接利用它的

求根公式求解，它的求根公式為：x（b2﹣4ac≥0）；用求根公式求解時(shí)，先要把方程化

2

??±??4??

=2?

為一般式，確定a，b，c的值，計(jì)算出Δ＝b2﹣4ac，然后代入公式．

13．已知關(guān)于x的一元二次方程（k+1）x2﹣（2k﹣3）x+k+3＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值

范圍是k＜且k≠﹣1．

3

【考點(diǎn)】根的判28別式；一元二次方程的定義．

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．

【答案】k＜且k≠﹣1．

3

【分析】根據(jù)2一8元二次方程的定義和根的判別式的意義得到k+1≠0且Δ＝（2k﹣3）2﹣4（k+1）（k+3）

＞0，然后求出兩不等式的公共部分即可．

【解答】解：根據(jù)題意得k+1≠0且Δ＝（2k﹣3）2﹣4（k+1）（k+3）＞0，

解得k＜且k≠﹣1，

3

所以實(shí)數(shù)2k8的取值范圍是k＜且k≠﹣1．

3

故答案為：k＜且k≠﹣1．28

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考2查8了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：

當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程

無(wú)實(shí)數(shù)根．

2

14．設(shè)x1、x2是方程x+mx﹣2＝0的兩個(gè)根，且x1+x2＝3x1x2，則m＝6．

【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．

【答案】6．

【分析】先利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣2，再利用x1+x2＝3x1x2得到﹣m＝3×（﹣2），

然后解一次方程即可．

【解答】解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣2，

∵x1+x2＝3x1x2，

∴﹣m＝3×（﹣2）＝﹣6，

解得m＝6．

故答案為：6．

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax+bx+c＝0（a≠0）的兩根，則x1+x2，

?

=??

x1x2．

?

=

15．定義：?如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）滿足a+b+c＝0，那么我們稱這個(gè)方程為“鳳凰”方程．已

知x2+mx+n＝0是“鳳凰”方程，且有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則mn＝﹣2．

【考點(diǎn)】根的判別式；一元二次方程的解．

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】由x2+mx+n＝0是“鳳凰”方程，可得1+m+n＝0，即n＝﹣m﹣1，又因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)相等的

實(shí)數(shù)根，所以根的判別式Δ＝m2﹣4n＝0，將n＝﹣m﹣1代入，求出m＝﹣2，再求出n＝1，則mn可

求．

【解答】解：∵x2+mx+n＝0是“鳳凰”方程，

∴1+m+n＝0，即n＝﹣m﹣1．

又∵方程x2+mx+n＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

∴Δ＝m2﹣4n＝0，

將n＝﹣m﹣1代入，得m2﹣4（﹣m﹣1）＝0，

解得m＝﹣2，

∴n＝1，

∴mn＝﹣2×1＝﹣2．

故答案為﹣2．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系，關(guān)鍵是熟練掌握：（1）Δ＞0方

程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）Δ＝0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）Δ＜0方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．?同時(shí)

考查了學(xué)生的閱讀理解能力．??

三．解答題（共5小題）

16．“陽(yáng)光玫瑰”是一種優(yōu)質(zhì)的葡萄品種．某葡萄種植基地2021年年底已經(jīng)種植“陽(yáng)光玫瑰”300畝，到

2023年年底“陽(yáng)光玫瑰”的種植面積達(dá)到432畝．

（1）求該基地“陽(yáng)光玫瑰”種植面積的年平均增長(zhǎng)率．

（2）市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)“陽(yáng)光玫瑰”的售價(jià)為20元/kg時(shí)，每天能售出300kg；銷售單價(jià)每降低1元，

每天可多售出50kg．為了減少庫(kù)存，該基地決定降價(jià)促銷．已知該基地“陽(yáng)光玫瑰”的平均成本為10

元/kg，若要使銷售“陽(yáng)光玫瑰”每天獲利3150元，并且使消費(fèi)者盡可能獲得實(shí)惠，則銷售單價(jià)應(yīng)定為

多少元？

【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用．

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．

【答案】（1）該基地“陽(yáng)光玫瑰”種植面積的年平均增長(zhǎng)率為20%；

（2）銷售單價(jià)應(yīng)定為17元．

【分析】（1）設(shè)該基地“陽(yáng)光玫瑰”種植面積的年平均增長(zhǎng)率為x，利用該基地2023年年底“陽(yáng)光玫

瑰”的種植面積＝該基地2021年年底“陽(yáng)光玫瑰”的種植面積乘上（1+該基地“陽(yáng)光玫瑰”種植面積

的年平均增長(zhǎng)率）的平方，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)銷售單價(jià)應(yīng)降低y元，則每千克的銷售利潤(rùn)為（20﹣y﹣10）元，每天能售出（300+50y）千克，

利用總利潤(rùn)＝每千克的銷售利潤(rùn)×日銷售量，可列出關(guān)于y的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．

【解答】解：（1）設(shè)該基地“陽(yáng)光玫瑰”種植面積的年平均增長(zhǎng)率為x，

根據(jù)題意得：300（1+x）2＝432，

解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合題意，舍去）．

答：該基地“陽(yáng)光玫瑰”種植面積的年平均增長(zhǎng)率為20%；

（2）設(shè)銷售單價(jià)應(yīng)降低y元，則每千克的銷售利潤(rùn)為（20﹣y﹣10）元，每天能售出（300+50y）千克，

根據(jù)題意得：（20﹣y﹣10）（300+50y）＝3150，

整理得：y2﹣4y+3＝0，

解得：y1＝1，y2＝3，

∵“陽(yáng)光玫瑰”的售價(jià)為20元/kg，使消費(fèi)者盡可能獲得實(shí)惠．

∴銷售單價(jià)應(yīng)定為17元．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．

2

17．關(guān)于x的一元二次方程x﹣4x﹣2m+5＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，并且x1≠x2．

（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（2）滿足，求m的值．

2

【考點(diǎn)】根?與1?2系+數(shù)?的1+關(guān)?系2；=根?的+判6別式．

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；推理能力．

【答案】（1）＞；

1

（2）m＝1．?2

【分析】（1）根據(jù)判別式的意義得到（﹣4）2﹣4×1×（﹣2m+5）＞0，然后解不等式即可；

（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2＝4，x1x2＝﹣2m+5，代入已知等式中，求出m值即可．

【解答】解：（1）∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，并且x1≠x2，

∴（﹣4）2﹣4×1×（﹣2m+5）＞0，

∴＞；

1

?

（2）∵2x1，x2是該方程的兩個(gè)根，

∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣2m+5，

∵，

2

∴?﹣1?22m+5?+14+＝?m22+=6，?+6

解得：m＝﹣3或m＝1，

∵＞，

1

∴m?＝12．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，當(dāng)Δ＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)

數(shù)根；當(dāng)Δ＝0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程根與系

數(shù)的關(guān)系．

18．為了加強(qiáng)勞動(dòng)教育，我校在校園開(kāi)辟了一塊勞動(dòng)教育基地：一面利用學(xué)校的墻（墻的最大可用長(zhǎng)度為

28米），用長(zhǎng)為39米的籬笆，圍成中間隔有一道籬笆的矩形菜地，在菜地的前端及中間籬笆上設(shè)計(jì)了

三個(gè)寬1米的小門，便于同學(xué)們進(jìn)入．

（1）若圍成的菜地面積為120平方米，求此時(shí)邊AB的長(zhǎng)；

（2）若每平方米可收獲2千克的菜，問(wèn)該片菜地最多可收獲多少千克的菜？

【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用；二次函數(shù)的應(yīng)用．

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；二次函數(shù)的應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．

【答案】（1）10米；

（2）294千克．

【分析】（1）設(shè)AB的長(zhǎng)為x米，則BC的長(zhǎng)為（39+3﹣3x）米，根據(jù)圍成的菜地面積為120平方米，

可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再結(jié)合墻的最大可用長(zhǎng)度為28米，即可確定結(jié)論；

（2）設(shè)AB的長(zhǎng)為m米，圍成的菜地面積為n平方米，則BC的長(zhǎng)為（39+3﹣3m）米，利用矩形的面

積＝長(zhǎng)×寬，可找出n關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合BC的長(zhǎng)大于2米且不超過(guò)28米，可求出m的取值

范圍，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問(wèn)題．

【解答】解：（1）設(shè)AB的長(zhǎng)為x米，則BC的長(zhǎng)為（39+3﹣3x）米，

根據(jù)題意得：x（39+3﹣3x）＝120，

整理得：x2﹣14x+40＝0，

解得：x1＝4，x2＝10，

當(dāng)x＝4時(shí)，39+3﹣3x＝39+3﹣3×4＝30＞28，不符合題意，舍去；

當(dāng)x＝10時(shí)，39+3﹣3x＝39+3﹣3×10＝12＜28，符合題意．

答：此時(shí)邊AB的長(zhǎng)為10米；

（2）設(shè)AB的長(zhǎng)為m米，圍成的菜地面積為n平方米，則BC的長(zhǎng)為（39+3﹣3m）米，

根據(jù)題意得：n＝m（39+3﹣3m）＝﹣3m2+42m，

即n＝﹣3（m﹣7）2+147．

∵＞，

39+3?3?2

∴39+m3＜?3?，≤28

1440

≤

∵﹣33＜0，3

∴當(dāng)m＝7時(shí)，n取得最大值，最大值為147，此時(shí)可收獲2×147＝294（千克）的菜．

答：該片菜地最多可收獲294千克的菜．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正

確列出一元二次方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出n關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．

19．公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計(jì)了某品牌頭

盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個(gè)，6月份銷售216個(gè)，且從4月份到6月份銷

售量的月增長(zhǎng)率相同．

（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率；

（2）若此種頭盔的進(jìn)價(jià)為30元/個(gè)，測(cè)算在市場(chǎng)中，當(dāng)售價(jià)為40元/個(gè)時(shí)，月銷售量為600個(gè)，若在此

基礎(chǔ)上售價(jià)每上漲1元/個(gè)，則月銷售量將減少10個(gè)，為使月銷售利潤(rùn)達(dá)到10000元，而且盡可能讓顧

客得到實(shí)惠，則該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為多少元/個(gè)？

【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用．

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】（1）設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率為x，根據(jù)該品牌頭盔4月份及6月份的月銷售量，即可

得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)月銷售利潤(rùn)＝每個(gè)頭盔的利潤(rùn)×月銷售量，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其正值

即可求出結(jié)論．

【解答】解：（1）設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率為x，

依題意，得：150（1+x）2＝216，

解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．

答：該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率為20%．

（2）設(shè)該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)為y元，

依題意，得：（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝10000，

整理，得：y2﹣130y+4000＝0，

解得：y1＝80（不合題意，舍去），y2＝50，

答：該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為50元．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．

20．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣5mx+4m2＝0．

（1）求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）若該方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為2，求m的值．

【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式．

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．

【答案】（1）證明見(jiàn)解答；（2）或．

22

?22222

【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合3根的3判別式可得出Δ＝（﹣5m）﹣4×1×4m＝25m﹣16m＝9m，

結(jié)合偶次方的非負(fù)性可得出Δ≥0，進(jìn)而可證出：無(wú)論m為何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

22

（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2＝5m，x1x2＝4m，結(jié)合（x1﹣x2）＝4，即可得出關(guān)于m的方程，

解之即可得出結(jié)論．

【解答】（1）證明：Δ＝（﹣5m）2﹣4×1×4m2＝25m2﹣16m2＝9m2，

∵m2≥0，

∴Δ≥0，

∴無(wú)論m為何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

22

（2）解：設(shè)x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x﹣5mx+4m＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

2

∴x1+x2＝5m，x1x2＝4m，

∵x1﹣x2＝2，

2

∴（x1﹣x2）＝4，

222

∴2x1x2＝（x1+x2）﹣4x1x2＝4，即（5m）﹣4×4m＝4，

22

∴9?m1+2＝?42，?

解得：m1，m2，

22

==?

∴m的值為3或．3

22

?

【點(diǎn)評(píng)】本題3考查3了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)Δ≥0時(shí)，一元二

2

次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根”；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合（x1﹣x2）＝4，找出關(guān)于m的方程．

考點(diǎn)卡片

1．一元二次方程的定義

（1）一元二次方程的定義：

只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．

（2）概念解析：

一元二次方程必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：

①整式方程，即等號(hào)兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無(wú)未知數(shù)；

②只含有一個(gè)未知數(shù)；

③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．

（3）判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個(gè)方面：“化簡(jiǎn)后”；“一個(gè)未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高

次數(shù)是2”；“二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．

2．一元二次方程的解

（1）一元二次方程的解（根）的意義：

能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解

也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．

2

（2）一元二次方程一定有兩個(gè)解，但不一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)解．這x1，x2是一元二次方程ax+bx+c＝0（a≠0）

的兩實(shí)數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個(gè)等式求解未知量．

22

ax1+bx1+c＝0（a≠0），ax2+bx2+c＝0（a≠0）．

3．解一元二次方程-配方法

（1）將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開(kāi)平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫

配方法．

（2）用配方法解一元二次方程的步驟：

①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；

②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；

③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；

④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；

⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過(guò)直接開(kāi)平方法來(lái)求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方

程無(wú)實(shí)數(shù)解．

4．解一元二次方程-公式法

（1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．

2

??±??4??

（2）用求=根公式2解?一元二次方程的方法是公式法．

（3）用公式法解一元二次方程的一般步驟為：

①把方程化成一般形式，進(jìn)而確定a，b，c的值（注意符號(hào)）；

②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程無(wú)實(shí)數(shù)根）；

③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a(bǔ)、b、c的值代入公式進(jìn)行計(jì)算求出方程的根．

注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個(gè)：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．

5．解一元二次方程-因式分解法

（1）因式分解法解一元二次方程的意義

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過(guò)因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩

個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一

元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．

（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：

①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；③令每個(gè)因式分別為零，

得到兩個(gè)一元一次方程；④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．

6．根的判別式

利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．

一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：

①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

②當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．

上面的結(jié)論反過(guò)來(lái)也成立．

7．根與系數(shù)的關(guān)系