2025高考數學考二輪專題復習-第二十講-創新定義題型-專項訓練

一：考情分析

命題解讀考向考查統計

1.高考對創新定義的考查，是2024?新高考口卷，

解析幾何創新問題

新高考改革出現的題型，一般11

難度較大。2024年九省聯考

出現了概率的新定義問題，而2024?新高考□卷，

數列新定義

2025年新高考中出現了解析19

幾何、數列的新定義問題。

二：2024高考命題分析

2024年高考新高考□卷11題考查了解析幾何的創新題型，主要是曲線方程的求法

及性質。口卷雖然未考查新定義類型，但是壓軸題將數列與雙曲線相結合，也是一次

獨特的創新。新定義題型的特點是：通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給

出幾個新模型來創設全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎上，依據題目提供

的信息，聯系所學的知識和方法，實現信息的遷移達到靈活解題的目的;遇到新定義問

題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義照章辦事”逐條分

析、驗證、運算，使問題得以解決，難度較難，需重點特訓。預計2025年高考還是主

要考查數列、函數的新定義問題。

三：試題精講

一、多選題

1.（2024新高考口卷T1）造型上可以做成美麗的絲帶，將其看作圖中曲線C的一部分.

已知C過坐標原點。且C上的點滿足橫坐標大于-2,到點F（2,0）的距離與到定直線

x=am<0）的距離之積為4,則（）

B.點(20,0)在C上

c.C在第一象限的點的縱坐標的最大值為1D.當點（%,為）在C上時,

4

-Z

x0+2

二、解答題

2.（2024新高考□卷49）設加為正整數，數列4,出，…,％布是公差不為0的等差數

列，若從中刪去兩項為和后剩余的4根項可被平均分為機組，且每組的4個數

都能構成等差數列，則稱數列％，/，…，6+2是。）-可分數列.

⑴寫出所有的（"），l<i<j<6,使數列%”，…，4是（力）-可分數歹U;

（2）當機23時，證明：數列49,…，4M是（2,13）-可分數列;

（3）從1,2,...,4m+2中一次任取兩個數i和加</）,記數列4”,…,%,“+2是（力）-可分數

列的概率為證明：匕二.

O

知識點總結

一、新定義問題

“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然

后根據此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于

對新定義的透徹理解.但是，透過現象看本質，它們考查的還是基礎數學知識，所以說

“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應萬變才是制勝法寶.

二、新定義問題的方法和技巧

（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉化為具體的簡單的應用，從而加深對信息

的理解；

（2）可用自己的語言轉述新信息所表達的內容，如果能清晰描述，那么說明對此信息

理解的較為透徹；

（3）發現新信息與所學知識的聯系，并從描述中體會信息的本質特征與規律；

（4）如果新信息是課本知識的推廣，則要關注此信息與課本中概念的不同之處，以及

什么情況下可以使用書上的概念.

名校模擬練

一、解答題

1.（2024?北京?三模）給定正整數”22,設數列6M2,…4是12的一個排列,對

ze{1,2,.玉表示以為為首項的遞增子列的最大長度，%表示以為為首項的遞減子

列的最大長度.

⑴若"=4,1=1,a2=4,a3=2,a4=3,求4和為I

22

（2）求證：Vze{l,2,...,n-1},（x;-y,.）+（x;+1-y;+l）0；

⑶求之上-刃的最小值.

1=1

2.（2024?河南?三模）已知數列{%}的前〃項和為S“，若存在常數>0）,使得

4%>S用對任意?eN,都成立，則稱數歹U{%}具有性質尸（㈤.

⑴若數列｛叫為等差數列，且53=-9同=-25,求證：數列｛4｝具有性質次3)；

(2)設數列｛4｝的各項均為正數，且同｝具有性質PW.

□若數列｛4｝是公比為q的等比數列，且2=4,求q的值；

□求義的最小值.

3.(2024?河北保定?三模)在初等數論中，對于大于1的自然數，除了1和它自身外，

不能被其它自然數整除的數叫做素數，對非零整數a和整數6,若存在整數上使得

b=ka,則稱。整除A已知Dq為不同的兩個素數，數列伍“｝是公差為。的等差整數

數列，么為q除%所得的余數，S”為數列｛"｝的前"項和.

(1)若%=1,P=3,4=2,求$2024；

(2)若某素數整除兩個整數的乘積，則該素數至少能整除其中一個整數，證明：數列

｛"｝的前q項中任意兩項均不相同；

(3)證明：S^+l為完全平方數.

4.(2024?海南?二模)設數列A:%,的,%…M"("23,〃eN*),如果/中各項按一定順序

進行一個排列，就得到一個有序數組「3也也，…,勿).若有序數組「他也也，…,6“)

滿足標-用＜血-%](米｛1,2,3,，〃-2｝)恒成立，則稱「:(偽也也，…,￡)為〃階減距數

組；若有序數組「伯也&，…%)滿足以2-%|(m｛1,2,3,，〃-2｝)恒成立,則稱

r：3也也，…抱,)為n階非減距數組.

(1)已知數列A：-L3,2,-3,請直接寫出該數列中的數組成的所有4階減距數組;

(2)設「3也也，…,々)是數列4：1，3,5,...,2〃-1(〃24,〃€4)的一個有序數組，若

「:色也也，…也)為〃階非減距數組，且「：色也，…也t)為n-1階非減距數組，請直接

寫出4個滿足上述條件的有序數組「；

(3)已知等比數列A：。,%，生，(心3)的公比為q,證明：當夕>。時，

「：(41，%,外,為〃階非減距數組.

5.(2024?江西九江?三模)已知數列｛%｝共有〃工22)項，且%wZ,若滿足

|a?+1-a?|<l(l<n<m-1),則稱｛%｝為“約束數列”.記“約束數列”｛〃“｝的所有項的和為

S.,.

(1)當用=5時，寫出所有滿足q=%=1，$5=6的“約束數列”；

(2)當加=2000,q=25時，設『:a2000=2024;q:“約束數歹〃｛??｝為等差數列.請判斷P是

的什么條件，并說明理由；

⑶當4=1,心=。［〈心晟，丘N+］時，求|黑|的最大值.

6.(2024?山東青島?三模)在平面內，若直線/將多邊形分為兩部分，多邊形在/兩側的

頂點到直線/的距離之和相等，則稱/為多邊形的一條“等線”，已知0為坐標原點，雙

22

曲線Ej-2=1("。力>。)的左、右焦點分別為耳耳，￡的離心率為2,點尸為E右支

上一動點，直線加與曲線E相切于點尸，且與E的漸近線交于AB兩點，當軸

時，直線丁=1為△尸內耳的等線.

(1)求E的方程；

⑵若y=是四邊形AFtBF2的等線，求四邊形AF,BF2的面積;

⑶設OG=：OP,點G的軌跡為曲線「，證明:「在點G處的切線”為小耳工的等線

7.(2024?浙江?三模)在平面直角坐標系中，如果將函數y=/(尤)的圖象繞坐標原點逆

時針旋轉必0<會后，所得曲線仍然是某個函數的圖象，則稱“X)為旋轉函

數”.

⑴判斷函數y=Qx是否為吟旋轉函數”，并說明理由；

0

⑵已知函數"X)=In(2x+1)(x>0)是“a旋轉函數"，求tan戊的最大值；

…丫2JT…

⑶若函數g(x)=Mx-l)eX-xlnx-彳是T旋轉函數”，求機的取值范圍.

8.(2024?上海三模)設f>0,函數y=/(x)的定義域為R.若對滿足的任意

占、9,均有/小)-/(三)>?,則稱函數y=/(x)具有“PQ)性質

(1)在下述條件下，分別判斷函數y=/(M是否具有尸⑵性質，并說明理由；

3

□f(x)=—x；□/(x)=10sin2x；

(2)已知/(尤)=改3,且函數y=/(x)具有尸(1)性質，求實數。的取值范圍；

(3)證明："函數y=/(x)-x為增函數”是“對任意”0,函數了=/(尤)均具有尸⑺性質”的

充要條件.

9.(2024?新疆喀什?三模)已知定義域為R的函數滿足：對于任意的xeR,都有

/(x+2兀)=/⑺+〃2兀)，則稱函數〃x)具有性質尸.

⑴判斷函數g")=x,//(x)=sinx是否具有性質尸；(直接寫出結論)

35TT

(2)已知函數〃x)=sin(&x+e)i-<(p<-,|同<5),判斷是否存在。，夕，使函數

〃x)具有性質尸？若存在，求出。，。的值；若不存在，說明理由；

⑶設函數〃x)具有性質P,且在區間［0,2可上的值域為2M.函數

g(x)=sin(/(x)),滿足g(x+2?r)=g(x),且在區間(0,2兀)上有且只有一個零點.求

證：/(2兀)=2兀.

10.(2024?貴州六盤水?三模)若函數在國上有定義，且對于任意不同的

占,々e［a,6］,都有|〃士)-/'(無2)|<上|西-尤,則稱“X)為年,川上的“人類函數”

⑴若〃力=建,判斷是否為判2］上的“4類函數”;

71

⑵若〃x)=gln尤+(°+1)尤+(為［l,e］上的“2類函數”，求實數a的取值范圍；

(3)若“X)為。2］上的“2類函數"且『⑴"⑵，證明:%,馬?1,2］,

!/(%,)-/(%,)|<i.

11.(2024?江西南昌三模)給定數列MJ,若對任意加，〃eN*且〃件〃，4+4是

｛4｝中的項，則稱｛&｝為“〃數列設數列｛g｝的前"項和為

⑴若s.="+”,試判斷數列｛%｝是否為也數列”,并說明理由；

⑵設｛a.｝既是等差數列又是“〃數列”，且4=6,%eN*,%>6,求公差4的所有可

能值；

(3)設｛%｝是等差數列,且對任意“eN*,C是｛%｝中的項,求證：｛七｝是“〃數列”.

12.(2024?黑龍江三模)如果〃項有窮數列｛%｝滿足%=%,%=-，...，%=%，

即。，=%如?=1,2,，叫,則稱有窮數列｛%｝為“對稱數列”.

(1)設數列色｝是項數為7的“對稱數列”，其中仇也也也成等差數列，且么=3,&=5,

依次寫出數列也,｝的每一項；

(2)設數列匕｝是項數為2k-1(丘N*且％22)的“對稱數列”，且滿足除+i-c”|=2,記S.

為數列｛%｝的前"項和.

□若“…,Q構成單調遞增數列，且紇=2023.當％為何值時，邑一取得最大值？

匚若G=2024,且邑i=2024,求上的最小值.

13.(2024?安徽?三模)已知數列｛%｝的前〃項和為S“，若數列｛。“｝滿足：

匚數列｛為｝為有窮數列；

□數列｛?｝為遞增數列；

□\/k>2,左eN*,mp,qeN,，使得%=3+%；

則稱數列｛4｝具有“和性質”.

(1)已知S.=?2+n(l<n<100),求數列｛4｝的通項公式，并判斷數列｛4｝是否具有“和性

質”；(判斷是否具有“和性質”時不必說明理由，直接給出結論)

(2)若首項為1的數列｛%｝具有“和性質”.

qJ_I

(□)比較%與3產的大小關系，并說明理由；

(匚)若數列｛《,｝的末項為36,求S“的最小值.

14.（2024?湖北荊州?三模）對于數列｛%｝,如果存在一個正整數機，使得對任意

都有成立，那么就把這樣的一類數列｛七｝稱作周期為加的周期數

列，，"的最小值稱作數列｛玉｝的最小正周期，簡稱周期.

2,〃=1

⑴判斷數列%=sinmr和％=，3,〃=2是否為周期數列，如果是，寫出該數列

、％T-%.2+L/23

的周期，如果不是，說明理由.

（2）設（1）中數列｛%｝前〃項和為S",試問是否存在。，4,使對任意“eN*,都有

p4（-!）".&<q成立，若存在，求出。，4的取值范圍，若不存在，說明理由.

n

—1,Z?2=a

（3）若數列｛叫和也｝滿足b?=an+l%,且二=媼（心L,eN），是否存在非零常數

b

。，使得｛。,｝是周期數列？若存在，請求出所有滿足條件的常數a；若不存在，請說明

理由.

15.（2024?安徽蕪湖?三模）若數列｛4｝的各項均為正數，且對任意的相鄰三項

“T，%aM,都滿足<a；,則稱該數列為“對數性凸數列”，若對任意的相鄰三項

*%0M,都滿足%+aM<24則稱該數列為“凸數列”.

⑴已知正項數列｛%｝是一個“凸數列"，且為=e。，，（其中e為自然常數，〃eN*）,證

明：數列｛如是一個“對數性凸數列”，且有的。4%%;

⑵若關于x的函數/（尤）=々+4%+叢2+》/有三個零點，其中々>0（i=l,2,3,4）.證明:

數列仿也也也是一個“對數性凸數列”:

(3)設正項數列旬,《，，%是一個“對數性凸數列”，求證:

16.(2024?湖南?二模)直線族是指具有某種共同性質的直線的全體，例如x="+l表示

過點(1,0)的直線，直線的包絡曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點

處的切線，且該曲線上的每一點處的切線都是該直線族中的某條直線.

⑴若圓Ci：尤?+丁=1是直線族mx+ny=1(/72,〃eR)的包絡曲線，求〃5滿足的關系式；

⑵若點P(M，%)不在直線族：Q(2a-4)x+4y+(a-2)2=0(aeR)的任意一條直線上，求

%的取值范圍和直線族。的包絡曲線E;

⑶在(2)的條件下，過曲線E上AB兩點作曲線E的切線44,其交點為尸.已知點

C(0,l),若A,3,C三點不共線，探究/PC4=/PCB是否成立？請說明理由.

17.(2024?江蘇南通?二模)在平面直角坐標系xQy中，已知橢圓八

W+A=l(a>b>。)的離心率為亞，直線/與廣相切，與圓。：/+丁=3片相交于

a'b-3

A,8兩點.當/垂直于x軸時，|A8|=2幾.

(1)求「的方程；

(2)對于給定的點集N,若/中的每個點在N中都存在距離最小的點，且所有最小

距離的最大值存在，則記此最大值為或M,N).

(口)若X,N分別為線段與圓。上任意一點，尸為圓。上一點，當的面積

最大時，求"(MN)；

(匚)若d(M,N),d(N,M)均存在，記兩者中的較大者為"(MN).已知"(X』)，

H(y,z),〃(x,z)均存在，證明："(x,z)+H(y,z)'H(x,y).

18.（2024?新疆烏魯木齊?二模）在平面直角坐標系X8中，重新定義兩點

A&，%），3區％）之間的"距離"為|明=Z-司+1%-%|，我們把到兩定點

耳（-c,O）,月（c,O）（c>0）的“距離”之和為常數2a（a>c）的點的軌跡叫“橢圓”.

⑴求“橢圓”的方程；

（2）根據“橢圓”的方程，研究“橢圓”的范圍、對稱性，并說明理由；

⑶設c=l,a=2,作出“橢圓”的圖形，設此“橢圓”的外接橢圓為C,C的左頂點為A,過

F?作直線交C于M,N兩點，AAW的外心為Q,求證：直線。。與MN的斜率之積為

定值.

19.（2024?江西新余?二模）通過研究，已知對任意平面向量AB=（x,y）,把鉆繞其起點

A沿逆時針方向旋轉。角得到向量AP=（xcos6-ysine,xsine+ycose）,叫做把點B繞點A

逆時針方向旋轉。角得到點P,

⑴已知平面內點川-石,2宕），點8（括，-2宕），把點3繞點/逆時針旋轉3得到點

P,求點尸的坐標：

⑵已知二次方程Y+V一孫=1的圖像是由平面直角坐標系下某標準橢圓

5+/=i（〃>b>o）繞原點o逆時針旋轉:所得的斜橢圓C,

（1）求斜橢圓C的離心率；

（口）過點。作與兩坐標軸都不平行的直線4交斜橢圓c于點〃、N,過原點

V21

。作直線4與直線4垂直，直線4交斜橢圓C于點G、H,判斷阿+誦是否為定

值，若是，請求出定值，若不是，請說明理由.

20.(2024?河南新鄉?二模)定義：若函數〃x)圖象上恰好存在相異的兩點尸，。滿足

曲線y=在尸和Q處的切線重合，則稱尸，Q為曲線y=/(x)的“雙重切點”，直線

PQ為曲線y=/⑺的“雙重切線”.

⑴直線y=2x是否為曲線〃%)=三+工的“雙重切線”，請說明理由；

X

e"—-xW0

(2)已知函數g⑴=彳e'_'求曲線y=g(x)的“雙重切線”的方程；

Inx,x>0,

(3)已知函數/i(x)=sinx,直線尸Q為曲線y=/i(x)的“雙重切線”，記直線尸。的斜率所有

匕15

可能的取值為K，k2,kn,若勺勺。=3,4,5,…,〃)，證明：/<—.

“2凸

21.(2024?上海長寧?二模)設函數y=〃x)的定義域為。，若存在實數左，使得對于任

意xeD,都有則稱函數y=/(x)有上界，實數上的最小值為函數y=/(x)的

上確界；記集合以={/(同y在區間(0,+8)上是嚴格增函數};

2

⑴求函數y=——-(2<x<6)的上確界；

x-1

32

(2)^f(A:)=x—hx+2xlnxeMx,求/z的最大值；

⑶設函數y=/(x)一定義域為(o,+8)；若且y=/(x)有上界，求證:

〃力<0,且存在函數y=/(",它的上確界為0

參考答案與詳細解析

:考情分析

命題解讀考向考查統計

1.高考對創新定義的考查，是2024?新高考口卷，

解析幾何創新問題

新高考改革出現的題型，一般11

難度較大。2024年九省聯考

出現了概率的新定義問題，而2024?新高考口卷，

數列新定義

2025年新高考中出現了解析19

幾何、數列的新定義問題。

二：2024高考命題分析

2024年高考新高考□卷11題考查了解析幾何的創新題型，主要是曲線方程的求法

及性質。口卷雖然未考查新定義類型，但是壓軸題將數列與雙曲線相結合，也是一次

獨特的創新。新定義題型的特點是：通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給

出幾個新模型來創設全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎上，依據題目提供

的信息，聯系所學的知識和方法，實現信息的遷移達到靈活解題的目的;遇到新定義問

題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義照章辦事”逐條分

析、驗證、運算，使問題得以解決，難度較難，需重點特訓。預計2025年高考還是主

要考查數列、函數的新定義問題。

三：試題精講

一、多選題

1.(2024新高考口卷?“)造型上可以做成美麗的絲帶，將其看作圖中曲線C的一部分.

已知C過坐標原點。且C上的點滿足橫坐標大于-2,到點/(2,0)的距離與到定直線

尤=。(0<0)的距離之積為4,則()

A.a=—2B.點(20,0)在C上

c.C在第一象限的點的縱坐標的最大值為1D.當點(%,%)在C上時，

X。+2

【答案】ABD

【分析】根據題設將原點代入曲線方程后可求。，故可判斷A的正誤，結合曲線方程

可判斷B的正誤，利用特例法可判斷C的正誤，將曲線方程化簡后結合不等式的性質

可判斷D的正誤.

【詳解】對于A：設曲線上的動點P(x,y),則x>-2且J(x-2)2+y2x|x-4=4,

因為曲線過坐標原點，故J(O-2)2+。2乂［0一4=4,解得。=-2,故A正確.

X

對于B：又曲線方程為J(-2)2+/x|x+2|=4,而x>—2,

故d(x-2)2+/x(1+2)=4.

當x=2"y=0時，J(2a一2yx僅應+2)=8-4=4,

故（20,0）在曲線上，故B正確.

216/3

對于c由曲線的方程可得y=而廣（）,取

641—641645256-245八

貝ntUIy2=--------9而-------1=—-=------------>0,故此時y2>i,

49449449449x4

故c在第一象限內點的縱坐標的最大值大于1,故c錯誤.

對于D：當點（%,%）在曲線上時，由C的分析可得）=（尤一國一2）2M（尤；2）2，

44

故—7^74為-（;二7，故D正確.

人CI"乙人I乙

故選：ABD.

【點睛】思路點睛：根據曲線方程討論曲線的性質，一般需要將曲線方程變形化簡后

結合不等式的性質等來處理.

二、解答題

2.（2024新高考□卷T9）設加為正整數，數列4,外，…，4M是公差不為0的等差數

列，若從中刪去兩項外和生?<，）后剩余的4"7項可被平均分為，〃組，且每組的4個數

都能構成等差數列，則稱數列49,…ME是。）-可分數列.

⑴寫出所有的（V）,1</<J<6,使數列出,是（V）-可分數列;

⑵當加23時，證明：數列％,4M是（2/3）-可分數列；

（3）從1,2,...,4加+2中一次任取兩個數i和正<J）,記數列％小是（V）-可分數

列的概率為證明：2>[

O

【答案】⑴（1,2）,（1,6）,（5,6）

（2）證明見解析

（3）證明見解析

【分析】（1）直接根據（，,/）-可分數列的定義即可；

（2）根據（〃）-可分數列的定義即可驗證結論；

（3）證明使得原數列是（。）-可分數列的（盯）至少有（加+1）2-機個，再使用概率的定

義.

【詳解】（D首先，我們設數列4,出，…，〃4m+2的公差為d,則dwO.

由于一個數列同時加上一個數或者乘以一個非零數后是等差數列，當且僅當該數列是

等差數列，

故我們可以對該數列進行適當的變形1仕=12…,4m+2）,

得到新數列4=左化=12…,4/九+2）,然后對4,列,…,4M進行相應的討論即可.

換言之，我們可以不妨設劣=左（左=12…,4m+2）,此后的討論均建立在該假設下進行.

回到原題，第1小問相當于從123,4,5,6中取出兩個數i和/?</）,使得剩下四個數是

等差數列.

那么剩下四個數只可能是L2,3,4,或2,3,4,5,^3,4,5,6.

所以所有可能的J）就是（1,2）,（1,6）,（5,6）.

（2）由于從數列L2,…,4相+2中取出2和13后，剩余的4機個數可以分為以下兩個部

分，共機組，使得每組成等差數列：

I（1,4,7,10},{3,6,9,12},{5,8,11,14},共3組；

□{15,16,17,18},{19,20,21,22),...,{4m-l,4m,4m+l,4m+2),共機一3組.

(如果利-3=0,則忽略.)

故數列1,2,…,4利+2是(2,13)-可分數列.

(3)定義集合A={4介+1%=0,1,2,...,;*={1,5,9,13,...,4〃?+1},

B+2|A;=0,1,2,..={2,6,10,14,4m+2}.

下面證明，對14i</44根+2,如果下面兩個命題同時成立，

則數列1,2,...,4m+2一定是(i,力-可分數列：

命題1:ieA,jeB或，A；

命題2：j—i^=3.

我們分兩種情況證明這個結論.

第一種情況：如果，eAjeB,且J-沒3.

此時設，=鈉+1,」=4履+2,匕e{0,1,2,

則由，</可知4%+1<4e+2,即期-%>-；,故%22匕.

此時，由于從數列12…,4根+2中取出；的+1和/=4%+2后，

剩余的4〃?個數可以分為以下三個部分，共機組，使得每組成等差數列：

□{1,2,3,4},{5,6,7,8},{鈉-3,鈉一2,然一1,4匕},共勺組；

□

{4%+2,4匕+3,4匕+4,4匕+5},{4(+6,4K+7,4匕+8,4K+9},…,{4修—2,4k2—1,4k4k?+1}

,共上2-K組；

□

{4左2+3,4左2+4,4&+5,4左2+6},{4左？+7,4k2+8,4左？+9,4質+1。}，…,{4加一1,Arn,4m+1,4機+2}

,共利-七組.

（如果某一部分的組數為0,則忽略之）

故此時數列1，2,...,4加+2是（/,力-可分數列.

第二種情況：如果ieBjeA,且

此時設i=4《+2,j=4k2+l,e{0,1,2,

則由》</可知4勺+2<4%+l,即網-《>：,故h>&.

由于故（4七+1）-（4匕+2）工3,從而右-左產1,這就意味著心-勺22.

此時，由于從數列12…,4機+2中取出，=4尤+2和j=4e+l后，剩余的4m個數可以分

為以下四個部分，共加組，使得每組成等差數列：

□{1,2,3,4},{5,6,7,8},.一{他-3,4?一2,4匕一1,4左},共/組;

]{4左+1,3匕+片+1,2匕+2網+1,1+3k2+1},

{3匕+%+2,2匕+2k2+2,%+3k+2,4左之+2},2.組；

I]全體{4《+°,3匕+&+夕,2匕+2e+p,匕+3七+p},其中p=3,4,左，共k2一k「2

組；

□

{4左2+3,4^+4,4匕+5,4匕+6},{4七+7,4七+8,4e+9,4e+101,[4m-1,4m,4m+1,4m+21

,共m—k]組.

（如果某一部分的組數為0,則忽略之）

這里對口和□進行一下解釋：將口中的每一組作為一個橫排，排成一個包含履-尢-2個

行，4個列的數表以后，4個列分別是下面這些數:

{4匕+3,4匕+4,…,3%]+&}，{3左]+&+3,3《+k,+4,…,2《+2A2},

{2匕+2b+3,2K+2b+3,…，匕+3k。},{匕+3幺+3,々+3k?+4,…,4人2}.

可以看出每列都是連續的若干個整數，它們再取并以后，將取遍

{4匕+1,4匕+2,...,4左2+2}中除開五個集合{4匕+1,4々+2},{3匕+&+1,3尤+七+2},

{2々+2&+1,2匕+2&+2},悵+3&+1,《+3&+2},{4&+1,4&+2}中的十個元素以外

的所有數.

而這十個數中，除開已經去掉的4勺+2和4%+1以外，剩余的八個數恰好就是口中出現

的八個數.

這就說明我們給出的分組方式滿足要求，故此時數列L2,…,4相+2是（1,/）-可分數列.

至此，我們證明了：對加+2,如果前述命題1和命題2同時成立，則數列

1,2,…,4相+2一定是億力-可分數列.

然后我們來考慮這樣的（丐）的個數.

首先，由于AcZ?=0,A和B各有〃2+1個元素，故滿足命題1的億力總共有（加+行

個；

而如果J—=3,假設iwAJwB,則可設『=4左+1,j=4k2+2,代入得

（的+2）-（4匕+1）=3.

但這導致矛盾，所以

設力=4匕+2,j=4后+1,^,^6{0,1,2,貝！|（的+1）-（4勺+2）=3,即右一勺=1.

所以可能的化，切恰好就是（。/），（1，2）,…對應的（盯）分別是

（2,5）,（6,9）,...,（4〃?-2,4帆+1）,總共加個.

所以這（加+1）2個滿足命題1的8/）中，不滿足命題2的恰好有，"個.

這就得到同時滿足命題1和命題2的（仃）的個數為（"7+1）27”.

當我們從1,2,…,4帆+2中一次任取兩個數i和j（i<J）時，總的選取方式的個數等于

①羋M=（2機+1）（4加+1）.

而根據之前的結論，使得數列4，〃2,…，〃4m+2是（旬）-可分數列的（仃）至少有（加+1）2-m

個.

所以數列％,42,…，44利+2是（V）-可分數列的概率pm一定滿足

（m+l）2-mm2+m+lm2+m+^:1.

p2--------------=--------------->------------=----------------——

（2m+l）（4/?z+l）（2，〃+1）（4%+1）（2加+l）（4〃z+2）2（2/n+l）（2m+l）8

這就證明了結論.

知識點總結

一、新定義問題

“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然

后根據此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于

對新定義的透徹理解.但是，透過現象看本質，它們考查的還是基礎數學知識，所以說

“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應萬變才是制勝法寶.

二、新定義問題的方法和技巧

（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉化為具體的簡單的應用，從而加深對信息

的理解；

（2）可用自己的語言轉述新信息所表達的內容，如果能清晰描述，那么說明對此信息

理解的較為透徹；

(3)發現新信息與所學知識的聯系，并從描述中體會信息的本質特征與規律；

(4)如果新信息是課本知識的推廣，則要關注此信息與課本中概念的不同之處，以及

什么情況下可以使用書上的概念.

名校模擬練

一、解答題

1.(2024?北京?三模)給定正整數九22,設數列是L2,的一個排列，對

ze{1,2,為表示以為為首項的遞增子列的最大長度，%表示以為為首項的遞減子

列的最大長度.

(1)若"=4,%=1,%=4,%=2,4=3,求￡］和為;

22

(2)求證：Vze{l,2,...,n-1},(x;-y;)+(x;+1-y;+.)0；

⑶求之上7』的最小值.

Z=1

【答案】(1)%=3,%=2

⑵證明見解析

⑶當"為偶數時，￡上-%|的最小值是g當〃為奇數時，￡上-刃的最小值是一.

z=i2z=i2

【分析】(D直接根據定義求解；

(2)分情況討論證明尤，-X豐xM-yM,故可推知x,-％和xM-yM不能同時為零，進

而得到結論；

(3)對"的奇偶性分情況討論，并利用小問2得到的結果即可.

【詳解】(D以%為首項的最長遞增子列是4,以外為首項的最長遞減子列是

"2，"3"2，"4.

所以%=3,%=2.

(2)對…,〃-1},由于q,a?,…,a,,是1,2,…〃的'個排列，故%豐。升].

若4<4包,則每個以廂為首項的遞增子列都可以在前面加一個生,

得到一個以4為首項的更長的遞增子列，所以%>玉包；

而每個以。，為首項的遞減子列都不包含aM,且a,<aM,

故可將%替換為%,得到一個長度相同的遞減子列，所以Y.

這意味著％->/4-％+1；

若q>《+i,同理有%>%+1，%4%,故%-y<玉+1-%+1.

總之有玉-%*玉+1-,從而玉-R和xM-yM不能同時為零，

故(%-%『+(%+—％+1)2片0.

(3)根據小問2的證明過程知%-%和%+1-》+i不能同時為零，故

|%-刈+卜+1-％+1|21.

情況一：當”為偶數時，設〃=2左，則一方面有

E\xi-y.\=Z(L.i-%tI+L-%I”￡1=左=g；

i=\z=li=\'

另一方面，考慮這樣一個數列卬，電，…，。"：卜一二""I,i=

[a2i=k+i

則對i=l,2,…也有『二;J：,歸;J：L

[x2i=k-i+\[y2i=k-i+l

故此時自占-引=ELT-%.1|=2?=4=S.

i=li=li=l'

結合以上兩方面，知的最小值是g.

i=l2

情況二：當“為奇數時，設〃=2m-1,則一方面有

_n、一|乎一!?_1

X、一引n￡|尤「y|=￡（民,_|-%）+層-￡1=加一1=—；

i=\z=lz=lz=lL

ax=m

另一方面，考慮這樣一個數列q,a2,...,an；<a2i=m+i,i=l,1.

a2i+l=m-i

xi=myx=m

則對，機-有｛，

=1,2,...,1,x2i=m-i<y2i=m-i+l.

x2i+i=m-i

_n坐一!.一!?_1

故此時￡歷-引=￡島-%|=￡1=加-1=1廠.

z=lz=lz=lL

結合以上兩方面，知力歸-％|的最小值是”.

i=i2

綜上，當〃為偶數時，的最小值是M當〃為奇數時，的最小值是

i=l2Z=1

n-1

F，

【點睛】關鍵點點睛：求最小（或最大）值的本質在于，先證明所求的表達式一定不

小于（或不大于）某個數M,再說明該表達式在某種情況下能取到加，就得到了最小

（或最大）值是M,這便是“求最小（或最大）值”的本質.而在這個過程中，“想到

M的具體取值”這個過程并不存在絕對的邏輯性，可以窮盡各種手段，包括直覺、大

膽猜測、高觀點等，去猜出M的值，這些內容也無需在證明過程中呈現.只要證明合乎

邏輯，“如何想到M的取值”無需交代，不影響解答的正確性.換言之，所謂“求”，便

是“猜出結果，再證明結果正確”，與“算出”、“得出”本就是無關的.在高考范圍內，

大多數最小值和最大值問題都能夠直接化為某個顯而易見，容易刻畫的模型，然后“直

接算出“，但不可將此作為萬能法寶，忘記了最小值最大值的原始定義和本質.

2.（2024?河南?三模）已知數列｛4｝的前”項和為S“，若存在常數>0）,使得

>S用對任意“eN,都成立，則稱數歹U｛4｝具有性質P(㈤.

(1)若數列｛%｝為等差數列，且53=-9出=-25,求證：數列｛%｝具有性質產⑶；

(2)設數列｛4｝的各項均為正數，且｛4｝具有性質PW.

匚若數列｛“"｝是公比為4的等比數列，且九=4,求4的值；

匚求2的最小值.

【答案】⑴證明見解析；

(2)口4=2；□%的最小值為4.

【分析】(1)根據給定條件，求出等差數列的公差，進而求出通項公式及前〃項和，

再利用定義判斷即得.

(2)匚根據給定條件，可得也上5…再按4=1,q"探討，當4W1時，

又按0<4<1，4=2,4>1且/2討論得解；□由定義皿心力?，消去

i-q

“用結合基本不等式得滬44紅，再迭代得(:尸〉/借助正項數列建立不等式

求解即可.

【詳解】(1)設等差數列｛4｝的公差為d,由53=-9,怎=-25,得

3%+3d——9,5〃]+10d——25,

解得6=-1,〃=一2,貝1!%=-1+(〃-1)(-2)=-2〃+1,5“=(11+D"=_"2,

于是3an-Sn+1=3(—2"+1)+(〃+=("一2尸20,即3*S?+i,

所以數列｛瑪｝具有性質P(3).

(2)□由數列｛4｝具有性質P(4),得4a“NS向，又等比數列｛%｝的公比為彘

若g=l,則4%2("+l)q,解得〃M3,與“為任意正整數相矛盾；

當4Hl時，,而。“>0,整理得4/一匕?一,

i-q1-q

若0<q<l,貝！)4"一匕￡^,解得〃<l+logg—^,與”為任意正整數相矛盾；

若“1,則0i(q-2)2W1,當q=2時，廣、-2)241恒成立，滿足題意；

當0>1且/2時，”-七日號，解得〃<1+10與a號，與”為任意正整數相矛

盾；

所以4=2.

冊+

由Aan>S〃+1,得21之Sn+2,即之(S〃+i-S〃)之S〃+2,

S4s

因此礙》凋,+122河口，即受『十，

%+14

2ciC

由數列｛4｝各項均為正數，得s“<Sw從而1<(1產,，即(1尸>丈，

若0</<4,則“<1+1嗚支,與〃為任意正整數相矛盾，

4S2

因此當X24時，。廣匕D區恒成立，符合題意，

4s2

所以彳的最小值為4.

【點睛】易錯點睛：等比數列公比q不確定，其前n項和S“直接用公式

S”=叩心處理問題，漏掉對4片1的討論.

1-q

3.(2024?河北保定?三模)在初等數論中，對于大于1的自然數，除了1和它自身外,

不能被其它自然數整除的數叫做素數，對非零整數。和整數6,若存在整數上使得

b=ka,則稱。整除A已知°,q為不同的兩個素數，數列｛““｝是公差為。的等差整數

數列，或為q除。“所得的余數，S”為數列仍“｝的前"項和.

⑴若4=1,。=3,4=2,求$2024；

(2)若某素數整除兩個整數的乘積，則該素數至少能整除其中一個整數，證明：數列

｛勿｝的前q項中任意兩項均不相同；

(3)證明：Sgg+l為完全平方數.

【答案】(1)1012；

(2)證明見解析；

⑶證明見解析.

【分析】(1)求出數列的通項，進而求出也,｝的通項公式，再借助分組求和即得.

(2)利用反證法，結合整除及素數的性質導出矛盾即可得證.

(3)利用(2)的信息，求出邑，再利用或的定義可得我即可求和得證.

【詳解】(D依題意，an=3n-29當n為奇數時，。“為奇數，當n為偶數時，明為

偶數，

-°Lp,[1,“為奇數

而4=2,m因此2%“為偶數，

所以S2024=1012x1+1012x0=1012.

(2)假設存在々=bj9/,ye(l,2,,q},i^j9

依題意，at=kq+bt,%=切+勺，k,leZ,

^ai-aj=(i-j)p=(k-l)q,因此q整除(i-j)p,

因為p,q為不同的素數，故q不整除p,

又因為0N|」/區4-1<4,故q不整除(i-j),

與q整除0-力。矛盾，故假設錯誤，

所以數列{2}的前q項中任意兩項均不相同.

(3)由(2)得么e{0』,2,,q-l},且數列{么}的前q項中任意兩項均不相同，

所以邑=0+1+2+.,+q-1=吟』，

b

設4=%⑼+n(勺eZ),則an+q={kn+p)q+bn,故bn+q=bn,

所以5防+1=8邑+1=4q(q-1)+1=(2^-1)2為完全平方數.

【點睛】方法點睛：應用反證法時必須先否定結論，把結論的反面作為條件，且必須

根據這一條件進行推理，否則，僅否定結論，不從結論的反面出發進行推理，就不是

反證法.所謂矛盾主要指：□與已知條件矛盾；□與假設矛盾；口與定義、公理、定理

矛盾；□與公認的簡單事實矛盾；□自相矛盾.

4.(2024?海南?二模)設數列4:%,外,阻，…，凡("23,〃eN*),如果/中各項按一定順序

進行一個排列，就得到一個有序數組r：色也也，…，2).若有序數組r：色也也，…也)

滿足h-陰<血-Ge{1,2,3,，〃-2})恒成立，則稱r：(4也也，…也)為”階減距數

組；若有序數組「俗也也，…也)滿足|2-4用“-%|(*{1，2,3,，〃-2})恒成立,則稱

r：色也也，…，2)為"階非減距數組.

(1)已知數列4：-1,3,2,-3,請直接寫出該數列中的數組成的所有4階減距數組;

(2)設「3也也，…,々)是數列4：1，3,5,...,2〃-1(〃24,〃€4)的一個有序數組，若

「:色也也，…也)為〃階非減距數組，且「：色也，…也t)為n-1階非減距數組，請直接

寫出4個滿足上述條件的有序數組「；

(3)已知等比數列A：%,%，生，…，。”(心3)的公比為q,證明：當4>0時,

a”)為n階非減距數組.

【答案】⑴[1：(-1,2,3,-3),口:(2,-1,-3,3),r3:(3,-1,-3,2),r4:(-3,2,3-1).

(2)(2H-1,2?z-3,2n-5,,5,3,l),(2n-l,2n-3,2n-5,,5,1,3)

(1,3,5,,2M-5,2n-3,2n-l,),(l,3,5,,2n-5,2〃一1,2〃一3,).

(3)證明見解析.

【分析】(1)根據題中〃階減距數組的定義，寫出4階減距數組，只需要保證有序數

組r：伍也也也)中，肉-4<肉-可和肉-勾-勾恒成立即可,分別令4為數列A

中的每一個值即可得出結果；

(2)根據題干中〃階非減距數組的定義，只需要保證有序數組「屹也也，…抱,)中，

滿足性「引誹「%|(他{1,2,3,,〃-2})和有序數組r：色也也,)中，滿足

|%-4閆%-%|(矣{1,2,3,,〃-3})恒成立即可.

(3)利用分析法進行逐步反向遞推，最后得證.

【詳解】⑴4階減距數組有：ri：(-l,2,3,-3),r2：(2,-1,-3,3),

r3:(3,-1,-3,2),r4:(-3,2,3,-1).

(2)滿足條件的有序數組r：

(2n—l,2n—3,2n—5,,5,3,1),(2n-1,2n—3,2n—5,,5,1,3)

（1,3,5,,2n-5,2n-3,2n-l,）,（l,3,5,,2zz