高考仿真卷（三）

（時(shí)間：120分鐘分值：150分）

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的）

1.若全集U=R,集合A={x[0Wx<3},B={x|l<x<4},則4門（〔亦）等于（）

A.[0,1）B.[0,1]

C.（-8,1）D.（-8,i]

2.已知z="￡,貝！J2的虛部為（）

1—1

A.2iB.-2iC.-2D.2

3.已知兩個(gè)非零向量a,b^^\a+b\=\a-b\,則a/在b上的投影向量為（）

A.bB.-bC.-bD.--b

22

4.已知球的半徑為1,其內(nèi)接圓錐的高為|,則該圓錐的側(cè)面積為（）

5.已知函數(shù)兀c）=ln（ax+2）在區(qū)間（1,2）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

A.avOB.-lWavO

C.-l<6i<0D.a2-1

6.已知tana=2,tan（a+胃）=-l,則等于（）

A.士1B.-2C.12D.-

235

7.一個(gè)質(zhì)地均勻的正八面體的八個(gè)面上分別標(biāo)以數(shù)字1到8,將其隨機(jī)拋擲兩次，記與地面接觸面上的

數(shù)字依次為xi,X2,事件A="為=3"，事件3="改=6"，事件C="Xi+X2=9"，貝U（）

A.AB=CB.A+B=C

C.A,B互斥D.B,C相互獨(dú)立

8.已知橢圓C：?+胃=13>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為產(chǎn)1,上，A3為過點(diǎn)分的弦，M為的中點(diǎn)，

3麗=4用瓦AB±MF2,則C的離心率為（）

A.5-B.4-C.-3D.2-

7777

二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對

的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得。分）

9.已知函數(shù)於）=sin（3%+以（①>0）的最小正周期大于],若曲線月（%）關(guān)于點(diǎn)得，0）中心對稱，則下列

說法正確的是（）

B.y=f（x+5是偶函數(shù)

孰書是函數(shù)於）的一個(gè)極值點(diǎn)

D.7（x）在（0,以上單調(diào)遞增

10.設(shè)拋物線C：寸=4丫的焦點(diǎn)為凡P是C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.點(diǎn)尸到F的距離比到x軸的距離大2

B.點(diǎn)P到直線y=x-3的最小距離為魚

C.以P尸為直徑的圓與x軸相切

D.記點(diǎn)尸在C的準(zhǔn)線上的射影為H,則△PM不可能是正三角形

11.設(shè)xi，X2（xi<%2）是直線廣。與曲線/（x）=x（l-lnx）的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，貝!］（）

A.xi%2<e

B.x21n%i>xilnX2

C.3tze（0,1）,X2-Xi>ea

D.V〃e（0,1）,xilnxi+xi>a

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）

n

12.設(shè)（1+X）〃=ao+〃1X+42X2+…+〃仃"（〃三1,〃金N）,若"5>。4，且〃5>。6，貝U.

i=1

13.某人上樓梯，每步上一個(gè)臺階的概率為:，每步上兩個(gè)臺階的概率為;，設(shè)該人從第1個(gè)臺階出發(fā),

44

到達(dá)第3個(gè)臺階的概率為.

14.在梯形A3CO中，AB//CD,DA=DB=DC=1,則該梯形周長的最大值為.

四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

15.（13分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛〃.｝的前n項(xiàng)和為S?,且2S?=an（a?+l）.

（1）求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；（6分）

（2）證明：不+不+…+丁<2.（7分）

16.（15分）某高校統(tǒng)計(jì)的連續(xù)5天入校參觀的人數(shù)（單位：千人）如表:

樣本號i12345

第為天12345

參觀人數(shù)%2.42.74.16.47.9

55

并計(jì)算得，s和尸85.2,S際=55,%=3,9=4.7.

i=1i=1

（1）求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測第10天入校參觀的人數(shù)；（7分）

⑵已知該校開放1號，2號門供參觀者進(jìn)出，參觀者從這兩處門進(jìn)校的概率相同，且從進(jìn)校處的門離

校的概率為?從另一處門離校的概率為I.假設(shè)甲、乙兩名參觀者進(jìn)出該?；ゲ挥绊?，已知甲、乙兩名

參觀者都從1號門離校，求他們從不同門進(jìn)校的概率.（8分）

n

AAz

AA(%i-x)(yj-y)aA

附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=bx+a,其中--------，a=y-bx.

i=l

17.（15分）正四棱臺A3CD-AbBCiA的下底面邊長為2魚，AiB^AB,M為3c的中點(diǎn)，已知點(diǎn)P滿足

AP=（l-^AB+^AD+AAA1,其中26（0,1）.

(1)求證：DiP±AC；(6分)

（2）已知平面與平面A3C。夾角的余弦值為,，當(dāng)丸=|時(shí)，求直線DP與平面AMG所成角的正弦

值.（9分）

22

18.（17分）已知雙曲線C：號卷=1（或>0,人>0）的左、右焦點(diǎn)分別為吊，F(xiàn)2,焦距為4,C上一點(diǎn)尸滿足

cosZFiF2P=-y,且△尸尸風(fēng)的面積為2V1

（1）求C的方程；（5分）

（2）過C的漸近線上一點(diǎn)7作直線/與C相交于點(diǎn)M,N,求7Mlim的最小值.（12分）

19.（17分）微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展中的里程碑，它的發(fā)展和廣泛應(yīng)用開創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過渡的新時(shí)期,

為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段.對于函數(shù)?=^（x>0）,<x）在區(qū)間［a,切上的圖象連續(xù)不斷,

從幾何上看，定積分網(wǎng)便是由直線x=a,x=A,y=0和曲線所圍成的區(qū)域（稱為曲邊梯形A3QP）

的面積，根據(jù)微積分基本定理可得方］dx=lnFlna,因?yàn)榍吿菪问拿娣e小于梯形A3QP的面

積，即S曲邊梯形AB°P<S梯形AB的代入數(shù)據(jù)，進(jìn)一■步可以推導(dǎo)出不等式：

ab

（1）請仿照這種根據(jù)面積關(guān)系證明不等式的方法，證明：高3〈詈；（4分）

（2）已知函數(shù)於尸加+版+/］,其中a,Z?￡R.

①證明：對任意兩個(gè)不相等的正數(shù)沏，X2，曲線y/x）在點(diǎn)（X1，?xi））和。2，八%2））處的切線均不重合；（6

分）

②當(dāng)b=-l時(shí)，若不等式#x）22sinOl）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.（7分）

答案精析

1.B[由B={x|l＜%＜4},

得C陽小＜1或x24},

而4={4。＜尤＜3},

所以An(C/)=[O,1].]

=-2-2i,

則"2+2i,，的虛部為2.］

3.B［由|〃+加二|a-5|,得|a+肝二|a-肝，

即(^+2ab+b1=a1-2a-b+b1,整理可得ab=O,

所以a-b在b上的投影向量為件皆斗=(吉及=心］

4.C［因?yàn)榍虻陌霃絉=\,其內(nèi)接圓錐的高h(yuǎn)=l,

所以圓錐的底面圓半徑/2_(|_1)2號,母線長/=佰)2+?2=7_,

所以側(cè)面積S=7rr/=7rx^xV3=y.］

5.B［因?yàn)楹瘮?shù)於:)=ln(<*+2)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減，

且產(chǎn)Inx在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以產(chǎn)G+2在(1,2)上單調(diào)遞減，且恒大于0,

6.D[因?yàn)閠ana=2,

tan(a+0)—tana_-1-2

所以tan夕=tan[(a+夕)-a]二

l+tan(a+0)tanal+(-l)x2

sin(cr-/?)_sinacosj?-cosasin^_tana-tan^_2-3_1

cos(a+0)cosacos/?-sinasin01-tanatan^1-2x35

7.D［對于A,事件C發(fā)生時(shí)，事件AB不一定發(fā)生，所以A錯(cuò)誤；

對于B,當(dāng)修=1,尬=8時(shí),事件C發(fā)生，但事件A+B不發(fā)生，所以B錯(cuò)誤；

對于C,當(dāng)xi=3,檢=6時(shí)，A,8同時(shí)發(fā)生,所以C錯(cuò)誤；

對于D,P(B)=i,P(C)=i,P(BO=5,P(B)xP(Q=P(BC),所以D正確」

ooo4

8.A［設(shè)|A尸i|=4x,因?yàn)?麗=4用，M為A尸i的中點(diǎn)，

所以|5尸i|=3x,\MFi\=2x.

由橢圓的定義可得5BI+LB尸2|=2〃z\AFi\+\AF2\=2a,

所以|4/2|=2。-4元,\BF2\=2a-3x.

又因?yàn)锳3LM&,以為AR的中點(diǎn)，

所以M尸2舊尸匹F?|MB|2二|5尸2|2?|函2,|AB|二|西尸2|,

設(shè)橢圓的半焦距為。，

所以4c2-4x2=(2a-3x)2-25x2,2a-4x=2c,

所以^c^-3ax-Sx1,^=~~I

以(0-〃)(0+〃)+3〃乂。2。+3(。2—0,

所以(5Q-7C)(Q-C)=0,

因?yàn)閍>c,所以5a=lc,

所以橢圓C的離心率e=?W」

9.ABC[因?yàn)槲?=sin(3久+或(0>0)的最小正周期大于1,

所以空冷，即。<“<4.

又y=/H)關(guān)于點(diǎn)C，o)中心對稱，

所以三。+三=也(止2),

所以a)=-l+3k,因?yàn)?<to<4,所以當(dāng)仁1時(shí)，0=2,

所以加)=sin(2x+g).

對于A,/(R)=sin(2x]++-sinA乎,故A正確;

對于B,f(x+S=sin[2(%+5)+f|=sin(2x+%cos2x,

由cos(-2x)=cos2x且,

所以y=f(x+與是偶函數(shù)，故B正確；

對于c,7(x)=2cos(2x+,

令八x)=0得x4，止Z,

當(dāng)^雪，白)時(shí),7(x)>0,外)單調(diào)遞增,

當(dāng)它偌，加,/?<o,_/u)單調(diào)遞減，

所以廣總是函數(shù)兀0的極大值點(diǎn),故c正確；

對■于D,由彳+2左兀左兀,kGZ,

得一凈EWx君+E,舊’

函數(shù)外)的單調(diào)遞增區(qū)間為［—工+km巳+田，kJ,

當(dāng)上。時(shí),回一碧，高，

當(dāng)I時(shí)，x卡，等］,

顯然函數(shù)段)在(0，以上不單調(diào)，故D不正確.］

10.BC［由拋物線C：^=4y,可得焦點(diǎn)F(0,1)，準(zhǔn)線方程為y=-l,

設(shè)P(xo,yo),

因?yàn)镮P外光=%+1-%=1<2,因此A不正確；

因?yàn)閂o=^-,

L_^_I

則點(diǎn)尸到直線y=x-3的距離公O\^3=攵嗯超2壺=企，

當(dāng)x0=2時(shí)取等號,可得點(diǎn)P到直線y=x-3的最小距離為魚,因此B正確；

設(shè)尸尸的中點(diǎn)為"，則加=等=*尸I,于是以P尸為直徑的圓與x軸相切,因此C正確；

Wo,-1),令|PH|=|FH］,

則yo+l=J耳+(T—,

又據(jù)=4州,解得y0=3,

此時(shí)|PR=|PF|=|陽=4,是正三角形,

因此D不正確.]

11ACD[由函數(shù)危)=x(l-lnx)的定義域?yàn)?0,+°°),可得八x)=-lnx,

令八x)=0,

可得x=l,

當(dāng)0<x<l時(shí)，f(x)>0,?a(0,1)上單調(diào)遞增；

當(dāng)x>l時(shí)，八x)<0,危)在(0,1)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=l時(shí)，可得函數(shù)兀0的極大值為41)=1.

當(dāng)天—0時(shí)，火x)f0；當(dāng)L+8時(shí)，兀V)一—8,

結(jié)合函數(shù)4X)的單調(diào)性可得圖象如圖所示.

對于A,由圖可知,l<x2<e,所以xiX2<e,所以A正確；

對于B,構(gòu)造函數(shù)g(x)=等,可得gQ尸手，

當(dāng)0<r<e時(shí),gf(x)>0,g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,

又0<%i<l<X2<e,所以g(xi)<g(%2),可得〈見三，

X1X2

可得X21n%i<%ilnx2,所以B錯(cuò)誤；

對于C,由圖可知，當(dāng)〃>0且0時(shí)，％2一e,0=X2-xife,

又因?yàn)楫?dāng)。一0時(shí)，e。-1,

所以加￡(0,1),X2-X\>ea,所以C正確；

對于D,因?yàn)?，所以即Inxi=x\-a,所以％ilnxi+x2>〃等價(jià)于即+%2>2。,

要證Va￡(O,1),xiln為+%2>〃成立，即證為+x2>2〃,因?yàn)?a<2,故只需證XI+、2>2,

因?yàn)?<xi<l,l<%2<e,只需證且％2與2-?均大于1.

又因?yàn)?(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減,

只需證人X2)勺(2-X1),

即證./(無I)勺(2-X1),

令砥x)=A尤)式2-幻，尤G(0,1),

可得F'(x)=f(x)+f(2-x)=-lnx-ln(2-x)=-lnx(2-x)>0,

所以Rx)在(0,1)上單調(diào)遞增，

且F(^i)<F(l)=0,

所以/(xi)勺(2-苞)成立，所以D正確.]

12.1023

解析13^3(1+x)n=ao+aix+cn>c2^---,〃CN),

。5>。4i曰〃5>。6/

w

貝!]n=10,令x=l,ao+a\_+ai+--■+an=2,

n10

10

又Oo=l,所以2。k2o;=2-l=l023.

i-1i-1

13.-

16

解析到達(dá)第3個(gè)臺階的方法有兩種：

第一種，每步上一個(gè)臺階，上兩步，則概率為;

第二種，只上一步且上兩個(gè)臺階，則概率為:，

所以到達(dá)第3個(gè)臺階的概率為白+；=?

16416

1

14—17

4

解析設(shè)NBAD=a,aG(0,；),

則NB￡)C=a,AADB=it-2a.

在△A3。中，由余弦定理得沸2DA￡)BCOS/AOB

=2-2cos(7i-2a)=2+2cos2a=4cos2a,

所以AB=2cosa.

在△BCD中，由余弦定理得

所以BC=2sin(

貝！JAB+BC=2cosa+2sin2=-4sin2^+2sin1+2

(.a1\29

=-4A(sm----)+-,

V24，4'

因?yàn)檎?0,力所以4(0,：),sin*(0,y),

則當(dāng)siW=；時(shí)，A8+BC取得最大值：,

所以梯形ABCD周長的最大值為%2=?

15.(1)解因?yàn)?S*。〃(詼+1),①

②

所以2Sn+i=an+i(an+i+l),

2s尸。1（。1+1）,③

由③得43-1）=0,又斯＞o,

所以41=1,

②-①得2斯+1=撼+「忌）+（即+1-4”）,整理得（4"+1+斯）（斯+1-%1）=。，

又因?yàn)椋?｝各項(xiàng)均為正數(shù)，

所以如+1-斯=1,

所以｛。〃｝是公差d=l的等差數(shù)列，an=ai+（n-1）d=l+（n-l）=n.

⑵證明由⑴得

n(ai+a九)_n(n+l)

S=

n2一2

所以土』」等

Snn（n+l）nn+1

所以工+工+???+工=仁--)+f---)+?-?+(---)=2--<2.

SrS2Sn\12)\23/\nn+ljn+1

55

A1ZXiyi-Sxy

16.解⑴依題意，b=8-------------------=85￡5胃4.7=]47,

55—5X5

Z(%j-x)2Zxf-5x2

i=li=l

AAA

a=y-bx=0.29,所以y=1.47x+0.29.

當(dāng)x=10時(shí),y=14.99,

故第10天入校參觀的人數(shù)約為14.99千人.

⑵記“甲、乙兩名參觀者從不同門進(jìn)?！睘槭录嗀,“甲、乙兩名參觀者都從1號門離?！睘槭录?,

貝?。軵(B)=-xixix-+-x-x-x-+-xixix-x2=-

v/2323232323234

所以P(A|B)=需三.

故所求的概率為:.

17.(1)證明方法一,

/.AA^-AB=AA^-AD=242X^=2.

二印石1+費(fèi)=(1U麻+(1-3前+(4-1)所,

：.D^P-AC=U1-A)AB++(2-1)AA^-(AB+砌

=(1-/1)AB2+QA-3而2+(人］)相麗”1)而.初

=8(1-A)+8(|^-|)W-1)=O.

：.D^P1AC,即DiP_L4c.

方法二以底面正方形ABCD的中心。為原點(diǎn)，以兩方向?yàn)閥軸正方向，過0點(diǎn)平行于反方向?yàn)閤軸正

方向，

以過點(diǎn)。垂直平面A3CD向上方向?yàn)閦軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正四棱臺的高為h,

則有A(魚,-V2,0),B(V2,V2,0),C(-V2,V2,0),D(-y/2,-V2,0),

小(￥，-F，八)，Ci(一苧,?，。，"(一號，一導(dǎo)h),M(0,V2,0),

ZC=(-2V2,2V2,0),XP=(14)(0,2V2,0)+

|^(-2V2,0,0)+A(-y,y,%)=(一學(xué)九2魚—學(xué)九Ah),

冊(娛一去i),

—_~?Ari(3V2-,3V23V2-,3V2,\

D］P=。14+力P=(——AH——,——AH——,Anh—hj.

故尼.用=-2岳(—爭+爭+2遮x(—?+苧)=0,

所以O(shè)PLAC.

⑵解同⑴方法二建立空間直角坐標(biāo)系股平面ABCD的法向量為"=(0,0,1),

平面AMG的法向量為m=(x,y,z),

施=(-/,2V2,0),疝=(一誓，娛%),

則有理皿=0,

f-V2x+2歷=0,

即，3V23V2,

—y+hz=0f

v*x-2y[2h,貝!]m=(2y/2h,y[2h,3).

又題意可得COS〈m,〃〉上喘=一聲H,可得h=2.

因?yàn)?=|,所以m=彼+而=(魚,-V2,0)+(-V2,V2,3=(。，0，J，

故P(0,0,1),DP=(V2,V2,I).

將h=2代入，可得平面AMG的法向量m=(4V2,2魚,3).

設(shè)直線DP與平面AMG所成的角為e,

則廊，書喘黜上=陪

3

18.解(1)在尸上2中，

因?yàn)閏osZFiF2P=-y,

2

所以sinZFiF2P=y/l—COSZ.F1F2P=^-.

所以SAPS$尸畫I哂sin/P/2P$4X|PB畔=2e，

解得IP巳1=8.

在△PBB中，由余弦定理，

得|PR|2=|尸碼2+尸典2-2|尸網(wǎng)尸畫cosNFi用尸=19+2x75x4x曰=27,

所以|尸6|=3假

因?yàn)镻在雙曲線上,

所以2a=\PFi\-\PF2\=2V3,

得/=3,/=(72-〃2=1

2

所以C的方程為早產(chǎn)1.

(2)方法一設(shè)7(尤0,州)，則,羽=0,

當(dāng)直線/J_y軸時(shí)，設(shè)直線I：y=yo與C交于點(diǎn)M(x\,Jo),N(-xi,y0),

丫2

所以j-羽=1,即好-3羽=3,

所以TM][77VHxi-xo|山+%o|二|好-詔|二|好-3羽1=3.

當(dāng)直線/與y軸不垂直時(shí),設(shè)直線/的方程為x-my+n,M(%i,y),N{xi,yi),利用對稱性不妨設(shè)T(xo,yo)

在直線x-V3j=0上.

聯(lián)立『。一8如：6得州=￡.

(%0=my0+71,73-m

聯(lián)立『2_3y：=3,并消去

(%=my+n

得(加2-3)y2+2m〃y+幾2-3=o,

rm2-3W0,

A—(277m產(chǎn)—4(m2—3)(n2—3)>0,

所以《,-2mn

八71+7J乙2=m2—-3,

n2-3

[y—=E,

貝！J|TW|=A/1+7n2|yo-yi|,

同理，得177Vl+僧2MH

所以177W][77V|=(1+W)|yo-y11|知-?|

=(l+m2)|y^-jotyi+j2)+jij2|

o.In2n-2mn,n2-31

=(l+m麗赤-京Xw+gl

=1筆等卜出+總性1(當(dāng)且僅當(dāng)加=0時(shí)，取等號，滿足/>0)，

綜上，ITMIITW的最小值為1.

方法二設(shè)T(x0,jo),

2門

則v家羽=0，

當(dāng)直線/_Lx軸時(shí),則直線/的方程為x=xo(ko|>V3),設(shè)M(xo,yi),N(x。，-yi),

貝！JlTM]177Vl=伙)平||四+力|=|九-資|.

伴-無=L..

因?yàn)閨3?兩式相減，得犬-弁=1,所以TM||77V|=L

仁-詔=。，

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線I的方程為y=Kx-x0)+y0,

M(xi,力),N(X2,72),利用對稱性不妨設(shè)T(x0,yo)在直線x-恁=0上,故州=今(),

(x2—3y2=3,

由、y=fc(x-xo)+yX0，

消去y并化簡，

rl-3k200,

4=4[3(%Q-3)/c2—2V3%Q/C+%Q+3]>0,

所以無+x_04卜6k2)Xq

l-3k2'

(一342+26義-1)就一3

、％1%2=

貝！J|TW|=’1+/2僅0_%]|,

同理|T/V|=，1+女2,0_必|.

所以TM||77V|=(1+S)|沏mllxo-刈

=(1+3)|詔-的(即+冗2)+%1%2|

(一3k2+2回一1)就一3