石家莊學院高數試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題3分，共30分）

1.下列函數中，是奇函數的是（）

A.f(x)=x^2B.f(x)=x^3C.f(x)=x^4D.f(x)=x^5

2.若函數f(x)=x^2-4x+3在x=2處可導，則該函數的導數f'(2)等于（）

A.0B.1C.2D.3

3.下列極限中，正確的是（）

A.lim(x→0)x^2=0B.lim(x→0)1/x=0C.lim(x→0)1/x^2=0D.lim(x→0)x=0

4.函數f(x)=x^3-3x+2的零點個數是（）

A.1B.2C.3D.4

5.設函數f(x)在x=a處連續，則f(x)在x=a處可導的充要條件是（）

A.f'(a)存在B.f'(a)存在且等于0C.f'(a)存在且等于f(a)D.f'(a)存在且等于f'(0)

6.設函數f(x)=x^2+2x+1，求f(x)的導數f'(x)等于（）

A.2x+2B.2xC.x^2+2xD.x^2+2

7.下列函數中，是偶函數的是（）

A.f(x)=x^2B.f(x)=x^3C.f(x)=x^4D.f(x)=x^5

8.設函數f(x)在x=a處可導，則f(x)在x=a處的導數f'(a)等于（）

A.f(a)B.f'(a)C.f(a)+f'(a)D.f(a)-f'(a)

9.下列極限中，正確的是（）

A.lim(x→0)x^2=0B.lim(x→0)1/x=0C.lim(x→0)1/x^2=0D.lim(x→0)x=0

10.函數f(x)=x^3-3x+2的零點個數是（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空題（每題3分，共30分）

1.函數f(x)=3x^2-2x+1的導數f'(x)等于__________。

2.極限lim(x→0)(sinx/x)的值等于__________。

3.函數f(x)=x^3-3x+2的零點為__________。

4.設函數f(x)=x^2-4x+3，則f(2)的值等于__________。

5.函數f(x)=x^2+2x+1的導數f'(x)等于__________。

6.極限lim(x→0)(1-cosx)/x^2的值等于__________。

7.函數f(x)=x^3-3x+2的零點為__________。

8.設函數f(x)=x^2-4x+3，則f(2)的值等于__________。

9.函數f(x)=x^2+2x+1的導數f'(x)等于__________。

10.極限lim(x→0)(1-cosx)/x^2的值等于__________。

三、解答題（每題10分，共30分）

1.求函數f(x)=3x^2-2x+1的導數f'(x)。

2.求極限lim(x→0)(sinx/x)。

3.求函數f(x)=x^3-3x+2的零點。

4.求函數f(x)=x^2-4x+3在x=2處的導數f'(2)。

四、應用題（每題10分，共20分）

1.已知函數f(x)=2x^3-3x^2+4x+1，求f(x)在x=1處的切線方程。

2.某工廠生產某種產品，每件產品的成本為20元，固定成本為1000元。根據市場調查，當銷售量為x件時，每件產品的售價為50-0.5x元。求該工廠在銷售量為100件時的利潤。

五、證明題（每題10分，共10分）

證明：若函數f(x)在區間[a,b]上連續，且f(a)<f(b)，則存在至少一個c∈(a,b)，使得f(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

六、綜合題（每題20分，共40分）

1.求函數f(x)=x^3-6x^2+9x+1的極值。

2.某工廠生產兩種產品，產品A和產品B。生產1單位產品A需要2小時和3單位原材料，生產1單位產品B需要1小時和2單位原材料。工廠每天最多可以使用10小時和12單位原材料。產品A的售價為100元，產品B的售價為150元。求工廠每天應該生產多少單位產品A和產品B，以使得總利潤最大。

試卷答案如下：

一、選擇題答案及解析：

1.B（奇函數的定義是f(-x)=-f(x)，只有x^3滿足這一條件。）

2.A（在x=2處，f'(x)=6x-4，代入x=2得f'(2)=6*2-4=8。）

3.A（根據極限的定義，當x趨近于0時，x^2趨近于0。）

4.B（通過因式分解x^3-3x+2=(x-1)(x^2+x-2)，得到零點x=1和x=-2。）

5.C（根據導數的定義，若f(x)在x=a處可導，則f'(a)存在且等于f(x)在x=a處的導數。）

6.A（根據導數的定義，f'(x)=2x+2。）

7.A（偶函數的定義是f(-x)=f(x)，只有x^2滿足這一條件。）

8.B（根據導數的定義，f'(a)存在且等于f'(a)。）

9.A（根據極限的定義，當x趨近于0時，x^2趨近于0。）

10.B（通過因式分解x^3-3x+2=(x-1)(x^2+x-2)，得到零點x=1和x=-2。）

二、填空題答案及解析：

1.f'(x)=6x-2

2.1

3.x=1和x=-2

4.f(2)=2^2-4*2+1=-3

5.f'(x)=2x+2

6.1/2

7.x=1和x=-2

8.f(2)=2^2-4*2+1=-3

9.f'(x)=2x+2

10.1/2

三、解答題答案及解析：

1.f'(x)=6x-2

2.lim(x→0)(sinx/x)=1（根據洛必達法則，分子分母同時求導，得到lim(x→0)(cosx-1)/x^2=0，因此原極限等于1。）

3.零點為x=1和x=-2（通過因式分解x^3-3x+2=(x-1)(x^2+x-2)，得到零點x=1和x=-2。）

4.f'(2)=2*2-4=0（根據導數的定義，f'(x)=2x-4，代入x=2得f'(2)=2*2-4=0。）

四、應用題答案及解析：

1.切線方程為y=8x-5（在x=1處，f'(x)=6x-2，代入x=1得f'(1)=4，切點為(1,f(1))，即(1,2)，切線斜率為4，因此切線方程為y-2=4(x-1)，化簡得y=8x-5。）

2.利潤為2000元（總利潤=(50-0.5x)x-1000，當x=100時，總利潤=(50-0.5*100)*100-1000=2000元。）

五、證明題答案及解析：

證明：根據拉格朗日中值定理，存在至少一個c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。因此，f(c)=f(a)+f'(c)(c-a)=f(a)+(f(b)-f(a))/(b-a)(c-a)=(f(a)+f(b))/2，即f(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

六、綜合題答案及解析：

1.極大值為f(1)=4，極小值為f(3)=1（通過求導f'(x)=3x^2-12x+9，令f'(x)=0得x=1和x=3，再求二階導數f''(x)=6x-12，代入x=1得f''(1)=-6，