2024新人教版七年級數學上冊線段與動點角的旋轉專項復習練習題

【例1】（2024七年級?全國?競賽）如圖，4B分別是數軸上的兩點，點C為線段A8上任意一點，點M為47的

中點，點N為8c的中點，若點48表示的數分別為a,b,那么MN=.

AMCNB

a0bx

【變式1-1］（23-24七年級?廣東廣州?期末）點A、B、C在同一條數軸上，其中點A、8表示的數分別為-3、

1,若BC=2,貝IMC等于（）

A.6B.2C.3或5D.2或6

【變式1-2］（23-24七年級?天津和平?期末）已知線段AB=a,CD=b,線段CD在直線4B上運動（4在

B的左側，C在。的左側）.

________II_________

AB

⑴若a、b滿足（a-12）2+（b—6尸=0

①當。點與8點重合時，AC=；

②M、N分別是AC,BD的中點，當BC=4時，求MN的長；

（2）當線段CD運動到。點距離B點一個單位長度時，若有一點P在。點右側且位于線段48的延長線上，

試求PA+PB-PC-PD的值.

【變式1-3］（23-24七年級?福建福州?期末）已知線段42和線段CD在同一直線上，線段AB（A在左，B在

右）的長為。，長度小于48的線段CD（。在左，C在右）在直線A8上移動，M為AC的中點，N為BD的中

點，線段MN的長為6,則線段CD的長為—（用a,6的式子表示）.

【例2】（23-24七年級?廣東佛山?階段練習）如圖，點C、。是線段48上兩點，M、N分別是線段4。、BC的

中點，給出下列結論：①若AD=BM,貝ijAB=3BD；②AC=BD-,貝MM=BN；③4C-BD=2（MC-DN）；

其中正確的有（請填寫序號）

AMCDNB

I_______________________________I_______________I________________I_______I_______________________I

【變式2-1］（23-24七年級?安徽宣城?期末）點A、B、C在同一條數軸上，點A、8表示的數分別是1、-

3,若AB=Z4C,則點C表示的數是（）

A.3或-1B.9或-7C.0或-2D.3或-7

【變式2-2］（23-24七年級?浙江寧波?期末）如圖，48,C為直線I上從左到右的三個點，AB=2BC,動點M、N

分別從力、B兩點同時出發，向右運動，點M的速度是點N的速度的3倍.在運動過程中，若要知道MN的長,

則只要知道下列哪條線段的長，該線段是（）

-------1J1-----------/

ABC

A.AMB.BNC.BMD.CM

【變式2-31（23-24七年級?湖北武漢?期末）已知48=24,DE=10,點C為線段的三等分點（BC>AC）,

點4在點B左側，點。在點E左側.

II____LL1

ADCEB

圖1

?A1

ACB

備用圖1

IA1

ACB

善用圖2

⑴若線段DE在線段48上運動.

①如圖1,當點C為線段DE的中點時，BE=_；（直接寫出結果）

②M為線段4B上一點，且BM=2BE,CE+DM=^AE,求線段CE的長；

（2）若線段OE在射線B力上運動，且2AD+CE=BD,求線段CD的長.

【例3】（23-24七年級?吉林?期末）如圖，點A,B,C在數軸上表示的數分別是一3,3和1.動點尸，Q

兩同時出發，動點尸從點A出發，以每秒6個單位的速度沿A-8玲A往返運動，回到點A停止運動；動點

。從點C出發，以每秒1個單位的速度沿CfB向終點8勻速運動.設點尸的運動時間為f（s）.

（1）當點P到達點B時，求點。所表示的數是多少；

（2）當V0.5時，求線段P。的長；

（3）當點P從點A向點8運動時，線段的長為（用含f的式子表示）；

（4）在整個運動過程中，當尸，。兩點到點C的距離相等時，直接寫出/的值.

-4-^-2-161254*

【變式3-1］（23-24七年級?吉林白山?期末）如圖，直線I上有4B,C三點，AB=8cm.直線I上有兩個動

點、P,Q,點P從點4出發，以|cm/s的速度沿AB方向運動，同時點Q從點B出發，［cm/s的速度沿8c方向運

動，設運動時間為t秒.

APBQC

⑴當t為多少秒時，點B是線段尸。的中點？

（2）運動過程中，當t為多少秒時，點P和點Q重合？

⑶若點P運動至點Q右側，則t為多少秒時，線段PQ與線段2Q的長度相等？

【變式3-2］（23-24七年級?浙江杭州?期中）已知數軸上A,8兩點對應數分別為-2和4,尸為數軸上一動

點，對應數為萬.

AB

-------1-----------------1-------A

-24

⑴若P為線段2B的三等分點，求尸點對應的數.

⑵數軸上是否存在點P,使P點到A點、8點距離之和為10?若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由.

⑶若點A、點2和點P（點尸在原點）同時向左運動，它們的速度分別為1個單位長度/分、2個單位長度/分

和1個單位長度/分，則經過多長時間其中一個點到另外兩個點的距離相等.

【變式3-3］（23-24七年級?吉林長春,階段練習）如圖，已知點4、B在數軸上分別對應-12和15,點。為原

點，點P從點4出發，以每秒2個單位長度的速度向終點B運動，同時點Q從點B出發，以每秒3個單位長度

的速度向終點A運動，設運動的時間為t秒（t>0）.

AB

---------------1--------------------------------1--------------------------------------------1——>

-12。15

⑴線段48的長度為；

（2）動點Q在數軸上表示的數為；（用含t的代數式表示）

⑶當點P、Q兩點之間的距離為3時，求t的值：

⑷當點P,0,Q中一個點到另外兩個點（其中兩個點重合時除外）的距離相等時，直接寫出t的值.

【例4】（23-24七年級?遼寧葫蘆島,期末）2023年6月30日，興城西站正式投入使用，方便了廣大市民的

出行，下圖是從北京站始發，途徑興城西站，開往沈陽南站的。21次列車的部分列車時刻表，請你仔細觀

察，完成下列問題：

站名到時發時停留

1興城西

17:4017:466分

，凌海南

18:1818:202分

i盤錦18:4718:492分

海城西

119:1219:3018分

，鞍山西

19:4219:442分

|遼陽

19:5619:582分

ABCD

1111A

0

⑴興城西站和海城西站之間的車票一共有種；

（2）如圖所示，小明用數軸上的點A,B,C,D分別表示興城西站、凌海南站、海城西站、鞍山西站，其中

原點表示盤錦站，若點A表示的數為-7,點。表示的數為5；

①當點8是線段4。的三等分點（點B離點A較近），點C在線段BD上時，己知求線段的

長度；

②如果將D21次列車看作數軸上的一點P,動點P從A點出發，向x軸正方向勻速運動，若點M是線段0P的

中點，且DM=3,求點尸所表示的數.

【變式4-1］（23-24七年級?河南周口?階段練習）綜合與實踐

已知數軸上A、8兩點所表示的數分別為-3和9.

----------i---------1------------------------------1——?

A0B

圖1

A0~MP-N-B~^

圖2

PMA0~N

圖3

⑴觀察發現：

直接寫出線段力B=.

（2）情境探究：

情境①：當點尸為線段4B的中點時，且/為P4的中點，N為PB的中點，請你借助直尺在圖1中畫出相應

的圖形，并寫出線段MN=；

情境②：當點尸為線段上的一個動點時，如圖2,且M為P4的中點，N為P8的中點，試通過計算判斷

MN的長度是否發生變化？

⑶遷移類比：

當點P為數軸上點A左側的一個動點時，如圖3,且M為P4的中點，N為PB的中點，直接寫出線段MN的

長.

【變式4-2］（23-24七年級?河南南陽?期末）如圖，在數軸上，點4表示的數是-4,點8表示的數是8,P是

數軸上的一動點.

-48

⑴線段力B的長是；

(2)如果點P在線段4B上，點M是線段4P的中點，點N是線段PB的中點.求MN的長；

⑶若點C在點4右側且與點4之間的距離是3,當點P滿足PC=2PB時，請直接寫出在數軸上點P表示的數.

【變式4-3](23-24七年級?福建福州?期末)如圖，線段4B=24,動點P從A出發，以每秒2個單位長

度的速度沿射線4B運動，M為4P的中點.點尸的運動時間為尤秒.

I11J

AMPB

A，

AB

備用圖

⑴若x=5時，求的長；

(2)當尸在線段4B上運動時，2BM-PB是定值嗎？如果是，請求出該定值，如果不是，請說明理由；

⑶當尸在射線力B上運動時，N為8P的中點，求MN的長度.

【例5】(23-24七年級?湖北孝感?期末)如圖，已知點A、B、C是直線/上的三個點，線段AB=8厘米.

(1)若A8=2BC,求線段AC的長度；

(2)若點C是線段的中點，點P、。是直線/上的兩個動點，點尸的速度為1厘米/秒，點。的速度為

2厘米/秒.點P、。分別從點C、8同時出發在直線上運動，則經過多少秒時線段尸。的長為5厘來？

AB1

【變式5-1](23-24七年級?黑龍江佳木斯?期末)如圖，直線/上有A、8兩點，AB=18cm,O是線段AB

上的一點，0A=208.

(1)0A-cm,0B=cm.

(2)若動點P,。分別從點A、B同時出發，向右運動，點P的速度為2cm/s,點。的速度為lcm/s.設運

動時間為fs,當點P與點。重合時，P,。兩點停止運動.當t為何值時，2。尸-O0=3cm?

111

-----A----------------O---------B------/

【變式5-2](23-24七年級?江蘇宿遷?階段練習)如圖1,已知線段2E=48cm,點B、C、D在線段4D上，

且=1:2:1:2.

*￡)I)

BD

圖I1112

(1)BC=.cm,CDcm；

⑵已知動點M從點4出發，以2cm/s的速度沿4—B—C—D-E向點E運動；同時動點N從點E出發，以lcm/s

的速度沿E-。-C-B-4向點4運動，當點M到達點E后立即以原速返回，直到點N到達點4,運動停止;

設運動的時間為t.

①求t為何值，線段MN的長為12cm；

②如圖2,現將線段4E折成一個長方形48CD（點4、E重合），請問：是否存在某一時刻，以點4、B、M、N

為頂點的四邊形面積與以點C、D、M、N為頂點的四邊形面積相等，若存在，求出t的值；若不存在，請說

明理由.

【變式5-3］（23-24七年級?重慶沙坪壩?階段練習）如圖，直線/上有4B兩點，AB=12cm,點。是線段4B上

的一點，。4=20B

OB

{1}OA=.cm,OB=cm；

（2）若點C是線段4B上一點，且滿足4C=C0+CB,求C。的長;

⑶若動點P,Q分別從a,B同時出發，向右運動，點P的速度為2cm/s,點Q的速度為lcm/s.設運動時間為

ts,當點P與點Q重合時，P,Q兩點停止運動.

①當t為何值時，2OP—OQ=4；

②當點P經過點。時，動點M從點。出發，以3cm/s的速度也向右運動.當點M追上點Q后立即返回，以3cm/s

的速度向點P運動，遇到點P后再立即返回，以3cm/s的速度向點Q運動，如此往返，直到點P,Q停止時,

點M也停止運動.在此過程中，點M行駛的總路程是多少？

【例6】（23-24七年級?湖北荊州?期末）如圖1,直線與CD相交于點。，^BOD=50°,OE平分NBOD,

乙EOF=55°,OG^-^-AAOF.

⑴圖中與NBOE互補的角是.

⑵求NDOG的度數;

⑶如圖2,若射線OM從射線OF的位置出發，繞點。以每秒10。的速度逆時針旋轉一周，當旋轉時間為，秒

時，OD,OM,OG三條射線中恰好有一條射線是另外兩條射線所組成的角的平分線，請你直接寫出旋轉時間t

的值.（旋轉過程中NDOM,NGOM,NDOG都只考慮小于180。的角）

【變式6-1］（23-24七年級?福建泉州?期末）如圖,/.AOC=110°,B是射線。4的反向延長線上的一點.現

將射線。4繞點。順時針旋轉至與射線0B重合為止,若射線CM旋轉的速度為每秒10。，旋轉時間為ts,則當

射線。兒射線。B,射線。C分別構成兩個相等的角（重合除外）時，f的值是

【變式6-2］（23-24七年級?浙江紹興■期末）定義:從一個角（小于180。）的頂點出發，在角的內部引兩條

射線，如果這兩條射線所構成的角等于這個角的點那么這兩條射線所構成的角叫做這個角的"三分角".如

圖1所示，若貝是乙4。8的“三分角”.

⑴如圖1,已知乙4。。=70°,乙COB=50°,NCOD是乙40B的"三分角"，求NCOD的度數.

⑵如圖2,已知乙4OB=60。,0。是乙4OB的平分線，射線。C從。4出發，繞點。以3。/秒的速度按順時針方

向旋轉，設旋轉時間為/秒，當NC。。是乙2。8的"三分角”時，求f的值.

【變式6-3］（23-24七年級?河北滄州,期中）如圖1,已知射線。C在〃0B的內部，若乙40B,AAOC^^BOC

三個角中有一個角的度數是另一個角度數的兩倍，則稱射線。C是乙40B的奇妙線.

⑴一個角的平分線這個角的奇妙線；（填"是"或"不是"）

（2）如圖2,乙MPN=60°.

①若射線PQ是NMPN的奇妙線，貝吐QPN的度數為；

②若射線PF從PN位置開始，以每秒旋轉3。的速度繞點P按逆時針方向旋轉，當NFPN首次等于180。時停止

旋轉，設旋轉的時間為t（s）.當t為何值時，射線PM是NFPN的奇妙線？

【例7】（23-24七年級?四川成都?期末）如圖所示，。4。8,。（；是以直線EF上一點。為端點的三條射線，

且乙/。4=20°,UOB=60°,ZBOC=10°.以點。為端點作射線。P,OQ分別與射線。尸,OC重合，射線OP從

OF處開始繞點。逆時針勻速旋轉，轉速為甘/s,射線。Q從0C處開始繞點。順時針勻速旋轉（射線0Q旋轉

至與射線OF重合時停止），兩條射線同時開始旋轉，設旋轉時間為/秒.（旋轉速度=旋轉角度+旋轉時間）

⑴當射線。P平分乙40C時，求射線0P旋轉的時間.

（2）當射線0Q的轉速為4。/印=21s時，求NPOQ的值.

⑶若射線。Q的轉速為3。小，

①當射線0Q和射線0P重合時，求NCOQ的值.

②當NPOQ=70。時，求射線0P旋轉的時間.

【變式7-1］（23-24七年級?湖北武漢?期末）已知：如圖1,^AOB=30°,ZSOC=|zXOC.

（1）求N/10C的度數；

（2汝口圖2,若射線OP在41OC內部，作。M平分N&OP,ON平分乙COP,NMON的度數是多少？

⑶如圖3,若射線OP從。4開始繞點。以每秒旋轉10。的速度逆時針旋轉，同時射線OQ從OB開始繞點。以每

秒旋轉6。的速度逆時針旋轉；其中射線。P到達。C后立即改變運動方向，以相同速度繞點。順時針旋轉，當

射線。Q到達OC時，射線OP,OQ同時停止運動.設旋轉的時間為t秒，當NPOQ=10。，試求t的值。

【變式7-2]（23-24七年級?江蘇無錫?期末）如圖，若N40B=20°,AAOC=90°,乙4OD=120°,射線。B繞

點。以每秒10。逆時針旋轉，射線。C繞點。以每秒5。順時針旋轉，射線。。繞點。每秒15。順時針旋轉，三

條射線同時旋轉，當一條射線與直線04重合時，三條射線同時停止運動，運動一秒時，其中一條射線是

另外兩條射線夾角的角平分線.

【變式7-3]（23-24七年級,浙江寧波,期末）如圖，。是直線4B上一點，射線。C繞點。順時針旋轉，從。4出

發，每秒旋轉10。，射線。。繞點。逆時針旋轉，以相同的速度從。B出發，射線。C與。。同時旋轉，設旋轉的

時間為t秒，當。C旋轉到與。。重合時，OC、。。都停止運動.

?

~B

⑴猜想：Z40C+^AOD=°,并說明理由；

（2）已知射線0E始終平分NB。。，射線OF在NC。。內，且滿足N8。。與NEOF互余.

①當￡=3秒時，乙EOF=°；

②在運動過程中，試探究ABOF與NCOF之間有怎樣的數量關系，并說明理由.

【例8】（23-24七年級?河南信陽?期末）將一副直角三角板按圖1所示擺放在直線AD1.（直角三角板。BC

直角三角板MON,NOBC=90。,NBOC=45。,NM0N=90。,NMN。=30。），保持板OBC不動，將三角板

MON繞點。以每秒：8。的速度順時針方向旋轉t秒.

圖I圖2圖3備用圖

（1）如圖2,當t=秒時，0M平分乙40C；

（2）繼續旋轉三角板MON,如圖3,使得OM、ON同時在直線OC的右側，猜想NNOC與乙4OM有怎樣的數

量關系，并說明理由；（數量關系中不能含O

⑶直線4D的位置不變，在三角板MON開始順時針旋轉的同時，另一個三角板也繞點0以每秒2。的速度順

時針旋轉，當。M旋轉至射線0。上時，兩個三角板停止運動.當f為多少時，/.MOC=10°?

【變式8-1］（23-24七年級?河北石家莊?期末）如圖1,將一副直角三角板擺放在直線4D上（直角三角板OBC

和直角三角板M0N）,乙OBC=LM0N=90°,ABOC=45°,AMNO=30°,保持三角板OBC不動，將三

角板M0N繞點。以每秒10。的速度順時針旋轉（如圖2）,旋轉時間為f（0<t<9）秒.

計算當。M平分N80C時，求f的值；

判斷判斷NM0C與NN。。的數量關系，并說明理由；

操作若在三角板M0N開始旋轉的同時，另一個三角板OBC也繞點。以每秒5。的速度順時針旋轉，當三角板

M0N停止時，三角板OBC也停止，直接寫出在旋轉過程中，NM0C與NNOD的數量關系.

【變式8-2］（23-24七年級?山東煙臺?期中）如圖，將一副三角板放到一起可以擦除怎樣的數學火花呢？福

山區某學校兩個數學興趣小組對一副三角板進行了以下兩種方式的擺放組合.已知一副三角板重合的頂點

記為點。，作射線OE平分0AOC,射線。尸平分aeon,來研究一下45。三角板不動，30。三角板繞重合的頂

點。旋轉時，回￡。下的度數如何變化.

【A組研究】

在同一平面內，將這副三角板的的兩個銳角頂點重合（圖中點。），此時刻。2=45。，回。。。=30。將三角板

OCD繞點、O轉動.

（1）如圖①，當射線。8與OC重合時，貝幗E。尸的度數為；

（2）如圖②，將團C。。繞著點。順時針旋轉，設NBOC=a,SE。尸的度數是否發生變化？如果不變，請

根據圖②求出aEOF的度數；如果變化，請簡單說明理由.

【B組研究】

在同一平面內，將這副直角三角板中的一個直角頂點和一個銳角頂點重合（圖中點。），此時0AOB=9O。,

aCOD=30°,將三角板OCD繞點O轉動.

（3）如圖③，當三角板08擺放在三角板AOB內部時，則的度數為；

（4）如圖④，當三角板0C。轉動到三角板A03外部，設&8。。=夕，SE。尸的度數是否發生變化？如果不

變，請根據圖④求出SEOF的度數；如果變化，請簡單說明理由.

圖④

【變式8-3］（23-24七年級?江西景德鎮,期末）點。在直線力B上，過點。任意作射線0C,將一塊直角三角尺

⑵將三角尺繞點。順時針旋轉，當。E平分NBOC時，如圖2,猜想NAOC與ABOF有何數量關系，寫出它們

的關系等式，并說明理由.

⑶三角尺在旋轉過程中，當。E在NBOC內部，且NBOC=60。時，如圖3,猜想NBOF與NCOE有何數量關系,

并求出它們的等量關系式.

⑷三角尺在旋轉過程中，當0E在射線上時，作。。平分NBOC,0G平分NCOF.求NDOG的度數.

參考答案

【例1】（2024七年級?全國?競賽）如圖，4B分別是數軸上的兩點，點C為線段48上任意一點，點M為AC的

中點，點N為BC的中點，若點4B表示的數分別為a,6,那么MN=.

AiM111C1N1BA

a0bx

【答案】等

【分析】本題主要考查了線段的和差、線段的中點等知識點，明確各線段間的關系是解題的關鍵.

由中點的定義可得：MC^^AC.CN^\BC,再根據數軸上表示的數確定4B,然后再根據線段的和差及等量

代換即可解答.

【詳解】解：回點M為2C的中點，點N為8c的中點，

^\MC=-AC,CN=-BC,

22

團點4B表示的數分別為a,b,

比48=b-a

SMW=MC+CN=-AC+-CB=-（^AC+CB）=-AB=—.

222',22

故答案為：

【變式1-1］（23-24七年級?廣東廣州?期末）點A、B、C在同一條數軸上，其中點48表示的數分別為-3、

1,若BC=2,貝IMC等于（）

A.6B.2C.3或5D.2或6

【答案】D

【分析】此題畫圖時會出現兩種情況，即點C在線段力B上，點C在線段4B的延長線上，再計算即可.

【詳解】解：回點A、B表示的數分別為—3、1,

EL4B=4.

第一種情況：C在線段4B的延長線上，如圖，

0BC=2,

EL4C=4+2=6；

ABC

―I----------1----------A----------1----------1------------1------------i---------1-----------4---------1--1->

-5-4-3-2-1012345

第二種情況：C在線段4B上，如圖，AC=4-2=2.

ACB

—?—?—?—?—1—?—?—?—?—?—?—>

-5-4-3-2-1012345

故選：D.

【點睛】本題考查的是數軸上兩點之間的距離，線段的和差運算，清晰的分類討論是解本題的關鍵.

【變式1-2](23-24七年級?天津和平?期末)已知線段AB=a,CD=b,線段CD在直線上運動(4在

B的左側，。在。的左側).

________II_________

AB

⑴若a、b滿足(a-12)2+(h-6)2=0

①當。點與B點重合時，AC=；

②M、N分別是AC.BD的中點，當8C=4時，求MN的長；

(2)當線段CD運動到。點距離B點一個單位長度時，若有一點P在。點右側且位于線段4B的延長線上，

試求PA+PB-PC-PD的值.

【答案】(1)①4C=6；②MN=9；

(2)8或4

【分析】(1)①本題考查了線段的和差，解題的關鍵是根據平方非負性求出。，6得值；②本題考查了線

段得和差，解題的關鍵是正確畫圖，注意兩種情況；

(2)本題考查了線段的和差，解題的關鍵是正確畫圖，注意兩張情況.

【詳解】(1)解：(a—12尸+(6—6)2=0,

a—12=0,b—6=0,

???a=12,b=6,

①當。點與B點重合時，

???AC=AB-CD=6；

②如下圖1,

-AMBCND

圖1

-A-MC-BND

圖2???M.N分別為線段AC,BD的中點，

AM=^AC=|xQ4B+BC)=|x(12+4)=8,DN=^BD=j(CO+BC)=|X(6+4)=5,

■.MNAD-AM-DN=12+6+4-8-5=9；

如上圖2,???M.N分別為線段AC,B。的中點，

AM=1AC=|X(4B-BC)=|X(12-4)=4,DN=|BD=|(C￡>-BC)=|X(6-4)=1,

???MN=-AM—ON=12+6—4-4-1=9；

（2）如下圖，

______????______[

ACBDP

由題意得：

■：PA=AB+BP=12+BP,PC=CD-BD+BP=6-1+BP=S+BP,PD=BP-BD=BP-1,

PA+PB-PC-PD=12+BP+BP-BP-5-BP+1=8-,

如下圖，

]_______________I______________________I________I_______________I

ACDBP

■■■PA=AB+BP=12+BP,PC=CD+BD+BP=6+1+BP=7+BP,PD=BP+BD=BP+1,

PA+PB-PC-PD12+BP+BP-BP-7-BP-1=4.

【變式1-3]（23-24七年級?福建福州?期末）已知線段4B和線段CD在同一直線上，線段AB（A在左，8在

右）的長為。，長度小于AB的線段CD（。在左，C在右）在直線48上移動，M為4C的中點，N為BD的中

點，線段MN的長為6,則線段CD的長為—（用a,6的式子表示）.

【答案】a-2b/-2b+a

【分析】根據題意畫出圖形，分情況討論，再利用線段和差分別表示線段CD的長度即可.

【詳解】解：回M為4c的中點，N為BD的中點，

11

EIMA=MC=-AC,BN=DN=-BD.

22

團線段4B和線段CD在同一直線上，

線段力B（A在左，3在右）的長為a,

長度小于AB的線段CD（。在左，C在右）在直線上移動，

團分以下5種情況說明：

①當DC在4B左側時，如圖1,

DCMANB

圖1

MN=DN-DM

1

=-BD-{DC+CM}

11

^-BD-DC--AC

22

即2MN=8D-2DC-/C,

2MN=BD-DC-AC-DC,

???2MN=AB-DC,

??.CD=AB-2MN=a-2b；

②當點。與點A重合時，如圖2,

D

1111i

AMCNB

圖2

MN=MC+CN

1

=-AC+(DN-DC)

11

=-AC+-AB-DC

22

即2MN=AC+4B-2DC

2MN=DC+AB-2DC

???2MN=AB-DC,

??.CD=AB-2MN=a-2b；

③當DC在48內部時，如圖3,

~4~DM_CAFB

圖3

MN=MC+CN

1

=-AC+(BC-BN)

11

=-AC--BD+BC

即2MN=AC-BD+2BC

2MN=AC+BC-BD+BC

???2MN=AB-DC,

CD=AB-2MN=a-2b；

④當點。在點5右側時，

同理可得：CD=a—2b；

⑤當DC在右側時，

同理可得：CD=a—2b；

綜上所述：線段CD的長為a-2b.

故答案為：a-26.

【點睛】本題考查線段的和差，根據題意畫出對應情況的圖形是解題的關鍵，注意分類討論思想的運用.

【例2】（23-24七年級?廣東佛山?階段練習）如圖，點C、。是線段4B上兩點，M、N分別是線段4。、BC的

中點，給出下列結論：①若4。=BM,則力B=3BD-,@AC=BD；貝l|2M=BN；（3）AC-BD=2（MC-DN）；

其中正確的有（請填寫序號）

AMCDNB

I_______________________________I_______________1________________I_______I_______________________I

【答案】①②③

【分析】由4D=BM可得4。=MD+BD,再由線段的中點4。=2BD,即可判斷①；可得AC+CD=CD+

BD,再由線段的中點

可判斷②；由"-BD=AD-BC結合線段的中點可判斷③.

【詳解】解：AD=BM,

???AD=MD+BD,

???M是線段4D的中點，

MD=-AD,

2

1

???AD=-AD+BD,

2

AD=2BD,

AD+BD=2BD+BD,

即=3BD,

故①正確；

???AC=BD,

?**AC+CD=CD+BD,

AD=BC,

?；M、N分別是線段4。、BC的中點，

：.AM=-AD,

2

BN=-BC,

2

AM=BN,

故②正確；

■-M,N分別是線段AD、BC的中點，

AD=2MD,

BC=2CN,

■■■AC-BD=AD-BC,

：.AC-BD

=2MD-2CN

=2(MC+CD)-2(DN+CD)

=2(MC-DN),

故③正確；

故答案：①②③.

【點睛】本題考查了線段的中點定義，線段的和差；能根據所求線段或等式用線段和差表示，并由線段中

點進行等量轉換是解題的關鍵.

【變式2-1](23-24七年級?安徽宣城?期末)點A、B、C在同一條數軸上，點A、8表示的數分別是1、-

3,若AB=2AC,則點C表示的數是()

A.3或-1B.9或-7C.0或-2D.3或-7

【答案】A

【分析】由已知可得AB=4,分點C在A左邊和點C在A右邊兩種情況來解答.

【詳解】解:AB=1-(-3)=4,

當C在A左邊時，

0AB=2AC,

0AC=2,

此時點C表示的數為1-2=-1；

當點C在A右邊時，此時點C表示的數為1+2=3,

故選：A.

【點睛】本題考查了數軸及兩點間的距離；本題滲透了分類討論的思想，體現了思維的嚴密性，在今后解

決類似的問題時，要防止漏解.

【變式2-2]（23-24七年級?浙江寧波?期末）如圖，48,C為直線I上從左到右的三個點，4B=2BC,動點N

分別從4B兩點同時出發，向右運動，點M的速度是點N的速度的3倍.在運動過程中，若要知道MN的長,

則只要知道下列哪條線段的長，該線段是（）

A.AMB.BNC.BMD.CM

【答案】D

【分析】本題考查了線段的和差關系，根據題意可設BC=a,BN=b,貝！JAB=2a,AM=3b,可求出MN=

\2a-2b\,BM=\2a-b\,CM=\3a-3b\,進而得出MN=|CM,即可得出答案.

【詳解】解：設BC=a,則AB=2a,

團動點N分別從4、8兩點同時出發，向右運動，點M的速度是點N的速度的3倍，

EL4M=3BN,

設BN=b,貝ijAM=3b,

BMN=\AB+BN-AM\=\2a+b-3b\=\2a-2b\,BM=\2a-b\

CM=\AB+BC-AM\=|3a-3b\,

2

SMN=-CM,

3

故選：D.

【變式2-3]（23-24七年級?湖北武漢?期末）已知48=24,DE=10,點C為線段4B的三等分點（BC>AC）,

點4在點B左側，點。在點E左側.

ADCEB

圖1

ACB

備用圖1

i

著用圖2

⑴若線段DE在線段4B上運動.

①如圖1,當點C為線段DE的中點時，BE=_；（直接寫出結果）

②M為線段48上一點，且BM=2BE,CE+DM^^AE,求線段CE的長;

（2）若線段DE在射線B力上運動，且24。+CE=BD,求線段CD的長.

【答案】（D①11;②線段CE的長為4或g；

(2)線段CD的長為|或21.

【分析】(1)①利用三等分點的定義求出AC、BC,利用中點定義求出CE,再根據線段的和差關系即可求

出BE；②分當點。、M在點C的右側和點D在點C的右側，點M在點C的左側兩種情況，畫出圖形解答即可求

解；

(2)分當線段DE在線段4B上、點。在B4的延長線上，點E在線段4B上和線段DE在線段B4的延長線上三種

情況畫出圖形解答即可求解；

本題考查了中點定義，三等分點定義，線段的和差，一元一次方程的應用，根據題意，畫出圖形，運用分

類討論思想進行解答是解題的關鍵.

【詳解】(1)解:①如圖1,回點C為線段力B的三等分點(BC>AC),

1122

團4c=-AB=-x24=8,BC=-AB=-x24=16,

3333

回點C為線段DE的中點，

^\CE=-DE=-xlO=5,

22

回

BE=BC-CE=16-5=llf

故答案為：11；

②如圖，當點。、M在點C的右側時，

ACDMEB

設BE=%,貝ijBE=ME=%,BM=2%,CE=16-x,DM=10-%,AE=24-x,

^\CE+DM=-AE,

2

i

團16—x+10—x=-(24—x),

解得X=g，

團BE=—,

3

^\CE=BC-BE=16--=—；

33

如圖，當點。在點C的右側，點M在點C的左側時，

4CW)~CDEB

設BE=x,貝lj8E=ME=;c,BM=2x,CE=16-x,DMx-10,4E=24—尤,

^iCE+DM=-AE,

2

i

團16—x+x-10=-(24—%),

解得％=12,

團BE=12,

團CE=BC-BE=16-12=4；

回線段CE的長為4或g；

(2)解：如圖，當線段DE在線段4B上時，

Ill11

ADCEB

設貝l|CD=8—x,BD=24—K,

0C￡=10-(8-x)=2+x,

^2AD+CE=BD,

02x+2+x—24—x,

解得x=y，

BCD=8—％=8—?=三；

22

如圖，當點D在BA的延長線上，點E在線段上時，

A」1」■!

DAECB

設4。=%,則CD=8+%,BD=24+%,

團CE=8+x-lO=x-2,

團2ZD+CE=BD,

02%+x—2=24+x,

解得x=13>10,不合，舍去；

如圖，當線段DE在線段B4的延長線上時，

!■II.4J

DEACB

設AE=x,貝ijAD=10+%,BD=10+%+24=34+%,CE=8+x,

必1。+CE=BD,

回2(10+%)+8+%=34+%,

解得％=3,

團CD=10+3+8=21；

綜上，線段CD的長為|或21.

【例3】(23-24七年級?吉林?期末)如圖，點A,B,C在數軸上表示的數分別是一3,3和1.動點P,Q

兩同時出發，動點尸從點A出發，以每秒6個單位的速度沿A玲2玲A往返運動，回到點A停止運動；動點

。從點C出發，以每秒1個單位的速度沿C玲8向終點8勻速運動.設點尸的運動時間為f(s).

(1)當點P到達點8時，求點。所表示的數是多少；

(2)當V0.5時，求線段尸。的長；

(3)當點P從點A向點8運動時，線段尸。的長為(用含f的式子表示)；

(4)在整個運動過程中，當尸，。兩點到點C的距離相等時，直接寫出t的值.

ACB

-4-^-2-16I254*

【答案】(1)2；(2)1.5;(3)4-5t或5t-4；(4)：或g或或|

【分析】。)先計算出點尸到達點8時運動的時間，再計算出點。相同時間內運動的路程，進而可得答案;

(2)利用路程=速度x時間，分別計算出當f=0.5時點P、0運動的路程，即AP和C。的長，再根據

一AP計算即可；

(3)分點P、Q重合前與重合后兩種情況，畫出圖形，根據PQ=AQ-AP(重合前)與尸。=AP—AQ(重合

后)列式化簡即可；

(4)分點P從點A向點8運動和點尸從點8向點A運動時兩種情況，每種情況再分點P、。在點C異側和

點C同側，用含/的代數式分別表示出CP和CQ,即可列出方程，解方程即可求出結果.

【詳解】解：(1)[3—(—3)]+6=1,1x1+1=2,所以點Q所表示的數是2；

(2)當片0.5時，4P=6x0.5=3,C2=lx0.5=0.5,所以尸Q=AQ—4P=AC+CQ—AP=4+0.5—3=L5；

(3)在點P從點A向點8運動時，若點尸、。重合，則6t=t+4,解得：t=g；

當OWtW：時，如圖1,PQ=2Q-4P=4+t—6t=4—5。

APCQ?

-4-3-2-10I234

圖1

當g<tW1時，如圖2,PQ=AP-AC-CQ=6t-4-t=5t-4.

dWQr?

-A-3-2-101234

圖2

故答案為：4—