第04講正弦定理和余弦定理(分層精練）A夯實基礎B能力提升C綜合素養（新定義解答題）A夯實基礎一、單選題1．（22-23高一下·江蘇連云港·期中）在中，，，，則角B的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據正弦定理即可求解.【詳解】在中，，，，由正定理得：，由于，所以故選：A2．（23-24高一下·甘肅金昌·階段練習）在中，角的對邊分別為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據余弦定理求出答案.【詳解】由余弦定理得，因為，所以.故選：C.3．（19-20高一下·四川·期末）已知在△ABC中，角A，B所對的邊分別是a和b，若acosB＝bcosA，則△ABC一定是（）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】利用正弦定理邊角互化，再結合兩角差的正弦公式即可得解.【詳解】由正弦定理得，acosB＝bcosA?sinAcosB＝sinBcosA?sin(A－B)＝0，由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC為等腰三角形．故選：A.4．（23-24高一下·湖北武漢·階段練習）在中，其中三個內角分別為A，B，C，并且所對的邊分別為a，b，c，其中，則（

）A．2∶3∶4 B．4∶9∶16 C．4∶3∶2 D．16∶9∶4【答案】A【分析】運用正弦定理邊化角即可.【詳解】由正弦定理得，，，（為三角形外接圓半徑），所以，又，所以.故選：A.5．（23-24高一下·重慶榮昌·階段練習）在中，，，且的面積為，則的周長為（

）A．15 B．12 C．16 D．20【答案】A【分析】由面積公式求出，由余弦定理求出，即可得解.【詳解】因為，，且的面積為，所以，解得，由余弦定理，所以，則.故選：A6．（2024·陜西渭南·模擬預測）我國南宋時期杰出的數學家秦九韶在《數書九章》中提出了“三斜求積術”，其內容為：“以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實；一為從隅，開平方得積.”把以上文字寫成公式，即（其中S為面積，a，b，c為的三個內角A，B，C所對的邊）.若，且，則利用“三斜求積”公式可得的面積（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題意利用正、余弦定理求，代入題中公式運算求解.【詳解】因為，由余弦定理可得，解得，又因為，由正弦定理可得，且，即，解得，所以.故選：B.7．（23-24高一下·廣東珠海·階段練習）在銳角中，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用基本不等式與余弦定理求得，再由條件與銳角三角形角的特征進一步縮小的取值范圍，得到，從而得解.【詳解】由得，在中，由余弦定理，得，當且僅當，即時，等號成立，則；當時，不妨設，則，，所以，即，所以，因為銳角中，，則，故，而，則，所以；綜上，.故選：B．8．（2024·全國·模擬預測）在中，分別是角所對的邊，的平分線交于點，，則的最小值為（

）A．16 B．32 C．64 D．128【答案】B【分析】由題中等式以及正弦定理進行角化邊運算可得邊的關系，由余弦定理可求出，結合角平分線由三角形面積公式建立等量關系，結合均值不等式可得出最小值.【詳解】由及正弦定理知，，．在中，由余弦定理知，，，．，，即，得，，當且僅當且，即時，等號成立，.故選：B二、多選題9．（23-24高一下·廣東珠海·階段練習）已知中，，．下列說法中正確的是（

）A．若是銳角三角形，則B．若是鈍角三角形，則C．若是直角三角形，則D．的最大值是【答案】AD【分析】利用正弦定理判斷A、C、D，當為鈍角時即可判斷B.【詳解】對于A：由正弦定理可得，由于是銳角三角形，所以且，故，故，進而，故A正確；對于B：若為鈍角，則，故，故B錯誤；對于C：若為直角，則，由正弦定理，則，故C錯誤；對于D：，由于，所以當時，取最大值，且，故D正確，故選：AD10．（23-24高一下·山東濱州·階段練習）在中，由以下各條件分別能得出為等邊三角形的有（

）A．已知且B．已知且C．已知且D．已知且，【答案】ACD【分析】利用正弦定理、余弦定理，結合正弦函數的倍角公式與性質，逐一分析判斷三角形的形狀，從而得解.【詳解】對于A，因為，所以，由余弦定理得，，又，所以，所以，所以，所以，則為等邊三角形，故A正確；對于B，因為，，所以或，當時，，所以，此時為等邊三角形；當時，，此時為等腰三角形，故B錯誤；對于C，因為且，所以,則，即，又，所以，則為等邊三角形，故C正確；對于D，因為，由正弦定理得，即，所以，又是的內角，所以或，所以或，因為，由正弦定理得，則，當時，，所以，此時為等邊三角形；當時，，所以，不滿足題意；綜上，為等邊三角形，故D正確.故選：ACD.三、填空題11．（23-24高一下·福建廈門·階段練習）在中，內角對應的邊分別為，已知．則角；若，則的值為【答案】//【分析】利用正弦定理計算可得第一空，利用余弦定理可得第二空.【詳解】（1）在中，由正弦定理得，因為，所以，所以，又因為，所以．（2）在中，由余弦定理得，代入數據解得，所以．故答案為：；.12．（23-24高一下·上海閔行·階段練習）在銳角中，若，且，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據給定條件，求出銳角，利用正余弦定理求出，再利用正弦定理結合三角恒等變換及正弦函數性質求解即得.【詳解】由，得，而是銳角，則，由余弦定理得，由正弦定理及，得，即，因此，在銳角中，，令，，由正弦定理得，因此，由，得，則，所以的取值范圍是.故答案為：【點睛】思路點睛：涉及求三角形周長范圍問題，時常利用三角形正弦定理，轉化為關于某個角的函數，再借助三角函數的性質求解.四、解答題13．（23-24高一下·河北滄州·階段練習）在中，已知，為上一點，，且.(1)求的值；(2)求的面積.【答案】(1)2；(2).【分析】（1）中，由正弦定理得，在中，，可求的值；（2）中，由余弦定理解得，勾股定理求出，由求的面積.【詳解】（1），，則，在中，，所以.在中，，，所以.故.（2）在中，由余弦定理可得，即，解得，，則.故的面積為.14．（23-24高一下·福建廈門·階段練習）在中，內角所對的邊分別為，向量，且．(1)求角的大小；(2)若，①求面積的最大值；②求的取值范圍．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）根據即可得出，進行數量積的坐標運算即可得出，由正弦定理即可得出，根據余弦定理即可求出，從而求得；（2）①首先得，進一步由余弦定理以及基本不等式得的最大值即可求解；②根據即可求出的外接圓直徑為2，根據正弦定理即可得出，而，從而得出，從而求出的范圍，即得出的范圍．【詳解】（1）；；由正弦定理得，；；，且；；（2）①，根據余弦定理得：，即，，，當且僅當時，等號成立，所以，即面積的最大值為，②；外接圓直徑；半徑，，；；，的取值范圍是．B能力提升1．（23-24高一下·重慶渝中·階段練習）在中，角的對邊分別為，若，又的面積，且，則（

）A．64 B．84 C．-69 D．-89【答案】C【分析】利用正弦定理邊化角，結合兩角和差正弦公式整理可求得關系，再由三角形面積公式和余弦定理求得三邊，再由數量積運算得到結果【詳解】解法一：由，得，則，即，即，又，即；又，得；綜上．則，即．由，平方知所以.解法二：.故選：．2．（23-24高一下·福建廈門·階段練習）已知的三個角的對邊分別為，且是邊上的動點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用余弦定理計算先得，確定為直角三角形，再利用平面向量數量積公式結合二次函數的性質計算即可.【詳解】由余弦定理可知，所以，即為直角三角形，.設，則，則，顯然時，.故選：D3．（23-24高一下·湖南株洲·階段練習）在中，為線段上的動點，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知條件求得，再求得，可得到，用基本不等式求的最小值.【詳解】設，因為，所以，①因為，且，所以，由正弦定理可得，②又，所以，③由①，②，③解得，由余弦定理，所以，，因為點三點共線，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立.故選：C4．（2024高三·江蘇·專題練習）在中，內角，，所對的邊分別為，，，已知，則=；若，則面積的最大值為．【答案】【分析】先由正弦定理化邊為角整理得到，兩邊平方即得的值；再利用同角的三角函數基本關系式求得的值，利用余弦定理和基本不等式求得的最大值，從而得到面積的最大值.【詳解】因為，由正弦定理得，因為，則有，所以，得，即，故；因，，故，可得，由，解得，得，由余弦定理得，，所以，由，當且僅當時等號成立，可得，，即面積的最大值為.故答案為：

；.5．（2024·河北滄州·一模）已知在四邊形中，為銳角三角形，對角線與相交于點，．(1)求；(2)求四邊形面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理解出邊長即可，注意判斷為銳角三角形；（2）作垂直于，表示出四邊形的面積等于兩三角形面積和，再由正弦函數的最值求出面積的最大值.【詳解】（1）由余弦定理可得，化簡為，解得或，當時，因為，與為銳角三角形不符合，故.（2）作垂直于，設，則，當，四邊形面積最大，最大面積為.C綜合素養（新定義解答題）1．（22-23高一下·重慶沙坪壩·期中）在中，對應的邊分別為，(1)求；(2)奧古斯丁.路易斯.柯西（AugustinLouisCauchy，1789年-1857年），法國著名數學家.柯西在數學領域有非常高的造詣.很多數學的定理和公式都以他的名字來命名，如柯西不等式?柯西積分公式.其中柯西不等式在解決不等式證明的有關問題中有著廣泛的應用.現在，在（1）的條件下，若是內一點，過作垂線，垂足分別為，借助于三維分式型柯西不等式：當且僅當時等號成立.求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）先用正弦定理角化邊，然后結合余弦定理可以解出.（2）將構造出符合三維分式型柯西不等式左邊的形式，