2025屆中考復(fù)習(xí)專題圓的常考模型歸納

模型數(shù)梳理.................................................................................2

【題型1】弦切角定理與切割線定理..........................................................22

【題型2】中點(diǎn)弧模型.......................................................................26

【題型3】內(nèi)心模型........................................................................29

【題型4】線段和差問題（構(gòu)造手拉手）.......................................................31

【題型5】阿基米德折弦定理................................................................35

【題型6】平行弦與相交弦，垂直線，割線模型..................................................40

【題型7】垂徑圖...........................................................................43

【題型8】等腰圖...........................................................................45

【題型9】雙切圖...........................................................................48

【題型10】射影圖..........................................................................53

【題型11］切割圖..........................................................................56

【題型12］圓與三角函數(shù)綜合...............................................................60

【題型13］圓與相似綜合....................................................................63

國的基本模型（一）;圓幕定理

1.弦切角與切割線

三個(gè)結(jié)論知一推二:①PC是切線；②N1=N2（弦切角定理）;③

弦切角：弦和切線所夾的角等于它們所夾的孤所對的圓周角，即切線AP和弦AB所夾的21,等于它們

所夾的弧九巨所對的圓周角Z2

2.圓嘉■定理

①相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等。

②切割線定理：從圓外點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。

③割線定理（推論）：從圓外一點(diǎn)P引兩條割線與圓分別交于4、B、C、D,則有PAPB=PCPDo

【統(tǒng)一歸納】：過任意不在圓上的一點(diǎn)P引兩條直線/卜上，八與圓交于4、B（可重合，即切線），上與圓交

于。、O（可重合），則有=PCPD

相交弦定理）

相交弦定理推論（本質(zhì)一樣

切割線定理］鹵泉定理

割線定理）

【模型圖解】

統(tǒng)一敘述為：過一點(diǎn)P（無論點(diǎn)P在圓內(nèi)，還是在圓外）的兩條直線，與圓相交或相切（把切點(diǎn)看成兩個(gè)重

合的“交點(diǎn)”）于點(diǎn)4、B、C、D,則有PAPB=PCPD

圓幕定理:過一個(gè)定點(diǎn)P的任何一條直線與圓相交，則這點(diǎn)到直線與圓的交點(diǎn)的兩條線段的乘積為定值

2

（定值。產(chǎn)一產(chǎn)|稱做點(diǎn)p對。。的“幕”,等于點(diǎn)p到圓心的距離與半徑的平方差的絕對值）

RbPB=N-OP2（p在圓內(nèi)）％.「8=。?>2一"仍在圓外）2.pBuOpi-NnOp在圓上）

【問題】求證R4?PR=O產(chǎn)-"（點(diǎn)在圓外）

【證明】由切割線定理推論得:PA-PB=PC-PD,

又???PCPD=(PH-CH)(PH+CH)=PH2-CH2

=(OP2_o?)_(/_OH2)

=OP2-r2

【例題】如圖，已知PAB是◎O的割線，PO=14cm,R4=4cm，AB=16cm。求0O的半徑。

3

圓的基本模型（二）:中點(diǎn)弧模型

點(diǎn)P是優(yōu)弧AB上一動點(diǎn)，則

【以下五個(gè)條件知一推四】

①點(diǎn)。是的中點(diǎn)

②

③OCAB

④PC平分NAPB

⑤CE-CP=C耿即ACPBs&CBE）

【簡證】N1=N2,NPCB為公共向，子母型相似

【補(bǔ)充】⑥PE?PC=RbPB,注意：⑥不能反推出前五項(xiàng)

NA=N。

△APEsAPCB

【例】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于0O,對角線AC、BD交于點(diǎn)尸,且4B=4D,若AC=7,AB=3,則BC

?CD=.

易知482=a。.Ap=AP=義，則cp=普，CD=C4?CP=40

4

圓的基本模型（三）:內(nèi)心模型與等腰

【模型講解】外接圓+內(nèi)心=得等腰

如圖，圓。是外接圓圓心，/是三角形ABC的內(nèi)心，延長47交圓。于。，則DI=DC=BD

【簡證】Nl=N4+N5,N4=/3,N2=N5二/I=N2+N3

圓的基本模型（四）:線段和差問題（構(gòu)造手拉手或阿基米德折弦定理）

1.中點(diǎn)弧與旋轉(zhuǎn)

【模型解讀】點(diǎn)P是優(yōu)菰4B上一動點(diǎn)，且點(diǎn)。是檢的中點(diǎn)

鄰邊相等+對角互補(bǔ)旋轉(zhuǎn)相似模型，一般用來求圓中三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.

由于對角互補(bǔ)，即NPBC+NP4C=180°,顯然P4P共線，且PC=PC,通過導(dǎo)角不難得出相似.

5

2.常見結(jié)構(gòu)

(1)圓內(nèi)接等邊三角形結(jié)論：PB+K4=P。，可構(gòu)造做角平分線或構(gòu)造手拉手模型

延長13P到A',使PATW,截取PQ-PA易知△,47也三△24C

易知△PAA'等邊，△A'AB^AF!4c

6

(2)圓內(nèi)接等腰直角三角形(正方形)

情況一：有角平分線PA4-PC=?PB

Q'：

7

情況二：無角平分線PA=PC+V2PB,截長補(bǔ)短構(gòu)造手拉手旋轉(zhuǎn)相似,一轉(zhuǎn)成雙

在AP上取一點(diǎn)Q,使BP=BQ,AQ=PC,PQ=V2PB,PA=PC+V2PB

【旋轉(zhuǎn)六法】

補(bǔ)充【托密勒定理】：ADBC+ABDC=ACBD秒殺！（選填可用）

8

3.阿基米德折弦定理

【問題］：已知M為於的中點(diǎn)，B為九應(yīng)上任意一點(diǎn)，且A?_LBC于。.求證：AB+BD=DC

證法一：（補(bǔ)短法）

如圖：延長DB至尸，使B尸=R4「A/為念中點(diǎn)：.AM=CM,：.Zl=Z2①

又?.?沅=病，.?.N1=N3，AZ2=Z3------②又?.?N3+ZMBF=180°--------③

由圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)Z2+AMBA=180°-------@

（BF=BA

由①②③④可得：NMBA=Z.MBF,在AMBF與J^MBA中14MBA=4MBF

.?.△MB尸空△MR4（S/S）：.MF^MA,又「^=^4：.MF=MC

文?；MD_LCF:.DF=DC：.FB+BD=DC又：BF=BA；.AB+BD=DC（證畢）

9

證法二：(截長法一一兩種截取方式)

如圖1:在8上截取CG=4B,則有DC=OG+DG,再證出BD=DG即可

'：BM=BM：.Z1=Z2----①又???”是/中點(diǎn)，：.MA=MC-------②

(AB=CG

由①②可知，在△MBA與△MGC中(N1=N2,;.^BMA^/\GMC(SAS)：,BD=GD

[MA=MC

又???MD_LBG：.BD=DG：.AB+BD=DC(證畢)

圖1圖2

如圖2：在CD上截取RB=DG,再證明AB=CG即可

簡證：易知aMSG與△MAC均為等腰三角形，且N1=N2,可知ZkMBG與△MAC構(gòu)成手拉手模型,

:.4BMA經(jīng)4GMC(SAS)：.AB=CG

常規(guī)證明：/.MB=MG：.Z2=Z.MGD--?5L'：MC=MC，.\Z1=Z2--②

?rA/是念中點(diǎn)，二局=優(yōu)；.N1=AMCA-一③由①②③可得2MGD=NMC，

而乙MGD+ZMGC=180°，/.MCA+Z.MBA=180°,/.Z.MGC=NMBA,又?.?血=BM，

：.Z.MAB=NMCG,在AMBA與^MGC中，＜Z.MBA=NMGC

{^MAB=Z.MCG

：.^BMA絲AGMC(AAS)：.AB=GC：.AB+BD=0c(證畢)

10

證法三：(翻折)--證共線

如圖3：連接MB,MC,AM,AC,將△SAW沿翻折，使點(diǎn)4落至點(diǎn)E,連接ME,BE

???△A版1與△MBE關(guān)于對稱，所以△MBE名ZkA但4:.MA=ME,NMBA=NMBE一一①

又?.?AM=A/C,.?.ME=MC,又四點(diǎn)共圓，.?./MBA+/MC幺=180°--②

又???MA=（已證）.??^MAC=Z.MCA

義?：前=前，；.4MBe=AMAC：.NMBC=ZMCA------③

由①②③得：NAffiC+NMBE=180°：.E,B,。三點(diǎn)共線。文?：ME=MC,MD工CE

:.DE=DC,：.EB+BD=DC,乂Y￡\MBE^^MBA：.AB=EB

.?.AB+BD=DCC正畢）

E

圖4

證法四：兩次全等

如圖4,連接A/B,MA,MC，AC，延長AB,過點(diǎn)M作MH_LAB于點(diǎn)H,

為30的中點(diǎn):.AM=MC，叉?：俞=血：.Z.HAM=ADCM

NMHA=NMDC

又；NMHA=NMDC=90:.在與^MDC中Z.HAM=NDCM

MC^MA

MH=MD

AMHA望AMDC（AAS）：——①AID=在與中

.CD=AHRtAMHBRtT^MDBMB=MB

：.AMDBAA4HB（HL）：.BD=BH又；AH=AB+BH,：.AH=AB+BD一一②

由①②可得DC=4B+BD（證畢）

證法五:補(bǔ)短法(2)一—兩次全等

如圖4,延長AB至H,使BH=BD,則AB+BD^AH,先證ABliM建ABDM(HL),再證△MHA里

^MDC(HL)

11

圓的基本模型(五):平行弦與垂直相交弦，割線定理

一、平行弦：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在。。中，?.?43〃CD,.?.布=@

二、相交弦：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等

易知，AAGB-ADGC

即：在?O中，?.?弦AC、BD相交于點(diǎn)G,則AGCG=BGDG

三、模型構(gòu)造

1.當(dāng)圓中有相互垂直的弦時(shí)

⑴經(jīng)常作直徑所對的圓周角，可以得到平行弦

(H)還可以構(gòu)造相似

12

（Ill）當(dāng)圓中有和弦垂直的線段時(shí)，還可以構(gòu)造平行弦，可得BD2+AC2=BC1+AEP=4"

例題：弦CD_L弦,過圓心O作O尸_L于F,證AD=20尸

易知AGIICD,所以AD=CG=2OH

練習(xí)：（深圳南山區(qū)模擬）如圖，PC為圓的切線，弦CD_L弦AB,AD=2,BC=6,求圓的半徑

【簡證】易知：AE//CD,AD=EC=2,通過勾股定理可知直徑E3

2.當(dāng)圓中有相等的弦、弧時(shí)

⑴等孤時(shí)常作輔助線：（1）構(gòu)造等弦或等南（2）構(gòu)造平行

13

（n）等弦時(shí)常作輔助線：（1）構(gòu)造等角（2）作弦心距（3）作平行

由AB=CD可知：

OD=OF,CDIIAB,

【小試牛刀】試一試看能寫出幾種證法

已知AB,DC為圓的直徑，且BF=DE,證NB=ND

FB=ED,AFB=CED,：.AFB-FB=CED-ED，：.AF=CE,:.ZB=ZD

-.△FOBSAEOD(SSS)

【證法2】

/.ZB=ZD

?.△FBA=AEDC(SSS)

【證法3】

.-.ZB=ZD

?■?△OGBSAOHD(HL)

【證法4】

.-.ZB-ZD

14

三、割線定理

割線PD、PC相交于點(diǎn)P,則P4?PD=PBPC

圓的基本模型(六):垂徑圖

1.弧中點(diǎn)與垂徑圖

①【知1推5】

②4。平分NC4B

。是圓的中點(diǎn)

③

④DOA.CB

⑤CE=EB

⑥ACHOD

OE=^AC

2.垂徑+相等的三段弧

【例題】如圖，AABC內(nèi)接于。O,AB是。O的直徑，。是弱的中點(diǎn)，弦CE_LAB于點(diǎn)H,連結(jié)AD,

分別交CE、BC于點(diǎn)P、Q,連結(jié)BD。

一題七問

⑴證。O〃BD

(2)AD=CE

而證：P是線段AQ的中點(diǎn)

(4)證:CP.CE=AHAB=CQCB

(5)tan"BC=

(6)若4。=8,8。=6,求4〃的值

(7)若OO的半徑為5,匐=號，求弦CE的長.

15

【簡證】

(3)先利用弧相等導(dǎo)角證AP=CP,再通過及△ACQ中的互余關(guān)系，得到PQ=CP,；.AP=PQ=CP

(4)CP=AP,CE=AD^>CP-CE=AP-AD,/^APH-AABD^AP>AD=AH-AB

16

連接AC,連接CO交AD于G,OG/BD

易知GO是△43。的中位線(平行線分線段成比例)

可知OG=；8Z>3,AG=；AD=4,則半徑AO=5

易證△ZOGsACO//(AAS)

：.OH=OG=3,AH=r-3=2

(6)法二

易知尸5,連接EO,

勾股可知HO=3,..AH=5-3=2

17

(7)找到對應(yīng)相似三南形是關(guān)鍵

AQ3CQ3

△4C0~A?C^—=-=^—=-

5153

設(shè)CQ=3x,AC=4x=>/4(>5x萬nx：］

2448

AC=6nBC=8nC〃=M=C￡=M

補(bǔ)充拓展:垂徑圖導(dǎo)子母相似

如圖弦CDJ_直徑AB于點(diǎn)G，E是直線AB上一點(diǎn)(不與其他點(diǎn)重合)，OE交圓O于F，CF交直線

AB于點(diǎn)P

(1)證OE?OP=/2；(2)當(dāng)點(diǎn)E在4B延長線上時(shí)，(1)的結(jié)論還成立嗎？

18

圓的基本模型（七）:等腰圖（直徑在腰上）

1.直徑在腰上:如圖，已知4B是直徑，AB=47,則有

結(jié)論

3BD=CD=ED

(2)00//AC

?DD±AC

②F是EC中點(diǎn)

（3）知1推3：，

③。尸是切線

④2DF=BE

2.補(bǔ)充

知1推2知1推2

AB=ACDF±EC

BD=CD=ED少是EC中點(diǎn)

OD/ECFD是。。的切線

3.圓心在三線上：如圖，已知48是直徑，48=47,則有

①弧:叁=灰

②線段關(guān)系：BD=CD,AB=AC,OD=4CE

③位置關(guān)系:ADLBC,CE工BC,AD〃CE

④角度關(guān)系：4BOD=￡COD=ZBAC=4BEC

AABO=AOAB=NOAC=Z.OCA=NACE,

Z.AON=乙ABD=LACD

⑤全等關(guān)系：^ABD^^ACD,^AOB^AAOC

⑥直角三角形相似:A4ON??A/1CD

⑦X型相似：給=簫=券

LylVLIVLtyC/15

19

圓的基本模型（八）:雙切圖

、?OP±AB,AE=BE

是切線］=③BD//OP

AD是直徑/④NCBD=N2=N1=N3

⑤OE=)BD

補(bǔ)充:多切圖

內(nèi)切圓半徑為r1_a+b—c翳翳徑為r}=（Q+"c）…帥可求）

ZC=90°產(chǎn)/=-2-

@BC=BE+CO

@OB±OC,EF±FG

BE,BC,G。與。。相切,?EF//OC,OB//GF

R為。。的半徑④矩形04在D

⑤加/歌7=.2R=dBCrCG-BE『

153￡>Cr-t-UCrv

20

圓的基本模型（九）:射影圖

AB是直徑1

/480=90°是切線

E是8。中點(diǎn)J

基本圖形：AB是直徑，ZABC=90°

其它結(jié)論

知1推4

OE是中位線

點(diǎn)E是BC中點(diǎn)

6個(gè)角相等

DE是。。切線

射影定理（3個(gè)等積式）

BE-BE

OELBD2r2=OE*AD

OE/AC2DEM3DOE

國的基本模型（十）:切割圖（切線和割線垂直）

AB是直徑,①0cliAD；

CD是切線②ACT-令乙BAD,&=&,4DCA=4CBA；

AD±CD=>③OF=CD=EG=BG=CH,BH=DE=CG,OG=EF=AF^OH；

OF±AE@AD+DE=ABi

CH±AB,@AB+AB=2AH=2AD,AE+AB=2AC-cosABAC.

21

AB是直徑］

CD是切線}DFAFAD

~OF=~CF=~OC

ADA.CD}

AB是直徑](AF_AE_EF

CD是切線CF-CM—MF

AD±CD]{.CM1MF-MB

【題型1】強(qiáng)切角定理與切割線定理師.?

例。（2024?四川眉山?中考真題）如圖，BE是?O的直徑，點(diǎn)4在OO上，點(diǎn)。在BE的延長線上,

AEAC=AABC<AD平分ABAE交OO于點(diǎn)。，連結(jié)AE.

⑴求證：C4是?O的切線；（2）當(dāng)47=8,儂=4時(shí)，求DE的長.

22

例?(四川瀘州中考)如圖，△ABC是。O的內(nèi)接三角形，過點(diǎn)。作。。的切線交BA的延長線于點(diǎn)

F,AE是G)O的直徑，連接EC.

(1)求證：NACF=NB；(2)若AB=BC，4。_1_3。于點(diǎn)。，尸。=4,E4=2,求ADxAE的值.

例?(湖北?黃石中考)如圖，48是6)0的直徑，點(diǎn)。在AB的延長線上，C、E是OO上的兩點(diǎn)，CE

=CB,NBCD=NC4E,延長AS交BC的延長線于點(diǎn)F

(1)求證：CD是0O的切線；(2)若BD=l,CD=g,求弦4C的長.

23

例。（湖北.十堰中考）如圖，△力BC中，=47,以AC為直徑的。O交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E為。延長

線上一點(diǎn),且4CDE=jNBAC.

（1）求證：AE是。。的切線；（2）若4B=3BD,CE=2,求。。的半徑.

!習(xí)1如圖是"BC的外接圓，40是。。的直徑，尸是4）延長線上一點(diǎn)，連接CDC/，且

ZDCF=ACAD.

3

（1）求證：C尸是OO的切線；（2）若直徑ZO=IO,cos8=］，求廣。的長.

E習(xí)E（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，A4BC內(nèi)接于＜90,AB=AC=10,過點(diǎn)4作4E〃B。，交

◎O的直徑BD的延長線于點(diǎn)E,連接CD

（1）求證：AE是OO的切線；（2）若tan4=■，求CD和小的長.

24

E習(xí)1(2024.四川雅安?中考真題)如圖，AB是。O的直徑，點(diǎn)。是。。上的一點(diǎn)，點(diǎn)P是BA延長

線上的一點(diǎn)，連接AC，APCA=ZB.

(1)求證：PC是(DO的切線；

(2)若sinN3=]■，求證：AC^AP；

(3)若CDJ_AB于D,24=4,BD=6，求40的長.

I，習(xí)K1(成都中考)如圖，AB為◎O的直徑，。為0O上一點(diǎn)，連接AC,BC,D為AB延長線上一

點(diǎn)，連接CD,且/BCD=N4

(1)求證：CD是。。的切線；

(2)若G)O的半徑為V5，△4BC的面積為24，求CD的長；

(3)在(2)的條件下，E為。O上一點(diǎn)，連接CE交線段。力于點(diǎn)F，若募=J，求BF的長.

25

:【題型2】中點(diǎn)孤模型)O

例。(蘇州?中考)如圖，4B是0O的直徑,D、E為0O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，連接BD并延長至

點(diǎn)。，使得CD=BD,連接AC交OO于點(diǎn)F,連接AE、DE、DF.

(1)證明：ZE=NC：⑵設(shè)OE交48于點(diǎn)G，若48=10,E是彳逾的中點(diǎn)，求的值.

(深圳?中考)如圖，已知。。的半徑為2,為直徑，CD為弦.AB與CD交于點(diǎn)M,將歷沿

CD翻折后，點(diǎn)？1與圓心O重合，延長OA至P,使AP=O力，連接PC

⑴求CD的氏;

(2)求證：PC是。。的切線：

(3)點(diǎn)G為痛通的中點(diǎn)，在PC延長線上有一動點(diǎn)Q，連接QG交4B于點(diǎn)E.交百0于點(diǎn)尸(F與B、C

不重合).問GE-GF是否為定值？如果是，求出該定值:如果不是,請說明理由.

【拓展】(4)在(3)的條件下，當(dāng)CF〃AB時(shí)，求FEFG的值

26

(習(xí)D如圖，NBA。的平分線交△ABC的外接圓于點(diǎn)。，交BC于點(diǎn)尸，NABC的平分線交AD于

點(diǎn)E.

(1)求證:DE=DB：(2)若ABAC=90°,8。=4,求△ABC外接圓的半徑；

(3)若=6,。尸=4,求4。的長

督習(xí)?(山東棗莊.中考)如圖，/8為OO的直徑，點(diǎn)。是行的中點(diǎn)，過點(diǎn)。做射線80的垂線，垂足

為E.

E

⑴求證：CE是。。切線；

(2)若3E=3,AB=4,求BC的長；

(3)在(2)的條件下，求陰影部分的面積(用含有兀的式子表示).

f習(xí)EI（2024?四川巴中?中考真題）如圖，△AB。內(nèi)接于OO,點(diǎn)。為后己的中點(diǎn)，連接A。、BD,BE

平分N4BC交4D于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作。尸〃交AC的延長線于點(diǎn)P.

⑴求證：OF是。O的切線.（2）求證：8D=ED（3）若。E=5,C尸=4,求AB的長.

￡為目（江蘇無錫?中考）如圖，"是OO的直徑，C?與48相交于點(diǎn)E.過點(diǎn)。的圓O的切線。尸

〃AB，交。1的延長線于點(diǎn)尸，C尸=8.

（1）求NF的度數(shù)；（2）若DE-DC=8,求。。的半徑.

（為目（2024?云南昆明?一模）如圖，AB,CD是。O的兩條直徑，且AB_LCD，點(diǎn)E是前上一動點(diǎn)

（不與點(diǎn)B,。重合），連接DE并延長交的延長線于點(diǎn)F,點(diǎn)P在AF上，且N1=N2,連接

AE,CE分別交OR于點(diǎn)M,N,連接,設(shè)。。的半徑為10.

備用圖

（1）求證：PE是（DO的切線；

⑵當(dāng)NDCE=15°時(shí),求證：AM=2ME；

（3）在點(diǎn)E的移動過程中，判斷CN?CE是否為定值，若是，求出該定值;若不是，請說明理由.

28

【題型3】內(nèi)心模型)

(2024.山東煙臺.中考真題)如圖，AB是。O的直徑，△ABC內(nèi)接于G)O,點(diǎn)/為△ABC的內(nèi)心,

連接C7并延長交O于點(diǎn)。，E是后。上任意一點(diǎn)，連接40，3。,3E,CE.

D

(1)若NABC=25°,求NCEB的度數(shù)；

(2)找出圖中所有與ZV相等的線段，并證明；

⑶若67=2〃，。/=早血，求AABC的周長.

(廣東省?中考)如圖1,在△ABC中，AB=AC,OO是△ABC的外接圓，過點(diǎn)C作2BCD=

NACB交。O于點(diǎn)連接AD交BC于點(diǎn)E,延長。。至點(diǎn)F,使C尸=AC,連接AF.

(1)求證：E￡)=EC；

(2)求證：A尸是。。的切線；

(3)如圖2,若點(diǎn)G是AACD的內(nèi)心，BCBE=25,求BG的長.

29

整習(xí)1已知：如圖，在zUBC中，E是內(nèi)心，延長AE交A/BC的外接圓于點(diǎn)。，弦4D交弦B。于點(diǎn)

F.

(1)求證：DE=DB：

(2)當(dāng)點(diǎn)4在優(yōu)弧B。上運(yùn)動時(shí)，若OE=2,DF=y,AD=x，求y與c之間的函數(shù)關(guān)系.

(習(xí)E(湖北.孝感中考)如圖,點(diǎn)/是△ABC的內(nèi)心，BI的延長線與△4BC的外接圓。。交于點(diǎn)

與AC交于點(diǎn)E，延長CD、BA相交于點(diǎn)F,NADF的平分線交AF于點(diǎn)、G.

⑴求證：DG//CA；

(2)求證：AD=ID；

(3)若DE=4,BE=5,求即的長.

30

（【題型4】線段和差問題（構(gòu)選手拉手））

在。。的內(nèi)接四邊形4BCD中，43=6,40=10,NBAD=60°，點(diǎn)。為弧的中點(diǎn)，則47

的長是_______

.例?（2024?山東濟(jì)寧?二模）【初步感知】

如圖1,點(diǎn)A,B,P均在。O上，若N4OB=90°,則銳角乙4PB的大小為

【深入探究】

如圖2,小聰遇到這樣一個(gè)問題：③。是等邊三角形4BC的外接圓，點(diǎn)P在衣上（點(diǎn)P不與點(diǎn)AC重

合）,連接PA,PB,PC.求證：PB=R4+PC;小聰發(fā)現(xiàn)，延長E4至點(diǎn)召，使=PC,連接BE,通過

證明△PBC絲△EBA.可推得ZiPBE是等邊三角形，進(jìn)而得證.請根據(jù)小聰?shù)姆治鏊悸吠瓿勺C明過

程.

【啟發(fā)應(yīng)用】

如圖3,。。是△ABC的外接圓，NABC=90°,AB=BC，點(diǎn)P在。O上，且點(diǎn)P與點(diǎn)B在A。的兩側(cè),

31

例?如圖，已知AB是。。的弦，點(diǎn)。是弧48的中點(diǎn)，。是弦上一動點(diǎn),且不與A、B重合，CD

的延長線交于點(diǎn)E，連接AE、3E,過點(diǎn)力作4尸_1_3。,垂足為F,44及7=30°.

(1)求證：AF是。。的切線；

(2)若BC=6,CD=3,求DE的長；

(3)當(dāng)點(diǎn)。在弦上運(yùn)動時(shí)，下墨瓦的值是否發(fā)生變化？如果變化,請寫出其變化范圍;如果不變,

AC/十—

請求出其值.

修習(xí)髭.如圖，在。。中AB=AC，點(diǎn)。是日廟上一動點(diǎn)(點(diǎn)。不與重合)連接。A、DB、DC，

NR4C=120°

(1)若4C=4,求。。的半徑

(2)探究之間的關(guān)系，并證明。

32

習(xí)E(吉林長春?中考)【感知】如圖①，點(diǎn)4、B、P均在。。上，NAOB=9()°,則銳角的大小

為度.

【探究】小明遇到這樣一個(gè)問題:如圖②，。。是等邊三角形Z8C的外接圓，點(diǎn)P在衣上(點(diǎn)P不與點(diǎn)

A、C重合)，連結(jié)尸/、尸8、PC.求證：P8=4+PC.小明發(fā)現(xiàn)，延長至點(diǎn)E,使4E=PC,連結(jié)

BE,通過證明△PBC絲,可推得PBE是等邊三角形，進(jìn)而得證.

下面是小明的部分證明過程：

證明：延長H4至點(diǎn)E,使Z￡=PC，連結(jié)BE,

???四邊形48cp是。。的內(nèi)接四邊形，

:.^BAP+ZBCP=\SO0.

?：ZBAP+ZBAE=\SO°,

：.4BCP=4BAE.

?.?△ABC是等邊三角形.

BA=BC,

;.APBC%EBA(SAS)

請你補(bǔ)全余下的證明過程.

【應(yīng)用】如圖③，。。是“BC的外接圓，48C=90。，AB=BC，點(diǎn)P在。。上，且點(diǎn)P與點(diǎn)B在ZC的

PR

兩側(cè)，連結(jié)4、/W.PC.若PB=242PA,則￡的值為.

33

I習(xí)(2024?江蘇揚(yáng)州?中考真題)在綜合實(shí)踐活動中，“特殊到一般”是一種常用方法,我們可以先研

究特殊情況，猜想結(jié)論,然后再研究一般情況，證明結(jié)論.

如圖，己知△ABC，C4=CB,0O是△ABC的外接圓，點(diǎn)。在。。上(4D>BD),連接

【特殊化感知】

⑴如圖1，若60°，點(diǎn)。在40延長線上，則AD-BD與CD的數(shù)量關(guān)系為；

【一般化探究】

(2)如圖2,若NACB=60°，點(diǎn)C、。在AB同側(cè)，判斷AD—BD與CD的數(shù)量關(guān)系并說明理由;

【拓展性延伸】

⑶若乙4cB=a，直接寫出AD、B。、CD滿足的數(shù)量關(guān)系.(用含a的式子表示)

34

o【題型5】阿基米德折弦定理o

例tl如圖，AB和是。O的兩條弦(即折線A3C是OO的一條折弦)，M是后心的

中點(diǎn)，過點(diǎn)Af作A/D_LBC垂足為。，求證：CD=48+BD.(阿基米德折弦定理)

己知:如圖1，在0O中，。是劣弧4B的中點(diǎn),直線COLB于E,易證得:AE=BE,從圓上任

一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦。

(1)如圖2,R4、PB組成?O的一條折弦，。是劣弧AB的中點(diǎn)，直線CDJ_P4于E,

求證:A￡；=PE+PB

(2)如圖3，R4、PB組成。。的一條折弦，若。是優(yōu)弧AB的中點(diǎn)，直線CDJ_R4于E,則AE、PE、

PB

之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論，并證明。

圖1圖2圖3

35

?習(xí)口如圖，已知等邊三角形ABC內(nèi)接于(DO,AB=2,點(diǎn)。為弧47上一點(diǎn)，N4BD=45°,AE

J_3。于E,求△BDC的周長。

筌;習(xí)?如圖，ZVIBC內(nèi)接于00,4。VBC,點(diǎn)。為ACB的中點(diǎn)，求證AD2=ACBC+CD2

儂El已知6)0是等邊△A3。的外接圓，P是。O上一點(diǎn)，求證R4+P34AC+3C

36

E習(xí)圖（山西中考）古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出并證明了“折弦定理”.如圖和是OO的兩

條弦（即折線ABC是圓的一條折弦）,BC>43,“是優(yōu)弧ABC的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線

的垂足。是折弦43。的中點(diǎn)，即CD=AB+BD.

（1）請按照下面的證明思路，寫出該證明的剩余部分:

證明：如圖2,在CB上截取CG=AB,

連接和MG.

是久比的中點(diǎn)，

：.MA=MC

:.MA=MC.

（2）如圖（3）,已知等邊△ABC內(nèi)接于。O,AB=2,D為。O上一點(diǎn),NABD=45°,4E_LB」D,垂足為

E，請你運(yùn)用“折弦定理”求八助。的周長.

圖3

37

(1)求Ab的長度；

(2)在點(diǎn)D的運(yùn)動過程中，弦AD的延長線交BC延長線于點(diǎn)E,問AD4E的值是否變化？若不變,

請求出A。x的值;若變化，請說明理由；

(3)在點(diǎn)D的運(yùn)動過程中，過A點(diǎn)作AHJ_BD,求證：CD+

(4)拓展:求ZM,@3,。。之間的數(shù)量關(guān)系

A

3

備用圖

38

r習(xí)i已知：如圖，在AABC中，。為AC邊上一點(diǎn)，且CB.過。作AC的垂線交

△ABC的外接圓于M，過M作AB的垂線MN,交圓于N.求證：A4N為△ABC外接圓的直徑.

i習(xí)R如圖，△ABC是。。的內(nèi)接三角形，AB=AC，RD平分N4BC交OO于點(diǎn)。，連接工。、

CD。作AEJ_BD與點(diǎn)E，若4E=3，_DE=1，求ZVICD的面積

鱉習(xí)■如圖，△ABC內(nèi)接于G)O,4B=47=3,cos/ABC=y,。是劣弧AC上一點(diǎn)，且AD=

2CD,求BD的長為.

39

￡"習(xí)R如圖，2，二軸于點(diǎn)人，點(diǎn)B在3/軸正半軸上，24=/歸，04=6,08=2,,點(diǎn)。是線段

PB延長線上的一個(gè)動點(diǎn)，△ABC的外接圓。M與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)是。.

(1)證明：4。=工。

(2)試問：在點(diǎn)。運(yùn)動的過程中，BD-BC的值是否為定值？若是，請求出該定值;若不是，請給出合理

的解釋.

【題型6】平行段與相交強(qiáng)，垂直線，割線模型1O-

例(I如圖，半圓O的直徑BC=7，延長C8到力，直線AD交半圓于點(diǎn)E,。，且AE=ED=3,求48

的長.

40