2024-2025學年陜西省西安市九年級上期末數學試卷

一、選擇題（共8小題，每小題3分，計24分。每小題只有一個選項是符合題意的。）

1.（3分）下列是一元二次方程的是（）

9912

A.2x+l=0B.jr+x=lC.x2+2x+3=0D.—+%=1

x

2.（3分）如圖所示的幾何體的左視圖是（）

主視方向

3.（3分）下列說法正確的是（）

A.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

B.兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形

C.兩條對角線相等的四邊形是矩形

D.兩條對角線垂直且相等的四邊形是正方形

4.（3分）在中，ZC=90°,BC=3,AC=4,那么cosB的值等于（）

3443

A.-B."C.一D.T

4355

5.（3分）已知點（2,-6）在反比例函數y=5的圖象上，則下列各點一定在該函數圖象上的是（）

A.（2,6）B.（-6,-2）C.（3,4）D.（3,-4）

6.（3分）如圖，在矩形/BCD中，AB=4,8c=6,點E為8c的中點，將沿/￡折疊，使點8落

7.（3分）如圖，OA,是。。的半徑，點C在劣弧而上，連接/瓦AC,BC.若//。8=120°,Z

第1頁（共21頁）

BAC=21°,則//8C的度數是()

C.37°D.35°

8.（3分）已知一個二次函數y=ax2+bx+c的自變量x與函數y的幾組對應值如表,

X-4-2035

y-24-80-3-15

則下列關于這個二次函數的結論正確的是（）

A.圖象的開口向上

B.當x>0時，>的值隨x的值增大而增大

C.方程一+63+。=0的一個解x的取值范圍是-1<x<1

D.圖象的對稱軸是直線x=0

二、填空題（共5小題，每小題3分，計15分）

9.（3分）已知一元二次方程x2-3x+%=0的一個根為1,則另一個根為.

10.（3分）若二次函數y=（左-2），+2x+l的圖象與x軸有交點，則左的取值范圍是.

11.（3分）已知兩個相似三角形的周長之比是2：3,面積之差是50,那么這兩個三角形中較小三角形的

面積是.

12.（3分）已知反比例函數的圖象在第二象限的一支上有一點/G,?）,過/分別向x軸，y軸作垂線段,

與x軸，y軸圍成的矩形面積為12,則當-6Vx<-3時，y的取值范圍是.

13.（3分）如圖，在△NBC中，48=/C=10,BC=12,若點。、￡分別是AB、3c邊上的兩個動點，連

接/￡、DE,S.cos^AED=j,則/D的最小值為.

三、解答題（共11小題，計81分.解答題應寫出過程）

14.（5分）計算：3tan30°+tan45°+2sin30°.

第2頁（共21頁）

15.(10分)解方程:

(1)2G-3)=3x(x-3).

(2)2/+3x-5=0.

16.(5分)小明同學在做一道題時需要找出已知弧線所在圓的圓心，他在弧上描出了三個點N,B,C,并

連接了48和8C,請你用尺規作圖法，幫小明繼續完成，找出弧所在圓的圓心。.(保留作圖痕跡，不

寫作法)

17.(5分)如圖，在四邊形/BCD中，AB//DC,AB=AD,對角線/C,8。交于點。，/C平分

過點C作交43的延長線于點E,連接OE.

(1)求證：四邊形/8CO是菱形.

(2)若N2=5,BD=6,求OE的長.

18.(5分)作圖題：如圖，已知。是坐標原點，B、C兩點的坐標分別為(3,-1)、(2,1).

(1)以。點為位似中心在y軸的左側將△03C放大到兩倍(即新圖與原圖的相似比為2,畫出圖形;

(2)分別寫出8、C兩點的對應點夕、C'的坐標.

19.(7分)如圖，在坡頂工處的同一水平面上有一座古塔3C,數學興趣小組的同學在斜坡底P處測得該

塔的塔頂3的仰角為45。，然后他們沿著坡度為i=l：2.4的斜坡/尸攀行了26米到達點/,在坡頂N

處又測得該塔的塔頂B的仰角為76°.

(1)求坡頂A到地面PQ的距離；

(2)計算古塔的高度(結果精確到1米).(參考數據：sin76°仁0.97,cos76°?0.24,tan76°弋4)

第3頁(共21頁)

20.（7分）2024年巴黎奧運會順利閉幕，吉祥物“弗里熱”深受奧運迷的喜愛.一商場以20元每個的進

價購進一批“弗里熱”紀念品，以30元每個的價格售出，每周可以賣出200個.經過市場調查發現，

價格每漲1元，每周就少賣5個.

（1）若商場計劃一周的利潤達到3000元，且要以更優惠的價格讓利給消費者，銷售價應定為多少元？

（2）商場改變銷售策略，在不改變（1）的銷售價格的基礎上，銷售量穩步上漲，兩周后銷售量達到了

每周216個，求這兩周的平均增長率.

21.（7分）在諾貝爾獎歷史上，諾貝爾物理學獎是華人獲獎最多的領域，共有6位華人科學家獲獎，分別

是楊振寧、李政道、丁肇中、朱棣文、崔琦、高餛.小軒家剛好有《楊振寧傳》《李政道傳》《丁肇中傳》

《高鍋傳》四本傳記書，小軒閱讀完后任選一本寫讀后感.

（1）小軒選到《朱棣文傳》是事件.（填“隨機”“必然”或“不可能”）

（2）小軒的妹妹也從這四本傳記書中任選一本寫讀后感，請用列表或畫樹狀圖的方法，求他們恰好選

到同一本書寫讀后感的概率.

22.（8分）已知：如圖，N3是。。的直徑，CD是的弦，且垂足為￡.

（1）求證：NCDB=NA；

（2）若4D8C=120°，。。的直徑/8=8,求3C、C￡>的長.

23.（10分）擲實心球是高中階段學校招生體育考試的選考項目.實心球行進路線是一條拋物線，如圖是

一名男生投實心球時，實心球行進高度?（加）與水平距離x（%）之間的函數關系圖象，擲出時起點處

高度為六根，當水平距離為4加時，實心球行進至最高點3加處.

（1）求y關于x的函數表達式；

第4頁（共21頁）

（2）根據高中階段學校招生體育考試男生評分標準，投擲過程中，實心球從起點到落地點的水平距離

大于等于9.60加時，得分為滿分.請計算說明該男生在此項考試中是否得滿分.

24.（12分）（1）如圖1,在扇形N08中，點。為扇形所在圓的圓心，AO=273,/4。8=120°,點C

是砂上一點，則AABC面積的最大值為；

（2）如圖2,在四邊形N3C〃中，AB=AD,/BAD=/BCD=90°,連接NC.若/C=6,求四邊形

ABCD的面積；

（3）如圖3,菱形/BCD是一個廣場示意圖，其中菱形邊長48為120米，ZA=60°,市政部門準備

在這塊菱形廣場中修建一個四邊形景觀區。班H這塊四邊形區域需要滿足凡NEBF=6Q。，

ZEDF=15a,則這塊四邊形區域尸的面積是否存在最小值？若存在，請計算出面積的最小值及此

時線段3尸的長，若不存在，請說明理由.（結果保留根號）

圖1

第5頁（共21頁）

2024-2025學年陜西省西安市九年級上期末數學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（共8小題，每小題3分，計24分。每小題只有一個選項是符合題意的。）

1.（3分）下列是一元二次方程的是（）

9o12

A.2x+l=0B.）r+x=lC.x2+2x+3=0D.—+%=1

x

【解答】解：/、2x+l=0是一元一次方程，不符合題意；

3、f+x=i含有2個未知數，不符合題意；

C、x2+2x+3=l是一元二次方程，符合題意；

1

D、-+，=1不是整式方程，不符合題意，

x

故選：C.

【解答】解：根據簡單組合體的三視圖的畫法可知，其左視圖是中間有一道橫虛線的長方形,

因此選項D的圖形比較符合題意，

故選：D.

3.（3分）下列說法正確的是（）

A.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

B.兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形

C.兩條對角線相等的四邊形是矩形

D.兩條對角線垂直且相等的四邊形是正方形

【解答】解：/、兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，故選項N符合題意;

B,兩條對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故選項8不符合題意；

C、對角線相等的平行四邊形是矩形，故選項C不符合題意；

D,兩條對角線垂直平分且相等的四邊形是正方形，故選項。不符合題意；

第6頁（共21頁）

故選：A.

4.（3分）在中，ZC=90°,BC=3,4C=4,那么cos5的值等于（）

3443

A.-B.-C.~D.~

4355

【解答】解：如圖所示：?.,在RtZ\48C中，ZC=90°,BC=3,AC=4,

：.AB=5,

.RBC3

.,COSB=-=-

故選：D.

5.(3分)已知點(2,-6)在反比例函數y=9的圖象上，則下列各點一定在該函數圖象上的是()

A.(2,6)B.(-6,-2)C.(3,4)D.(3,-4)

【解答】解：:?點(2,-6)在反比例函數y=《的圖象上，

：.k=2X(-6)=-12,

/、?；2><6=12W-12,.?.此點不在反比例函數的圖象上，故本選項錯誤；

,：-6X(-2)=12W-12,...此點不在反比例函數的圖象上，故本選項錯誤；

C、3X4=12r-12,此點不在反比例函數的圖象上，故本選項錯誤；

D、3X(-4)=-12,...此點在反比例函數的圖象上，故本選項正確.

故選：D.

6.(3分)如圖，在矩形/BCD中，AB=A,8c=6,點E為8C的中點，將沿/￡折疊，使點8落

9

D'?

【解答】解：連接3月,

第7頁(共21頁)

?.?BC=6,點￡為3C的中點，

:.BE=3,

又：AB=4,

7AB2+BE?=5,

由折疊知，BFLAE（對應點的連線必垂直于對稱軸），

：.BFXAE=2ABXBE,

,94

貝UBF=卓，

?；FE=BE=EC,

：.ZBFC=90°,

??。=心一（9）2=學.

故選：A.

7.（3分）如圖，0A,02是OO的半徑，點C在劣弧而上，連接ZB,AC,BC.若N/O2=120°,Z

BAC=2V,則//8C的度數是（）

【解答】解：在優弧上取一點。，連接ND,DB.

第8頁（共21頁）

VZADB+ZACB=180°,

ZACB=120°,

AZ^5C=180°-ZACB-ZCAB=\S0°-120°-21°=39

故選：B.

8.（3分）已知一個二次函數y=ax2+bx+c的自變量％與函數》的幾組對應值如表,

X-4-2035

y-24-80-3-15

則下列關于這個二次函數的結論正確的是（）

A.圖象的開口向上

B.當%>0時，歹的值隨工的值增大而增大

C.方程ax2+bx+c=0的一個解工的取值范圍是-1<%<1

D.圖象的對稱軸是直線x=0

'4a—2b+c=—8

【解答】解：由題知，jc=0，

、9。+3b+c=-3

（a=—1

解得卜=2,

L=o

所以二次函數的解析式為了=-/+2x.

因為a=-1<0,

所以拋物線的開口向下.

故/選項不符合題意.

因為>=-/+2]=-（X-1）2+1,

所以當X>1時，>隨工的增大而減小.

故B選項不符合題意.

令y=0得，

-X2+2X=0,

解得xi=0,12=2,

所以拋物線與工軸的交點坐標為（0,0）和（2,0）.

所以方程Q/+6X+C=O的一個解工的取值范圍是-IVxVl.

故。選項符合題意.

第9頁（共21頁）

因為二次函數解析式為>=-（X-1）2+1,

所以拋物線的對稱軸為直線X=1.

故D選項不符合題意.

故選：C.

二、填空題（共5小題，每小題3分，計15分）

9.（3分）已知一元二次方程x2-3x+%=0的一個根為1,則另一個根為2.

【解答】解：已知一元二次方程--3x+m=0,

，a=l,b=-3,

.,b_-3_

??%]+%2——~==Q3，

Vxi=l,

?'?X2=3-xi=3-1=2,

即方程的另一個根為2.

故答案為：2.

10.（3分）若二次函數y=（八2）f+2x+l的圖象與x軸有交點，則一的取值范圍是左W3且左W2.

【解答】解：：二次函數夕=（左-2）x?+2x+l的圖象與x軸有交點，

一元二次方程（八2）f+2x+l=0有解，

.戶一2力0

??（△=22-4（fc-2）=12-4fc>0'

解得：收3且片2.

故答案為：左W3且后W2.

11.（3分）已知兩個相似三角形的周長之比是2：3,面積之差是50,那么這兩個三角形中較小三角形的

面積是40

【解答】解：?兩個相似三角形的周長之比是2：3,

...兩個相似三角形的面積之比是4：9,

設較小三角形的面積是4x,則較大三角形的面積是9x,

根據題意得：9x-4x=50,

解得：x=10,

：.4x=40,

即較小三角形的面積是40.

故答案為：40.

第10頁（共21頁）

12.（3分）已知反比例函數的圖象在第二象限的一支上有一點/（x,了），過N分別向x軸，y軸作垂線段,

與x軸，y軸圍成的矩形面積為12,貝1|當-64V-3時，”的取值范圍是2<v<4.

【解答】解：???反比例函數的圖象在第二象限的一支上有一點N（x,>）,過/分別向x軸，了軸作垂線

段，與x軸，y軸圍成的矩形面積為12,

...因=12,又因為左<0,

；.k=-12,

則該函數解析式為：>=-竽，且在第二象限，y隨x的增大而增大，

當x=-6時，y=2；當x=-3時，y=4,

?,?當-6<x<-3時，y的取值范圍是2<y<4.

故答案為：2<y<4.

13.（3分）如圖，在△NBC中，4B=ZC=10,BC=12,若點。、E分別是43、3C邊上的兩個動點，連

Q32

接4E、DE,且則/。的最小值為.

【解答】解：作4交于R

?Z5=4C=10,BC=n,

1

:.BF=CF=5BC=6,/B=/C,

,RF2

則cosNB=cosNC=彳^=引

3

VcosZ^￡D=1,

JZB=ZAED=ZCf

由三角形外角可知，

ZDEC=/B+/BDE=NAED+NAEC,

：.NBDE=/CEA,

：.△BDEs^CEA,

.BDBE

??—,

CEAC

設CE=x,0<x<12,貝I),

第11頁（共21頁）

BD=AB-AD=lO-y,BE=BC-CE=\2-x,

.10—y12—%

??—，

x10

整理得：尸（%一然+64

:（x-6）22o,

.、32

,必手

32

即：4D的最小值為

32

故答案為：y.

三、解答題（共H小題，計81分.解答題應寫出過程）

14.（5分）計算：3tan30°+tan45°+2sin30°.

【解答】解：原式=3x^+1+2x*

=73+1+1

=2+V3.

15.（10分）解方程:

(1)2(%-3)=3x(x-3).

(2)2/+3x-5=0.

【解答】解：(1)2(x-3)=3xG-3),

3x(x-3)-2(x-3)=0,

(3x-2)(x-3)=0,

3x-2=0或x-3=0,

2

所以X1=W，12=3;

(2)2f+3x-5=0,

(x-1)(2x+5)=0,

x-1=0或2x+5=0,

第12頁（共21頁）

所以xi=l,X2=—

16.（5分）小明同學在做一道題時需要找出已知弧線所在圓的圓心，他在弧上描出了三個點n,B,C,并

連接了和BC,請你用尺規作圖法，幫小明繼續完成，找出弧所在圓的圓心0.（保留作圖痕跡，不

【解答】解：如圖，點。即為所求.

17.（5分）如圖，在四邊形/BCD中，AB//DC,AB=AD,對角線/C,8。交于點。，4c平分/民4D,

過點C作CEL4B,交A8的延長線于點￡,連接

（1）求證：四邊形/BCD是菱形.

（2）若NB=5,BD=6,求0E的長.

：.ZCAB=ZDCA,

；4C為/D4B的平分線,

：.ZCAB=ZDAC,

：.ZDCA=ZDAC,

：.CD=AD,

'：AB=AD,

；.4B=CD,

?：AB//CD,

第13頁（共21頁）

，四邊形/BCD是平行四邊形，

;AD=AB,

，平行四邊形/BCD是菱形；

（2）解：：四邊形/BCD是菱形，對角線NC,2D交于點O,

11

C.ACLBD,OA=OC=jXC,OB=OD=^BD,

1

：.OB=^BD=3,

在Rt/XNOB中，NAOB=9Q°,

CM=7AB2一OB2=V52-32=4,

'：CE±AB,

：.ZAEC^90°,

在RtAUEC中，NAEC=9Q°,。為NC中點，

：.0E=OA=4.

18.（5分）作圖題：如圖，已知。是坐標原點，B、C兩點的坐標分別為（3,-1）、（2,1）.

（1）以。點為位似中心在y軸的左側將△OBC放大到兩倍（即新圖與原圖的相似比為2,畫出圖形;

（2）分別寫出2、C兩點的對應點夕、C的坐標.

（2）B'的坐標是（-6,2）,C'的坐標是（-4,-2）.

19.（7分）如圖，在坡頂N處的同一水平面上有一座古塔3C,數學興趣小組的同學在斜坡底尸處測得該

塔的塔頂2的仰角為45。，然后他們沿著坡度為7=1：2.4的斜坡/P攀行了26米到達點/,在坡頂/

處又測得該塔的塔頂B的仰角為76°.

第14頁（共21頁）

（1）求坡頂A到地面PQ的距離；

（2）計算古塔8C的高度（結果精確到1米）.（參考數據：sin76°仁0.97,cos76°仁0.24,tan76。仁4）

【解答】解：（1）過點N作尸。于"，如圖所示:

??—，

PH12

設AH=5km,則尸H=12左根,

則力P=7AH2+PH2=J(5K)2+(12K)2=13k(m),

.?.134=26,解得e=2,

；.4H=10m,

坡頂/到地面P0的距離為10米.

：.BD±PQ,

；?四邊形/HOC是矩形，CD=AH=10,AC=DH,

:./BPD=45°,

第15頁（共21頁）

：.PD=BD,

設BC=xm,則x+10=24+r>H,

.,.AC=DH=（x-14）m,

在RtZk48C中，tan76°=

即一^X4,

解得X^19,

古塔8C的高度約19米.

20.（7分）2024年巴黎奧運會順利閉幕，吉祥物“弗里熱”深受奧運迷的喜愛.一商場以20元每個的進

價購進一批“弗里熱”紀念品，以30元每個的價格售出，每周可以賣出200個.經過市場調查發現，

價格每漲1元，每周就少賣5個.

（1）若商場計劃一周的利潤達到3000元，且要以更優惠的價格讓利給消費者，銷售價應定為多少元？

（2）商場改變銷售策略，在不改變（1）的銷售價格的基礎上，銷售量穩步上漲，兩周后銷售量達到了

每周216個，求這兩周的平均增長率.

【解答】解：（1）設銷售價應定為x元，則每個利潤為（x-20）元，每周銷售量為）[200-5（x-30）]

個，

由題意得：（x-20）[200-5（%-30）]=3000,

整理得：x2-90x+2000=0,

解得：Xi=40,X2=5O（不符合題意，舍去），

答：銷售價應定為40元；

（2）由（1）可知，當售價為40元時，每周銷售量為150個，

設這兩周的平均增長率為y,

由題意得：150（1+y）2=216,

解得：71=0.2=20%,”=-2.2（不符合題意，舍去），

答：這兩周的平均增長率為20%.

21.（7分）在諾貝爾獎歷史上，諾貝爾物理學獎是華人獲獎最多的領域，共有6位華人科學家獲獎，分別

是楊振寧、李政道、丁肇中、朱棣文、崔琦、高餛.小軒家剛好有《楊振寧傳》《李政道傳》《丁肇中傳》

《高銀傳》四本傳記書，小軒閱讀完后任選一本寫讀后感.

（1）小軒選到《朱棣文傳》是不可能事件.（填“隨機”“必然”或“不可能”）

（2）小軒的妹妹也從這四本傳記書中任選一本寫讀后感，請用列表或畫樹狀圖的方法，求他們恰好選

第16頁（共21頁）

到同一本書寫讀后感的概率.

【解答】解：（1）由題意得，小軒選到《朱棣文傳》是不可能事件.

故答案為：不可能.

（2）將《楊振寧傳》《李政道傳》《丁肇中傳》《高餛傳》四本傳記書分別記為B,D,

列表如下:

ABcD

A(A,N)(A,B)(/,C)(A,D)

B(B,A)(B,B)(B,C)(B,D)

C(C,A)(C,B)(C,C)(C,D)

D(D,/)CD,B)(￡),C)(D,D)

共有16種等可能的結果，其中他們恰好選到同一本書寫讀后感的結果有4種，

41

他們恰好選到同一本書寫讀后感的概率為二=7.

164

22.（8分）己知：如圖，48是。。的直徑，CD是OO的弦，且/2J_CD,垂足為E.

（1）求證：/CDB=

（2）若/DBC=120°,OO的直徑48=8,求3C、CD的長.

【解答】（1）證明：是。。的直徑，CD是。。的弦，且

：.BC=BD,

：.ZBCD=ZCDB,

'：BD=BD,

：.NA=NBCD,

；.NCDB=/A；

(2)解：VZDBC=nO0,

1

工乙BCD=乙CDB=^(180°-乙DBC)=30°,

：.ZA=ZCDB=30°,

第17頁（共21頁）

是。。的直徑，且48=8,

ZADB=90°，

1

???在中，BD=^AB=4,

又,：既:=BD,

：.BC=BD=4；

ABVCD.ZBCD=ZCDB=30°,

.?.在RtABCE中，BE=擲=2,

：.CE=VFC2-BE2=V42-22=2V3,

又是。。的直徑，ABLCD,

：.CD=2CE=4V3.

23.(10分)擲實心球是高中階段學校招生體育考試的選考項目.實心球行進路線是一條拋物線，如圖是

一名男生投實心球時，實心球行進高度〉(m)與水平距離xCm)之間的函數關系圖象，擲出時起點處

高度為當水平距離為4相時，實心球行進至最高點3加處.

(1)求y關于x的函數表達式；

(2)根據高中階段學校招生體育考試男生評分標準，投擲過程中，實心球從起點到落地點的水平距離

大于等于9.60加時，得分為滿分.請計算說明該男生在此項考試中是否得滿分.

【解答】解：(1)實心球行進路線是一條拋物線，當水平距離為4小時，實心球行進至最高點3加處,

拋物線頂點為(4,3),

:擲出時起點處高度為|■加，

設函數表達式為y=a(x-4)2+3(a￥0),

5

把(0,代入得：

a(0-4)2+3=—,

1

解得a=-

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.”關于X的函數表達式為尸-會（X-4）2+3；

1

（2）令y=0,即為一（x-4）2+3=0,

解得xi=10，X2=-2（不合題意，舍去），

V10>9.60,

...該男生在此項考試中得滿分.

24.（12分）（1）如圖1,在扇形/。2中，點O為扇形所在圓的圓心，AO=2V3,ZAOB=120°,點。

是腦上一點，則△A8C面積的最大值為3b；

（2）如圖2,在四邊形4BCD中，AB=AD,NBAD=/BCD=90°,連接/C.若/C=6,求四邊形

ABCD的面積；

（3）如圖3,菱形/BCD是一個廣場示意圖，其中菱形邊長AB為